PHƯƠNG TRÌNH VĂ BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT
Kiến thức cơ bản:
- Định nghĩa: y=loga x⇔ x=ay
- Hàm số: y = logax có tập xác định: x > 0, 0<a ≠1 Tập giá trị: R
- Tính chất: Hàm số đồng biến nếu a > 1, nghịch biến nếu 0 a 1 < <
- Các công thức biến đổi:
1 a loga = loga1=0 alogax =x
2
1
N
N
b log c log b
a log
1 b log
b
a
c
log b log b
log a
=
| N
| log N
α
=
α
a
- Các công thức biểu thị bằng bất đảng thức
+ Nếu a > 1 thì logax > logay v ới x > y > 0 + Nếu 0 < a < 1 thì logax < logay v ới x > y > 0
- Phương trình và bất phương trình cơ bản:
>
=
≠
<
⇔
=
0 ) x ( g ) x ( f
1 a 0 ) x ( g log ) x ( f
>
>
>
<
<
<
<
⇔
>
0 ) x ( g ) x ( f
1 a
) x ( g ) x ( f 0
1 a 0 )
x ( g log ) x ( f
- Phương pháp giải thường dùng:
+ Đưa về cùng cơ số + Đặt ẩn phụ để đưa về phương trình, bất phương trình cơ bản
Ví dụ và Bài tập:
Bài 1 Đơn giản các biểu thức sau:
a) A= 25log 516 +49log 718 b) B= −log log2 2 42
c) C 36= log 5 6 +101 lg 2− −3l og 36 9
Bài 2 Tìm tập xác định của các hàm số sau:
a) y x1
=
x 1
y lg 2x 3
−
=
−
2 0,3 3
log log
x 5
Bài 3 Chứng minh các đẳng thức sau (với giả thiết là các biểu thức đã cho có nghĩa)
ax
a
log b log x log bx
1 log x
+
= +
k k 1
log x log x log x log x 2log x
+
2
=
Trang 2Bài 5 Chứng minh rằng: lg(x 2y) 2lg 2 1(lg x lg y)
2
với điều kiện x > 0, y > 0 và x2 + 4y2 = 12xy
Bài 6: Giải các phương trình:
a) log2(x2 + 3x + 2) + log2(x2 + 7x + 12) = 3 + log23
b) log3(2 - x) - log3(2 + x) - log3x + 1 = 0
Bài 7: Giải các phương trình:
a) log5(5x - 1) log25(5x + 1 - 5) = 1
b) logx(5x2).log52x = 1
4 1
3 2
2 4
2
1 3 ) 2 x ( log
2
d)
) x 8 ( log
) x 4 ( log ) x 2 ( log
x log
16
8 4
Bài 8: Giải các phương trình:
a) xlg(2x) = 5 b) 2log3cotgx = log2cosx
Bài 9: Giải các bất phương trình:
a) 1
3
3x 1
x 2− <
x 4
2x 3+ < −
2
1 2x
1 x
+
>
Bài 10 Giải các bất phương trình sau::
a) log3(x + 2) > logx+2 81 b) ) 2
4
1 x (
2
3
<
−
x
x log
d) log3x−x2(3−x)>1 e) log3 log (x 3)
2
1 2 x log 6 x 5 x
2
1 3
1
g) 6log 2 x xlog6x 12
≤
x 3
Bài 11 Giải các bất phương trình sau::
a)
4
3 16
1 3 log ) 1 3 ( log
x
4 1
x
Bài 12.(D-2006) Chứng minh rằng với mọi a > 0, hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất:
x y
y x a
− = + − +
− =
a) Giải phương trình khi m = 2
b) Tìm m để phương trình có nghiệm thuộc [1;3 3]
Bài 14 Giải các hệ phương trình:
a)
= +
=
−
2 ) y x ( log
1152 2
3
5
y x
b)
= +
= +
3 ) x 14 y 11 ( log
3 ) y 14 x 11 ( log y
x
c)
= + +
= + +
+
4 ) x 5 y 3 ( log )
y 5 x 3 ( log
4 ) x 5 y 3 ( log ) y 5 x 3 ( log
y x
y x
Trang 3d)
= +
= +
2 ) x 2 y 3 ( log
2 ) y 2 x 3 ( log
y
x
e)
= +
=
3 2 2
y log xy log y x
x y
f)
= + +
−
=
+
y 2 2
2 4
y 4 y 5 2
x
1 x x
2 x
(D-2002)
Bài 2: Giải các hệ phương trình: a)
= +
=
−
−
25 y x
1 y
1 log ) x y ( log
2 2
4 4
1
(A-2004)
b)
=
−
=
− +
−
3 y log ) x 9 ( log 3
1 y 2 1 x
3 3
2 9
(B-2005)