skkn một số phương pháp giải phương trình mũ – phương trình logarit

Đặc biệt là trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng nhiều năm nay đã có một số câu liênquan đến phương trình mũ - logarit.. CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN Nghiên cứu đề tài “Một số p

MỤC LỤC

Trang

6 MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TRONG CÁC NĂM GẦN ĐÂY 27

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ – PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình mũ và phương trình logarit được gọi là phương trình siêu việt.Khi nói đến phương trình mà chúng ta không nhắc tới phương trình mũ và phương trìnhlogarit thì thiếu đi vẻ đẹp của phương trình nói riêng và toán học nói chung Phươngtrình mũ – logarit được sử dụng nhiều trong các ngành khoa học, nên việc nghiên cứucác phương pháp giải chúng là hết sức quan trọng

Đối với chương trình toán học phổ thông phương trình mũ – logarit được đưavào giảng dạy ở lớp 12 Nhưng thời gian dành để dạy và học về phương trình mũ –logarit là ít kể cả lí thuyết cũng như thực hành Mặt khác các bài tập mà sách giao khoayêu cầu thì chưa cao, chưa tương ứng đươc như trong các đề thi tuyển sinh

Trong khi đó trong thi cử và ứng dụng thì ở mức độ cao hơn nhiều Đặc biệt

là trong các đề thi tuyển sinh đại học và cao đẳng nhiều năm nay đã có một số câu liênquan đến phương trình mũ - logarit Để giúp các em hiểu sâu hơn về phương trình mũ -

logarit, tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài: “Một số phương pháp giải phương trình mũ – phương trình logarit ”.

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Nghiên cứu đề tài “Một số phương pháp giải phương trình mũ – phương trình logarit ” để giúp học sinh rèn kỹ năng giải toán về phương trình mũ - logarit, qua

đó phát triển tư duy logic cho học sinh đồng thời nâng cao chất lượng học tập của các

em, tạo được hứng thú học tập môn toán, góp phần đổi mới phương pháp giảng dạy bộmôn theo hướng phát huy tính tích cực, tự giác, sáng tạo của học sinh, góp phần nângcao chất lượng đội ngũ học sinh khá giỏi về môn toán, góp phần kích thích sự đam mê,yêu thích môn toán, phát triển năng lực tự học, tự bồi dưỡng kiến thức cho học sinh.Đối tượng áp dụng: học sinh lớp 12

Trong chương trình hoc ở sách giáo khoa chương trình chuẩn để giải phương trình mũ - phương trình logarit chỉ đề cập đến ba phương pháp giải cơ bản và thường gặp Tuy nhiên, có rất nhiều bài toán hay, bài toán thương gặp trong các đề thi tuyển sinh thì các phương pháp trên lại không giải được Nên việc đưa thêm một số phương pháp mới vào giảng dạy cho học sinh để các em nắm bắt được các giải một số bài toán khó hơn, hay hơn…

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN VÀ GIẢI PHÁP

1 KHÁI NIỆM VỀ PHƯƠNG TRÌNH MŨ

Nếu b 0,phương trình a x b vô nghiệm

Dùng sự tương giao của hai đồ thị

Số nghiệm của phương trình a xb bằng số giao điểm của đồ thị hàm số

2.2 Phương trình logarit cơ bản

Phương trình logarit cơ bản là phương trình có dạng loga x b với a 0,a 1Phương pháp giải

Theo định nghĩa logarit, ta có: log b

a x b  x aDùng sự tương giao của hai đồ thị

Số nghiệm của phương trình loga x b bằng số giao điểm của đồ thị hàm sốloga

y x với đồ thị y = b

Vẽ đồ thị hàm số y loga xvà hàm số y = b trên cùng một hệ trục tọa độ

Trong cả hai trường hợp, ta đều thấy đồ thị hàm số y loga xvà đồ thị y = b cắt nhau tại một điểm với mọi b  .

5) log ( ) loga b c  a b loga c 10) lgb logb log 10b; lnb loge b

Công thức đổi cơ số

1) log log

log

c a

c

b b

4 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH MŨ

4.1 Phương pháp 1: Giải phương trình mũ dạng cơ bản

Nhận xét: Đại đa số các phương trình mũ khi giải đều đưa về phương trình mũ cơ

bản Nên việc giải phương trình mũ cơ bản tốt là điều kiện để giải tốt các phương trình tiếp theo Đối với phương trình mũ cơ bản thì cần phải biết cách sử dụng các công thưc mũ, lũy thừa …

Bài tập đề nghị

Giải các phương trình sau:

4.2 Phương pháp 2: Đưa về cùng cơ số

Đối với phương trình mũ biến đổi về dạng: a f x( ) a g x( )

2 (n)

1 (l)

3 (n)

x x x x x

f) Điều kiện: x 3 0   x 3

vì x 3nên x+1 > 0

Khi đó: (x 1) x 3 1 (x 1) x 3 x 10 x 3 0 x 3 (n)

Vậy phương trình có nghiệm: x = 3

Nhận xét: Thực ra phương trình đưa về cùng cơ số cũng gần giống với phương trình

mũ cơ bản Việc giải các phương trình dạng này chủ yếu là sử dụng tốt các công thức, các phép biến đổi của mũ và lũy thừa mà thôi

Dạng 1: Nếu phương trình có dạng đa thức: P a f x( )  0với 0 a 1

Thì ta đặt: t a f x( ) ,t  0 khi đó ta được phương trình mới: P t   0

Dạng 2 : Nếu phương trình có dạng đa thức: ma2 ( )f x n ab( )f x( ) kb2 ( )f x  0với

Khi đó ta được phương trình mới như sau: mt2 nt k  0

Dạng 3 : Nếu phương trình có dạng đa thức: a f x( )  b f x( )  với 0 a 1, 0  b 1

,ab=1

Thì ta đặt: t a f x( ) b f x( ) 1,t 0

t

Khi đó ta được phương trình mới: t2  t   0

Dạng 4 : Nếu phương trình có dạng đa thức:

Khi đó ta đưa về phương trình tích, hoặc phương trình thuần nhất hoặc hệ

Lưu ý : Một số trường hợp ta đặt ẩn phụ không hoàn toàn Nghĩa là sau khi đặt ẩn phụ vẫn còn x Khi đó ta giải phương trình theo ẩn t còn với x được xem là hằng số.

Vậy phương trình có nghiệm: x =2

b) 4 x 2 16 10.2 x 2

Khi t 8 2 x 2 8 x 2 3 x 11 ( )n

Vậy phương trình có nghiệm: x = 3; x = 11

c) 9 sin 2x 9 cos 2x 10 9 sin 2x 9 1 sin  2x 10 9 2sin 2x 10.9 sin 2x 9 0 (2)

Khi 9 9 sin2 9 sin 2 1 osx = 0

Nhận xét: Đối với phương trình dạng này chúng ta không đặt ẩn phụ cũng giải được

bình thường Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ sẽ làm cho phương trình đẹp hơn, gọn hơn chứ không giải nhanh hơn Khi đặt ẩn phụ cần phải lưu ý điều kiện

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau ( Dạng 2: ma2 ( )f x n ab( )f x( ) kb2 ( )f x  0)

3 (n) 2

Vậy phương trình có nghiệm: x 3

Nhận xét: Đối với dạng này ngoài cách đặt ẩn phụ ra thì ta có thể phân tích thành

tích các đơn thức, đa thức để giải Tuy nhiên việc phân tích không phải đơn giản

Ví dụ 5: Giải các phương trình sau ( Dạng 3: a f x( )  b f x( )  )

Khi 8 3 7 8 3 7sin 8 3 7 sin 1 2

Nhận xét: Đối với loại này thường thì đưa về phương phương trình bậc hai,bậc ba…

nếu chúng ta không đặt ẩn phụ thì nó rất cồng kềnh những vẫn giải được

Ví dụ 6: Giải các phương trình sau ( Dạng 4:

x x x

Vậy phương trình có nghiệm: x = 0; x = 1

c) 2 2x 2x 6 6

   (3)

Đặt 2 0 2 2

x u

Vậy phương trình có nghiệm: x log 3 2

Nhận xét: Đối với các dạng phương trình trên thì ta cũng có thể tách, thêm bớt rồi

đặt nhân tử chung để đưa về phương trình tích của các đa thức Tuy nhiên việc đặt

ẩn phụ sẽ đưa bài toán từ phức tạp, cồng kềnh về bài toán gọn hơn và việc giải sẽ

4.4 Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích

Ta tách, thêm, bớt … rồi đặt nhân tử chung để đưa phương trình đã cho thành tích các đơn thức, đa thức

Ví dụ 7: Giải các phương trình sau

b) 4x2 x.3x 3x 1 2 3x2 x 2x 6 2x22 3x x2 3x 3 2 3 x 0

3 2

x x

4.5 Phương pháp 5: logarit hóa

Ví dụ 8 Giải các phương trình sau

3 0

3 1

log 2

x

x x x

Nhận xét: Đối với phương trình loại này khi lấy logarit hai vế thường thì sẽ đặt được

nhân tử chung để đưa về phương trình tích đơn giản Chú ý khi lấy logarit hai vế cầnchọn cơ số tốt thì bài toán sẽ tính dẽ dàng hơn

Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) và liên tục trên khoảng

K thì số nghiệm trên khoản K của phương trình f(x) = a không nhiều hơn một và f(u) = f(v)  u = v

Định lí 2:

Nếu hàm số y = f(x) và y = g(x) đơn điệu ngược chiều và liên tục trên khoản K thì

số nghiệm trên khoảng K của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một

Định lí 3:

Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K thì f(x) > f(a)  x > a, x a K, 

Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K thì f(x) > f(a)  x < a, x a K, 

a F b F c F





 ' Khi áp dụng giải phương trình nếu có F(b) – F(a) = 0 thì  c a b F c; : '   0 F x'  0 có nghiệm thuộc (a;b)

Định lý Rôn:

Nếu hàm số y = f(x) lồi hoặc lõm trên khoảng K thì phương trình f(x) = 0 sẽ không

có quá hai nghiệm thuộc K

Ví dụ 9: Giải các phương trình sau

a) 5x 12x 13x

  b) 3x 4x   2 7x c) 6x  2x  5x  3x d)  2x2 x  2x 1  (x 1) 2 e) 3x  2x  3x 2

Suy ra f(x) là hàm nghịch biến trên R, mặt khác f(2) = 1 nên f x( ) 1   x 2

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 2

Xét hàm số f  t t 1 t, với t > 0 Ta nhận thấy f(5) = f(2) nên theo định lý

lagrange tồn tại c 2;5 sao cho:  f c'   0 c 11 c1  0   0,   1

f t      x nên f(t) là hàm đồng biến trên R

Vậy phương trình được viết dưới dạng: f x 1f x 2  x x 1 x2  x x 1

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1

Nhận xét: Đây là loại toán khó khi sử dụng tính đơn điệu của hàm số thì chúng ta

phải nhẩm được nghiệm, thường thì nghiệm là các số nguyên

Bài tập đề nghị

Giải các phương trình sau

1) 3x x 4 0  3) 2x 3x  5x  0

2) 4x  7x  9x 2 4) 3x 8x  4x 7x

4.7 Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá

Ví dụ 10: Giải các phương trình sau

Ta có: VT 2x2  1 2.2x2 2.2 0 2

    (vì x2   0, x)Mặt khác: VP  2 x   2, x 0

Nhận xét: Với loại toán này thì phải biết sử dụng một số bất đẳng thức thông dụng

và biết phân tích và đánh giá

Bài tập đề nghị

Giải các phương trình sau

1) 3x 3 x 3 x2

   2)  2x2x  2x1  x 1 2

5 MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LOGARIT

5.1 Phương pháp 1: Giải phương trình logarit dạng cơ bản



  

 Vậy phương trình có nghiệm: x 1;x 4

c) Điều kiện: 9 2  x   0 x 2log 3 2

Nhận xét: Đa số các phương trình logarit thường đưa về phương trình logarit cơ bản

nên việc giải thành thạo loại này là cần thiết để giải tốt các loại khó hơn

5.2 Phương pháp 2: Đưa về cùng cơ số

Đối với phương trình logarit biến đổi về dạng:





  

 Vậy phương trình có nghiệm: x 1

b) Điều kiện: x 40

Nhận xét: Để giải phương trình đưa về cùng cơ số ta cần phải vận dụng tốt các

công thức logarit và biến đổi thành thạo để đưa về dạng cơ bản…



        

Khi t  1 log 2x 1   1 x 1 2   x 3 n 

27

 c) xlog 9 2 x2 3 log 2x xlog 3 2 (3)

x 

Nhận xét: Loại toán đặt ẩn phụ là để đưa từ bài toán phức tạp về bài toán gọn hơn

thôi Tuy nhiên việc đặt ẩn phụ như thế nào phụ thuộc vào từng bài toán Lưu ý điềukiện của ẩn phụ

Bài tập đề nghị

Giải các phương trình sau

1) 3 log 2x log (8 ) 1 0 2 x   3) log 16 log 64 3x2  2x 

2) 4 lg(10 )x 6 lgx 2.3 lg(100x2 )

5.4 Phương pháp 4: Đưa về phương trình tích

Ta tách, thêm, bớt … rồi đặt nhân tử chung để đưa phương trình đã cho thành tích các đa thức đơn giản để việc giải dễ dàng hơn

Ví dụ 4: Giải các phương trình sau

a) log (5 2 x 2) log ( 3 x 1) log (  3 x 1) b)  x  1  log23x  4 x log3x  16  0

Nên f(t) là hàm đồng biến trên R.

Mặt khác: f(1) = 0 nên f t( ) f(1) 0   t 1 là nghiệm duy nhất của (1)

b) Điều kiện: x  3 11

2

log (x  6x 2) log  x (*)

Nên f t( ) là hàm nghịch biến trên tập R.

Mặt khác f(2) 0  suy ra f t( ) f(2) 0   t 2là nghiệm duy nhất của (**)

Khi t  2 x 9 ( )n

Vậy phương trình có nghiệm: x 9

Nhận xét: Đối với loại toán này khi việc giải bình thường gặp khó khăn hoặc không

giải được nên ta mũ hóa thì sẽ đưa về phương trình mũ và việc giải sẽ dễ dàng hơn Lưu ý là chon cơ số hợp lý là điều quan trọng

Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến ( hoặc luôn nghịch biến ) và liên tục trên

khoangr K thì số nghiệm trên khoảng K của phương trình f(x) = a không nhiều hơn một và f(u) = f(v)  u = v

Định lí 2:

Nếu hàm số y = f(x) và y = g(x) đơn điệu ngược chiều và liên tục trên khoảng K thì

số nghiệm trên khoảng K của phương trình f(x) = g(x) không nhiều hơn một

Định lí 3:

Nếu hàm số y = f(x) đồng biến trên khoảng K thì f(x) > f(a)  x > a, x a K, 

Nếu hàm số y = f(x) nghịch biến trên khoảng K thì f(x) > f(a)  x < a, x a K, 

Ví dụ 6: Giải các phương trình sau:

mặt khác f(2) 0   f x( ) f  2   0 x 2 n là nghiệm duy nhất của (**)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm: 1; 2

4

Nhận xét: Đây là loại toán khó cần phải nhẩm được nghiệm thương thì nghiệm là

các số nguyên Nhiều khi chúng ta phải dùng tới đạo hàm cấp hai mới giải được

.Bài tập đề nghị

Giải các phương trình sau

1) log x 35 

log x (x 3).log x x   2 02) 3x   1 2x 2log 1 4 3  x 4) 2 1

2

2x x log x 2x

5.7 Phương pháp 7: Phương pháp đánh giá

Ví dụ 7: Giải các phương trình sau

Nhận xét: Loại này tương đối khó Phải biết sử dụng linh hoạt các bất đẳng thức

thông dụng và biết cách so sánh Tuy nhiên loại toán này thường thì có ít nghiệm và nghiệm thường là số nguyên

Bài tập đề nghị

Giải các phương trình sau

6 MỘT SỐ ĐỀ THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TRONG CÁC NĂM GẦN ĐÂY

1) Giải phương trình: 2x2x  22  x x2 3 Đại học khối D-2003

2) Giải phương trình : 3.8x 4.12x 18x 2.27x  0 Đại học khối A-2006

3) Giải phương trình 2x2x 4.2x2x 22x 4 0 Đại học khối D-2006

4) Giải phương trình:  2 1   x  2 1  x 2 2  0 Đại học khối B-2007

10) Giải phương trình 32x+1 – 4.3x + 1 = 0 Cao đẳng khối D - 2014

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Qua quá trình giảng dạy tôi thấy việc đưa ra các phương pháp giải về phương trìnhsiêu việt như trên học sinh nắm được bài, hiểu được sâu kiến thức Từ đó học sinh rènluyện được kỹ năng giải toán, củng cố kỹ năng giải các bài toán giải phương trình siêuviệt, số học sinh đam mê và yêu thích môn toán ngày càng tăng, năng lực tư duy và kỹnăng giải toán của học sinh được nâng cao, nhất là học sinh khá giỏi Học sinh dễ dàngtiếp thu kiến thức và có kỹ năng giải các bài toán tương tự, trên cơ sở đó học sinh cóthể giải được các bài toán tổng hợp Đối với bài kiểm tra các em trình bày chặt chẽlogic, kết quả cao, với kết quả như sau :

Trong năm học 2012 - 2013, tôi đã chọn 30 học sinh dự thi khối A ,tôi đã khảo sát

và kết quả cụ thể như sau :

IV ĐỀ XUẤT, KHUYẾN NGHỊ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

Sáng kiến kinh nghiệm này có thể áp dụng cho học sinh đại trà và khá, giỏi Họcsinh yếu, trung bình nắm được phương pháp giải để vận dụng giải các bài toán đơngiản Học sinh khá, giỏi trên cơ sở nắm vững các phương pháp này áp dụng vào các bàitập phức tạp hơn và từ đó nâng cao khả năng tư duy và tính sáng tạo của học sinh.Sáng kiến kinh nghiệm đã được tác giả thực hiện tại một số lớp và đã đạt được kếtquả tương đối Trên sơ sở đó tôi xin đề xuất sáng kiến kinh nghiệm “một số phươngpháp giải phương trình mũ – phương trình logarit” có thể áp dụng trong đơn vị trongthời gian tới

VI DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn

(2010) Sách giáo khoa giải tích 12 cơ bản và nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam

2 Trần Văn Hạo – Vũ Tuấn- Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Tiến Tài – Cấn Văn Tuấn

(2010) Sách bài tập giải tích 12 cơ bản và nâng cao – NXB giáo dục Việt Nam

3 Trần Đức Huyên (chủ biên) (2011) Giải tích 12 (sách dung cho lớp chuyên ) –NXB

giáo dục Việt Nam

4 Các đề thi đại học thống nhất toàn quốc năm 2009 -2014

5 Các đề thi tốt nghiệp thống nhất toàn quốc năm 2009 -2014

6 Vũ Thế Hựu (2010) Bộ tài liệu ôn thi đại học - NXB đại học sư phạm

LỜI KẾT

Chuyên đề này chỉ đề cập được một số phương pháp thường gặp để giải phươngtrình mũ và lơgarit, còn rất nhiều phương pháp hay hơn, khó hơn hữu dụng hơn mà tôichưa thể đề cập tới

Mặc dù đã cố gắng rất nhiều, song chuyên đề chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót.Rất mong toàn thể quý thầy cô và các bạn đọc đóng góp ý kiến để chuyên đề được tốthơn và hữu ích hơn

Qua đây tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô đã giúp tôi hoàn thành chuyên đề

Định Quán, ngày 03 tháng 3 năm 2015

Người thực hiện

Nguyễn văn Đức