Bát đẳng thức bất phương trình

Bất phương trình chứa tham số Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn.. Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm.. Nếu hx xác

Chương IV BẤT ĐẲNG THỨC-BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Các mệnh đề "a > b"; "a ≥ b"; "a < b" ; "a ≤ b" được gọi là các bất đẳng thức

+ a gọi là vế trái, b gọi là vế phải của bất đẳng thức;

+ a>b và c>d (hoặc a<b và c<d) là hai bất đẳng thức cùng chiều;

+ a>b và c<d là hai bất đẳng thức trái chiều;

+ Cho hai bất đẳng thức "a>b" và "c>d" Nếu

"a>b ⇒ c>d" thì "c>d" là hệ quả của "a>b"

"a>b ⇔ c>d" thì "c>d" là tương đương "a>b"

3 Các tính chất

∀a,b,c,d∈R ta có :

1) a > b ⇔ a+c > b+c (cộng 2 vế bất đẳng thức cùng 1 số)

a > b+ c ⇔ a−c > b (chuyển vế) 3) a > b ⇔ <ac bc > <>

neáu c 0

ac bc neáu c 0 (nhân hai vế cùng 1 số) 4) a c b d

d c

b a

b a

6) Với n nguyên dương: a > b ⇔ a2n+1 > b2n+1

a > b>0 ⇒ a2n > b2n7) Nếu b>0 thì

a>b ⇔ a > b; a>b ⇔3 a >3b

8) a c

c b

b a

1a1

0ab neáu a

PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC Phương pháp chung:

a) Nếu a,b≥0 thì a+b≥ 2 ab

b) Chứng minh a2+b2-ab ≥ 0 Khi nào thì đẳng thức xảy ra

1

= (a- )22

b

+ 0 a,b R4

4 3

0 2

a b

b a

b.1 Nế a≥0,b≥0 có a+b=const (hằng số) thì a.b max ⇔ a = b

b.2 Nếu a≥0,b≥0 có a.b = const thì a + b là min ⇔ a = b

+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng chu vi, hình vuông có diện tích lớn nhất.

+ Trong tất cả các hình chữ nhật có cùng diện tích, hình vuông có chu vi nhỏ nhất.

c Ví dụ:

Ví dụ 1: cho hai số a, b> 0 Chứng minh rằng + ≥2

a

b b a

Giải

Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số dương , >0

a

b b

a a

b b

a a

b b

Nhân (1) với (2) ta được: (a+b)(ab+1) ≥4ab => đpcm

5 Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối

0xneáu

; ∀a,b∈R ta có

b a b

a+ ≤ + , dấu '=' xảy ra  a.b≥ 0

b a b

a− ≤ + , dấu '=' xảy ra khi a.b 0≤

b a b

a+ = +  a.b≥0

b a b

Giải

Ap dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho bốn số a = 1, b = x, c = 2, d = y

BÀI TẬP ÁP DỤNG 1/ Với mọi số thực x, y, z Chứng minh rằng: 2xyz x≤ 2 +y2 2z

x

x

Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số y= 1

x+ −

1

1 x bằng 4 khi x =

12

Giải

( ) 2 1 4y 2.2 3 9 3 2 3 3 3 1 0( 1) (2 3) ( 3 3) 1 0

a+ ≥b a b

+

Giải

Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương a, b: a b+ ≥2 ab (1)

Áp dụng bđt Cô-si cho hai số dương 1 1, : 1 1 2 1

HD: x+ ≥4 2 x+3Áp dụng bđt Cô-si cho 1 và x+3

,

2y9c)* Với a, b, c≥0 và a+b+c=1 Chứng minh: b+c ≥ 16abc

HD: b+c ≥ 2 bc ⇔ (b+c)2 ≥ 4bc (1)

a+(b+c) ≥ 2 a b c( + ⇔) 1≥ 4a(b+c) (2)lấy (1)x(2) ta được⇒ đpcm

d) Cho a, b, c, d ≥ 0 Chứng minh: (abc+2)(bc+2)(a+d)(d+1) ≥ 32abcd

HD: Áp dụng bđt Cô-si cho: abc và 2; bc và 2; a và d; d và 1

e) Cho a,b,c >0 CMR : (1+ )(1+ )(1+ )≥8

a

c c

b b a

11

b) a2+ + ≥b2 c2 ab bc ca+ + , a,b,c∀ ∈¡ Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra?

c) a2+ +b2 ab≥ ∀0, a b, ∈¡ Khi nào dấu "=" (đẳng thức) xảy ra.?

d) (a+b+c)2 ≤3(a2+b2+c2) với mọi a,b,c∈¡

e) a2b+ab2≤a3+b3 , với a, b dương Đẳng thức xảy xảy ra khi nào ?

4/ Cho hàm số f(x) = (x+3)(5-x) với−3≤x≤5 Xác định x sao cho f(x) đạt giá trị lớn nhất?

5/ Tìm già trị nhỏ nhất của các hàm số sau

b b/ Cho a > 0, b > 0, c > 0 CMR: 1 a b c 2

1 (ab +by)2 ≤ (a2 + b2)(x2 +y2) ,∀a, b, x, y∈R Dấu bằng xảy ra khi nào?

4/ Cho a ,b ∈ [– 1;1] Chứng minh rằng : |a + b| ≤ |1 + ab|

a)Chứng minh rằng: nếu x ≥ y ≥ 0 thì ≥

b)Chứng minh rằng: với hai số a và b tùy ý ta có ≤ +

19*/ Cho tam giác ABC,chứng minh rằng : ≥

20*/ Cho a ,b ,c ∈ [0;2] Chứng minh rằng : 2(a + b + c) – (ab + bc + ca) ≤ 4

21/ Chứng minh rằng : + + + …+ < 1 ∀ n ∈ N

22/ Chứng minh rằng : + + + …+ < 1 ∀ n ∈ N n ≥ 2

23/ Cho ba số dương a ,b ,c thoả mãn: ab + bc + ca = 1 Chứng minh rằng :

≤ a + b + c ≤ 24/ Cho 3 số a, b, c thoả mãn a + b + c = 3 Chứng minh rằng :

a) a2 + b2 + c2 ≥ 3

b) a4 + b4 + c4 ≥ a3 + b3 + c3

Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si)1/ Cho hai số a ≥ 0 , b ≥ 0 Chứng minh rằng :

5/ Cho hai số a ≥ 1, b ≥ 1 , chứng minh rằng : a + b ≤ ab

6/ Cho các số a,b,c ≥ 0 Chứng minh rằng :

cosx + sinx + tgx + cotgx + + > 6

8/ Cho 3 số a ,b ,c thoả a + b + c = 1 Chứng minh rằng : a4 + b4 + c4 ≥ abc

9/ Cho 3 số a,b,c không âm,Chứng minh rằng :

17/ Cho a,b,c > 0 và a + b + c = 1 Chứng minh rằng :

a) ()()( ) ≥ 64

b) (a + b)(b + c)(c + a)abc ≤

18*.Cho 4 số a ,b ,c ,d > 0 thoả mãn + + + ≥ 3

Chứng minh rằng abcd ≤19/ Cho a,b,c là độ dài ba cạnh của một tam giác ,chứng minh rằng :

25/ Cho a > b > 0 , chứng minh rằng : a + ≥ 3 Khi nào xảy ra dấu =

26/ Cho hai số a ≥ 0 ; b ≥ 0 Chứng minh rằng :

2.33.44…nn < 2

) 1 n ( n3

1n

42/ Cho 3 số a, b, c thoả a + b + c ≤ 1 Chứng minh rằng :

a) + + ≥ 9 b) + + ≥ 9

43/ Cho a ,b ,c > 0 thoả a + b + c ≤ k Chứng minh rằng :

4/ Cho ax + by ≥ ,∀ x,y > 0 Chứng minh rằng : ab ≥ 1/4

5*/ Cho – 1 ≤ x ≤ và – < y < ,chứng minh rằng : x2 + 3xy + 1 > 0

6**/ Cho a3 > 36 và abc = 1.Xét tam thức f(x) = x2 – ax – 3bc +

Tập hợp nghiệm của bất phương trình f(x) > g(x) là tập hợp tất cả các giá trị x0∈D: f(x0)>g(x0)

3 Điều kiện của bất phương trình

Là điều kiện của ẩn x sao cho f(x) và g(x) có nghĩa

Ví dụ: Điều kiện của bất phương trình 3− +x x+ ≤1 x2 là

3−x≥0 và x+1≥0

4 Bất phương trình chứa tham số

Là bất phương trình chứa các chữ cái khác ngoài ẩn

− ≥



 + ≥



III Bất phương trình tương đương

1 Định nghĩa: hai bất phương trình được gọi là tương đương nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm

2 Định lý

2.1 Định lý 1 (phép cộng, trừ):

Cho f(x) > g(x) xácđịnh trên D Nếu h(x) xác định trên D thì:

f(x) > g(x) ⇔ f(x) + h(x) > g(x) + h(x)

* Hệ quả: Nếu chuyển một biểu thức từ vế này sang vế kia của phương trình và đổi dấu thì ta

được một bất phương trình mới tương đương với phương trình đã cho

2.2 Định lý 2 (phép nhân, chia): Cho f(x) > g(x) xác định trên D

+ Nếu h(x) xác định trên D và h(x)>0 với mọi x D∈ thì bất phương trình:

* Chú ý: Khi giải bất phương trình cần lưu ý các vấn đề sau

+ Đặt điều kiện (nếu có) trước khi biến đổi bất phương trình

+ Khi nhân (chia) hai vế bất phương trình với một biểu thức thì chú ý xem biểu thức đó âm hay dương,hoặc biểu thức đó mang cả hai giá trị âm và dương

+ Khi qui đồng mẫu số của bất phương trình: nếu biết chắc chắn mẫu dương thì không đổi dấu

+ Nếu f(x)<0, g(x)<0 thì f(x) <g(x) ⇔ −f(x) > −g(x) Khi đó ta có thể bình phương 2 vế

* Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau

a) 2x+3 > x+7

 x > 4 => tập nghiệm là T=(4;+∞)

b) 2x-10 ≥ 3x-2

 -x≥8  x≤−8 => T=(−∞;−8]

* Ví dụ 2: Giải các bất phương trình sau

A B

A B

B A B

A B

B A B

A B A

B A B B

A B

B A B B

A B

A

B A B

−

−

m m

Nếu m-1 < 0  m < 1 => bpt có nghiệm x <

1

32

m =1 bpt VN

m > 1 bpt có nghiệm x >

1

32

−

−

m m

m < 1 bpt có nghiệm x <

1

32

−

−

m m

1 5(3 1)

x x

x x

9/ Tìm m để hệ bpt sau vô nghiệm:

x −∞ 1 2 +∞2x-2 - 0 + + x-2 - - 0 +

− +∞ f(x) trá i dấu a 0 cùng dấu a

− +∞ f(x) 0 +

3/ Xét dấu biểu thức được quy về tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất

Phương pháp: ta xét dấu từng nhị thức bậc nhất trên cùng một bảng xét dấu,sau đĩ tổng hợp dấu lại

ta được dấu của biểu thức

* Ví dụ 1: Xét dấu biểu thức A=(x-2)(5-3x)

53x + 0

A 0 + 0 Vậy A < 0  ) (2; )

-3

5

;(−∞ ∪ +∞

∈

3

5(

∈

x ; A= 0 ⇔ x=2; 5/3

* Ví dụ 2: xét dấu biểu thức B =

174

)3)(

12(

4/ Giải bất phương trình (cĩ ẩn ở mẫu số) quy về tích, thương các nhị thứ bậc nhất

Để giải phương trình dạng này ta xét dấu biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất

đĩ Sau đĩ kết hợp với chiều củ bất phương trình ta sẽ tìm được tập nghiệm củ bất phương trình đĩ ( phần nào khơng lấy thì gạch bỏ)

Ví dụ : Giải cácbất phương trình sau

x

đặt 2x-2 = 0  x=1

x-2 = 0  x = 2

x −∞

5 11 −

3 1 − 2 +∞

-5x-11 + 0 - - -

3x+1 - - 0 + +

2-x + + + 0 -

f(x) - 0 + // - // +

xét dấu biểu thức f(x)= 2 2 2 − − x x vậy S=(−∞;1)∪(2;+∞)

b) Ta biến đổi tương đương bất phương trình đã cho

x x+ < − − 2 3 1 3 4  0 2 3 1 3 4 < − − + − x x  (3 1)(2 ) 0 11 5 < − + − − x x x Xét dấu biểu thức f(x)= ) 2 )( 1 3 ( 11 5 x x x − + − − Đặt -5x-11 = 0  x = 5 11 − 2 0 2 3 1 0 1 3 = ⇔ = − − = ⇔ = + x x x x

Vậy S = ;2) 3 1 ( ) 15 11 ; (−∞ − ∪ − 5/ Phương trình, bất phương trình chứa trị tuyệt đối 1 Định nghĩa: là phương trình chứa biểu thức trị tuyệt đối của biến x trong phương trình 2 Phương pháp: ta sử dụng định nghĩa để giải phương trình Nếu có từ hai biểu thức trị tuyệt đối trở lên ta phải lập bảng xét từng biểu thức trên cùng một bảng, sau đó căn cứ vào bảng xét dấu để giải * Chú ý 1: Các dạng cơ bản của bpt chứa trị tuyệt đối | ( ) | | ( ) | ( (x) g(x) )( f(x) g(x) ) 0 ( ) ( ) |f(x)| g(x)

( ) ( ) f(x)> g(x) |f(x) | g(x) f(x) g(x) f x g x f f x g x f x g x < ⇔ − + < <  < ⇔  > −   > ⇔  < − 3 Ví dụ 3.1 Ví dụ 1: giải phương trình | x-1| + | 2x-4 | = 3 (1) Giải Ta xét dấu các biểu thức x-1;2x-4 x −∞ 1 2 +∞

x-1 - 0 + +

2x-4 - - 0 +

nhìn vào bảng xét dấu ta có:

* nếu x ∈(−∞;1) thì (1) -(x-1)-(2x-4)=3

-3x = -2  x =

3

2 (nhận)

* nếu x ∈[1;2) thì (1) x-1-(2x-4) = 3

 x = 0 ∉[1;2)(loại)

* nếu x∈[2;+∞) thì (1) x-1+2x-4 = 3

 3x=8 x =

3

8(nhận)

8

;3

2

3.2 Ví dụ 2: giải các bất phương trình sau:

- nếu b > 0 thì bất phương trình có vô số nghiệm

- nếu b≤ 0 thì bất phương trình vô nghiệm

f(x) Trái dấu a 0 Cùng dấu a

* Chú ý : Xét biểu thức dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất

( ví dụ : (ax+b)(cx+d)…(fx+k);

))(

(

)) (

)(

(

m kx h gx

f ex d cx b ax

++

++

+

…) ta xét dấu tất cả các nhị thứ bậc nhất trên cùng một bảng xét dấu

* Các bước xét dấu biểu thức :

B1 : Đưa biểu thức đã cho về dạng ax+b hoặc dạng tích hoặc thương các nhị thức bậc nhất

(1) pt

Baát

(I)

B1 : Giải bất phương trình (1) => Tập nghiệm S1

B2 : Giải bất phương trình (2) => Tập nghiệm S2

B3 : Tập nghiệm S của hệ (I) là S = S1∩S2

BÀI TẬP 1

1/ Xét dấu các biểu thức sau:

a) f(x)= (2x−1)(x+3) b) f(x)= (−3x−3)(x+2)(x+3)

a) 3 1

2 x <

2 2

314

6*/ Lập bảng xét dấu các biểu thức sau

−

− K= (−x+1)(x+2)(3x+1)L= 2 2

3 2

x x

+

−

− M= 9x2 −1 N= −x3+7x−6O= x3+x2−5x+3 P=x2−x−2 2 Q= 1 1

7/ Giải các bất phương trình sau

− + ≤ −+

Đáp số: a) S=(−1;2] ∪ [3;+∞) b) S=(−∞;−1/2) ∪ [2/11;1)

c) S= (−∞;1) d) [−5−2 6+ 3+ 2;5+2 6+ 3+ 2]e) S=(−∞;−1) ∪( 2 ;3/2) f) S=[−4/5;−1/3)

8/ Giải và biện luận bất phương trình

a) mx+4>2x+m2 b) 2mx+1≥ x+4m2

d) x(m2−1) < m4−1 e) 2(m+1)x ≤ (m+1)2(x−1)

9/ Giải các bất phương trình sau

3 2) ( 3 2)( 1)(4 5) 0 b) 0

d) S= x≤2 hoặc x>3 e) S={−1/3;3} f) S={−3;2} g) S=(1;7/3)h) S=(−4;−1)∪(−1;0] k) S=(−∞;5/3) l)S=(−∞;1]

13 Giải bất phương trình (chứa giá trị tuyệt đối) :

4/

;62634

/

;1245/

;4752/

;021/

2

2 2

2

≥++

−

−

<

−+

<

−

−

x x

x x e x

x x x d

x x c

x x

b x

x

a

14 Giải bất phương trình (chứa căn thức) :

13

2/4

223/

;25

/

;23131/

;524/

;218/

2 2

x f

x x

x e x

x d

x x c

x x

b x

BÀI TẬP 2 Bài 1: Giải và biện luận các bất phương trình sau theo tham số m

c)

12

51

2

2

81558

x x

83

37

54

x x

x x

38

747

56

x x

x x

3

12215

x x

x x

118

143

2

3518

)2(34

13

x x

x

x x

x

Đáp số: S= {4}

BÀI TẬP 3 1/ Giải và biện luận các bất phương trình sau

a) (m +1)2x > 2mx + m b) (m2+m)x - m2 - 2m ≥0

c) (m+1)x ≤ 2m(x+1)+2+x d) m2x-1 > x+m

e)

1 m

1 mx 1

1 x 1 m

1 - x

10 >

+

x x

g)

9

153

43

2

2 −

−

≤+

+

x x

1218

2(

25

<

−

−+

−

−

x x

l)

12

21

2

3 2

−

++

232

4

721

3

x x

x x

≥

−+

01

)42)(

2(

11

32

x

x x

x x

≥+

+

4

12

01

195(

2

121

x x

x x

232

1

x

x x

x

x

x x

>

++

+

02

)2)(

23)(

1(

0)5)(

3)(

2(

2

x

x x x

x x

09

)23)(

4

(

01

2

)31)(

x

x x

−

−+

012

)1(3

1

211

21

1

2

32

x

x x

x

x x

x x

)1(21

23

0)259)(

x

x

x x

Đáp số: a) S = [6 ; 8) b) S =(-∞; -4]∪(1;2] c) S = (-∞;-1] ∪

(-21

;+∞)

3

1) ∪(2

5

3)4/ Giải các hệ bất phương trình sau

013

2

0)3()

x x

≤

−

0)2)(

1(

0)1

x x

31

22

2

11

22

x

x x

x

x

x x

++

12

21

3

2

31

52

2

x

x x

x

x x

x x

0)

2()7(

)6()2()1(2

13

23

23

2

x x

x x

x

x x

x x

>

++

429

324

x x x x

++

12

43

2

2

41

42

2

x

x x

x

x x

x x

4

452

≥

−+

01

)42)(

2(

11

32

x

x x

x x

Đáp số: a) Vô nghiệm b) Vô nghiệm c) S =

(-2;-2

1)∪(1;

2

5) d) S = (-

3

1

;0)∪(2

;+∞) i) S = (-∞;-4] ∪(1;2]

§4 Bất phương trình bậc nhất hai ẩn I/ Bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1 Định nghĩa: là những bất phương trình có dạng ax+by+c > 0 ; ax+by+c < 0 ,trong đó a,b,c R∈ , a2+b20

≠

2 Cách giải : để giải bpt ax+by+c > 0 ta vẽ đồ thị của đường thẳng ax+by+c = 0 Khi đó:

+ Nếu đường thẳng không đi qua gốc toạ độ thì ta thay góc toạ độ (0;0) vào vế trái bất phương trình

y x-3y+3=0 1

II Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn

1 Định nghĩa: là hệ có từ hai bất phương trình bậc nhất hai ẩn trở lên.

2 Cách giải: để giải hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn ta giải từng bất phương trình trong hệ rồi

biểu diễn chúng lên cùng một hệ trục toạ độ, miền còn trống là miền nghiệm của hệ bất phương trình.

(2) 33

(1) 0

y x

y x

y x

Giải

Ta vẽ các đường thẳng

(d1): x-y= 0 (d2): x-3y+3= 0 (d3): x+y-5= 0

Miền I là miền nghiệm.

Ví dụ 2: Giải hệ

000

x y

S

BÀI TẬP Bài 1: Giải các bất phương trình bậc nhất hai ẩn

y x

y x

y x

−

≥

−+

0

42

3)1(2

0132

x

y x

y x

6

82

3

93

y

x y

y x

y x

−

0

5

22

22

Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F = y-x đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 4: Gọi S là tập hợp các điểm trong mặt phẳng toạ độ Oxy cĩ toạ độ thoả mãn hệ bất phương trình:

Tìm các điểm của S làm cho biểu thức F =2x+3y đạt giá trị max, min

§5 DẤU TAM THỨC BẬC HAI

I/ Tam thức bậc hai

1 Định nghĩa: Tam thức bậc hai là biểu thức cĩ dạng f(x) = ax2+bx+c (a≠0)

2 Định lý (về dấu tam thức bậc hai)

Cho tam thức bậc hai f(x)= ax2+bx+c (a≠0) và ∆= b2-4ac

+ Nếu ∆< 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi x

+ Nếu ∆ = 0 thì f(x) cùng dấu với hệ số a với

-∞ x1 x2 +∞Dấu củ a

f(x)

Cù ng dấu hệ số a

Trá i dấu hệ số a 0

* Chú ý : ta cĩ thể thay ∆bởi '∆

Ví dụ 1: xét dấu các tam thức sau

a) f(x) = 3x2-2x+1 b) f(x) = -4x2+12x-9 c) f(x) = x2-4x-5

=> x1=-1 ;x2 = 5

x

0 +

-∞ -1 5 +∞

0 vậy f(x) > 0 ∀x∈(−∞;−1)∪(5;+∞)

1

x x

22

1

x x

+ - + - + A

x 2 +9x+7 + 0 - - + + x

x 2 +x-6 + + - - +

II/ Bất phương trình bậc hai

1 Định nghĩa: Bất phương trình bậc hai là bất phương trình có một trong các dạng sau:

ax2+bx+c > 0 ; ax2+bx+c < 0 ; ax2+bx+c ≤ 0 ax2+bx+c ≥ 0 ( a≠0)

2 Cách giải: Để giải bất phương trình bậc hai ta xét dấu tam thức bậc hai đó , kết hợp với chiều của bất

phương trình ta sẽ tìm được nghiệm của bất phương trình

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau