SKKN toán lớp 9 dùng ẩn phụ để giải phương trình

Nhưng trong khi dạybồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 và dạy ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPTchuyên ban A và lớp 10 THPT năng khiếu Toán - Lý - Hoá thì chúng ta gặpkhông ít những bài gi

PHẦN THỨ NHẤT

MỞ ĐẦU

I Cơ sở khoa học của SKKN:

1 Cơ sở lý luận: Qua việc giảng dạy toán ở Phổ thông tôi nhận thấy: Việc

giải phương trình và hệ phương trình là một trong những vấn để rất trọng tâm củachương trình toán học ở phổ thông Có những phương trình và hệ phương trình

đã có đường lối giải cơ bản

2 Cơ sở thực tiễn:

Ví dụ như phương trình bậc nhất 1 ẩn số (học ở Toán lớp 8), phương trìnhbậc 2 một ẩn số (học ở Toán lớp 9) thậm chí đối với phương trình bậc 3, bậc 4một ẩn số cũng đã có đường lối giải cơ bản như sách phát triển Toán 8 đã trìnhbầy và hệ phương trình bậc nhất một ẩn số (Toán lớp 9) Nhưng trong khi dạybồi dưỡng học sinh giỏi toán lớp 9 và dạy ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 THPTchuyên ban A và lớp 10 THPT năng khiếu Toán - Lý - Hoá thì chúng ta gặpkhông ít những bài giải phương trình, hệ phương trình không có đường lối giải cơbản dẫn đến việc giải rất khó khăn có khi không thể giải được, ví dụ như trong các

đề thi chọn học sinh giỏi các cấp, đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT trongnhững năm gần đây đều có bài giải phương trình và hệ phương trình không cóđường lối giải cơ bản

Nếu dùng một số thuật giải thì việc giải các phương trình đó sẽ dễ dàng

hơn Một trong những thuật giải mà tôi muốn trình bầy ở đây đó là: "Dùng ẩn phụ để giải phương trình".

II Mục đích của SKKN:

Đây là những kiến thức mà tôi tổng hợp được qua việc dạy bồi dưỡng họcsinh giỏi toán, qua việc ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 PTTH chuyên ban A và kiểm

nghiệm trong thực tế dạy chuyên đề: "Dùng ẩn phụ để giải phương trình" đã

viết trước đó Việc dùng ẩn phụ để giải phương trình có thể coi là một trong cácđường lối chủ yếu để giúp giáo viên, học sinh có cách nhìn sâu hơn, rộng hơn khigiải phương trình, đặc biệt trong bồi dưỡng học sinh giỏi

Dùng ẩn phụ, ta đưa từ một phương trình phức tạp, nhất là các phương trìnhbậc cao, phương trình vô tỉ về những phương trình bậc thấp hơn, đơn giản hơn vànhững phương trình đó đã biết cách giải.

Ví dụ 1: Giải phương trình: (x + 1)4 + (x + 3)4 = 16

Nếu ta hướng dẫn học sinh giải phương trình này bằng cách khai triểnthông thường các kiến thức ở lớp 8 thì sẽ dẫn đến một phương trình bậc 4 chưa cóđường lối giải cụ thể Tuy nhiên, nếu ta đặt ẩn phụ: t = x + 2

Thì ta đưa phương trình trên trở thành:

x4 - 4x3 + 2x2 + 4x -3 = 0

<=> (x4 - 4x3 + 4x2) - (2x2 - 4x) - 3 = 0

<=> (x2 - 2x)2 - 2(x2 - 2x) - 3 = 0

Khi đó ta đặt: t = x2 - 2x

Lúc đó phương trình đựơc đưa về dạng: t2 - 2t - 3 = 0

Đến đây việc giải đơn giản đi rất nhiều

Ta thấy vế trái của (*) lớn hơn 0, t  0.

Từ đó suy ra phương trình đã cho vô nghiệm

Quả thật, dùng ẩn phụ đã giúp ta giải quyết được bài toán trên một cáchnhanh gọn và chính xác Chính vì thế mà phương pháp đổi biến số (đặt ẩn phụ)trong việc giải phương trình là điều kiện tốt, rèn luyện khả năng sáng tạo toán họccho học sinh, vận dụng linh hoạt các kiến thức của mình vào giải phương trìnhnhư biến đổi đồng nhất Giúp học sinh giỏi có thể khái quát một vấn đề cụ thể,cách giải tổng quát của một phương trình, qua đó còn góp phần rèn luyện và nângcao tư duy biện chứng cho học sinh Ngoài ra, nó còn tạo cho học sinh biết nhìnnhận một sự vật hiện tượng theo quan điểm động Dùng ẩn phụ để giải phươngtrình và hệ phương trình là một ví dụ sống động đối với chủ đề phương trình, hệphương trình

Trong chương trình ở phổ thông hiện nay thì phương pháp đổi biến số chưađược đề cập và hệ thống hoá thành một công cụ quan trọng trong cách giảiphương trình, hệ phương trình Nó chỉ được giới thiệu qua, khi học sinh học bàigiải hệ phương trình bậc nhất hai ẩn số ở trang 19-20 và bài giải phương trình quy

về phương trình bậc hai ở trang 54-57 sách giáo khoa Toán lớp 9 và nó cũng chỉđược giới thiệu và được phổ biến khái quát ở các lớp năng khiếu, lớp bồi dưỡngchuyên đề cho học sinh giỏi

Chính vì vậy mà tôi viết đề tài này xin trân trọng giới thiệu cùng đồngnghiệp và lắng nghe những đóng góp của Ban giám khảo, của độc giả để đề tàiđược hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn./

Địa chỉ góp ý xin liên hệ với: Vũ Sỹ Hiệp

Phó hiệu trưởng trường THCS Hồng Quang-Ân Thi-Hưng Yên

ĐTCQ: 0321.3832216; NR: 03213832099; DĐ: 01668859018

III Đối tượng nghiên cứu, Phạm vi nghiên cứu: Là các

phương trình bậc cao và các phương trình vô tỷ trong chương trình THCS, các đềthi chọn học sinh giỏi và thi vào lớp 10 THPT chuyên các năm gấn đây khi gảiphải đặt ẩn phụ mới gải được; Đề tài chỉ dạy cho học sinh giỏi cấp trường và đượctập trung bồi dưỡng mỗi tuần ba buổi, mỗi buổi ba tiết ngay từ đầu năm học đếnkhi thi chọn học sinh giỏi cấp huyện (cuối tháng 12) xong tiếp tục ôn luyện để thichọn học sinh giỏi cấp tỉnh (đầu tháng 4) và thi vào lớp 10 THPT chuyên (đầutháng 7)

IV Phương pháp nghiên cứu:

- Phương pháp phân tích;

- Phương pháp tổng hợp bằng bản đồ tư duy;

- Phương pháp phân tích và tổng hợp;

- Phương pháp khái quát hóa và tổng hợp hóa;

- Phương pháp đặc biệt hóa.

V Kế hoạch nghiên cứu: Tổng hợp kiến thức viết thành đề cương

hướng dẫn chi tiết, lập kế hoạch chi tiết cho từng phần từng giai đoạn Chọn đốitượng học sinh và tiến hành dạy chuyên đề song cùng với việc trải nghệm thực tếcác đề thi có liên quan đến vấn đề cần giải quyết

PHẦN THỨ HAI NỘI DUNG

A – NỘI DUNG LÝ LUẬN LIÊN QUAN TRỰC TIẾP ĐẾN VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU TỔNG KẾT KINH NGHIỆM (NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN):

I Hiểu ẩn phụ như thế nào cho đầy đủ:

Trước hết ẩn phụ phải xem là không phải ẩn ban đầu đã cho của bài toán.Việc thay ẩn phụ là mong rằng: Bài toán với ẩn phụ dễ giải hơn bài toán đã cho

Quy trình thống nhất của việc giải bài toán trong trường hợp này bao gồmhai bước:

+ Bước 1: Xuất phát từ bài toán đã cho, chọn các ẩn phụ thích hợp (có thể

là 1 hoặc nhiều ẩn phụ) rồi chuyển bài toán đã cho thành bài toán đối với ẩn phụ

+ Bước 2: Tìm ẩn phụ rồi trở về tìm ẩn số ban đầu.

II Dấu hiệu để nhận biết các bài toán đặt ẩn phụ để giải:

- Chỉ có những bài toán mà giữa các đại lượng tham gia trong bài toán cómột mối liên hệ nào đó mà chính nhờ mối liên hệ này, các đại lượng này biểu diễnđược qua các đại lượng kia mới có khả năng đặt được ẩn phụ

- Với các bài toán mà ẩn phụ có tác dụng thay đổi dạng bài toán thì các dấuhiệu dùng được ẩn phụ thông thường đã biết, đã được đúc kết trong lý thuyết hoặctrong kinh nghiệm có tính chất kỹ viện, ví dụ như việc đặt ẩn phụ để giải phươngtrình trùng phương - Toán lớp 9

III Về việc tìm điều kiện cho ẩn phụ:

Khi chuyển bài toán từ ẩn ban đầu sang bài toán đối với ẩn phụ, một trongcác công việc phải làm là: Chuyển điều kiện của ẩn ban đầu sang điều kiện cho ẩnphụ đúng, chính xác

3 0

x x

310

3

V U

C/ MÔ TẢ CÁC GIẢI PHÁP MỚI MÀ TÁC GIẢ ĐÃ THỰC HIỆN LÀM CHO VIỆC BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI CÓ CHẤT LƯỢNG VÀ HIỆU QUẢ.

I GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC CAO BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:

Phương trình bậc cao là loại phương trình mà cách giải rất phức tạp Trongchương trình dạy học ở nhà trường phổ thông vấn đề này chưa được đề cập sâu.Phương trình bậc cao mới chỉ đề cập đến loại phương trình bậc hai, phương trìnhtrùng phương Các phương trình bậc cao với hệ số là các số thực chưa có mộtcách giải tổng quát, những phương trình giải được chỉ là phương trình đặc biệt, đó

là những phương trình cụ thể (dễ) Còn những phương trình phức tạp, nếu không

có phương pháp giải cụ thể, học sinh sẽ rất lúng túng trong khi giải

Để giải một phương trình bậc ba, bậc bốn ta có thể dùng phép thử trực tiếp

để tìm ra một nghiệm đặc biệt, hoặc nhóm các số hạng để phân tích thành tích các

đa thức bậc nhất hoặc bậc hai

Phương pháp đặt ẩn phụ cũng là một phương pháp được áp dụng để giảimột số phương trình loại này Ta dùng ẩn phụ để đưa phương trình về bậc thấphơn dễ giải hơn Trong phần này tôi trình bầy cách giải một số loại phương trìnhbậc cao hay gặp trong các kỳ thi chọn học sinh giỏi và thi tuyển sinh bằng phươngpháp đặt ẩn phụ (đổi biến số) nhằm hỗ trợ các em học sinh một số hiểu biết vềphương trình bậc cao Phương pháp này sẽ tạo cho các em có định hướng tốt khitiếp xúc với phương trình bậc cao, góp phần rèn luyện khả năng sáng tạo toánhọc

về dạng phương trình mà sách giáo khoa đã đề cập rõ ràng cách giải (phươngtrình bậc hai một ẩn số)

Giải phương trình: ax2 + bx + c = 0; (a 0)C1: Nếu a + b + c = 0 => x1 = 1; x2 =

a c

C2: Nếu a - b + c = 0 => x1 = -1 ; x2=

-a c

m x

2 1

C4: Nếu b = 2b' => '

= b'2 - acC5: Nếu b 2b' =>  = b2 - 4 ac

C6: Phân tích vế trái thành tích 2 thừa số bậc nhất (hạ bậc) để giải:

0

B A

Như sách giáo khoa Toán 9 đã trình bầy từ trang 40-53

t = 16 (nhận)Với t = 16, thay vào ta có: (x2 +2x)2 = 16

4 2 2

2

x x

x x

5 1

1

1

x x

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm: x1 = -1 + 5 và x2 = - 1 - 5

Qua cách giải trên giáo viên có thể khái quát để giải phương trình dạng tổng quát

2 PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP ĐỐI VỚI CÁC BIỂU THỨC CHỨA ẨN:

Dạng tổng quát: ay2ỏ + byỏzỏ + cz2ỏ = 0; (2)

Điều kiện: y = y(x); z = z(x); a, b, c  R; a2 +b2 + c2 > 0

Cách giải:

Nếu z(x) = 0 hoặc y(x) = 0 không là nghiệm của (2)

Chia cả 2 vế của (2) cho z2ỏ (x) ta được:

)2 – 5

1

1 2

– 2 = 0

Đặt: t =

1

1 2

Phương trình (2.1) trở thành: 3t2 - 5t - 2 = 0

Giải ra ta được: t1= 2; t2=

-3 1

(ax + b1)(ax + b2)(ax + b3)(ax + b4) =  x2; (4)

Thoả mãn điều kiện: b1b2 = b3b4

Và x = 0 không là nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế cho x2  0, ta được

(f(x) + p + q)4 + (f(x) + p - q)4 = c

Và đặt: t = f(x) +p

Lúc này ta được phương trình tương đương sau:

(t + q)4 + (t - q)4 = cHay: 2t4 + 12q2t2 + 2q4 = c

Như vậy, ta đã đưa phương trình chưa có hướng giải về phương trình đã cócách giải là phương trình với ẩn số mới là t

Mấu chốt ở đây là ta áp dụng phương pháp đặt ẩn phụ: t = t(x) + p

=> y2 + 6y - 7 = 0

=> y = 1 (nhận); y = -7 (loại)

=> t2 = 1 <=> t =  1

Thay vào ta có: 4 1

x x





 

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: x1 = -3; x2= -5

Nhận thấy:    2; x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả hai vế của phương trình cho x2  0, ta được phương trình mới:

2 2

3 2

Nếu phương trình có dạng trên, ta thấy x = - là một nghiệm

Ta chia VT' cho x +  và được:

2

3 1

2

21 1 4

0 8 ) 21 1

( 2

2

2

x x

x x

II GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:

Phương trình vô tỉ là một bộ phận quan trọng trong chương trình toán họcphổ thông Ngay từ đầu lớp 9 học sinh đã làm quen ở dạng đơn giản (định nghĩacăn bậc hai số học) đặc biệt là chương trình ôn thi chọn học sinh giỏi và thi tuyểnsinh vào THPT, THPT chuyên ban và THPT năng khiếu Vấn đề này quả thật là khá nặng so với trình độ học sinh cuối cấp THCS Song nhờ có chuyên đề này

mà học nhiều năm gần đây chúng ta có nhiều học sinh thi đỗ học sinh giỏi cấptỉnh và thi đỗ vào THPT chuyên ban, năng khiếu như các em Nguyễn Trung Hiếu(HQ); Nguyễn Đình Tùng (HQ); Nguyễn Hữu Thịnh (HQ); Mai Văn Nguyên

(HQ); Nguyễn Anh Tuấn; Vũ Khánh Chi; Nguyễn Thị Hường (HV); NguyễnHồng Hạnh (HV)

Phương trình vô tỉ được hiểu là phương trình có ẩn số nằm trong dấu căn.Khi xét phương trình vô tỉ có rất nhiều phương pháp giải, một phương pháp kháphổ biến thường dùng là biễn đổi phương trình đã cho thành chương trình tươngđương, bằng cách luỹ thừa cả hai vế để giảm bớt căn thức (phương pháp hữu tỉhoá - đ/n căn bậc hai số học), hoặc dùng một số phương pháp đặc biệt khác

Một phương pháp mà không thể không đề cập tới là: Phương pháp đổi biến

số (hay đặt ẩn phụ) Trong phần này tôi sẽ trình bầy ứng dụng của phương phápđặt ẩn phụ vào giải phương trình vô tỉ phổ biến hay gặp trong các đề thi gần đây,nhằm nâng cao hiểu biết và đặc biệt rèn luyện khả năng sáng tạo, khám phá cáimới của học sinh giỏi toán Trước khi đi vào cụ thể, ta cần lưu ý một số kiến thức

A2   nếu A  0 hoặc = - A nếu A < 0

A B A B

; 0 (A B

B A

Ẩn phụ sẽ xuất hiện nếu ta chia cả hai vế cho x2 - 2x + 4  0, x  R

Phương trình biến đổi về dạng:

10

4 2

x = 3[

4 2

x

+1]

Đặt U =

4 2

2 2







x x

3

U U

Trở về tìm x, bằng cách giải hai phương trình:

4 2

x = 3 <=> 9x2 - 19x + 34 = 0 (Phương trình vô nghiệm)

4 2

Vậy phương trình có 2 nghiệm : x1=

2

177 11 ; x2=

2 177 11

5x  x

=

2 1

1 ( )2

x loai

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm là: 4 11

x  

* Ví dụ 5: Giải phương trình: x2 + x 5=5; (5)

Điều kiện: x   5, ta chọn u = x 5; u 0

Ta có hệ phương trình:

2 2

5 5

Ta có hệ phương trình tương đương sau:

1 0 5

Trong phần này tôi xin trình bày thêm một số bài tập tương tự được sưu tập

từ các tài liệu tham khảo nhằm cho học sinh giỏi có nhiều bài bài tập áp dụngngay Hỗ trợ tích cực cho các ví dụ của từng dạng bài giúp học sinh tập dượtnghiêm cứu tìm tòi sáng tạo lời giải mới

x x

21

15 3(x2 +

4

19 )

1 ( 4 )

; 2

1 Những kết luận, đánh giá cơ bản về nội dung, ý nghĩa,hiệu quả của SKKN:

Nhiều năm học qua, tôi thường xuyên được Ban giám hiệu nhà trường giaotrọng trách tuyển chọn và bồi dưỡng học sinh giỏi các môn Toán và Vật lý củanhà trường Năm học nào trường tôi cũng có học sinh giỏi cấp huyện, được cấptrên tuyên dương động viên khích lệ Niềm vui nối tiếp niềm vui, trong các nămhọc từ năm 1991-2008, tôi đã góp phần nhỏ bé vào thành tích mũi nhọn của nhàtrường nói riêng và huyện nhà nói chung, cùng với đồng nghiệp đào tạo đượcnhiều em học sinh giỏi cấp huyện có em được dự thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh,như các em học sinh: Trần Thị Vân T6 (HV); TRần Thị Hải Minh T9 (HL); ĐỗThị Minh T9 (HL); Nguyễn Thị Thắm T7 (HL); Nguyễn Thành Trung T7,8,9(HL); Nguyễn Duy Hiếu T6 (HL); Nguyễn Thị Hạnh T7 (HL); Nguyễn XuânHiệp T9 (HQ); Vũ Đình Đạt L8 (HQ); Nguyễn Thị Toán T9 (HV); Mai VănNguyên L9 (HQ); Mai Duy Thành T9 (HQ); Nguyễn Hồng Hạnh L9 (HV);Nguyễn Thị Hường T9 (HV); Nguyễn Trung Hiếu T6,7,8,9 (HQ); Nguyễn HữuThịnh L9 (HQ); Nguyễn Anh Tuấn T6,9 (HQ); Vũ Khánh Chi T8,9 Có đượcthành tích như vậy, phải nhờ đến sự chỉ đạo của Phòng Giáo dục và Đào tạohuyện Ân Thi, của Ban giám hiệu, của chính quyền địa phương và của bạn bèđồng nghiệp đã định hướng, tạo điều kiện tốt nhất cho tôi được xây dựng và bồidưỡng đào tạo mũi nhọn học sinh giỏi trong nhiều năm qua Chính vì thế mà tôi

có nhiều chuyên đề nhỏ, sáng kiến kinh nghiệm cá nhân được thể hiện và kiểmnghiệm qua thực tế dạy và học liên tục Một trong những chuyên đề thành côngnhất của tôi đó là chuyên đề: "Dùng ẩn phụ để giải phương trình" tài liệu dùng bồidưỡng học sinh giỏi toán và là trang tham khảo rất bổ ích cho học sinh ôn thituyển sinh vào lớp 10 THPT chuyên ban A và lớp 10 THPT Năng khiếu lớpToán-Lý-Hoá

Có đối tượng học sinh hiếu học, có sự định hướng của các cấp lãnh đạo, có

sự đồng tình ủng hộ của phụ huynh học sinh và có đội ngũ giáo viên tốt, ắt sẽ cóhọc sinh giỏi "sẽ có" là có thể có ngay sau khi bồi dưỡng năm đầu tiên mà cũng

có thể phải đến những năm tiếp theo miễn là, không sợ chê bai, không dấu dốt

Phải kiên trì, cần cụ, nhẫn lại có lòng tin Để có kết quả của lớp 9 ta phảiđịnh hướng bồi dưỡng đào tạo ngay từ lớp 6 và thậm chí trước lớp 6 (học sinhđang ở Tiểu học) Để học sinh tiếp thu và "tiêu hoá" được đề tài này quả thật làhọc sinh đó phải đủ khả năng, bản lĩnh toán học cần thiết từ trước (đã được trangbị).

Tuy nhiên với khả năng có hạn và kinh nghiệm chưa nhiều, nên khi viếtchuyên đề này không thể tránh khỏi những thiếu sót hạn chế, nhưng với ý thứcphấn đấu vươn lên, tôi mạnh dạn thể hiện trước độc giả và rất mong nhận đượcnhiều ý kiến đóng góp phê bình của Ban giám khảo, của bạn bè đồng nghiệp đểlần sau tôi viết tốt hơn

2 Những đề xuất, khuyến nghị:

Để đề tài sáng kiến kinh nghiệm của giáo được viết và áp dụng có hiệu quảthiết thực hơn nữa, tôi đề nghị các cấp chấm sáng kiến kinh nghiệm cấp giấychứng nhận cho các sáng kiến kinh nghiệm đoạt giải; Về phía các nhà trường, đềnghị tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất để cho giáo viên và học sinh được trảinghiệm thực tế kiểm nghiệm các sáng kiến kinh nghiệm đoạt giải cao của các nămtrước làm bài học kinh nghiệm tốt hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn./.

PHẦN THỨ 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO

- Sách giáo khoa và sách bài tập toán lớp 8, 9 của NXB Bộ GD&ĐT

- Bài tập: Nâng cao và một số chuyên đề toán 8 của Bùi Văn Tuyên

- Nâng cao và phát triển toán 8 tập 1,2 của Vũ Hữu Bình

- Nâng cao và phát triển toán 9 tập 1,2 của Vũ Hữu Bình

- Một số vấn đề phát triển đại số 9 của Vũ Hữu Bình