PHƯƠNG PHÁP đặc sắc GIẢI hệ phương trìnhhệ bất phương trình tập 3

Phương pháp 2: Sử dụng các phép thế đã biết... Bài 2: Giải hệ phương trình:... Bài 9: Giả sử hệ phương trình: tri cua x, ta tim x sao cho hé da cho đối với hai ân y và z có nghiệm... BAI

TS HUYNH CONG THAI

e Học sinh ôn thi Đại Học

e Luyện thi:học sinh giỏi cấp Tỉnh,

Thành Phố

e Luyện thi Olympic 30/4; Quốc gia

e Tài liệu tham khảo giảng dạy cho

giáo viên

NHÀ XUẤT BẢN

e Học sinh ôn thì Đại Học

e Luyện thi:học sinh giỏi cấp Tỉnh,

Thành Phô

e Luyện thi Olympic 30/4; Quốc gia

e Tài liệu tham khảo giảng dạy cho

giáo viên

NHÀ XUẤT BẢN

Phan Ill CACDANGHE ©

nghiệm hoặc có vô số nghiệm

(nên thay giá trị cụ thể của tham

số vào hệ phương trình đã cho rồi kết luận)

b) Nếu D z 0 thì hệ có nghiệm duy

Xu la D D

nhật là: x = —* ; y =—~

Phuong phap 2: Dung phép thé

Phuong phap 3: Dung phép cong dai so

Phương phap 4: Dat 4n phu

2) Giả sử (x,.y) là nghiệm của hệ

trên Tìm hệ'thức liên hệ giữa x,

a=-1

e Nếu D =0 2

a=—

5 Khi do D, # 0 va Dy # 0 nén hé da

cho vô nghiệm

2) Giả sử (x, y) là nghiệm của hệ Khi

2-a)\-

đó ta có: J 2X (a - 1)x - ay > 2 + (— 2W ở

c„ J6X~Y)a = 3SðyÑ)

(x-y)a=2+x (2) Nhân (1) với (% — y) và nhân (2) với (6x + y) rồi cộng vế theo về ta

nghiệm (x, y) thỏa x > y

2) Với các giá trị của m đã tìm

được, hãy tìm giá trị nhỏ nhất

eVoOim = 1 vam z -4 thì D z 0 nên

hệ đã cho có nghiệm duy nhât:

x=m

y=1

e Hệ có nghiệm (x, y) thỏa x > y

c<m> |

Đối chiếu với điều kiện D z 0 ta

được giá trị của m can tim la: m > 1

2) Tìm b để với mọi a ta luôn tìm

được c đê hệ có nghiệm

3) Tìm b để tồn tại c sao cho hệ có nghiệm với Va

1) Khi c = 1, hệ đã cho trở thành:

a b

1 2

* Néu a «4 & a # +1 thì hệ có nghiém duy nhat la:

cho có nghiệm duy nhật với ve

nên không cân điêu kiện cho b

+ Nếu a = 1 thì hệ trở thành:

X+y=b

b +Y=C°+C

* Tom lai gia tri b can tim dé yéu

cau bài toán là: ml <b< a

Như vậy ta cần quan tâm đến hai

giá trị của a là: a = 1; a = —1 thì hệ

cũng phải có nghiệm Điêu này

được thỏa mãn khi và chỉ khi tôn tại

b để hai phương trình cŸ + c— b = 0 (1) và cŸỔ + c+b = 0 (2) có nghiệm

hõ ràng hai nghiệm này là hai

nghiệm chung của (1) và (2)

* Tóm lại giá trị của b cần tìm là: b = 0

11

Nhan (1) véi c*; nhan (2) voi a’:

nhân (3) với bỂ ta được:

a’ +b’ + cÌ`= ac(cx + ay) + be(cy +

bx) + ab(ax + by)

= ac.b + bc.a + ab.c = 3abc (dpcm)

Bài 5: Cho hệ phương trình:

2) Khi m z +1 thì hệ có nghiệm duy

m+1=1 m=0

m+1=-†1 =-2 oOo &

(—1)*“x+y=0

Ta thấy: dù k chẵn hay k lẻ thì hệ

trên luôn vô nghiệm

D, = r E WA — 2a — 3

a+3 =a a-1 a+1

nên hệ đã cho luôn có nghiệm duy

a-2 a 1-3a -a-1 3a - 2 a 2a 1-3a a-2 3a-2

e Điều kiện cần: hệ (I) có nghiệm thì

Vậy các giá trị của a cần tìm là:

II Bài tập tự luyện:

Bài 1: Giải các hệ phương trình

¬

Mos —+—=12

xX y

25

2X+Y 2x-y_

3 + 4 2x+y 2x-y

(2a—b)x+ (2a +b)y =b

2) Khi hệ có nghiệm duy nhất Tìm

2) Định m để hệ có bốn nghiệm phân biệt

Bài 7: Tìm a sao cho với mọi b : R

nhất một giá trị c sao cho hệ trên có

Bài 11: Với giá trị nào của a thì mọi nghiệm của hệ:

xsin2a + y(1+ cos 2a) = sin2a

31

+ Sau đó, giải tìm x, rồi thế vào hệ

đã cho, tìm giá trị của tham số

+ Có giá trị của tham số thử lại

Bài 1: Định a, b để hệ sau có nghiệm:

ax°+(a+1)x+a+b=0 (1

(a+ 1)xŸ +(a— 1)x+a+b =0(2)

(a—b)x? -x+ab =0 (3)

Giải Trước hết ta giải phương trình (1):

=1 Taco: x*-5x+4=006 bh

x=4

Lap bang xét dau:

At =(8x +16)? —16(x* + 8x? +16) >0

—-16xÝ - 64x? + 256x > 0

©<0<x<2 @)

Từ (a) và (b), suy ra: x = 2

Thê x = 2 vào (2) ta được:

16m + 64m + 64 =0 =m=-~2

Vậy giá trị của m cân tìm là: m = —2

II BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Định a đê hệ sau có nghiệm

3) A"=B";(A#‡B) =0

4) phương bậc nhát theo hai ẩn x,

y Sau đó dùng phép thê

5) Xem hệ là bậc nhất đối với hai

cụm ân và khử Sau đó đưa vê

phương trình theo một cụm ẩn

Phương pháp 2: Sử dụng các phép thế đã biết

Phương pháp 3: Dat 4n phu

Phuong phap 4: Dung dao ham

1) xy — 3x — 2y =16

xX? + y* — 2x%= 4y = 33 (2x +y) ~5(4x? — y*) +6(2x — y)’ =0

S=10 P=31

'X=-4+43

u=-4-x3

v=-4+x3 u=-4+x3 v=-4-43

x=-3-43

y=-2+w3 x=-3+3

y=-2-3 Vậy nghiệm của hệ đã cho là:

fe -V3,,

y=-2+x3

x=x3-3

=-2-3

= phuorng trình này vô nghiệm

Vậy nghiệm của hệ đã cho là:

Vi 2x — y # 0 nén chia hai về của

(1) cho (2x — y)Ê ta được:

Từ đây ta giải như trên

Bài 2: Giải hệ phương trình:

Hệ đã cho tương đương với

xy(x+y)+x+y+xy=11 3x(xy + 1) — y(xy +1)+ xy =17

2) Định m đê hệ có nghiệm duy nhât

xX? +y* —2xy + x-y=2 =0(1)

ta xét các trường hợp sau:

1) Phương trình (3) có nghiệm kép

và (4) có nghiệm kép khác nhau:

A; = 4mˆ - m(1- 8m) =0 A› = 4m -m(4m +1)= 0

x,=2

Hệ nay không thỏa mãn do Xo = Xo

2) Phương trình (3) có hai nghiệm phân biệt và (4) vô nghiệm:

3) Phương trình (3) vô nghiệm và (4)

có hai nghiệm phân biệt:

= + 2(a—1)x —3a* —1=0(3)

Hé da cho co hai nghiém phan biét

<& (3) co hai nghiệm phân biệt lớn

b đê hệ trên có nhiêu hơn bôn

nghiệm phân biệt

Giải Phương trình (1)

xˆ+yˆ+xy=3

61

be =x+†

-

oS -3: v33

Hệ đã cho có nhiều hơn bốn

nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

phương trình (*) có nhiều hơn bốn

nghiệm mà (”) là phương trình bậc

hai nên để nó có hơn hai nghiệm thì

65

=

2x” +2(1-m)x+ m =0(2) Phương trình (2) có nghiệm phân biệt: A >0

©—1-2<m< 42-1

* Xét hệ (B): 3 3

(x-mÉ +(1-x) =† y=1-x

o

2x” -2(1+m)x+m =0 (3)

67

phan biét:

© A’=(1+m)*-2m*>0

o1-J2<m<1+/2

Dễ thấy hai nghiệm của hệ (A) và

hai nghiệm của hệ (B) luôn khác

1) Giai hé khi m = 0

2) Dinh m để hệ có đúng ba

nghiệm (X:,Vị), (Xa, Y2); (Xs, ys)

trong do: X1, X2, X3 lap thanh cap

sô cộng và trong ba sô đó có hai

so co gia trị tuyệt đôi lớn hơn 1

(x:2y] tŸy'+s=0

=> 2 4

x+y=-1 (hệ này vô nghiệm)

Vậy nghiệm của hệ là: x = y = >

2) Hệ đã cho luôn có.nghiệm xạ = y =

= với Ym và hiển nhiên giá trị tuyệt đối của xạ (của nghiệm trên)

luôn < 1 Do vậy hai nghiệm x có

giá trị tuyệt:đôi lớn hơn 1 phải năm

trong hé (Il)

* Yêu cầu bài toán được thỏa man

thì trước hêt hệ (II) có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của hệ (J)

(xét vê hoành độ)

Hệ (II)

(ap dụng định lý Viét.-cho phương

trình (2)) Vậy các giá trị của n cần

x>aot=vx> Va

Như vậy hệ đã cho có ba nghiệm

phân biệt (4) có nghiệm phân biệt thỏa các điêu kiện sau:

73

1<a< 2,

II BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

yey =12

3xy* + 4xy = y? +6y+4

2 + 3x? + y? +12xy + 2y =0

2xy-2x- 2y =†

X*y* + 2y* +4 =7xy

x°+ 2y? +6y = 3xyˆ

2(x°y —x* +1) =y* Ay? -x

hệ phương trình sau:

0 X°+1+yˆ+Xy =4y

(x? +1)(x+y-2)=y

Tìm m để hệ có ba nghiệm phân biệt

Bài 8: Cho hệ phương trình sau:

yˆ+X°=x+y+m+†

ư +y* —2x° —2y°+x+y=m’?-m

Tim m dé hé co nghiém phan biét

Bài 9: Cho hệ phương trình sau:

Chú ý: Hệ này còn được gọi là hệ tổng — tích

+ Dat P= xy art

với SZ - 4P >0 (A)

+ Đưa hệ đã cho về hệ theo S và

F(S,P) = P: (SP) =0 (I)

G(S,P) = 0 + Giải hệ (I) tim S va‘P thỏa (A)

+ Thế S, vào (*), giải tìm x, y

* Biện luận hệ:

e Hệ đã cho vô nghiệm nếu hệ (I)

vô nghiệm-hoặc hệ (l) có nghiệm

hé da cho co hai nghiém phan

x= (8, 2 /S2—4P]

y=„(S, + (S2 = 4P)

e Khi (So, Po) thỏa: S? —4P, = 0 thì

hệ đã cho có nghiệm duy nhất

biệt:

X=y= So

2

* Chú ý:

1) Nếu hệ đã cho có chứa dạng

tổng Œ + y), tích @y) thì ta đặt ân phu dé dua vé dạng trên

2) Nếu (xo, yo) là một nghiệm của

hệ đã cho thì (yo, xo) cũng là một nghiệm của hệ đã cho Do vậy,

hệ đã cho có nghiệm duy nhất

khi Xo = Yo

81

P=0

<>

S=-3 P=5

2) Tw hé (Il) > S, P la nghiém cua

©4+S=i1>0 OSM sta)

Bai 4: Dinh a dé hé sau có nghiệm:

97

1 s?=!4p

+ Khi P < —m thì (1) vô nghiệm

Với mỗi nghiệm (S,P) của hệ (II) thì nghiệm của hệ (l) là (x, y) thỏa mãn

Do vậy: hệ đã cho có bôn nghiệm

phân biệt 'khi phương trình (2) có

nghiệm duy nhất P thỏa:

Mat khac: Goi P,, P2 la hai nghiém

của (2) thì: F1 rare = =—m

101

Từ đó, điêu kiện (a)

Giai

Hệ này đối xứng với x, y Do đó, nếu gọi (Xo, yo, Zo) là một nghiệm

của hệ thì (yo, Xo, Zo) cũng là một

nghiệm của hệ Như vậy, hệ có nghiệm duy nhất thì cần xo = yo, thế

vào hệ đã cho ta được:

2ax,+Z,=a

a = 2x*

Z, = 2x?

- (rs +2ax, -a=0\

Vì nghiệm:xạ là duy nhất nên

phương trình () phải có nghiệm

Tóm lại các giá trị của a cần tìm là:

2 J2

2 Xét: xy = 2a” - 6a + 4) = f(a)

Taco: f(a)=O co a=1

Bang bién thién:

2+2 2

Dựa vào bảng biến thiên ta suy ra:

xy dat min = f(a) min

Bài 9: Giả sử hệ phương trình:

tri cua x, ta tim x sao cho hé da cho

đối với hai ân y và z có nghiệm

Hệ () © MA es

X(y+Z)+yz=4

107

oS

yz = x°-4x+4

> `, z là nghiệm của phương trình: t? —(4- x)t + x? —4x+4=0

Phương trình này có nghiệm

109

u>0

© (1) có nghiệm 4

u Dựa vào bảng biến thiên suy ra giá

Từ (a) và (b) ta được giá trị a cần

tìm là: a < —2va> 2

Bài 11: Tìm các giá trị của m đề đồ

thị sau có đúng hai nghiệm:

_ +y)` =256

x°+y°=2+m

Giải

* Nhận xét: Nếu gọi:(Xo, yo) là một

nghiệm của hệ thì: (xạ, -yo) và

(-Yo, —Xo) cũng là nghiệm của hệ

Vậy, hệ có đúng hai nghiệm thì phải

BAI TAP TU LUYEN

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

6)

y (X+Y)Y _ 2o

xt 4+ x’y? +y? = 21

8)

Bài 6: Cho hệ phương trình sau:

1 Dinh nghĩa:

Hệ đói xứng loại 2 là hệ mà khi thay

x bởi y và y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia

Cách 2: Néu hệ chứa căn thúc thì ta

Bài 1: Giải các hệ phương trình:

+ Với x = y thế vào (1) ta được:

1) Tu hé da cho ta suy ra: x > 0, y > 0

2) Điều kiện: -2 < x,y <6

Cách 1: Dùng lượng liên hiệp

Biến đổi hệ =|

y=X

©

x? +xy+y? +m—-3(x+y) =0 + Với x = y thế vào (2) ta được:

xỶ — 5x2 + mx = 0

> x(x? — 5x + m) = 0

©

x-5x+m=0 (3)

Ta thấy hệ đã cho luôn có nghiệm x

= y = 0 với vm nên đê hệ có

nghiệm duy nhâtfhì điêu kiện can là

phương trình (3) vô nghiệm

Dat: f(x) = x? + (y -— 3)x + y*-3y +m có: Ai = -3yˆ + 6y + 9— 4m

Lại có Az = 36 — 12m < 0 với mọi

25

m>— 4

Suy ra: A ;<0 vy >f()> 0 Vxe R

Do đó phương trình:f%) = 0 luôn vô nghiệm với Vm > 2

Vậy các giá trị của m cần tìm là:

Giai Nhan xét: Ta thay day la hé chan

déi voi hai An (x, y)

Néu gọi (Xo, yo) là nghiệm của hệ thi

(xo, —yo) cũng là một nghiệm của

hệ Do đó, đê hệ có nghiệm duy

2

131

Xét hàm: f@Q = 2X? +X + 2 với X > 0 fX)=4X+1>0vX>0

= f(X) = f(0) = 2

= Phương trình (3) có nghiệm <= m>2

2) Hệ có nghiém duy nhat:

+ Theo câu (1) thì: Nếu 2 < m< 5

8

hoặc m > = thì phương trình (3) có

nghiệm duy nhất còn (4) vô

nghiệm nên hệ đã cho có nghiệm

4 16

duy nhất nên m = thỏa mãn

* Tóm lại: hệ đã cho có nghiệm duy

nghiệm của hệ Vì vậy, hệ có

nghiệm duy nhất thì cân:

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

Cach 1:

—Giai hé khi x = 0

—Khi x # 0, dat y = tx thé vào hệ

duoc va duoc hé moi theo t va x

nghiệm, lây (1) chia (2) ta được:

1+t-t? 5

2t2+5t-4 4

Khi x = 0 thì hệ vô nghiệm, đặt y = tx,

ta được:

2x°t(1- t?) =3x one = T0tx

° BE f)=3 (1)

x?(1+ t?) =10t (2) Lay (1) chia (2) vé theo vé

Lần lượt thay vào một trong hai

phương trình ban đầu đề tìm nghiệm

Bài 3: Cho hệ phương trình:

+ Nếu m = 1 thì (3) luôn thỏa mãn

với Vx, y e'R và hệ đã cho trở

thành: xế + 2xy + 2y“ = 1

©(x+yŸ=1-yˆ>0=-1<y<†

Phương trình này có vô số nghiệm

x, y mà -1 < y < †1nênm = 1 không thỏa mãn

+ Nếu m z 1 thì (3) © xy t+ yŸ = —1

1+y?

y

nghiệm) thế vào (2) ta được:

ly] ~(m+ 1)(1 + y2) + 2y?

= 2m- †

© (2- m)yˆ+ (2~ äm)y” + 1 = 0

Đặt: u = yˆ > 0 thì (2~ m)u” + (2—

3m)u + 1=0(4)

Hệ đã cho có bôn nghiệm phân biệt

©› (4) có hai nghiệm phân biệt thỏa:

Vay cac gia tri cla m can tim la:

Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:

4)

Bài 3: Cho hệ phương trình:

2x*—xy+y* =3 IMPibe =m

Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt

DẠNG 6

HỆ CO DAU TRI TUYET DO!

Cac cach giai:

Cách 1: xét dáư biểu thức bn trong

trị tuyệt đôi

+ Xét các biêu thức bên trong dẫu

trị tuyệt đôi và loại bỏ dâu trị tuyệt

đăng thức

Cách 6: Dùng phép đặt lượng giác Cách 7: Dùng đạo hàm

Cách 8: Dùng đò thị

Bài 1: Giải các hệ phương trình:

3

<

Y= 9

x =1-2y x=2y-5

* Thay x = 1— 2y vào (1) ta được:

A’= ể + 3y? = 4y?

x=-y

X= 3y

Thay x = —y vào (2) ta được:

-y|y| + y|y| = =2 phương trình này

+ Nếu m < 0 thì hệ vô nghiệm

tròn ngoại tiếp của hình vuông

ABCD và không nhỏ hơn bán kính đường tròn nội tiêp hình vuông

đường tròn (C) tâm O, bán kính R =

Ja voi a > 0

Hệ đã cho có đúng tám nghiệm khi

và chỉ khi đường tròn (C) của (2)

cắt bốn cạnh của hình thoi ABCD

tại tám điểm phân biệt

Xét hai vị trí đặc biệt của đường tròn:

a) Duong tron tam O'nội tiếp hình

thoi

Goi r, la ban kinh cua đường tròn

này, theo hệ thức lượng trong tam

lac vudng ta co:— = 9/8912 GA? ` OBP +

b) Đường tròn tâm O đi qua A20]

Đường tròn này có bán kính

1

fo = OA = 2"

Từ đó, đường tròn cắt bốn cạnh

của hình vuông tại tám tại tám điêm

phân biệt có bán kính thoả:

Bang bién thién:

Ð) X°-Xy+yˆ=4

x+iy-2=3

165

Bài 3: Cho hệ phương trình sau:

Cách 1: Dùng các phép thế

Cách 2: Dùng lượng liên hiệp

Cách 3: Dùng tác cách đặt ân phụ

Cách 4: Biễn đối mắt dấu căn và

đưa về các hệ phương trình cơ bản

Cách 5: Dùng phép đặt lượng giác hóa