Bao nội xạ và môđun con bé Luận văn Thạc sĩ Toán học

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINHCHU THỊ NHUNG BAO NỘI XẠ VÀ MÔĐUN CON BÉ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 60 46 01 04 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS... Tác giả đã h

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

CHU THỊ NHUNG

BAO NỘI XẠ VÀ MÔĐUN CON BÉ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

CHU THỊ NHUNG

BAO NỘI XẠ VÀ MÔĐUN CON BÉ

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Đại số và Lý thuyết số

Mã số: 60 46 01 04

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS TS NGÔ SỸ TÙNG

NGHỆ AN - 2015

Tài liệu tham khảo 29

LỜI CẢM ƠN

Cùng với sự phát triển của toán học hiện đại, lý thuyết môđun đãđược các nhà toán học quan tâm sâu sắc trong nghiên cứu khoa học vàcho đến nay đã đạt được nhiều kết quả

Trong những năm gần đây, lý thuyết môđun được phát triển mạnh mẽ

và có rất nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành.Trong đó lớp môđun nội xạ và lớp môđun xạ ảnh được xem như hai trụcột chính trong nghiên cứu lý thuyết môđun và lý thuyết vành

Dựa vào các tài liệu chúng tôi tìm hiểu về bao nội xạ và môđun con

bé Mục đích của luận văn này là trình bày sự tồn tại của bao nội xạ củamột môđun Ngoài ra chúng tôi còn tìm hiểu về tính chất của môđuncon bé, môđun nội xạ

Với những lý do trên, chúng tôi chọn đề tài:" Bao nội xạ và môđuncon bé" làm nội dung nghiên cứu của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 2 chương:

Chương 1:Kiến thức chuẩn bị: Chúng tôi trình bày những định nghĩa

và một số kết quả cơ bản liên quan đến luận văn như: môđun con cốtyếu, môđun nội xạ

Chương 2: Bao nội xạ và môđun con bé bao gồm 2 phần chính:

phần 1 trình bày về các tính chất của bao nội xạ

phần 2 trình bày một số tính chất của môđun con bé

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại Học Vinh dưới sự hướngdẫn khoa học của PGS TS Ngô Sỹ Tùng Trước hết, tác giả xin đượcbày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đối với người Thầy của mình:

PGS TS Ngô Sỹ Tùng, người đã dẫn dắt và hướng nghiên cứu cho tácgiả Thầy đã dạy bảo, chỉ dẫn tác giả nghiên cứu một cách kiên trì vànghiêm khắc Tác giả đã học được rất nhiều kiến thức khoa học, nhậnđược sự chia sẻ, yêu thương của Thầy trong quá trình học tập và nghiêncứu

Nhân dịp này tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Khoa Sư phạmToán học, Tổ Đại Số của Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuậnlợi để tác giả hoàn thành nhiệm vụ của mình Xin cảm ơn các thầy côgiáo, các anh chị em học viên của Trường Đại học Vinh và tất cả bạn

bè của tác giả về những chia sẻ, động viên trong quá trình học tập vànghiên cứu

Cuối cùng, tác giả vô cùng biết ơn mọi thành viên trong gia đình củamình, đã luôn tạo mọi điều kiện và dành tất cả sự quan tâm, chia sẻ mọikhó khăn cùng tác giả suốt thời gian qua để tác giả có thể hoàn thànhluận văn này

Nghệ An, năm 2015

Tác giả

CÁC KÝ HIỆU ĐƯỢC DÙNG TRONG LUẬN

VĂN

A ⊆∗ M : A là môđun con cốt yếu của môđun M.

⊕ : Tổng trực tiếp các môđun.

A ⊆0 M : A là môđun con bé của môđun M.

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong toàn bộ luận văn, tất cả các vành đều giả thiết là vành cóđơn vị, kí hiệu là 1 và các môđun là môđun phải unita (nếu không nói

gì thêm)

1.1 Môđun con cốt yếu

1.1.1 Định nghĩa Cho môđun M và N là môđun con của M Môđuncon N được gọi là môđun con cốt yếu trong M nếu với mọi môđun con

1.1.2 Hệ quả Nếu M là môđun đơn, K là môđun con của M thì khi đó

K là môđun con cốt yếu của M khi và chỉ khi K = M

1.1.3 Ví dụ 1) Với M là R −môđun ta đều có M ⊆∗ M

2) Với Z là Z−môđun Khi đó mỗi iđêan khác không của Z đều cốtyếu, tức là ∀ môđun con khác không của Z là cốt yếu trong Z, do đó Z

là môđun đều

Thật vậy với hai iđêan khác không aZ, bZ ta đều có 0 6= ab∈aZT

bZ.1.1.4 Bổ đề Cho A là môđun con của môđun M trên R Khi đó A ⊆∗ M

khi và chỉ khi với mỗi phần tử 0 6= m ∈ M tồn tại r ∈ R sao cho

0 6= mr ∈ A.

Chứng minh Giả sử A ⊆∗ M,m 6= 0 và m ∈ M thì khi đó mR 6= 0 và

Ngược lại, nếu B là môđun con khác không của M, lấy 0 6= m ∈ B vàtìm được r ∈ R, sao cho 0 6= mr ∈ A thì do mr ∈ B nên B ∩ A 6= 0 Vậy

Nếu tập chỉ số vô hạn thì không đúng

4) Cho f : M −→ N là đồng cấu môđun và B ⊆∗ N Khi đó f−1(B) ⊆∗

M Điều ngược lại không đúng

5) Cho A i ⊆∗ M i ⊆ M, i ∈ I khi đó nếu tồn tại L

6) Cho A ⊆ K ⊆ M và K/A ⊆∗ M/A Khi đó K ⊆∗ M

Chứng minh 1) Điều kiện cần: Hiển nhiên

Điều kiện đủ: Giả sử 0 6= B, B ⊆ M Khi đó tồn tại x 6= 0, x ∈ B ⇒

Tương tự lấy môđun con Y bất kỳ của C mà B ∩ Y = 0 Do A ⊆∗ B

thì với môđun con X bất kỳ của C mà A ∩ X = 0 Đặt M = B ∩ X ta có

Z i, suy ra 0 ⊆∗ Z Điều này vô lý.

Vậy trường hợp giao vô hạn không đúng

4) Với mọi A ⊆ M, A 6= 0 Ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1:

suy ra A ∩ f−1(B) 6= 0

Trường hợp 2:

5) Ta chứng minh hai trường hợp:

Trường hợp 1: |I| = n hữu hạn

Sử dụng quy nạp ta chỉ cần chứng minh n = 2

Giả sử A 1 ⊆∗ M 1, A 2 ⊆∗ M 2, và tồn tại A 1 ⊕ A 2 Ta cần chứng minh

Thật vậy: Từ tính chất (3) ta có: A 1 ∩ A 2 ⊆∗ M 1 ∩ M 2 mà A 1 ∩ A 2 = 0

nên M 1 ∩ M 2 = 0 Bây giờ ta chứng minh A 1 ⊕ A 2 ⊆∗ M 1 ∩ M 2

Xét các đồng cấu chiếu sau đây:

5) Giả sử X ⊆∗ M sao cho K ∩ X = 0 Khi đó K ∩ (A ⊕ X) = A

ra L ∩ ϕ−1(X) = ϕ−1(ϕ(L) ∩ X) = ϕ−1(0) = 0 Do L ⊆∗ N nên ϕ−1(X) = 0

cấu suy ra ϕ−1(ϕ(L) ∩ ϕ(Y )) = ϕ−1(ϕ(L)) ∩ ϕ−1(ϕ(Y )) = L ∩ Y = 0 suy

n

S

i=1

X i là môđun con của M và là cận trên của (∗)

tối đại là B Ta cần chứng minh A ⊕ B ⊆∗ M

Thật vậy,∀y ⊆ M thỏa mãnA⊕B ∩Y = 0 Ta cóA∩Y = 0 vàB ∩Y = 0.Nếu có a ∈ A và b ∈ B, y ∈ Y sao cho a = b + y thì y = a.b ∈ A ⊕ B Suy

tối đại của B nên Y = 0 Vậy A ⊕ B ⊆∗ M

1.1.8 Bổ đề Nếu K là phần bù của B trong môđun M thì (K ⊕ B)/K ⊆∗

Chứng minh Giả sử X/K ⊆ M/K sao cho (K ⊕ B)/K ∩ X/K = 0, ta có

tính tối đại của K nên X = K Vậy X/K = 0 hay (K ⊕ B)/K ⊆∗ M/K

1.1.9 Mệnh đề Cho B là môđun con của M, K là phần bù của B trong

M, thế thì:

(1) K đóng trong M

Chứng minh (1) Giả sử có một môđun con N của M sao cho K ⊆∗ N,thế thì nếu N 6= K và do K ∩ B = 0, K tối đại nên N ∩ B 6= 0 Ta có

K ∩ (N ∩ B) = (K ∩ N ) ∩ B = K ∩ B = 0, vì K ⊆∗ N, suy ra N ∩ B = 0.Điều này vô lí Vậy K đóng trong M.

(2) Suy ra từ 1.1.7

1.2 Môđun nội xạ

1.2.1 Định nghĩa Môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu

đồng cấu h : X −→ M sao cho hg = f, nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

0 −→ A

A A A A A A A A

f A A A

Chứng minh Xét biểu đồ các đồng cấu môđun sau đây

trong đó g là đơn cấu Gọi K là môđun con của M ⊕ B gồm tất cả cáccặp có dạng (ψ(a), g(a)), ∀a ∈ A

1.2.4 Định lý Cho M là một môđun phải trên vành R Khi đó M là nội

xạ nếu và chỉ nếu mọi iđêan phải I của R và mọi f ∈ Hom M (I, M ) thìtồn tại a ∈ M sao cho: f (r) = a.r, ∀r ∈ I

Chứng minh Nếu M là nội xạ, khi đó ta lấy I ⊆ R R , f ∈ Hom R (I, M )

Mở rộng vài f i ∈ Hom R (I, M ) và f (r) = f 1 (r) = f 1 (1).r, ∀r ∈ I

Ngược lại, giả sử M thỏa mãn điều kiện bài toán, ta xét R −môđun

cặp (C 1 , f 1 ) với C 1 là môđun con của H = C 1 ⊇ C và f 1 là đồng cấu từ C 1

vào M mở rộng của f

Xác định quan hệ ⊆ trên X bằng quy ước: (C 1 , f 1 ) ⊆ (C 2 , f 2 ) nếu vàchỉ nếu C 1 ⊆ C 2, f 2 mở rộng của f 1 Kiểm tra lại rằng quy ước này làmột trật tự riêng trên X và mọi chuỗi không rỗng trong X đều có mộtcận trên Sử dụng bổ đề Zorn, ta có phần tử lớn nhất trong X là (C∗, f∗)

Nếu C∗ = B, ta có ngay điều phải chứng minh

Nếu C∗ 6= B Ta chọn b ∈ B\C∗ và đặt I = {r ∈ R\br ∈ C∗} Quy ước,

tồn tại a ∈ M sao cho f∗(br) = ar, ∀r ∈ I

Kiểm tra lại đó là đồng cấu f 1 : C∗+ bR −→ M xác định bởi công thức

(C∗, f∗)

1.2.5 Mệnh đề Một môđun A là nội xạ nếu và chỉ nếu A là một hạng

tử trực tiếp của mọi môđun chứa nó

Chứng minh Nếu A là nội xạ thì A là hạng tử trực tiếp của mọi môđunchứa nó Thật vậy, nếu A là nội xạ và A ⊆ B, một ánh xạ đồng nhất trên

A mở rộng thành đồng cấu f : B −→ A Khi đó B = A ⊕ Ker(f ) Tức A

là hạng tử trực tiếp của mọi môđun B bất kỳ chứa A

Ngược lại, giả sử ta có các môđun A và B sao cho B = A ⊕ Ker(f ).Khi đó, A ⊆ B và tồn tại đồng cấu f : B −→ Alà mở rộng của phép đồngnhất i A Vậy A là môđun nội xạ

1.2.6 Mệnh đề Mọi hạng tử trực tiếp của môđun nội xạ trên R là nộixạ

Chứng minh Giả sử ta có môđun X là tổng trực tiếp của hai môđun U

và V trên R, X nội xạ Để chứng minh mệnh đề ta sẽ chứng minh rằngmôđun U cũng là môđun nội xạ

Cho đơn cấu g : A −→ B và một đẳng cấuf : A −→ U Gọi j : U −→ X

là phép nhúng tự nhiên và h : X −→ U là phép chiếu tự nhiên, khi đó vì

X là nội xạ nên tồn tại một đồng cấu k : B −→ X sao cho kg = jf Xétđồng cấu hợp thành hk : B −→ U, ta có: hkg = hjf = f Vậy U là nộixạ

1.2.7 Định lý Các mệnh đề sau là tương đương

i) M là môđun nội xạ

ii) Mọi đơn cấu δ : M −→ N là chẻ ra( nghĩa là Imδ là hạng tử trựctiếp của M)

iii) Với mọi đơn cấu α : A −→ B thì đồng cấu:

1.2.8 Định lý Nếu Q là môđun nội xạ và Q ∼ = A thì A nội xạ

1.2.9 Định lý Q M i là nội xạ khi và chỉ khi M i nội xạ với mọi i ∈ I.Chứng minh Đặt M = Q M i

(x i ) 7−→ x i

Ta lấy fi∗ = p i k : B −→ M i thì fi∗ là cần chọn vì

Điều kiện đủ

Cho M i là nội xạ với mọi i ∈ I Ta chứng minh M là nội xạ

Với mọi Môđun X, A ⊆ X, f : A −→ M là đồng cấu môđun

Khi đó f∗.i = f, hay M là nội xạ

1.2.10 Định nghĩa Một nhóm aben X được gọi là chia được nếu và chỉnếu với mọi phần tử x của X và mọi số nguyên n 6= 0, tồn tại một phần

1.2.11 Ví dụ 1) Q là Z_ môđun chia được vì phương trình nx = a trên

Q luôn có nghiệm x ∈ Q, ∀x ∈ Q, a ∈ Q và n ∈ N∗

2) Z là Z_ môđun không chia được vì không phải mọi phương trình

1.2.12 Bổ đề Một Z_môđun D là chia được khi và chỉ khi D là nội xạ.Chứng minh Trước hết, nếu Z_môđun D là chia được ta chứng minh D

là nội xạ

nhóm chia được, ta sẽ chứng minh α chẻ ra và do đó D là môđun nội xạ

Thật vậy, do α đơn cấu nên D đẳng cấu với ảnh Im(α) Bởi vậy, khôngmất tính tổng quát ta có thể xem D là nhóm con của B và α là đơncấu chính tắc Gọi U là tập hợp tất cả các nhóm con A của B sao cho

phần tử tối đại, chẳng hạn V Khi đó D + V = D ⊕ V

Mặt khác, đối với phần tử tùy ý b ∈ B ta xét iđêan:

Giả sử bm = d 0 + v 0 Do D chia được nên tồn tại d 1 ∈ D sao cho

md 1 = d 0 Khi đó, v 0 = (b − d 1 )m, ta có:D ∩ (V + (b − d 1 )Z) = 0 Thật vậy,nếu giả sử d = v + (b − d 1 )x ∈ D ∩ (V + (b − d 1 )Z ⇒ bx = d − v + d 1 x ∈ D + V

Điều này chứng tỏ rằng D là nhóm chia được

CHƯƠNG 2 BAO NỘI XẠ VÀ MÔĐUN CON BÉ

2.1 Bao nội xạ

2.1.1 Định nghĩa Đơn cấu ϕ : A −→ M được gọi là cốt yếu nếu Imϕ

là môđun con cốt yếu trong M

2.1.2 Bổ đề Nếu α : A −→ B và β : B −→ C là những đơn cấu thì βα

là cốt yếu khi và chỉ α và β là cốt yếu

2.1.3 Bổ đề A có mở rộng cốt yếu khi và chỉ khi tồn tại một đơn cấucốt yếu f : A −→ M

2.1.4 Mệnh đề (Eckmann-Schopf) Một môđun A là nội xạ nếu và chỉnếu A không có mở rộng cốt yếu

Chứng minh (⇒) Giả sử A là môđun nội xạ và A có một mở rộng cốtyếu A ⊆∗ B Do A nội xạ nên A ⊕ C = B, trong đó C là một môđun concủa B Mặt khác do A ⊆∗ B nên từ A ∩ C = 0 ta có C = 0, suy ra B = A

(⇐) Giả sử A không nội xạ, khi đó tồn tại môđun C ⊇ A sao cho A

không phải là hạng tử trực tiếp của C Chọn môđun B ⊆ C cực đại sao

là cốt yếu Suy ra A có mở rộng cốt yếu

2.1.5 Định nghĩa Cho C là một môđun và A là một môđun con của

C Ta nói rằng A là một cốt yếu đóng trong C nếu và chỉ nếu A không có

mở rộng cốt yếu trong C Tức là A ⊆∗ B ⊆ C thì B = A

2.1.6 Mệnh đề Cho A là môđun con của một môđun nội xạ M Khi đó

A là nội xạ khi và chỉ khi A là cốt yếu đóng trong M

Chứng minh (⇒) Nếu A là một nội xạ thì theo mệnh đề Schopf, A không có một mở rộng cốt yếu trong M Vậy A là cốt yếuđóng trong M.

Eckmann-(⇐) Giả sử A là một cốt yếu đóng trong M Xét mở rộng cốt yếu

A ⊆∗ B, ánh xạ mở rộng A vào B mở rộng thành một đồng cấu

đẳng cấu từ B lên f (B) Suy ra A = f (A) ⊆∗ f (B) ⊆ M ⇒ f (B) = A

Do A là cốt yếu đóng trong M nên suy ra B = A ⇒ A không chứa mở

2.1.7 Định nghĩa Cho môđun A Đơn cấu α : A −→ M được gọi là baonội xạ của A nếu M là môđun nội xạ và α là đơn cấu cốt yếu

thường gọi môđun M là bao nội xạ của A

Ký hiệu M = E(A)

2.1.8 Ví dụ Đơn cấu chính tắc i : Z Z −→ Q Z là bao nội xạ của Z vì Q Z

là nội xạ và Z Z là môđun con cốt yếu trong Q Z

2.1.9 Định lý Cho A là một môđun Bất kì một môđun nội xạ nào chứa

A cũng bao hàm một bao nội xạ của A

Chứng minh Xét một môđun nội xạ M ⊇ A, theo bổ đề Zorn tồn tạimột môđun con V ⊆ M sao cho A ⊆ V và V cực đại với điều kiệnA ⊆∗ V.Nếu V0 là một môđun bất kỳ của M để V ⊆∗ V0 thì A ⊆∗ V0 Do tínhchất cực đại của V nên V = V0 ⇒ V là cốt yếu đóng trong M Suy ra V

là nội xạ ( Theo mệnh đề 2.1.6) Suy ra V là bao nội xạ của A

Như vậy ta cũng có thể nói rằng một bao nội xạ của một môđun A làmột môđun nội xạ M nào đó sao cho nó là mở rộng cốt yếu của A.2.1.10 Bổ đề Nếu α : A −→ M là một đơn cấu và M là môđun nội

xạ thì đối với đơn cấu cốt yếu β : A −→ A0 đều tồn tại một đơn cấu

α0 : A0 −→ M sao cho biểu đồ sau giao hoán

A

A A A A A A A A

α A A A

Nói cách khác, mỗi mở rộng cốt yếu của A được nhúng vào một mởrộng nội xạ bất kỳ.

Chứng minh Do M nội xạ nên tồn tại đồng cấu α0 : A0 −→ M sao cho

Do β là cốt yếu nên K = 0 Vậy α0 là đơn cấu

2.1.11 Mệnh đề Giả sử α 1 : A −→ M 1 là bao nội xạ và α 2 : A −→ M 2

là một đơn cấu vào môđun nội xạ M 2 Khi đó tồn tại đơn cấu chẻ ra

A

A A A A A A A A

α2

A A A

Đơn cấu α 2 là bao nội xạ của A khi và chỉ khi ϕ là đẳng cấu

Chứng minh Do M 2 là nội xạ nên tồn tại đồng cấu ϕ : M 1 −→ M 2 sao

( Do α 1 là đơn cấu cốt yếu và α 2 là đơn cấu)

Mặt khác, do A ⊆∗ M 1, A ∩ Ker(ϕ) = 0 nên suy ra Ker(ϕ) = 0 ⇒ ϕ

là đơn cấu Lại do M 1 nội xạ nên đơn cấu ϕ là chẻ ra nên ta có M 2 =

Tuy nhiên do M là một bao nội xạ nên nó không có mở rộng cốt yếu,

từ đó suy ra g(M ) = M0 ⇒ g đẳng cấu

Mệnh đề 2.1.11 chứng tỏ rằng bao nội xạ được xác định duy nhất saikhác đẳng cấu, hơn nữa nó xem như một mở rộng nội xạ tối tiểu của

2.1.13 Bổ đề Mọi môđun A đều có bao nội xạ

Chứng minh Giả sử V là một môđun nội xạ, α : A −→ V là một đơn

Khi đó C” là ∩−bù thứ hai đối với C = Im(α) trong V thỏa mãnđiều kiện: C ⊂ C” Lấy môđun con D của C” sao cho C ∩ D = 0, khi

((P P P P P P P

βP P P ((P P P

i //Vxxqqqqqq

qqqqqqxxqqqqqq

qqqqqq

ϕ

xxqqqqqqqqqqqq

Tương tự (C” ⊕ C0)\C” ⊆∗ V \C” suy ra β là đơn cấu cốt yếu suy ra ϕ

là đơn cấu cốt yếu Do ϕ chẻ ra nên β là đẳng cấu∀v ∈ V, ∃v0 ∈ V sao cho

(v + C0, 0 + C0) = (v0 + C, v0 + C”) suy ra v0 ∈ C ” nghĩa là v ∈ C” + C0 ⇒

Suy ra C” là hạng tử trực tiếp trong V suy ra C” là nội xạ

Như vậy với kết quả: Im(ϕ) = C ⊆∗ C” và C” là môđun nội xạ ta có:

2.1.14 Định lý Bao nội xạ của môđun A là cực đại trong các mở rộngcốt yếu và là cực tiểu trong tất cả mở rộng nội xạ

Chứng minh Giả sử M là một mở rộng cốt yếu của A Ta chứng minh

Xét biểu đồ:

A

""E E E E E

""E E E E E

iEE""E E

E(A)

trong đó f là đơn cấu cốt yếu, i là phép nhúng

Vì E(A) là nội xạ nên ϕ : M −→ E(A) sao cho gf = i

Giả sửKer(g) 6= 0suy raf (A)∩Ker(g) 6= 0,f (A) ⊆∗ M ⇒ ∃x 6= 0, x ∈ X

sao cho x = f (a) ∈ Ker(g) với a ∈ A Khi đó a = i(a) = gf (a) = 0 ⇒ x = 0

mâu thuẫn vì x 6= 0 suy ra Ker(g) = 0 ⇒ g đơn cấu, suy ra M ⊂ E(A)

Ngược lại, giả sử E0 là mở rộng nội xạ của A, ta sẽ chứng minh

trong đó i là phép nhúng, f là đơn cấu

Do E0 nội xạ nên tồn tại g : E(A) −→ E0 sao cho gi = f

Giả sử Ker(g) 6= 0 suy ra Ker(g) ∩ A 6= 0 vì A ⊆∗ E(A) ⇒ ∃a ∈ A, a ∈

2.1.15 Bổ đề Cho A, B là các môđun con của môđun M và A ∩ B = 0.Khi đó bao nội xạ E(A ⊕ B) = E(A) ⊕ E(B)

Chứng minh Ta cóE(A)⊕E(B)là môđun nội xạ chứaA⊕B, cònE(A⊕B)

là môđun nội xạ bé nhất chứa A ⊕ B do đó

Mặt khác A ⊆∗ E(A) và B ⊆∗ E(B) nên (A ⊕ B) ⊆∗ E(A) ⊕ E(B) Mà

Từ (1) và (2) suy ra E(A ⊕ B) = E(A) ⊕ E(B)

2.1.16 Mệnh đề Nếu Q là môđun nội xạ và không phân tích được thì

Q là môđun đều

Chứng minh Nếu A, B là các môđun con khác không của Q mà

Q (do Q nội xạ) nênE(A ⊕ B) là hạng tử trực tiếp của Q Mà A và B kháckhông nênE(A ⊕ B) = Q Theo bổ đề 2.1.15, ta có: E(A) ⊕ E(B) = Q Do

Q không phân tích được nên hoặc E(A) = 0 hoặc E(B) = 0 suy ra hoặc

tồn tại A ∩ B = 0 suy ra Q là môđun đều

2.1.17 Mệnh đề NếuM là môđun nội xạ không phân tích được thì vànhcác tự đồng cấu End(M ) là vành địa phương

Chứng minh Nếu α ∈ End(M ) là đơn cấu thì ảnh Im(α) là nội xạ, do

Bây giờ lấy β ∈ End(M ) không khả nghịch trong End(M ) Khi đó β

không đơn cấu suy ra Ker(β) 6= 0

Giả sử f 1 , f 2 không khả nghịch trong End(M ) Khi đó Ker(f 1 ) 6= 0,

không đơn cấu, hay (f 1 + f 2 ) không khả nghịch trong End(M )