skkn dùng ẩn phụ để giải phương trình

"Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" Ví dụ nh phơng trình bậc nhất 1 ẩn số học ở Toán lớp 8, phơng trình bậc 2 một ẩn số học ở Toán lớp 9 thậm chí đối với phơng trình bậc 3, bậc 4 một ẩn số

"Dùng ẩn phụ để giải phơng trình"

Mục lục Phần thứ nhất Lời mở đầu ……… trang 03

IV Phơng pháp nghiên cứu………trang 06

V Kế hoạch nghiên cứu……… trang 06

Phần thứ hai Nội dung từ trang 05 đến trang 21 Trong đó:

A/ Nội dung lý luận liên quan trực tiếp đến vấn đề nghiên cứutổng kết kinh nghiệm - Những kiến thức cơ bản ….… trang 06

B/ Thực trạng vấn đề nghiên cứu……… trang 07C/ Mô tả các giải pháp mới mà tác giả đã thực hiện làm choviệc bồi dỡng học sinh giỏi có chất lợng và hiệu quả trang 08

I/ Giải phơng trình bậc cao bằng phơng pháp đặt ẩn phụ

……… trang 08

II/ Giải phơng trình vô tỷ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ

……… trang 16

III/ Hệ thống bài tập vận dụng ………trang 21

Phần thứ ba Kết luận ……….trang 23

1 Những kết luận, đánh giá cơ bản về nội dung, ý nghĩa, hiệuquả của SKKN……… trang 24

2 Những đề xuất, khuyến nghị……… trang 24

Phần thứ t Tài liệu tham khảo……… trang 25 Phần thứ năm: Kết quả chấm của SKKN trang 26

Phần thứ nhất

Mở đầu

I Cơ sở khoa học của SKKN:

1 Cơ sở lý luận: Qua việc giảng dạy toán ở Phổ thông tôi nhận thấy: Việc

giải phơng trình và hệ phơng trình là một trong những vấn để rất trọng tâm của

ch-ơng trình toán học ở phổ thông Có những phch-ơng trình và hệ phch-ơng trình đã có ờng lối giải cơ bản

đ-2 Cơ sở thực tiễn:

Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp 9 và ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 2

"Dùng ẩn phụ để giải phơng trình"

Ví dụ nh phơng trình bậc nhất 1 ẩn số (học ở Toán lớp 8), phơng trình bậc

2 một ẩn số (học ở Toán lớp 9) thậm chí đối với phơng trình bậc 3, bậc 4 một ẩn

số cũng đã có đờng lối giải cơ bản nh sách phát triển Toán 8 đã trình bầy và hệ

ph-ơng trình bậc nhất một ẩn số (Toán lớp 9) Nhng trong khi dạy bồi dỡng học sinhgiỏi toán lớp 9 và dạy ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên ban A và lớp 10THPT năng khiếu Toán - Lý - Hoá thì chúng ta gặp không ít những bài giải phơngtrình, hệ phơng trình không có đờng lối giải cơ bản dẫn đến việc giải rất khó khăn

có khi không thể giải đợc, ví dụ nh trong các đề thi chọn học sinh giỏi các cấp, đềthi tuyển sinh vào lớp 10 THPT trong những năm gần đây đều có bài giải phơngtrình và hệ phơng trình không có đờng lối giải cơ bản

Nếu dùng một số thuật giải thì việc giải các phơng trình đó sẽ dễ dàng hơn

Một trong những thuật giải mà tôi muốn trình bầy ở đây đó là: "Dùng ẩn phụ để

giải phơng trình".

II Mục đích của SKKN:

Đây là những kiến thức mà tôi tổng hợp đợc qua việc dạy bồi dỡng học sinhgiỏi toán, qua việc ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH chuyên ban A và kiểm

nghiệm trong thực tế dạy chuyên đề: "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" đã viết

trớc đó Việc dùng ẩn phụ để giải phơng trình có thể coi là một trong các đờng lốichủ yếu để giúp giáo viên, học sinh có cách nhìn sâu hơn, rộng hơn khi giải phơngtrình, đặc biệt trong bồi dỡng học sinh giỏi

Dùng ẩn phụ, ta đa từ một phơng trình phức tạp, nhất là các phơng trình bậccao, phơng trình vô tỉ về những phơng trình bậc thấp hơn, đơn giản hơn và nhữngphơng trình đó đã biết cách giải

Ví dụ 1: Giải phơng trình: (x + 1)4 + (x + 3)4 = 16

Nếu ta hớng dẫn học sinh giải phơng trình này bằng cách khai triển thôngthờng các kiến thức ở lớp 8 thì sẽ dẫn đến một phơng trình bậc 4 cha có đờng lốigiải cụ thể Tuy nhiên, nếu ta đặt ẩn phụ: t = x + 2

Thì ta đa phơng trình trên trở thành:

(t - 1)4 + (t + 1)4 = 16 <=> t4 + 6t2 - 7 = 0

Đây là phơng trình trùng phơng mà học sinh đã biết cách giải bằng phơngpháp đặt ẩn phụ (đổi biến số) nh trang 54-57 sách giáo khoa Toán lớp 9 đã trìnhbầy

* Ví dụ 2: Giải phơng trình: x4 - 4x3 + 2x2 + 4x - 3 = 0

Rõ ràng đây là phơng trình bậc 4 đầy đủ (lùi) mà học sinh cha có công thức,

đờng lối giải Nhng chỉ nhờ phơng pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ) và một vài bớcbiến đổi tơng đơng thì học sinh sẽ biết cách giải ngay

đợc dạy chuyên đề này thì học sinh sẽ giải bài toán này một cách dễ dàng và độc

đáo Điều kiện: x R; x  2

Đặt: t = 2 2



x ; (t R; t  0)Khi đó phơng trình đã cho trở thành:

8

203

.t2 + 28t + 31 = 0 (*)

Ta thấy vế trái của (*) lớn hơn 0, t  0

Từ đó suy ra phơng trình đã cho vô nghiệm

Quả thật, dùng ẩn phụ đã giúp ta giải quyết đợc bài toán trên một cáchnhanh gọn và chính xác Chính vì thế mà phơng pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ)trong việc giải phơng trình là điều kiện tốt, rèn luyện khả năng sáng tạo toán họccho học sinh, vận dụng linh hoạt các kiến thức của mình vào giải phơng trình nhbiến đổi đồng nhất Giúp học sinh giỏi có thể khái quát một vấn đề cụ thể, cáchgiải tổng quát của một phơng trình, qua đó còn góp phần rèn luyện và nâng cao tduy biện chứng cho học sinh Ngoài ra, nó còn tạo cho học sinh biết nhìn nhậnmột sự vật hiện tợng theo quan điểm động Dùng ẩn phụ để giải phơng trình và hệphơng trình là một ví dụ sống động đối với chủ đề phơng trình, hệ phơng trình

Trong chơng trình ở phổ thông hiện nay thì phơng pháp đổi biến số cha đợc

đề cập và hệ thống hoá thành một công cụ quan trọng trong cách giải phơng trình,

hệ phơng trình Nó chỉ đợc giới thiệu qua, khi học sinh học bài giải hệ phơng trìnhbậc nhất hai ẩn số ở trang 19-20 và bài giải phơng trình quy về phơng trình bậc hai

ở trang 54-57 sách giáo khoa Toán lớp 9 và nó cũng chỉ đợc giới thiệu và đợc phổbiến khái quát ở các lớp năng khiếu, lớp bồi dỡng chuyên đề cho học sinh giỏi

Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp 9 và ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 4

Địa chỉ góp ý xin liên hệ với: Vũ Sỹ Hiệp

Phó hiệu trởng trờng THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hng Yên

ĐTCQ: 0321.3832216; NR: 03213832099; DĐ: 01668859018

III Đối tợng nghiên cứu, Phạm vi nghiên cứu: Là các phơng trình bậc

cao và các phơng trình vô tỷ trong chơng trình THCS, các đề thi chọn học sinhgiỏi và thi vào lớp 10 THPT chuyên các năm gấn đây khi gải phải đặt ẩn phụ mớigải đợc; Đề tài chỉ dạy cho học sinh giỏi cấp trờng và đợc tập trung bồi dỡng mỗituần ba buổi, mỗi buổi ba tiết ngay từ đầu năm học đến khi thi chọn học sinh giỏicấp huyện (cuối tháng 12) xong tiếp tục ôn luyện để thi chọn học sinh giỏi cấptỉnh (đầu tháng 4) và thi vào lớp 10 THPT chuyên (đầu tháng 7)

IV Phơng pháp nghiên cứu:

V Kế hoạch nghiên cứu: Tổng hợp kiến thức viết thành đề cơng hớng

dẫn chi tiết, lập kế hoạch chi tiết cho từng phần từng giai đoạn Chọn đối t ợng họcsinh và tiến hành dạy chuyên đề song cùng với việc trải nghệm thực tế các đề thi

có liên quan đến vấn đề cần giải quyết

Phần thứ hai

Nội dung

A – Nội dung lý luận liên quan trực tiếp đến vấn đề nghiên cứu tổng kết kinh nghiệm (những kiến thức cơ bản):

I Hiểu ẩn phụ nh thế nào cho đầy đủ:

Trớc hết ẩn phụ phải xem là không phải ẩn ban đầu đã cho của bài toán.Việc thay ẩn phụ là mong rằng: Bài toán với ẩn phụ dễ giải hơn bài toán đã cho

Quy trình thống nhất của việc giải bài toán trong trờng hợp này bao gồm haibớc:

+ Bớc 1: Xuất phát từ bài toán đã cho, chọn các ẩn phụ thích hợp (có thể là

1 hoặc nhiều ẩn phụ) rồi chuyển bài toán đã cho thành bài toán đối với ẩn phụ

"Dùng ẩn phụ để giải phơng trình"

+ Bớc 2: Tìm ẩn phụ rồi trở về tìm ẩn số ban đầu.

II Dấu hiệu để nhận biết các bài toán đặt ẩn phụ để giải:

- Chỉ có những bài toán mà giữa các đại lợng tham gia trong bài toán cómột mối liên hệ nào đó mà chính nhờ mối liên hệ này, các đại lợng này biểu diễn

đợc qua các đại lợng kia mới có khả năng đặt đợc ẩn phụ

- Với các bài toán mà ẩn phụ có tác dụng thay đổi dạng bài toán thì các dấuhiệu dùng đợc ẩn phụ thông thờng đã biết, đã đợc đúc kết trong lý thuyết hoặctrong kinh nghiệm có tính chất kỹ viện, ví dụ nh việc đặt ẩn phụ để giải phơngtrình trùng phơng - Toán lớp 9

III Về việc tìm điều kiện cho ẩn phụ:

Khi chuyển bài toán từ ẩn ban đầu sang bài toán đối với ẩn phụ, một trongcác công việc phải làm là: Chuyển điều kiện của ẩn ban đầu sang điều kiện cho ẩnphụ đúng, chính xác

3 0

x x

310

3

V U

B/ Thực trạng vấn đề nghiên cứu:

Trong khuôn khổ của chuyên đề, tôi xin trình bầy hai loại cơ bản mà khi thituyển sinh vào lớp 10 THPT, THPT Chuyên ban, THPT năng khiếu và thi học sinh

giỏi các cấp thờng gặp đó là: Giải phơng trình bậc cao bằng phơng pháp đặt ẩn phụ và giải phơng trình vô tỷ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ.

C/ Mô tả các giải pháp mới mà tác giả đã thực hiện làm cho việc bồi ỡng học sinh giỏi có chất lợng và hiệu quả.

d-I Giải phơng trình bậc cao bằng phơng pháp đặt ẩn phụ:

Phơng trình bậc cao là loại phơng trình mà cách giải rất phức tạp Trong

ch-ơng trình dạy học ở nhà trờng phổ thông vấn đề này cha đợc đề cập sâu Phch-ơngtrình bậc cao mới chỉ đề cập đến loại phơng trình bậc hai, phơng trình trùng ph-

ơng Các phơng trình bậc cao với hệ số là các số thực cha có một cách giải tổngquát, những phơng trình giải đợc chỉ là phơng trình đặc biệt, đó là những phơngTài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp 9 và ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 6

"Dùng ẩn phụ để giải phơng trình"

trình cụ thể (dễ) Còn những phơng trình phức tạp, nếu không có phơng pháp giải

cụ thể, học sinh sẽ rất lúng túng trong khi giải

Để giải một phơng trình bậc ba, bậc bốn ta có thể dùng phép thử trực tiếp

để tìm ra một nghiệm đặc biệt, hoặc nhóm các số hạng để phân tích thành tích các

đa thức bậc nhất hoặc bậc hai

Phơng pháp đặt ẩn phụ cũng là một phơng pháp đợc áp dụng để giải một sốphơng trình loại này Ta dùng ẩn phụ để đa phơng trình về bậc thấp hơn dễ giảihơn Trong phần này tôi trình bầy cách giải một số loại phơng trình bậc cao haygặp trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi và thi tuyển sinh bằng phơng pháp đặt ẩnphụ (đổi biến số) nhằm hỗ trợ các em học sinh một số hiểu biết về phơng trình bậccao Phơng pháp này sẽ tạo cho các em có định hớng tốt khi tiếp xúc với phơngtrình bậc cao, góp phần rèn luyện khả năng sáng tạo toán học

1 Phơng trình dạng:

a[f(x)]4 + b[f(x)]2 + c = 0 (1)

Trong đó: f(x) là biểu thức chứa ẩn; a, b, c  R

Cách giải:

Đối với phơng trình dạng này ta đặt ẩn phụ để đa về phơng trình bậc hai với

ẩn phụ đó, tức là ta đã đa về phơng trình bậc thấp hơn đã có cách giải hoặc đơngiản hơn Đến đây ta thấy dễ dàng giải đợc phơng trình vì ta đã đa về dạng phơngtrình mà sách giáo khoa đã đề cập rõ ràng cách giải (phơng trình bậc hai một ẩnsố)

Giải phơng trình: ax2 + bx + c = 0; (a 0)

C1: Nếu a + b + c = 0 => x1 = 1; x2 =

a c

C2: Nếu a - b + c = 0 => x1 = -1 ; x2=

-a c

m x

2 1

C4: Nếu b = 2b' => '

= b'2 - acC5: Nếu b 2b' =>  = b2 - 4 ac

C6: Phân tích vế trái thành tích 2 thừa số bậc nhất (hạ bậc) để giải:

0

B A

Nh sách giáo khoa Toán 9 đã trình bầy từ trang 40-53

* Ví dụ: Giải phơng trình:

(x2 + 2x)4 - 15(x2 +2x)2 - 16 = 0; ( 1.1)

Đặt: t = (x2 + 2x)2; Điều kiện t  0

"Dùng ẩn phụ để giải phơng trình"

Khi đó phơng trình đã cho trở thành:

t2 - 15t - 16 = 0Giải ra ta đợc 2 giá trị: t = - 1 (loại)

t = 16 (nhận)Với t = 16, thay vào ta có: (x2 +2x)2 = 16

4 2

2

2

x x

x x

5 1

1

1

x x

Vậy phơng trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = -1 + 5 và x2 = - 1 - 5

Qua cách giải trên giáo viên có thể khái quát để giải phơng trình dạng tổng quát

Nếu z(x) = 0 hoặc y(x) = 0 không là nghiệm của (2)

Chia cả 2 vế của (2) cho z2α (x) ta ) ta đợc:

Phơng trình (2.1) trở thành: 3t2 - 5t - 2 = 0

Giải ra ta đợc: t1= 2; t2=

-3 1Thay vào ta có:

)2; Điều kiện t  0 Ta có phơng trình mới là: t2 - t - 2 = 0 Đến

đây học sinh dễ dàng giải đợc tiếp

Cuối cùng ta đợc nghiệm của phơng trình là:

(ax + b1)(ax + b2 )(ax + b3)(ax + b4 ) =  x2; (4)

Thoả mãn điều kiện: b1b2 = b3b4

(f(x) + p + q)4 + (f(x) + p - q)4 = c

Và đặt: t = f(x) +p

Lúc này ta đợc phơng trình tơng đơng sau:

(t + q)4 + (t - q)4 = cHay: 2t4 + 12q2t2 + 2q4 = c

Nh vậy, ta đã đa phơng trình cha có hớng giải về phơng trình đã có cáchgiải là phơng trình với ẩn số mới là t

Mấu chốt ở đây là ta áp dụng phơng pháp đặt ẩn phụ: t = t(x) + p

Nhận thấy:    2; x = 0 không phải là nghiệm của phơng trình.

Chia cả hai vế của phơng trình cho x2  0, ta đợc phơng trình mới:

2 2

3 2

4 1

21 1 4

0 8 ) 21 1 ( 2 2 2

x x

x x

II Giải phơng trình vô tỉ bằng phơng pháp đặt ẩn phụ:

Phơng trình vô tỉ là một bộ phận quan trọng trong chơng trình toán học phổthông Ngay từ đầu lớp 9 học sinh đã làm quen ở dạng đơn giản (định nghĩa cănbậc hai số học) đặc biệt là chơng trình ôn thi chọn học sinh giỏi và thi tuyển sinhvào THPT, THPT chuyên ban và THPT năng khiếu Vấn đề này quả thật là

khá nặng so với trình độ học sinh cuối cấp THCS Song nhờ có chuyên đề này màhọc nhiều năm gần đây chúng ta có nhiều học sinh thi đỗ học sinh giỏi cấp tỉnh vàthi đỗ vào THPT chuyên ban, năng khiếu nh các em Nguyễn Trung Hiếu (HQ);Nguyễn Đình Tùng (HQ); Nguyễn Hữu Thịnh (HQ); Mai Văn Nguyên (HQ);Nguyễn Anh Tuấn; Vũ Khánh Chi; Nguyễn Thị Hờng (HV); Nguyễn Hồng Hạnh(HV)

Phơng trình vô tỉ đợc hiểu là phơng trình có ẩn số nằm trong dấu căn Khixét phơng trình vô tỉ có rất nhiều phơng pháp giải, một phơng pháp khá phổ biếnthờng dùng là biễn đổi phơng trình đã cho thành chơng trình tơng đơng, bằng cáchluỹ thừa cả hai vế để giảm bớt căn thức (phơng pháp hữu tỉ hoá - đ/n căn bậc hai

số học), hoặc dùng một số phơng pháp đặc biệt khác

Một phơng pháp mà không thể không đề cập tới là: Phơng pháp đổi biến số(hay đặt ẩn phụ) Trong phần này tôi sẽ trình bầy ứng dụng của phơng pháp đặt ẩnphụ vào giải phơng trình vô tỉ phổ biến hay gặp trong các đề thi gần đây, nhằmnâng cao hiểu biết và đặc biệt rèn luyện khả năng sáng tạo, khám phá cái mới củahọc sinh giỏi toán Trớc khi đi vào cụ thể, ta cần lu ý một số kiến thức cơ bản sau:

"Dùng ẩn phụ để giải phơng trình"

a có nghĩa <=> a  0

A A

A2   nếu A  0 hoặc = - A nếu A < 0

A B A B

4 2

x

+1]

Đặt U =

4 2

2

2  



x x

3

U U

Tài liệu tham khảo cho học sinh giỏi lớp 9 và ôn thi vào lớp 10 THPT chuyên 14

"Dùng ẩn phụ để giải phơng trình"

Trở về tìm x, bằng cách giải hai phơng trình:

4 2

1 2

Vậy phơng trình đã cho có một nghiệm là: 4 1

5 5

1 0 5

2







III - hệ thống bài tập vận dụng:

Trong phần này tôi xin trình bày thêm một số bài tập tơng tự đợc su tập từcác tài liệu tham khảo nhằm cho học sinh giỏi có nhiều bài bài tập áp dụng ngay

Hỗ trợ tích cực cho các ví dụ của từng dạng bài giúp học sinh tập dợt nghiêm cứutìm tòi sáng tạo lời giải mới

2 1

1 ( 4 )

; 2

địa phơng và của bạn bè đồng nghiệp đã định hớng, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi

đợc xây dựng và bồi dỡng đào tạo mũi nhọn học sinh giỏi trong nhiều năm qua.Chính vì thế mà tôi có nhiều chuyên đề nhỏ, sáng kiến kinh nghiệm cá nhân đợc

"Dùng ẩn phụ để giải phơng trình"

thể hiện và kiểm nghiệm qua thực tế dạy và học liên tục Một trong những chuyên

đề thành công nhất của tôi đó là chuyên đề: "Dùng ẩn phụ để giải phơng trình" tàiliệu dùng bồi dỡng học sinh giỏi toán và là trang tham khảo rất bổ ích cho họcsinh ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên ban A và lớp 10 THPT Năng khiếulớp Toán-Lý-Hoá

Có đối tợng học sinh hiếu học, có sự định hớng của các cấp lãnh đạo, có sự

đồng tình ủng hộ của phụ huynh học sinh và có đội ngũ giáo viên tốt, ắt sẽ có họcsinh giỏi "sẽ có" là có thể có ngay sau khi bồi dỡng năm đầu tiên mà cũng có thểphải đến những năm tiếp theo miễn là, không sợ chê bai, không dấu dốt

Phải kiên trì, cần cụ, nhẫn lại có lòng tin Để có kết quả của lớp 9 ta phải

định hớng bồi dỡng đào tạo ngay từ lớp 6 và thậm chí trớc lớp 6 (học sinh đang ởTiểu học) Để học sinh tiếp thu và "tiêu hoá" đợc đề tài này quả thật là học sinh đóphải đủ khả năng, bản lĩnh toán học cần thiết từ trớc (đã đợc trang bị)

Tuy nhiên với khả năng có hạn và kinh nghiệm cha nhiều, nên khi viếtchuyên đề này không thể tránh khỏi những thiếu sót hạn chế, nhng với ý thức phấn

đấu vơn lên, tôi mạnh dạn thể hiện trớc độc giả và rất mong nhận đợc nhiều ý kiến

đóng góp phê bình của Ban giám khảo, của bạn bè đồng nghiệp để lần sau tôi viếttốt hơn

2 Những đề xuất, khuyến nghị:

Để đề t i sáng kiến kinh nghiệm của giáo đài sáng kiến kinh nghiệm của giáo đ ợc viết và áp dụng có hiệu quảthiết thực hơn nữa, tôi đề nghị các cấp chấm sáng kiến kinh nghiệm cấp giấychứng nhận cho các sáng kiến kinh nghiệm đoạt giải; Về phía các nhà trờng, đềnghị tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để cho giáo viên và học sinh đợc trải nghiệmthực tế kiểm nghiệm các sáng kiến kinh nghiệm đoạt giải cao của các năm trớclàm bài học kinh nghiệm tốt hơn