SKKN hướng dẫn học sinh lớp 12 ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình và tìm giá t

6 Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số 6 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 7 Chương II: K

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO LÀO CAI

Họ và tên tác giả: Nguyễn Minh ThuChức vụ: Giáo viên

Tổ chuyên môn: Toán – lí - Tin – Công nghệĐơn vị công tác: Trường THPT số 1 Bát Xát

Bát Xát, Ngày 7- 6 – 2014

MỤC LỤC

Trang

6

Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất phương trình, hệ

phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số

6

Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 7

Chương II: Kết quả điều tra khảo sát thực tiễn. 7

Bài toán 1: ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình. 8

Bài toán 2: ứng dụng tính đơn điệu để giải bất phương trình. 12

Bài toán 3: Ứng dụng tính đơn điệu để giải hệ phương trình, hệ bất

phương trình

14

Bài toán 4: Ứng dụng tính đơn điệu để giải phương trình, bất

phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình có chứa tham số

18

Bài toán 5: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 23

DANH M C CH CÁI VI T T TỤC CHỮ CÁI VIẾT TẮT Ữ CÁI VIẾT TẮT ẾT TẮT ẮT

thể giải được bằng phương pháp thông thường (trong phân phối chương trình)hoặc có thể giải nhưng gặp nhiều khó khăn, phức tạp.

Giữa PT; BPT; HPT; HBPT; GTLN, GTNN của hàm số và hàm số có mốiliên quan rất chặt chẽ Khi định nghĩa PT; BPT, ta cũng dựa trên khái niệm hàm

số Vậy nếu ta biết sử dụng hàm số để giải các bài tập đó thì bài toán sẽ đơn giảnhơn Tuy nhiên không phải bài nào cũng có thể sử dụng hàm số để giải nhưngứng dụng tính đơn điệu để giải bài tập toán nói chung là rất lớn – là một hànhtrang cần thiết đối với những học sinh chuẩn bị ôn thi đại học và học sinh giỏi.Hơn nữa nó sẽ giúp các em phát huy tối đa tính sáng tạo trong việc tìm ra lờigiải nhanh nhất, chính xác nhất Chính vì thế tôi chọn đề tài sáng kiến kinh

nghiệm là: “ Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình, hệ bất phương trình và tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số”.

Đây là l vấn đề được rất nhiều người đề cập đến, nhưng trong quá trìnhbồi dưỡng cho học sinh tôi thấy rằng những chuyên đề trước đây vẫn chưa thống

kê được đầy đủ hết các mảng kiến thức ứng dụng tính đơn điệu (hay gọi tắt làphương pháp hàm số) xuyên suốt trong đề thi đại học Trong phạm vi đề tài củamình tôi chỉ xin nêu ra một số bài toán mới và một số bài toán trong chươngtrình cũng như trong các đề thi mà đáp án được giải bằng phương pháp này Tácgiả mong muốn rằng các thầy cô giáo và các em học sinh với sáng kiến này cóthêm một tài liệu trong hành trang ôn thi cuối cấp

Trong quá trình biên soạn đề tài này chắc sẽ không tránh khỏi những thiếusót Mong nhận được sự góp ý chân thành của đồng nghiệp và Hội đồng chuyên

môn Tôi xin chân thành cảm ơn!

PHẦN II: GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN

A KIẾN THỨC CƠ BẢN

1 Một số định nghĩa

Định nghĩa 1 Hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a;b] được gọi là đồng

biến (tăng) trên đoạn ấy, nếu với mọi x1 < x2 thuộc đoạn [a ;b] ta đều có f(x1) <f(x2)

Điều kiện để y = f(x) đồng biến trên [a ;b] là f’(x)0, x [a ;b] Đồngthời dấu ''='' đạt được tại một số điểm riêng biệt.

Định nghĩa 2 Hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a;b] được gọi là

nghịch biến (giảm) trên đoạn ấy, nếu với mọi x1 < x2 thuộc đoạn [a ;b] ta đều

có f(x1) > f(x2)

Điều kiện để y = f(x) nghịch biến trên [a ;b] là f’(x)0, x [a ;b] Đồngthời dấu ''='' đạt được tại một số điểm riêng biệt

Định nghĩa 3 Hàm số y = f(x) chỉ tăng hoặc chỉ giảm trên đoạn [a;b]

được gọi là đơn điệu trên đoạn ấy

2 Một số tính chất.

Tính chất 1:

Cho phương trình: f(x) = g(x) xác định trên D

Nếu một trong hai hàm số f(x) hoặc g(x) là hàm số đơn điệu, hàm còn lại

là hàm hằng hoặc đơn điệu ngược với hàm kia thì phương trình nếu có nghiệmthì nghiệm đó là duy nhất

Tính chất 2:

Cho phương trình f(x) = m xác định trên D

Điều kiện cần và đủ để phương trình có nghiệm là m thuộc miền giá trịcủa hàm số f(x)

Tính chất 3:

Cho phương trình f(x) = m xác định trên D

Nếu f(x) là hàm số liên tục và đơn điệu trên D thì phương trình trên cókhông quá một nghiệm

Tính chất 4:

Cho bất phương trình: f(x) > m (hay f(x) < m )

i) Nếu f(x) là hàm đơn điệu tăng trên D và tồn tại x0  D sao có f(x0) = mthì tập nghiệm của bất PT là: T = D  (x0 ; + ) ( T = D  (- ; x0 ))

ii) Nếu f(x) là hàm đơn điệu giảm trên D và tồn tại x0  D sao cho cóf(x0) = m thì tập nghiệm của bất PT là:T = D  (- ; x0 ) (T = D  (x0 ; +) )

y ,kết luận tính đơn điệu của hàm số y2 g x( ) trên D

* Kết luận hai hàm số y f x ( ); y g x ( ) đơn điệu ngược nhau, hoặc một trong hai hàm số là hàm số hằng

* Tìm x sao cho 0 f x( )0 g x( )0 (hoặc tìm u sao cho 0 f u( )0 g u( )0 )Bước 3: Kết luận:

* Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi x x 0(hoặcu u 0

rồi giải phương trình u u 0)

* Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

Dạng 2: PT đã cho biến đổi được về dạng f u( )f v( ) trong đó u u x ( ),

* Phương trình đã cho có nghiệm khi và chỉ khi u v , giải PT : u v

* Kết luận nghiệm của phương trình đã cho

2 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình

y , kết luận tính đơn điệu của hàm số y2 g x( ) trên D

* Tìm x sao cho 0 f x( )0 g x( )0 (hoặc tìm u sao cho 0 f u( )0 g u( )0 )

* Nếu f(x) đơn điệu tăng, g(x) đơn điệu giảm (hoặc là hàm hằng) thì

f x( )g x( ) x x 0, x D (hoặc f u( )g u( ) u u 0, x D )

* Nếu f(x) đơn điệu giảm, g(x) đơn điệu tăng (hoặc là hàm hằng) thì

f x( )g x( ) x x 0, x D (hoặc f u( )g u( ) u u 0, x D )

Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho

Dạng 2: BPT biến đổi được về dạng f u( )f v( ) trong đó u u x ( ),v v x ( )

Bước 1: Biến đổi bất phương trình về dạng f u( )f v( )

Bước 2: Xét hàm số y f x ( ) trên D

* Tính y', xét dấu y' Kết luận hàm số y f x ( ) đơn điệu trên D

* Nếu f(x) đơn điệu tăng thì: ( )f u f v( ) u v x D , 

Nếu f(x) đơn điệu giảm thì: ( )f u f v( ) u v x D , 

Bước 3: Kết luận nghiệm của bất phương trình đã cho

3 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải hệ phương trình, hệ bất

phương trình (dựa vào hai bài toán trên giải từng phương trình hoặc bất

phương trình của hệ rồi kết hợp với nhau được hệ đơn giản hơn).

4 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để biện luận phương trình.

*) Chú ý: Phương pháp chung của dạng bài tập này

- Với các PT, BPT, HPT, HBPT không chứa tham số, ta sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải.

- Với các PT, BPT, HPT, HBPT có chứa tham số, ta tìm cách cô lập tham

số về một vế, đưa phương trình, bất phương trình về dạng:

f(x) = m hoặc f(x) > m ( hoặc f(x) < m; f(x)  m; hoặc f(x)  m ).

Sau đó sử dụng các tính chất về tính đơn điệu của hàm số để giải.

5 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để tìm gía trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số.

DẠNG 1 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên (a, b)

 Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên a b; :

+ Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số y’ = f’(x)

+ Bước 2: Xét dấu đạo hàm f’(x), lập bảng biến thiên

GTLN

+

-y y'

b

x 0

a x +

y

Trong đó tại x0 thì f’(x0) bằng 0 hoặc không xác định

DẠNG 2 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [a,b]

 Để tìm GTLN, GTNN của hàm số y = f(x) trên [a; b]:

Bước 1: Tìm các gía trị xi a b; (i = 1, 2, , n) làm cho đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định

Bước 2: Tính f a f x( ), ( ), ( 1 f x2 ), , (f x n), ( )f b

Bước 3: GTLN = max{f a f x( ), ( ), ( 1 f x2 ), , (f x n), ( )f b }

GTNN = min{f a f x( ), ( ), ( 1 f x2 ), , (f x n), ( )f b }

CHƯƠNG II: KẾT QUẢ ĐIỀU TRA KHẢO SÁT THỰC TIỄN

1 Điều tra học sinh

Qua khảo sát thực tiễn ( cụ thể là qua học sinh lớp 12A1; 12A6 trường

thpt số 1 Bát Xát ) tôi thấy các em học sinh ban đầu gặp nhiều khó khăn và

thông thường là không thích phương pháp này vì học sinh mới tiếp cận phương pháp ứng dụng đạo hàm để khảo sát hàm số do vậy các em chưa biết cách xây dựng một hàm số thích hợp để nghiên cứu tính đồng biến và nghịch biến của nó trên tập xác định Hơn nữa nhiều trường hợp có thể phát hiện hàm số ngay từ đầu, còn trong các trường hợp khác cần có sự khôn khéo để phát hiện ra chúng nên các em thấy “ không tự nhiên” trong lời giải và điều quan trọng nữa là việc nhẩm nghiệm để tìm ra nghiệm duy nhất cũng là một vấn đề nan giải đối với họcsinh

Sau một thời gian các em đã nắm chắc được bài toán khảo sát hàm số, quađợt ôn thi học sinh giỏi và ôn thi đại học vừa qua tôi thấy các em đã dần dần tiếpthu và cảm thấy húng thú trong việc tìm ra lời giải bằng phương pháp ứng dụng tính đơn điệu vào giải toán

2 Điều tra, khảo sát tài liệu.

Những bài toán thường gặp ở chương trình phổ thông

+ Giải phương trình vô tỷ, phương trình mũ, lôga, phương trình chứa tham số

+ Giải bất phương trình vô tỷ, phương trình mũ, lôga, bất phương trình chứa tham số

kì thi tốt nghiệp, đại học và học sinh giỏi (đặc biệt trong kì thi đại học và học sinh giỏi) Tôi không tham vọng mọi học sinh đều có thể áp dụng thành thạo với

phương pháp này để quyết được triệt để các dạng toán mà chỉ hi vọng các em cóthêm một công cụ hữu hiệu để giải các bài toán vừa sức với bản thân

Do thời gian hạn chế tôi chỉ trình bày mỗi dạng toán một số ví dụ điển hình đưa ra cách tư duy để ứng dụng tính đơn điệu của hàm số vào giải bài toán PT, BPT, HPT, HBPT, Tìm GTLN, GTNN chứ chưa thống kê và đưa ra được hết các ví dụ về các bài toán còn ứng dụng tính đơn điệu như chứng minh bất đẳng thức; tìm điều kiện tham số để hàm số đơn điệu trên khoảng, đoạn hoặc nửa khoảng đã chỉ ra hay bài toán tương giao của hai đường trong câu hỏi phụ của bài toán khảo sat hàm số

CHƯƠNG III: GIẢI PHÁP

Bài toán 1 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải phương trình.

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau: x  1  x  6  x  2  6(1)

- Ta dễ dàng tính nhẩm và đánh giá được đạo hàm của vế phải phương

trình (1) dương Do vậy ta sẽ giải được bài toán theo phương pháp hàm số.

- Nếu không sử dụng phương pháp hàm số để giải bài toán này theo

phương pháp bình phương hai vế bài toán sẽ trở nên phức tạp hơn rất nhiều.

Ví dụ 2: Giải các phương trình sau:

t

t t

- Chú ý khi áp dụng tính chất f(u)=f(v)  u = v phải sử dụng dấu suy ra

không được sử dụng dấu tương đương.

- Bài toán này có thể giải bằng phương pháp tương đương bằng cách nhân

liên hợp đối với hai căn ở hai vế, đưa về phương trình tích, nhưng gặp khó khăn khi chứng minh phương trình vô tỷ còn lại vô nghiệm.

Khi x < 1 thì g(x) < g(1) = 0 nên phương trình vô nghiệm

Vậy phương trình có hai nghiệm x=2 và x=4

Ví dụ 7: Giải phương trình: 8log2(x2 - x + 5) = 3(x2 - x + 5) (7)

Nhận xét: Trong nhiều trường hợp ta giải PT: f’(x) = 0 có 1 nghiệm đơn (hoặc

nghiệm bội lẻ) và f’’(x) > 0 (hoặc f”(x) < 0) thì phương trình f(x) = 0 nếu có nghiệm sẽ có tối đa hai nghiệm (giáo viên vẽ hình minh họa cho học sinh dễ tư duy).

Ví dụ: Giải các phương trình sau:

Bài toán 2 Ứng dụng tính đơn điệu của hàm số để giải bất phương trình.

Ví dụ 1: Giải bất phương trình sau: x  6  x  2  4  x  3 (1)

Ví dụ 2: Giải bất phương trình sau: 4 2x 1 (x2  x1)x3 6x2 15x 14 (2)

Vậy bất phương trình nghiệm đúng với mọi x 

Ví dụ 3: Giải bất phương trình sau: 2x3  3x2  6x 16 2 3   4  x (3)

Giải

Điều kiện xác định của bất phương trình là  2  x 4

Bất phương trình được viết lại thành 2x3  3x2  6x 16  4  x  2 3

Nhận thấy x = - 2 là nghiệm của bất phương trình trên

So với điều kiện ta có nghiệm của bất phương trình là  2  x 1

Ví dụ 4: Giải bất phương trình sau: log2 x 1 log3 x9 1 (4)

Giải:

Điều kiện : x>-1

Các hàm số f x1( ) log 2 x1 và f x2( ) log 3 x9 là các hàm số đồng biếntrên khoảng ( 1; ), nên hàm số f x( ) log 2 x 1 log3 x9 là hàm sốđồng biến trên khoảng ( 1; ).

Mặt khác f(0) 1 vậy (1)  f x( ) f(0) x0

Vậy nghiệm của bất phương trình là x > 0

Ví dụ 5: Giải bất phương trình sau: 3 2(x 1) 1  3x x2 4x 3

(Đề thi HSG cấp tỉnh Lào Cai năm 2012-2013)

Giải Điều kiện:

2 2

Giải các bất phương trình sau

2

Nhận xét: Đối với hệ phương trình nhiều ẩn số ta tìm cách biến đổi làm xuất

hiện các phương trình giải được bằng phương pháp hàm số để đưa về mối quan

hệ giữa các ẩn số đơn giản hơn rồi tuỳ từng trường hợp tìm ra cách giải tiếp.

Điều kiện xác định của hệ phương trình   3 x y,  10

Nhận thấy x = -3, y = 10 không là nghiệm của hệ phương trình

Trừ hai vế của hệ cho nhau ta được phương trình x  3 10  x  y  3 10  y

t

t t

 Suy ra hàm số đồng biến trên 0; 

Vậy trên 0; , phương trình (4) được viết dưới dạng  f x( )f y( ) x y

Giải (4.1): Ta đoán được x=1 là một nghiệm của (4.1), mặt khác dễ nhận thấyphương trình (4.1) có vế trái là hàm số đồng biến, vế phải là hàm số nghịch biến.Vậy x=1 là nghiệm duy nhất của PT (4.1), Vậy hệ đã cho có nghiệm duy nhấtx=y=1.

Ví dụ 5: Giải hệ phương trình sau

3 4

Ta thấy g x/ ( )  3x2  2x 2 0   x D nên hàm số nghich biến trên D

Từ (I’) ta thấy x 1 là nghiệm của phương trình và đó là nghiệm duy nhất

Vậy hệ có nghiệm 1;0

Nhận xét: Ví dụ 5 giúp cho học sinh khỏi nhầm lẫn là khi giải hệ lúc nào cũng

đưa được về dạng f(u) = f(v)  u = v để thế.

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:

12

Nhận xét: Ví dụ này đã khó hơn rất nhiều,yêu cầu học sinh phải tư duy cao hơn

vì hàm số không thể thấy ngay được từ đề bài mà còn phải biến đổi thông qua một phép đặt ẩn phụ Và miền xác định cũng phải nhận xét từ phương trình thứ hai Do vậy cần nhấn mạnh cho học sinh sau khi xác định hàm số cần tìm ngay miền xác định của hàm.

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình sau:

  nên hàm số đồng biến trên D

Ta giả sử x y z; ; là nghiệm của hệ và x max , , x y z khi đó ta suy ra:

Ta thấy x 1 là nghiệm duy nhất của phương trình Vậy hệ có nghiệm 1;1;1

Ví dụ 8: Giải hệ bất phương trình sau:

3 2

3

x

f x     trên (1;4)

Vậy nghiệm của hệ là 1 < x < 4.

Nhận xét: Đối với giải hệ bất phương trình có 1 ẩn số ta có thể dùng phương

pháp hàm số để giải từng phương trình hay bất phương trình của hệ rồi kết hợp các tập nghiệm tìm được để đưa ra kết luận về nghiệm cho hệ bất phương trình.

BÀI TẬP ÁP DỤNG Giải các hệ phương trình sau

1

3 4

3 2

2 x







Trên D ta có: f’(x) > 0  21

3 x x

2 x

2 x

- Khi xét dấu của f’(x) trong trương hợp này không có giá trị nào của x để

f’(x)=0, nhưng tồn tại x D sao cho f’(x) không xác định nên ta cần xét dấu

f’(x)qua mỗi khoảng xác định của nó để kết luận Giáo viên cần nhấn mạnh

điều này vì học sinh dễ nhầm f’(x) = 0 vô nghiệm thì f’(x) chỉ mang một dấu.

- Bài tập này ta có thể giải bằng phương pháp thông thường Tuy nhiên, nếu giải bằng phương pháp đó, ta phải kiểm tra điều kiện của ẩn số rất phức tạp Ta

sẽ giải bài này bằng cách sử dụng hàm số

- Thu hẹp bài toán lại như tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm hay có n

nghiệm ta cũng làm tương tự, đây cũng chính là một cách giải của bài toán về

sự tương giao của hai đường hay là một phần của bài toán tìm điều kiện của tham số để hàm số đã cho đồng biến (nghịch biến) trên khoảng đoạn nào đó

trong bài toán liên quan của chương ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ hàm số.



Ví dụ 1.1: Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại một điẻm duy nhất, biết:

) 3 x ( 10 m 5 x ) 4 m ( 2 x

0 3 x

3 x

Phương trình (1) có nghiệm  phương trình (2) có nghiệm thoả mãn x  3

Ở bài này ta có thể sử dụng phương pháp tam thức bậc hai để giải Tuy nhiên

ta sẽ sử dụng hàm số để giải bài này

Xét phương trình (2.1) : Đặt f(x) =

5 x 2

1 x 2

8 x 10 x 2

1 x