PHƯƠNG PHÁP đặc sắc GIẢI hệ phương trìnhhệ bất phương trình tập 1

HE PHUONG TRINH CAC PHƯƠNG PHÁP GIẢI - Nhân thêm hệ số cho một hoặc cả hai phương trìñh rồi cộng hay trừ hai + phương trình.. Kết quả biến đổi: ta đưa về các phương trình cơ bản sau:

TS HUYNH CONG THAI

e Học sinh ôn thi Đại Học

e Luyện thi:học sinh giỏi cấp Tỉnh,

Thành Phố

e Luyện thi Olympic 30/4; Quốc gia

e Tài liệu tham khảo giảng dạy cho

giáo viên

NHÀ XUẤT BẢN

TS HUYNH CONG THAI

CÁC PHƯƠNG PHÁP

DAC SAC

@ Sach dung cho:

e Học sinh ôn thi Dai Hoc

e Luyện thi:học sinh giỏi cấp Tỉnh,

Thành Phố

e Luyện thi Olympic 30/4; Quốc gia

e Tài liệu tham khảo giảng dạy cho

giáo viên

NHÀ XUẤT BẢN

Phan | HE PHUONG TRINH

CAC PHƯƠNG PHÁP GIẢI -

Nhân thêm hệ số cho một hoặc cả

hai phương trìñh rồi cộng hay trừ hai + phương trình

Kết quả biến đổi: ta đưa về các

phương trình cơ bản sau:

1) Phương trình bậc nhát hai ẩn x, y:

+ Khi đó: Tính y theo x (hay x theo

y) rồi thế vào một trong hai phương trình ban đầu.

2) Phương trình chỉ chứa x (hay y)

dạng đa thức bậc 2, 3, 4

+ Giải phương trình này tìm nghiệm

rồi thế vào một trong hai phương

trình trong hệ ban đầu

3) Phương trình bậc hai chứa 2 an x, y:

+ Đưa về phương trình-bậc 2 theo

An x (hay y)

+ Tĩnha Wt He A=(a+b)*

~(a+b)°

+ Tìm nghiệm tồi thế vào một trong

hai phương trình hệ ban đầu

4) Phương trình biến đổi về dạng tích

các thừa số

5) Phương trình có dạng:

a) áỄ+bÊ=0C Poe b=0

b) (a + b) = 0

+ Với x = y thế vào (2) được:

2) Lấy phương trình (3) nhân với 2

rồi trừ đi (4) ta được:

2x2 + Byˆ— 6xy + 2x — 4y + 1= 0 (5)

e Đến đây ta tìm hướng xử lý như sau:

Đó là phương trình bậc hai theo x, y

nên có thể:

1 Đưa về phương trình bậc hai

theo x (hay y)

Hướng này chỉ hợp lý nếu A =

B*=0

3 Dua truc tiép về tích (hướng

này có vẻ phức tạp vì phương

trình chứa nhiều hạng tử)

Loi binh:

* Tát nhiên là việc chọn hướng

nào cho phù hợp thì điều này

phụ thuộc vào tư duy và tốc độ

xử lí của mỗi cá nhân Ở đây

Bây giờ chúng ta bắt đầu thử:

Hướng 1: đưa về phương trình bậc

hai theo an x (chang hạn)

(5) © 2x” + 2(1 - 3y)x

+5yˆ+ 1—4y=0

A' = (1— 3y)Ê— 2(5yˆ— 1 + 4y)

=-yˆ— 14y + 3

Dễ thay A là biểu thức đổi dấu nên

ta giải theo hướng này không hợp lí Chú y ra ng: Việc đưa về phương trình theo ấn x (hay y) là như nhau

nên chỉ chọn một ẩn x (hay y)

Hướng 2: đưa về tổng bình phương

Thường đưa về các hệ số của các

biến đều là số nguyên nên ta tách

e Thế x = y = 1 vào (4) thấy không

thỏa mãn Vậy hệ đã cho vô nghiệm

Chú ý:

1) Hằng đẳng thức:

(at+b+t+c)

=a°+b* +c? + 2ab + 2bc + 2ca

2) Lay hai phuong trình cộng hay trừ

đi thu được phương trình thứ ba thì:

+ Nếu phương trình này vô nghiệm

— hệ đã cho vô nghiệm

+ Còn lại thì phải thế vào hệ ban

đâu đê kiêm tra

Bài 21: Giải hệ phương trình:

« Dễ thấy là chúng ta không thể

biên đôi phương trình (2)

Trong khi đó: phương trình (1) có dạng bậc hai theo x (hay y) nên ta

ưu tiên xử lí theo hướng này:

(1) xŸ- 2(1- 2y)—6y *7y—2= 0 '= 2y” + 3y — { >0© 2 <y<1

Mặt khác: do y > 1 nên suy ra y = 1

Thế y = 1 vào hệ được:

x? +2x-1=.0

Lm +XẺ-X+4=0

Hệ này vô nghiệm

Vậy hệ đã cho vô nghiệm

Bài 3: Giải hệ phương trình: * = y y

2y* + x’y* — 3y7 x’? +1=0

& 2y* + (x? — 3)yy>— x? +1=0 (3)

Xem (3) là phương trình bậc hai

và (2) đều chứa bài 1 và 2 theo x

và y Trong khi đó biểu thức cần

thé la y? = 2(1~x?) chỉ có bậc hai

nên được thế vào sẽ rất phức tạp

và được 1 phương trình không thể

giải được Thế là tắt đường

* Nên hướng xử lí:

1

Ta co: y* = 2=?) >05-1<x<1

+ Dựa vào x c [—1; 1] chúng ta có thê nghĩ tới việc chứng minh một trong hai phương trình'(1) hay (2)

e Lấy phương trình (1) nhân 2 rồi

trừ đi phương trình (2) ta được:

xỶ— 6xếy + 12xyˆ — 9y” = 0

©(x-2y)"=y”

©X-2yY=ÿYX=ở3y

e Thế x = 3y vào (1) được:

34y” + 9y=0<>y=0—>x=0

Vậy hệ có nghiệm là (0; 0)

Chú ý: Một số hệ ta sử dụng phép

chia hai vế cho 1 biểu thức rồi lấy

hai phương trình cộng hay trừ đi

e Ta thấy y =`0 thì hệ vô nghiệm

e Khi y z 0 thì hệ tương đương với:

* Nhan xet:

1) Đối với hệ trên, sau khi ta lấy 2

phương trình trừ đi thì nhân lượng

liên hợp hai vé để đưa về tích

2) Bài toán này có thể giải bằng cách đưa về dạng: f(x) = g(y) (xem

(lấy 2 phương trình nhân về theo về)

© yˆ + 6xy — 27y° = 0

Bài 9: Giải hệ phương trình:

4x?°+y“-4x”=1 (1)

ie + 2y* —4xy =2 (2)

Giai

Lay phương trình thứ nhất trừ

phương trình thứ hai, vê theo vê ta

được yˆ - 2yŸ - 4xy” + 4xy + 1 = 0

Phương trình thứ hai của hệ tương đương với

So sánh với điều kiện ban đầu, ta

thây cả hai nghiệm trên đêu thỏa

man

[yas

©

nghiệm là (x, y) “(2-1) (2; 4)

II Bài tập rèn luyện

Giải các hệ phương trình sau

(2x+ y}? + 5y.jxy = 2x(5 + 2y)

X+y = xy(5— 2x —-y)

+ Tính y theo x (hay x theo y)

+ Thế vào phương trình còn lại

+ Nếu hệ chưa thu gọn thì ta áp

dụng các phép biến đổi đại số để thu gọn rồi dùng phưps sau

+ Các phép biến đổi thường dùng là:

1) Cộng, trừ 2 phương trình

2) Làm mát logarit, lũy thừa

3) Phép nâng bậc

4) Dùng hằng đẳng thức

(5t —1)(t— 2) = 14

© BÉ — 11t— 12= 0

a) Bac hai theo'`x (hay theo y) có

A = A’ hay A =A?

b) Dua về tích đơn giản

e Nhận thấy y = 0 không là nghiệm

của hệ đã cho, khi đó ta chia hai về

của phương trình thứ nhất cho yỶ

và chia cả hai vế của phương trình thứ hai cho yŸ, khi đó hệ trở thành:

Khi đó hệ phương trình tương

+ Xét y = 0, thé vao va kiém tra

+ Khi y z 0: đưa hai vế của phương trình cho y" (n là cấp của phương

+ Voi x = 0 thế vào (1) được y = 3/4

+ Với y = 0 thế vào (1) được x = #4

+ Thế y = -x vào (1) = phương

trình vô nghiệm

2) Hệ đã cho tương đương với

5x”y + -4xyˆ + 3y - 2(X+3 y) =0

lee +y*) (x +y7)=2=0

5x*y + -4xy*+8y® — 2(x+y)=0

& X(X — 3y)(x + 4y) = 0

x=0

©|Xx=3y

x=-4y

+ Với x = 0 thế vào (2) được

phương trình vô nghiệm

+ Với x = 3y thế vào.(2) được

Đưa một phương trình trong hệ về

phương trình tích rôi dùng thê

(x; y) = (1; 0); (0; 1)

1

= y+2X”=0 | =y=0

x=0

— hệ đã cho vô nghiệm

Vậy hệ có hai nghiệm là:

> (x + y)"[(x + y)? - 3xy]

Cach 5:

Một phương trình trong hệ có dang bậc hai theo x (hay y) khi đó:

+ Tinh A và đưa A về dạng AŸ hay -AŸ

+ Tìm nghiệm và thế vào phương

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau:

thê vào (2) được:

y°— 6yˆ + 11y—6 =0

Xem (1) là phương trình bậc theo

© x =4y thế vào (2) => kết quả

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

1) +y)(x+y) + 2y =7 -2x? —x

(2x +1)? +3y =8+3x

2) b +4y =y?+1ôx

(2x+y)Ý =9x? +4xy +4

(1) © (\Jx-2y} - y4/x-2y — 6y = 0

1) Điều kiện |

Xem đấy là phương trình bậc hai

x¬3y+3>0

— hai nghiệm |

e Cuối cùng dùng phép thé

e Sau đó lũy thừa

Bài 4: Giải các hệ phương trình:

+ Khi xy z 0; lấy 2'phương trình

nhân chéo với.nhau và đưa vê

phương trình đăng cập 4 theo x, y

Bài 6: Giải các hệ phương trình sau:

3

Hướng dẫn giải 1) Nhân phương trình đầu với 2 và

cộng phương trình thứ hai ta được:

Cộng hai phương trình nay ta được: 2xy + 3 = 3y

2) Biến đổi mắt loga và thế vào (1)

Bài 8: Giải các hệ phương trình:

In(1 + 2y) - In + y)=y

= In(1 + 2y) -In(1+y)-y=0

Bang bién thién:

In(1 + 10y) —In(1 + y) = 9y

Chứng minh'-tương tự như trên ta cũng được nghiệm là (0; 0)

Vậy hệ đã cho có nghiệm là (0; 0)

2) Điều kiện: x > 1; 0 < y<2

Biến đổi phương trình thứ 2 ta

được:

79

3log.,(3x)” — 8log,y = 3

=> 1 + logsx — logsy = 1

© x= y và thế vào phương trình

thứ nhát

Cuối cùng bình phương hai về

Bài 9: Giải các hệ phương trình sau:

log, yxy =log, y_ (1)

+ Lấy hai phương trình trừ đi, rồi

x=1 y=8

+ Giai hé

bình phương và giải được

Lay hai phương trình trừ đi ta được:

yxty +x +2y +2 —J2x+1-8y +1 =0

(4; 5); (X4; V4)

2) Điêu liện: |x|> |y| và xy(y + 3)>0

Hệ đã cho tương đương với

x2 — y? _ x2y?(x + 3)?

ted —8y*) = y*(1+ 4x")

2 fe _ y? — x2y?(x + 3

x? —y* = x*y*(4x + 8)

Chứng minh rằng với mọi m > 0 thì

hệ trên luôn có nghiệm duy nhất

eX —e™* = In(1 + x) —In(1 +x +m)

Bang bién thién:

© (xy)? + 4(xy)* — 8(xy) +3 =0

> (xy — 1)[(xy)* #.5(xy) — 3] = 0

& (2y — x*)(4y? + 2yx? + x? + 3x’) = 0

2y = X?

> y=X

4yŸ +2yxŸ + x” + 3x” =0 (©) Phuong trinh (c) c6: A’ = x* — 4(x* +

Kết luận: (d) có nghiệm duy nhất

1

x=1>y==—

2

Vay hé da cho co nghiém l1 )

lll Bai tap tự luyện

Giải các hệ phương trình sau:

y* + xy =y+ 9x

\x-y+38x-y =4

x+y+§x-y+1+ 2+x+y=0 log,(3y — 1) = x (DH B-2010)

4% 42% = 3y?

*x-1=.jx-y-1

y? +x =y(xy — 2vx)

x+y? + (xy)? =2 4xy

(x —y)* = 3xy(x =y) +1 xy

3) a" =b"

4) Phương trình tích

5) Phương trình bậc 2 đối với 1 an

Cách 4: Đặt 2 ẫn ở 2 phương trình

và đưa về hệ đơn giản hơn

Il Các cách biến đổi đại só:

Giai 1) Diéu kién: >0

2x-y

Đặtt= |“ >0 2x-y

(1) trở thành: † WS

+Vớit=2Q lzaœ 4 2x-y =4

©y= =x thé vao (2) duoc:

oy 12953 _5y ye +11=0

Dat t = 3x-y > 0 ta được:

t=-y 2-yt—3y°=0©|, 3y

Bai 2: Giai cac hé phuong trinh sau:

1) e Nếu y = 0 thì hệ vô nghiệm

e Khi y z 0: Hệ đã cho tương đương

iu

xt=1 ©x=y=l Vậy hệ đã cho có nghiệm là (1; 1)

Bai 3: Giai cac hé phuong trinh sau:

Bài 4: Giải các hệ phương trình sau:

2_

ta được (“ V =9 _ lu =-3

u+v=4

u+v=4

e Đến đây học sinh tự giải

2) e Nếu y = 0 thì hệ vô nghiệm

e Nếu y z 0 thì hệ đã cho tương

x=2y

Bai 5: Giai cac hé phuong trinh sau:

x+y + Jx-y =2/y (1)

a=-1 + Voi | ©+ VY

x+y=5

© Ù +†=X—Š mạ vô nghiệm)

y=5-xX Vậy hệ đã cho vô nghiệm

a’ +3xb=0

Chú ý: Bài này chúng ta có thể giải

a+b=7 a=4 a=3

Biên đôi hệ ta được:

<> Vv

ab =12 b=3 b=4 x=3 x=2

(x+y-8Ÿ'=4/'02y°2w+ `) Cp

Giải

1) + Nếux=0—>y=0

+ Khi xy # 0 Biến đối hệ đã cho

tương đương với:

Đặt 1ˆ“ ”x ta auge | b=y-3 aˆ+b=2

=-a b=-a

* Xét y z 0, khi đó chia hai về của

phương trình (1) cho yŸ và chia hai

vê của (2) cho y; ta được:

trở thành

Bai 9: Giải các hệ nướng trình sau:

a”-4a+4=0

2

<> <

x*y7(x? 42)4 1=12y? + y(x? +1)

yˆ+x#Xy-6y+1=0 xy” +x = y(9xy — x*)

+4 x+y-3=3

y

2xy +y* +1=8y

y+1

yo"

x°y? + x’y*? +1= y(4y? — x)

xy(x + 1)(y +1) =12 x+y? 4+x+y=8

(x—y)(x° -y*) =3

(x+y)(xX? +y’)=15 yx? —y? =12

X+y+Jx?-y’? =12

147

ll Bai tap ap dung:

Bài 1: Giải hệ phương trình sau:

Bài 2: Giải hệ phương trình

y =-x°+3x+4 = 2y°-6y-2

Nếu x > 2 từ (1) suy ra y— 2< 0

điêu này mâu thuân với PT (2) có (x — 2) va (y — 2) cung dau

HPT = |

Tương tự với x < 2 ta cũng suy ra

điều vô lí Vậy nghiệm của hệ là

x=y=2

Khi đó dấu “=” xảy ra © x = y

e Xem (2) là phương trình bậc hai

theo y: yˆ + (x— 6)y + xˆ— 7x + 14 =0

Vậy hệ đã cho có nghiệm là (2; 1)

Bài 6: Giải hệ phương trình sau:

=xy +x ty 1 = 4xy (do (2))

Ap dung bat dang thtrc co ban: a’ + b* > 2ab ta duoc

lượt vào (2) được nghiệm cần tìm

Bài 6: Giải hệ phương trình sau:

x =y=1-V2

x=y=1+42

Bài 7: Giải hệ phương trình sau:

— Phương trình h(y) = 0 có nghiệm

duy nhất y = —Í

Vậy hệ đã cho có nghiệm là (0; —†1)

lll Bai tap tự luyện

Giải các hệ phương trình sau:

e Với mọi x; y; t cùng thuộc miền D

e Hàm f() luôn tăng (hay luôn giảm) trên D

Khi đó: f(x) = Í(y) — x = y

lll Bai tap ap dung:

Bai 1: Giai cac hé phuong trinh sau:

x° —y* =3(x-y) (2)

Biến đổi (2) © x° — 3x y" — 3y

© f(x) = fly)

Xét ham f(t) = t =St voi -1 <t <1 f'@)= 3É - 3< 0Vte [—1: 1]

—= g(Vy) luôn tăng trên [0; +)

(2) = (x*y + x)? — 2(x*y + x) +1=0

©Xxy+x=

© xy= thế vào (1) được:

Do do: g(a) = g(b) GS a=b

Do (y+ Jy? +4) ly? +1-y) = 1 nên

từ phương trình của hệ ta suy ra

Bài 6: Giải hệ phương trình:

x° £x+log, = By + 2y +1 (1)

jx—1- =i-1=o (2)

Giải

Điều kiện: x > 1, y > 1

Khi đó phương trình (1) của hệ

tương đương với

x”+x+ logax = (2y)° + 2y + loga2y Xét ham sé f(t) =t?+ t + logst, t > 0

Suy ra ham‘s6 don diéu tang Ttr dé

suy ra f(x) = f(2y) x = 2y, thay vào phương trình thứ hai ta được:

J2y—1-.Jy-1-1=0

& 2y-1 =y-—2,/y-1

22J/y-1=1-yoy=1>x=2

Bài 7: Giải hệ phương trình sau:

Tp V6—x+Jy +2 =4 (2)

=> f(t) la ham ludn tang trén (2; +00)

Do do: f(x) = f(y) = x = y thế vào (1) được: /x+91=xx-2 +x

(phương trình vô nghiệm)

Vậy hệ đã cho có nghiệm là: (3; 3)

Bai 9: Giải nệ phương trình

Ta thấy hệ này không có nghiệm

thỏa y = 0 nên ta chỉ xét y z 0, khi đó

(hoax txylsy ty”

Khi đó: lì =f(y)= *“=y y y

Thế 4 = xˆ + yŸ vào (2) được:

logzx — logay = (y — x)(x° + y’ + xy)

© logex — logzy = y° - x°

© logox + x° = logsy + y”

= f(x) = fy)

+Vớiu =2 x⁄#1+x+x1-x=2

©X=0—y“=t1

<>ư?-2u=0o <>

x=0 Vậy hệ có nghiệm|

y=1

Bài 12: Giải hệ phương trình:

2y*+2x4/1-x+y=341-x (1)

pr 2x? + 2xyv1+x (2)

Giai Điều kiện —1 < x < 1

Dat x = cotu; -u>2<u<u>2

Vay hé co cac nghiém la:

IV Bài tập tự luyện

Giả các hệ phương trình sau:

Bai 13: (Đề thi Đại học khối A — 2012) Giải hệ

f(u) = f(v)

ll Bai tap ap dung:

Bài 1: Giải hệ phương trình sau:

Điêu kiện: x > 1 và y> 0

= f(x) luôn nghich bién trén [1; +00]

Ham qcosx =\/x —1 luén déng bién

Bài 2: Cho hệ phương trình:

Bang bién thién

Bài 5: Cho hệ phương trình

Bang bién thién

(1) ©x=m-y thế vào (2) ta được:

(m—y + 1)y* + y(m — y) = mly + 2)

Để hệ đã cho có nghiệm duy nhất

thì (3) có nghiệm duy nhát

3

y yˆ-2

Bài 7: Cho hệ phương trình

x? +2x+2 x? +x—-1

Dựa vào bảng biến thiên

= yêu cầu bài toán

&