SKKN sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ

Phương trình vô tỉ là một chủ đề hay và rất quan trọng trong chương trình ôn thi Đại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi. Trong những năm gần đây phương trình vô tỉ thương xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, chọn học sinh giỏi các cấp. Vì vậy cần trang bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỉ và phương pháp giải chúng là rất quan trọng.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚC

TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO

=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ

Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Phương

Mã sáng kiến: 0952.04

Tam Dương, Năm 2018.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO VĨNH PHÚCTRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO

=====***=====

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

Tên sáng kiến: Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ

Tác giả sáng kiến: Nguyễn Thị Phương

Mã sáng kiến: 0952.04

Tam Dương, Năm 2018.

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 Lời giới thiệu.

Phương trình vô tỉ là một chủ đề hay và rất quan trọng trong chương trình ôn thiĐại học, Cao đẳng và thi học sinh giỏi Trong những năm gần đây phương trình vô tỉthương xuất hiện trong các đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng, chọn học sinh giỏi cáccấp Vì vậy cần trang bị cho học sinh những kiến thức liên quan đến phương trình vô tỉ vàphương pháp giải chúng là rất quan trọng Có rất nhiều phương pháp giải chúng, mỗiphương pháp đều có những nét độc đáo riêng Tuy nhiên, xuất phát từ quá trình tự học, tựnghiên cứu của bản thân và những kinh nghiệm trong quá trình giảng dạy, tôi nhận thấyphương pháp đặt ẩn phụ là một phương pháp hay, phong phú và giải quyết được một sốlượng lớn bài tập về phương trình vô tỷ Hơn nữa phương pháp này phát huy rất tốt cáckhả năng tư duy sáng tạo, khả năng phân tích phán đoán của học sinh Với những ưu

điểm trên, tôi chọn đề tài:”Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ” để viết chuyên đề chuyên môn để làm tài liệu dạy học và trao đổi với đồng nghiệp.

2 Tên sáng kiến:

Sử dụng phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ.

3 Tác giả sáng kiến:

- Họ và tên: Nguyễn Thị Phương

- Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Trần Hưng Đạo – Tam Dương – VĩnhPhúc

- Số điện thoại: 0983142433

- E_mail: nguyenthiphuong.gvtranhungdao@vinhphuc.com.vn

4 Chủ đầu tư tạo ra sáng kiến : Nguyễn Thị Phương

5 Lĩnh vực áp dụng sáng kiến:

-Trong chương trình Toán THPT rất nhiều chuyên đề phức tạp đối với nhận thức

của học sinh Tuy nhiên trong phạm vi đề tài này, tôi chỉ nghiên cứu về chủ đề phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỉ.

- Về phía học sinh, tôi lựa chọn hai nhóm học sinh các lớp 10A5 là nhóm thựcnghiệm, 10A6 là nhóm đối chứng, trường THPT Trần Hưng Đạo – Tam Dương – VĩnhPhúc, do tôi trực tiếp giảng dạy năm học 2017 – 2018

6 Ngày sáng kiến được áp dụng lần đầu hoặc áp dụng thử:

Năm học 2017 -2018

7 Mô tả bản chất của sáng kiến:

7.1 NỘI DUNG

7.1.1 Cơ sở lý thuyết.

1 Định nghĩa căn bậc hai số học.

Với số a không âm thì:

2 Điều kiện để căn thức bậc hai có nghĩa: có nghĩa

3 Các công thức biến đổi.

4 Cách giải và biện luận phương trình ax 2 + bx +c =0 (a ≠ 0)

Khi đó ta được phương trình: 2 ( )

 = −

Với t = 1 ta có: x2−2x− = ⇔ = ±3 1 x 1 5( thỏa mãn)

Vậy phương trình có nghiệm là x= ±1 5.

Vậy phương trình có nghiệm là x = -9,x = 4.

0

33

x x

x x

≤ −

+ ≥ ⇔  >

a Với m = -3 phương trình có nghiệm x= ±1 13,x= −1 5

b Để phương trình (1) có nghiệm thì (2) có nghiệm⇔ ∆ ≥ ⇔ + ≥ ⇔ ≥ − ' 0 4 m 0 m 4.

Ví dụ 5: Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

Vậy phương trình có nghiệm là x = 5.

b x− + x− = x− + x − x+

22

3

c + x x− = x + −x

( ĐHQGHN-HVNH-2000)2

2 3 1 3 2 2 5 3 2

d x+ + x+ = x+ x + x+ −

2 7 7 7 6 2 49 7 42 181 14

Trường hợp 3 Một số phương trình có thể giải bằng phương pháp đặt một ẩn phụ

nhưng ẩn phụ không xuất hiện ngay mà phải biến đổi để xuất hiện ẩn phụ Để giải những bài tập đòi hỏi cần phải có khả năng nhận xét , phân tích đề bài Ví dụ như một số

4 x

4

−

− +

=

− +

+

42

122

5

x

x x x

72

122

3

x

x x

x

z z

z z

z−1+ +3+2 ( −1)( +3) =4−2

25329412

3x− + x− = x− + x2 − x+

Vậy phương trình có nghiệm là x = 1.

x≥ −

Đặt t= 4x+5; t≥ 0 thì

2 54

Vậy phương trình có nghiệm là x= −1 2;x= +2 3

Nhận xét : Ta có thể bình phương hai vế của phương trình với điều kiện: 2x2−6x− ≥1 0

x x x

Với x≥ 5, phương trình có nghiệm là x = 8,

Nhận xét: Đối với cách đặt ẩn phụ như trên chỉ giải quyết được một lớp bài toán, tuy

nhiên phương trình với ẩn phụ có thể sẽ phức tạp, khó giải.

Dạng 2: Đặt ẩn phụ nhưng vẫn còn ẩn ban đầu (Phương pháp đặt ẩn phụ không hoàn toàn )

Nhận xét: Đối với dạng này không phải phương trình nào chúng ta cũng có thể đặt ẩn

phụ được ngay mà cần phải nhận xét, phân tích để chọn và biến đổi phương trình theo

ẩn phụ đó, ví dụ như một số phương trình sau:

Dạng 3: Đặt ẩn phụ đưa về phương trình thuần nhất bậc 2 đối với 2 biến :

Chúng ta đã biết cách giải phương trình: u2+αuv+βv2 =0 (1) bằng cách

x

x2+ + + = 1 + x − 2 x 2 = 4 x 2 − 1 − 2 x + 1

211

33

1

4 +x− =x+ −x+ −x

( )( )

4x + =1 2x −2x+1 2x +2x+1

Hãy tạo ra những phương trình vô tỉ dạng trên ví dụ như:4x2−2 2x+ =4 x4+1

Để có một phương trình đẹp , chúng ta phải chọn hệ số a,b,c sao cho phương trình bậc hai

Phương trình cho ở dạng này thường khó “phát hiện “ hơn dạng trên , nhưng nếu ta bình phương hai vế thì đưa về được dạng trên.

Dạng 4: Đặt ẩn phụ đưa về hệ k phương trình với k ẩn phụ.

Trường hợp 1: Đặt ẩn phụ đưa về hệ phương trình thông thường.

Đặt u a x v b x= ( ), = ( ), Từ đó tìm mối kiên hệ giữa a(x) và b(x) Tù đó tìm được hệ



Giải hệ phương trình ta được (x;y) =(3;2), (x;y) =(2;3)

Vậy phương trình ban đầu có hai nghiệm x = 2, x=3



4

11

22

nghiệm của phương trình

Hoặc

4 4

Chú ý: bài này không thể sử dụng phương pháp bình phương vì không nhẩm được

nghiệm, nên ta phải biến đổi để xuất hiện những biểu thức giống nhau và từ đó ta đặt ẩnphụ

x≥

Ta có phương trình được viết lại là: (x−1)2− =1 2 2x−1

Đặt y− =1 2x−1 thì ta đưa về hệ sau:

2 2

Trừ hai vế của phương trình ta được (x y x y− )( + ) 0=

Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x= +2 2

Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1− 2; 1+ 3}

7 2+ = + >

x

x =+

7.2 KẾT QUẢ THỰC HIỆN SAU KHI THỰC HIỆN

Kết quả kiểm tra theo nhóm và tỉ lệ:

9 Các điều kiện cần thiết để áp dụng sáng kiến:

- Giáo viên: Nhiệt tình, có trách nhiệm cao, đầu tư chuyên môn, chuẩn bị kĩ những câuhỏi thảo luận và dự kiến các phương án trả lời

- Học sinh: Chuẩn bị các kiến thức về phương trình vô tỉ đã có, sách giáo khoa và các đồdùng học tập khác

- Thiết bị dạy học: Máy tính, máy chiếu, sách giáo khoa…

10 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý

kiến của tác giả và theo ý kiến của tổ chức, cá nhân đã tham gia áp dụng sáng kiến lần

đầu, kể cả áp dụng thử (nếu có) theo các nội dung sau:

10.1 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý

kiến của tác giả:

Qua quá trình thực nghiệm viết chuyên đề “Phương trình vô tỉ” tôi nhận thấy việc

chia nhỏ các dạng đặt ẩn phụ là một trong những cách thức dạy học có hiệu quả tối ưu

Đồng thời giúp học sinh lĩnh hội kiến thức một cách khoa học, có hệ thống và sâu sắc

hơn Từ đó các em cũng thấy được mối liên hệ giữa các kiến thức của môn học

Tóm lại, đề tài nghiên cứu này tôi hi vọng sẽ đóng góp một phần nhỏ bé công sức vào

công cuộc đổi mới dạy học trong nhà trường phổ thông hiện nay, góp phần làm cho việc

học phương trình vô tỉ đơn giản hơn và đạt hiệu quả cao hơn

10.2 Đánh giá lợi ích thu được hoặc dự kiến có thể thu được do áp dụng sáng kiến theo ý

kiến của tổ chức, cá nhân:

Đề tài nghiên cứu có tính khả thi, và ứng dụng vào thực tiễn, mang lại hiệu quả cao

trong quá trình học của học sinh về chuyên đề phương trình vô tỉ

Giúp học sinh có niềm say mê và hứng thú với chuyên đề đồng thời cung cấp cho học

sinh một tài liệu về chuyên đề này

Với sáng kiến nhỏ này, người viết mong nhận được ý kiến đóng góp của các đồng

nghiệp nhằm bổ sung cho đề tài được sâu sắc và thiết thực hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

11 Danh sách những tổ chức/cá nhân đã tham gia áp dụng thử hoặc áp dụng sáng kiến

Thủ trưởng đơn vị/

Chính quyền địa phương

(Ký tên, đóng dấu)

CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG SÁNG KIẾN CẤP CƠ SỞ