TRUNG HỌC CƠ SỞ Giải phương trình vỏ tỉ là dạng toán khó thường gặp trong các kì thi hoc sinh giỏi cắp THCS và thi tuyên sinh vào lớp 10 THPT.. Việc xư dụng an phụ là công cụ hữu hiệu đ
Trang 1
TRUNG HỌC CƠ SỞ
Giải phương trình vỏ tỉ là dạng toán khó
thường gặp trong các kì thi hoc sinh giỏi cắp
THCS và thi tuyên sinh vào lớp 10 THPT Voi
dạng toán này doi hoi người giai phải có khả
năng ti: duy cao và khả năng sử dụng linh hoạt
các kiến thức đã học Việc xư dụng an phụ là
công cụ hữu hiệu để giải phương trình vô tỉ Bài
viết nay xin dua ra 5 dạng ca ban sit dung ân
phu đê giai phương trình vô tí
@ Dang 1 Sir dung an phụ đưa về phương
trình bậc hai
Thí dụ 1 Giai phương trình
3x'+2lx+ 8+ 2Vx?+7x+27zZ2 ()
Lời giải Đặt vJx)+7x+7 = y, điều kiện (ĐK):
y20
PT (1) c6 dang 3)° + 2y — 5 = 0 Tir dé tim
được y = l (thỏa mãn) và y = Š (loại)
Suy raVx2+7x+7 =l©+x`+7x+6*=0,
PT này có hai nghiệm x = - Ì và x = ~ó
Vậy tập nghiệm cua PT (1) là {-ó; -L}
© Dang 2 Si dụng ấn phụ đưa về phương
trình tích
a) Sử dụng một ân phụ
Thí dụ 2 Giải phương trình x'+v+| = l (2)
Lời giải Dặt Jx+l = t ĐK:r >0
PT (2) có dạng ( ~l}'+¿=l
©>íf(t ~l)(' + = 1) = 0 Từ đó tìm được
Ding ấn phụ
bÉ QÄIPHVƠNG TIN VÔ
VU VAN DUNG (GV THCS Nam Son, Nam Truc, Nam Binh)
SW yy ——— —- - -1-J5
a
-1-J5 —
=0;fZl;/=
Vị í > 0 nên loại giá trị
*Với ( = 0 thì x = ~Ì
*Với /= 1 thì Vx+l =le>+x=0
zie ti i1 1 TH
"` -Š l-v5
SẺ
Vậy tập comes của PT (2) là
lo: at SS
b) Sứ dụng hai ân phụ Thí dụ 3 Giai phương trình
Lời giải Đặt u = Vjx+l; v = Vxt=x41,
ĐK:x>-l,w>0,v>0,
*Với ( =
OYyti¿i
Khi đó w” = x + |,vŸ=xÌ- x + l, ty = xÌ + |,
x+2=r#+v) PT@)có dạng
2a? + v") = Su.v ©3 (2u — v)(w = 2v) = 0
Suy ra ứ = 2v hoặc w = 2u
*® Với w = 2v thì xv+l=2Vx?— x+l
œ 4x” - 5x + 3= 0 PT này vô nghiệm
* Với y= 2w thì Vx?-x+l = 2x+l
€>xÌ - 5x- 3= 0, PT này có hai nghiệm
- 5+37 5— 37
2 và x= > (thoa man DK)
Trang 2
_ §+V37, 5-v37
$; < 2
Vậy PT (3) có hai nghiệm
š— V37
Ad =
Oo Dạng 3 Sử dụng ấn phụ đưa về phương
trình đăng cấp
Thí dụ 4 Giải phương trình
Lời giải ĐK: x > Ẵ
PT (4) <> 2x2-(3x-2)=4./3x-2
Dat y= ¥3x-2, DK: y 20 Tacé
+ = y= xy (5)
PT (5) là phương trình đẳng cấp đôi với x và y
Dat y = tx thi
(5) © 2v - Pr =0 © v(2-`—r)=0
«
oo2-r-1t=0 (do x2 =),
Tìm được (= | va t= 2
* Véil= 1 thiy=xdodé J3x-2=x<>3x-2
=x ©@ x' - 3x +2 = 0, PT này có hai nghiệm
x= l vàr= 2 (thỏa man DK)
# Với = 2 thì y = -2v Do x> : nên y < 0
(loại)
Vậy tập nghiệm cia PT (4) 1a {1; 2}
€ Dạng 4 Sử dụng ẩn phụ đưa về phương
trình của ấn phụ đó, còn ẩn ban đầu coi là
tham số
Thí dụ § Giải phương trình
6v” ~ 10x + §— (4x - 1).6x°-6x+5 =0 (6)
Lừi giải Đặt V6x" -6x+5 = 1, DK: 1 2 0,
PT (6) có dạng = (4x - l)( - 4x =0 Coi đây
là PT bậc hai ân : ( x là tham số)
A=(4x- lỷ + lốx =(4y + l}”
Tìm được r = -l (loại vì f > 0) và £ = 4x,
Với ! = 4x thì J6x2-6x+5 = 4x
6x? —6r4+5=16x?
x20
Tìm được x =
-34+./59 Vậy PT (6) có nghiệm x =
-3+/59
aa
© Dang 5 Sir dung ẩn phụ đưa về hệ
phương trình Thí dụ 6 Giải phương trình
Lời giải Đặt {9?-x = a, Ÿx = b, ĐK: a>0, b>(
PT(Œ7) có dạng a+b = §
Lại có a* + b'= (/97=x) +(x) =97
a+b=Š a*+b‡=01
Giải hệ tìm được a = 3, Ö = 2 và a = 2, b = 3 (thoa man DK)
Tir d6 suy rax = 81 va x= 16
Nhận xét Qua 6 thi du trén chac han ede ban
đã thay sự linh hoại, đa dạng và hữu hiệu cua
Việc sư dung ân phụ vào giải phương trình vỏ ti Tuy voi moi bai toan khác nhau có các hưởng giải khác nhau, song nếu khéo léo sử dụng
din phu dua về các dang co ban trên thì việc
giải phương trình vô tỉ sẽ ngắn gọn và đơn giản hơn
Ta có hệ phương trình |
Mời các bạn hãy sử dụng ẩn phụ để giải một số
phương trình vô tỉ sau đây
a) Vx+V8-x=4;
b) \x—Ýx?~I +\|x+xÍx?~I =2;
o) xt duets fet =2;
a) Jat jit =X;
e) (x — 1)(x + 3) + 2(x - 1) we =8 =