Vì vậy trong quá trình dạy học toán các nhà sư phạm, các thầy cô giáo luôn cố gắng dạy các em nắm vững phương pháp giải một lớp các bài toán nào đó.. Trong kho tàng kiến thức về toán học
Trang 1MỤC LỤC
Trang
A Đặt vấn đề -1
I Cơ sở lí luận -1
II Thực trạng vấn đề đang được nghiên cứu -1
1 Thực trạng - 1
2 Hiệu quả vấn đề - 2
III Đối tượng và thời gian nghiên cứu - 2
1 Đối tượng nghiên cứu - 2
2 Thời gian nghiên cứu - 2
IV Phương pháp nghiên cứu - 2
B Giải quyết vấn đề -3
PHẦN I Cơ sở lí thuyết của phương pháp hàm số -3
PHẦN II Các bài toán và phương pháp giải -5
I Các bài toán phương trình -5
II Các bài toán hệ phương trình -9
III Các bài toán bất phương trình -14
III Các bài toán hệ bất phương trình -18
Bài tập -19
C Kết luận -20
0
Trang 2A ĐẶT VẤN ĐỀ
I LỜI NÓI ĐẦU
Đổi mới phương pháp dạy học trong ngành giáo dục, nhằm thay đổi cách dạy học cũ theo kiểu “ thầy đọc trò chép” bằng những hình thức, phương pháp dạy học mới Phương thức dạy học lấy người học làm trung tâm Tức là người học là người chủ động khám phá tìm ra những kiến thức mới, hình thành những kỹ năng mới dưới sự hướng dẫn của người thầy Với phương thức dạy học như vậy, kết quả đạt được là những con người năng động sáng tạo và biết cách phối hợp làm việc trong một nhóm Trong hoạt động thực tiễn cũng như trong học tập và nghiên cứu khoa học, phương pháp để thực hiện các hoạt động này luôn đóng vài trò hết sức quan trọng Phương pháp là những sản phẩm trí tuệ của một người hay nhiều người được đúc rút từ hoạt động thực tiễn hay tư duy khoa học Trong việc học bộ môn toán cũng vậy, bản thân bộ môn toán là bộ môn khó đối với nhiều học sinh Vì vậy trong quá trình dạy học toán các nhà sư phạm, các thầy cô giáo luôn cố gắng dạy các em nắm vững phương pháp giải một lớp các bài toán nào đó Từ đó cùng với tư duy logic học sinh có thể giải các bài toán khác Trong kho tàng kiến thức về toán học,
có rất nhiều phương pháp giải các dạng toán khác nhau mà phươg pháp hàm số là một trong số đó
Trong chương trình toán học phổ thông, vấn đề giải và biện luận phương trình, hệ phương trình và bất phương trình giữ một vị trí quan trọng Nó xuyên suốt chương trình của bậc học và thường gặp trong các đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh, đề thi đại học cao đẳng Lớp các bài toán giải và biện luận phương trình, hệ phương trình và bất phương trình rất đa dạng và phong phú Để giải các bài toán này học sinh phải huy động hầu như các kiến thức cơ bản của Đại số và Giải tích, phải sử dụng nhiều phương pháp và thủ thuật khác nhau Cũng như đòi hỏi học sinh phải có
sự đam mê tìm tòi và có khả năng vận dụng kiến thức, kĩ năng, phương pháp một cách linh hoạt sáng tạo
Với những lí do trên và thực tiễn giảng dạy, tôi đúc rút viết sáng kiến kinh nghiệm này, để rao đổi với các bạn đồng nghiệp và cũng là tài liệu để giảng dạy cho các em học sinh, nhằm giới thiệu và giảng dạy cho các em một phương pháp giải và biện luận phương trình, hệ phương trình và bất phương trình rất hiệu quả và cũng dễ áp dụng đó là “phương pháp sử dụng chiều biến thiên” hay “ phương pháp
hàm số để giải phương trình hệ phương trình và bất phương trình”
II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ
Trang 31 Thực trạng
Đây là vấn đề thời sự đối với người làm toán Trên thực tế đã có rất nhiều năm các kỳ thi vào đại học cao đẳng, các kỳ thi học sinh giỏi cấp tỉnh, kỳ thi học sinh giỏi quốc gia trong đề thi có các dạng bài toán này Ta cũng thường gặp các bài toán này trên các số báo của Tạp chí Toán học tuổi trẻ
2 Hiệu quả vấn đề
Các dạng toán này đã được tôi áp dụng giảng dạy cho học sinh ở trường THPT Triệu Sơn 2 Tôi đã áp dụng giảng dạy cho học sinh và khi các em gặp các bài toán dạng này thì các em giải rất nhanh và thường đạt kết quả tốt Đặc biệt là trong kỳ vào Đại học Cao đẳng năm 2013 học sinh lớp tôi dạy toán các em làm rất tốt câu giải hệ phương trình bằng phương pháp hàm số, có 16 lượt em đạt điểm môn toán 9 điểm đến 10 điểm và trung bình 70 lượt thi môn toán của lớp 12C2 là: 7,75 điểm môn toán Năm học 2013-2014 đội tuyển toán do tôi phụ trách có 4 em tham gia dự thi học sinh giỏi cấp tỉnh thì cả 4 em đạt giải: 1giải nhì và 3 giải ba
III ĐỐI TƯỢNG VÀ THỜI GIAN NGHIÊN CỨU
1 Đối tượng nghiên cứu
- Các kiến thức về hàm số như sự biến thiên, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất
- Các bài toán về phương trình, hệ phương trình và bất phương trình sử dụng phương pháp hàm số để giải
- Đối tượng được áp dụng để thực hiện là học sinh lớp 12A7 của trường THPT Triệu Sơn 2 trong năm học 2013-2014 và đội tuyển học sinh giỏi môn Toán
2 Thời gian nghiên cứu đề tài: Năm học 2012-2013 và năm học 2013-2014.
IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Nghiên cứu lí thuyết: Nghiên cứu tài liệu là sách giáo khoa và một số sách tham
khảo, báo Toán học tuổi trẻ để có được hệ thống các kiến thức hoàn chỉnh về hàm
số sau đó sắp xếp những kiến thức cần dùng theo một trình tự và logic môn học Phân chia các bài toán thành các dạng để học sinh dễ vận dụng và nắm bắt phương pháp
- Nghiên cứu thực tế: Sau khi có được nghiên cứu lí thuyết có thể sử dụng sáng
kiến kinh nghiệm vào các giờ dạy tự chọn nâng cao và các buổi bồi dưỡng ôn thi đại học, ôn thi học sinh giỏi Thông qua đó đánh giá mức độ hứng thú tiếp thu của học sinh kết quả cho thấy phương pháp này rất hiệu quả cho các em giải lớp các bài toán dạng này
B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ
2
Trang 4PHẦN 1
CƠ SỞ LÍ THUYẾT CỦA PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ
I CÁC ĐỊNH NGHĨA
Định nghĩa 1 Giả sử K là một khoảng, một đoạn hoặc nửa khoảng và f là hàm xác định trên K Khi đó
a. Hàm số f được gọi là đồng biến trên K nếu
x1,x2K,x1x2 f(x1) f(x2);
b Hàm số f được gọi là nghịch biến trên K nếu
x1,x2K,x1x2 f(x1) f(x2)
Định nghĩa 2 Cho hàm số hàm số f có tập xác định D(DR)
Tập giá trị của hàm số là Gy R / xD:yf(x)
Định nghĩa 3 Giả sử hàm số f xác định trên D (DR)
a. Nếu tồn tại một điểm x 0 D sao cho f(x) f(x0) với mọi x D thì số
) (x0
f
M gọi là giá trị lớn nhất của hàm số f trên D, kí hiệu M maxx D f(x)
b Nếu tồn tại một điểm x 0 D sao cho f(x) f(x0) với mọi x D thì số m f(x0)
gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số f trên D, kí hiệu M minx D f(x)
II CÁC ĐỊNH NGHĨA
Định lí 1 Giả sử f có đạo hàm trên K.
a. Nếu f' (x) 0 , xK thì hàm số f đồng biến trên K;
b Nếu f' (x) 0 , xK thì hàm số f nghịch biến trên K;
c Nếu f' (x) 0 , xK thì hàm số f không đổi trên K.
Định lí 2 Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b)<0 thì phương trình
0
)
f có ít nhất 1 nghiệm trên (a; b).
III MỘT SỐ KẾT QUẢ
Kết quả 1 Nếu hàm số f (x) liên tục trên [a; b] thì hàm số đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên [a; b]
Kết quả 2 Cho hàm số f (x) liên tục trên [a; b] Gọi các điểm x1 ,x2 ,x n là các điểm thoả mãn f' (x) 0 hoặc hàm số không có đạo hàm thì:
( ) min ( ), ( ), ( ), , ( ), ( ) min
) ( ), ( ), , ( ), ( ), ( max )
( max
2 1
;
2 1
;
b f x f x
f x f a f x
f
b f x f x
f x f a f x
f
n b
a x
n b
a x
Kết quả 3 Cho hàm số f (x) liên tục trên [a; b] và có đạo hàm trong khoảng
Trang 5(a; b) và f(a) f(b) thì phương trình f' (x) 0 có ít nhất một nghiệm trong khoảng
(a; b)
Kết quả 4 Nếu hàm số f (x) liên tục và đơn điệu trên (a; b) thì phương trình
m
x
f( ) có không quá một nghiệm thuộc (a; b).
Kết quả 5 Nếu hàm số f (x) liên tục trên đoạn [a; b], thì phương trình f(x) m có nghiệm khi và chỉ khi xmina;b f(x)mxmaxa;b f(x)
Kết quả 6 Nếu hàm số f (x) liên tục và có n khoảng đơn điệu trên tập D thì
phương trình f(x) m có không quá n nghiệm
Kết quả 7 Nếu hàm số f (x) và g (x) liên tục trên (a; b) mà có một hàm đồng
biến còn một hàm nghịch biến thì phương trình f (x)=g (x) có không quá một nghiệm
Kết quả 8 Nếu hàm số f (x) đơn điệu trên (a; b) và u, v thuộc khoảng (a; b) thì
phương trình f(u) f(v) u v
Kết quả 9 Nếu hàm số f (x) đơn điệu trên (a; b) và u, v thuộc khoảng (a; b) thì
bất phương trình f(u) f(v) uv
Kết quả 10 Nếu hàm số f (x) liên tục [a; b] thì:
a) Bất phương trình f(x) m, có nghiệm khi và chỉ khi x a b f x m
max
Bất phương trình f(x) m có nghiệm khi và chỉ khi x a b x f x m
min
b) Bất phương trình f(x) m luôn luôn đúng với xa;b khix a b f x m
min
Bất phương trình f(x) m luôn luôn đúng với xa;b khix a b f x m
min
PHẦN 2 CÁC BÀI TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
I CÁC BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH
Bài toán 1 Giải phương trình dạng f(u(x)) f (v(x)) (I)
Phương pháp:
+ Tìm điều kiện xác định (nếu có) D
+ Biến đổi phương trình về dạng (I);
4
Trang 6+ Xét hàm số f (t) chứng minh hàm số này đồng biến hoặc nghịch biến trên D + Mà phương trình (1) có dạng f(u(x)) f (v(x)) u(x) v(x) từ đó tìm được
x.
Thí dụ 1 Giải phương trình x3 6x2 12x 5 3 9x2 8x 7 (1)
Bài giải Phương trình (1) (x 1 ) 3 (x 1 ) ( 9x2 8x 7 ) 3 9x2 8x 7 (*) Xét hàm số f t t3 t, f t' 3t2 1 0 t R f t đồng biến trên R
Phương trình (*) dạng : f(x 1 ) 3 9x2 8x 7
3 2
1 7
8 9 1
3 2
1
3 2
x x
x x
x
Vậy phương trình (1) có 3 nghiệm phân biệt :x1 1 , x2 2 , x3 3
3 2 2
1 (
2
2
x x
x x
(2)
Bài giải Tập xác định: R (do
x x
x
x x
x
, 0 3 2 2
, 0 1 2 2
) Phương trình (1) log ( 1 ) log ( 2 2 2 3 ) 2 3 2
3
2
log ( 1 ) ( 1 ) log ( 2 2 2 3 ) 2 2 2 3
3 2
2
Xét hàm số f(t) log3tt,t 0 Ta có 1 0 , 0
3 ln
1 ) (
t t
Suy ra hàm số f (t) đồng biến Phương trình có (*) dạng
2
1 3
2 2 1 )
3 2 2 ( )
1
x
x x
x x
x x
x f x
x
f
Vậy phương trình (2) có 2 nghiệm x1 1 , x2 2
3 cos )
2 12 17 ( ) 2 5 7
cos 3 cos 4 )
2 12 17 ( ) 2 5 7
x
cos
3 3 cos ( 1 2 ) 4 cos
)
2
1
( 1 2 ) , )
( 1 2 ) ln( 1 2 ) 1 0 ,
)
(
3 6 cos
4 cos 3 ) cos 4 ( ) cos 3
Vậy phương trình (3) có 1 họ nghiệm: , ( ).
3
k
x
Bài toán 2 Giải phương trình dạng f(x) k (k là hằng số) (II)
Phương pháp:
+ Tìm điều kiện xác định D
+ Xét hàm số y f (x) từ đó tìm số nghiệm của phương trình
+ Kết hợp máy tính bỏ túi tìm các được các nghiệm đó
Thí dụ 1 Giải phương trình: 3 2 ( 2 1 ) 6
Bài giải Tập xác định D [ 0 ; )
Xét hàm số f(x) x3 x 2 (x 1 ) x
2
1 (
2 1 3 )
(
x
x x x
x
Phương trình (1) nếu có nghiệm thì có duy nhất mà f( 1 ) 6 thỏa mãn phương trình (1) Vậy phương trình duy nhất nghiệm duy nhất x=1
Thí dụ 2 Giải phương trình: 3x 5x 6x 2 (2)
Bài giải Phương trình tương đương 3x 5x 6x 2 0
Trang 7Xét hàm số f(x) 3x 5x 6x 2
Ta có f' (x) 3xln 3 5xln 5 6 và '' ( ) 3 ln 2 3 5 ln 2 5 0
x f
Mà f' ( 0 ).f' ( 1 ) (ln 3 ln 5 6 )( 3 ln 3 5 ln 5 6 ) 0 nên f' (x) 0 có nghiệm x0 ( 0 ; 1 )
Lập bảng biến thiên
Phương trình (2) nếu có nghiệm thì có tối đa 2 nghiệm mà f( 0 ) 0, f( 1 ) 0 (t/m) Vậy phương trình 2 nghiệm x1 0 ,x2 1
Thí dụ 3 Giải phương trình: ( 1 cosx)( 2 4 cosx) 3 4 cosx (3)
Bài giải Đặt t cosx, |t| 1
4 2
4 3 1
4 2
4 3 4 3 ) 4 2 )(
1
t t
t t
4 2
4 3 )
t
t
t
t
t
) 4 2 (
4 4 ln 6 ) (
Phương trình (5) là phương trình bậc hai của 4t nên phương trình (5) có tối đa 2 nghiệm suy ra phương trình (4) có tối đa 3 nghiệm
2
1 ( , 0 ) 1 ( , 0
)
0
f (thỏa mãn) Suy ra (4) có 3 nghiệm t 0 ,t 1 ,t 21
3
, 2
k
x
Bài toán 3 Giải phươg trình: f(x) g(x),
trong đó một hàm đồng biến và một hàm nghịch biến (III)
Phương pháp:
+ Tìm điều kiện xác định D
+ Xét hàm số y f (x) và y g (x) trên D
+ Chứng minh y f (x) đồng biến y g (x)nghịch biến hoặc nghược lại
+ Từ đó suy ra phương trình có nghiệm duy nhất
Thí dụ 1 Giải phương trình 1 3 2 2 9
Bài giải Tập xác định D [ 1 ; )
1 2
1 ' 1 )
x f
x x f
Và ( ) 3 2 2 9
x
x
phương trình f(x) g(x) nếu có nghiệm thì có nghiệm duy nhất Mà f( 2 ) g( 2 )
thỏa mãn phương trình Vậy x=2 là nghiệm phương trình (1)
Thí dụ 2 Giải phương trình: ( 1 4 ) 5 1 1 2 1
Bài giải Tập xác định R
x x x
x
x
2 5
2 5
1 5
4 5
1 5
2 1 4
4
(2) 6
x f(x)
f(x)
x
0
+
0 +
Trang 8Xét hai hàm số f x g x 2x
5
2 5
1 ) ( , 5
4 5
1 )
5
2 ) ( ' , 0 ) 5
4 ln(
5
4 ) 5
1 ln(
5
1
)
(
x x
x g x
f
Suy ra hàm f (x) nghịch biến còn hàm g (x) đồng biến
Nên phương có nghiệm thì có nghiệm duy nhất Mà f( 1 ) g( 1 ) (thỏa mãn )
Vậy x=1 là nghiệm phương trình (1)
Bài toán 4 Giải và biện luận phương trình f(x,m) 0 (IV)
Phương pháp
+) Tìm điều kiện xác định (nếu có)
+) Biến đổi phương trình về dạng f(x) m
+) Xét hàm số y f (x) lập bảng biến thiên rồi rút ra kết luận
Thí dụ 1 Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau có nghiệm
( 2 3 ) 4 3 23 4 1
x
Bài giải Điều kiện xác định: 4 x 1 Đặt 4 3x x2 t với
2
5
; 0
t t mt t
m t t
m 2 3 3 2 12
1 1
4 )
4
Do t 0không là nghiệm Nên Pt (1) có nghiệm pt (2) có nghiệm
2
5
; 0 (
Xét hàm số: ' ( ) 1 23 3 32
t
t t t
2
5
; 0 (
4
3 ) 2 ( , 2 0
) ( ' t t f
Lập bảng biến thiên
Vậy 3 4
3
m thì phương trình (1) có nghiệm
Thí dụ 2 Tìm các giá trị của m sao cho phương trình sau có nghiệm thực:
Bài giải Đặt t = 3 1 1 x2 Vì x [ 1;1] nên t [3;9]
Phương trình (3)
2
m
t Xét hàm số
( )
2
f t
t với t [3;9]
Ta có ( 2 ) 2
1 1 )
(
'
t t
f suy ra hàm số f(t) đồng biến [3; 9] Nên 4 f(t) 487
7
m thì phương trình (3) có nghiệm
+∞
f’(x) - 0 +
x 0
f(x)
3 4 3
50 133
Trang 9Ví dụ 3 Tìm m để phương trình sau có bốn nghiệm phân biệt thuộc đoạn ;
4 4
sin x + cos x + cos 4x = m 4 4 2 (4)
Bài giải Phương trình (1) 3 4 2
4 4
cos x
cos x m
4cos x cos x2 4 4 4m 3 Đặt t cos 4x ta được: 4t2 t 4m 3 (5)
4 4
x
thì t 1;1 Phương trình (4) có 4 nghiệm phân biệt ;
4 4
x
khi và chỉ khi phương trình (5) có 2 nghiệm phân biệt t[-1; 1).
Xét g(t) = 4t2 với t t [ 1;1) Ta có g’(t) = 8t+1=0 t = 1
8
Bảng biến thiên
Suy ra (5) có 2 nghiệm xảy ra 1 4 3 3
64 m2 Vậy 47 3
64m2
II CÁC BÀI TOÁN HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Bài toán 1 Giải hệ phương trình bằng cách rút thế
' ) , (
) , (
c y
x g
c y
x f
Phương pháp:
+ Tìm điều kiện xác định của hệ phương trình nếu có;
+ Phân tích từ một trong hai phương trình để biểu diễn x theo y (hoặc y theo x) + Thế vào phương trình còn lại ta được một phương trình sau đó sử dụng phương pháp hàm số để giải phương trình đó
+ Từ đó giải tìm được nghiệm của hệ phương trình
Thí dụ 1 Giải hệ phương trình :
) 2 ( 0
) 2 ln(
1 4
) 1 ( 2
1 5
4 1
2 3
1 2 2
1 2
x y x
y
y x y
x y x
Bài giải Đặt t = 2x – y
Ta có: (1) 1 4 5 1 1 2 1
t t
2 2 1 5
4 5
1
(3)
Đặt
t t
t
f
5
4 5
1 5
)
( ; g(t) = 1+2 2t
Ta có: f(t) là hàm số giảm, g(t) là hàm số tăng
Và f(1) = g (1) Do đó: (3) t 1 2x y 1
Vậy hệ (I)
0 ) 1 ln(
3 2
1 2
2
y
y x
8
3 g’(t) 0 +
t 1
1 16
Trang 10Đặt h(y) = y3 + 2y + 3 + ln ( y2+ y +1 )
Ta có: h’(y) = 3y2 + 2 + 22 11
y y
y
= 3 2 2 4 13
2 2
y y
y y
1
1 ) 1 ( 2
2 2
y y
y y
h’(y) >0 h(y) là hàm số đồng biến và h(-1) = 0
Vậy (I)
1
0 1
1 2
y
x y
y x
Thí dụ 2 Giải hệ phương trình:
) 2 ( 7
4 9 5 6 6
) 1 ( 2
1 4
3 2 2
3
3 2 3
y x y
x x
y x y xy x
Bài giải ( 1 ) 8 3 3 2 2 3 2 0
PT
) ( 0 1 2 2 4
2 0
2 ) 2 ( ) 2
4
)(
2
VN y
xy x
x y y
x y x y y xy x
y
x
Với y=2x thay vào (2) ta được:
3 2 2
3
3 2 2
3 6x 12x 5 9x 8x 7 (x 1 ) (x 1 ) ( 9x 8x 7 ) 9x 8x 7
x
Xét hàm số f t t3 t Ta có f t' 3t2 1 0 t R f t đồng biến trên R
Do đó phương trình
3 2
1 7
8 9
x x
x x
x
Vậy hệ phương trình có 3 nghiệm phân biệt :
6 , 3
4 , 2 2 , 1
y x
y x
y x
Thí dụ 3 Giải hệ phương trình:
3 13 22 2 1 22 (1)
Bài giải Điều kiện: 1 x 2
Ta có (2) 2 (x x2 y) y x2 ( 2 y) 3( x2 y) 0 (2x y 2 3)(x2 y) 0
y x 2 (vì 2x + y2 +3 > 0, với mọi 1 x 2)
Thay y = x2 vào (1) ta được: x2 x 1 2 x 1 2 x (3)
Xét hàm số f(x) = x2 x x 1 2 x 1 2,x [-1;2]
Ta có f’(x) = 2 1 1 1
x
4(x 1) x 1 4(2 x) 2 x x
Do đó hàm số f’(x) đồng biến trên khoảng (-1; 2), nên phương trình f’(x) = 0 có nhiều nhất 1 nghiệm Mặt khác f’(1
2) = 0, từ đó ta có Bảng biến thiên
x -1 1
