Về định lý lie và ứng dụng Luận văn Thạc sĩ toán học

Do đó đại số Lie là một bộ phận quan trọng của toán học hiện đại và nó trở thành một công cụ hữu hiệu đối với các nghiên cứu trên đa tạp.. Lý thuyết về đại số Lie và đại số Lie giải được

MỤC LỤC

Trang

LỜI MỞ ĐẦU .2

Chương I ĐẠI SỐ LIE .4

I Đại số……… …… 4

II Đại số Lie …… 5

III Đồng cấu Lie 10

IV Đạo hàm trờn đại số Lie 13

Chương II ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC……… 19

I Đại số Lie lũy linh 19

II Đại số Lie giải được 23

III Định lý Lie 27

IV Áp dụng của định lý Lie 30

KẾT LUẬN 32

TÀI LIỆU THAM KHẢO 33

Lêi më ®Çu

Như chúng ta đã biết, trong sự phát triển của Toán học luôn xảy ra hai quá trình song song, đó là sự phân chia thành nhiều ngành để có sự nghiên cứu ngày càng sâu sắc, mặt khác có sự kết hợp các ngành Toán học khác nhau để có những thành tựu lớn Có thể nói: Lý thuyết về đại số Lie và đại số Lie giải được là sự kết hợp giữa các chuyên ngành Hình học – Tôpô, Giải tích và Đại số Do đó đại

số Lie là một bộ phận quan trọng của toán học hiện đại và nó trở thành một công

cụ hữu hiệu đối với các nghiên cứu trên đa tạp

Vào cuối thế kỷ 19 đã xuất hiện sự kết hợp lý thuyết nhóm và hình học Riemann trong các công trình chủ yếu của Phêlix Klein (1849 – 1925) và Xôphux Lie (1842 – 1899) Lý thuyết về đại số Lie và đại số Lie giải được cũng được ứng dụng nhiều trong các nghiên cứu về lý thuyết hệ động lực, vật lý lượng

tử và các ngành khác nhau của toán học

§¹i sè Lie giải được là một trong những vấn đề quan trọng của đại số Lie Trên cơ sở một số kết quả của các nhà toán học lớn như Serre, Helgason…, và một số tài liệu nghiên cứu theo hướng trên, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo

PGS TS Nguyễn Hữu Quang chúng tôi nghiên cứu đề tài: “ Về Định lý Lie và

ứng dụng”

Nội dung chính của luận văn là trình bày một cách chi tiết và có hệ thống các kiến thức của đại số Lie giải được và một số ứng dụng của nó Luận văn được chia làm hai chương:

Chương I Đại số Lie

Trong chương này, tác giả trình bày các khái niệm và một số tính chất cơ bản của đại số Lie Các tính chất đều được chứng minh một cách chi tiết

Nội dung của chương này cơ bản để phục vụ cho việc trình bày chương II

Nội dung của chương gồm có: I Đại số

II Đại số Lie

III Đồng cấu Lie,

IV Đạo hàm trên đại số Lie

Chương II Đại số Lie giải được:

Trong chương này tác giả trình bày một số tính chất cơ bản của đại số Lie giải được và các ứng dụng của nó

Nội dung của chương gồm có: I Đại số Lie lũy linh

II Đại số Lie giải được

III Định lý Lie

IV Áp dụng của định lý Lie

Luận văn được hoàn thành vào tháng 10 năm 2013 tại Trường Đại học Vinh, dưới sự hướng dẫn khoa học của thầy giáo PGS TS Nguyễn Hữu Quang Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy

Trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu, tác giả đã nhận được sự quan tâm, giúp đỡ tận tình của các thầy, cô giáo trong khoa Toán, khoa Sau đại học của Trường đại học Vinh, các bạn bè lớp Cao học K19 ngành Hình học-Tôpô Tác giả xin trân trọng cảm ơn các thầy, các cô cùng các bạn

Đặc biệt, tác giả xin bày tỏ sự biết ơn sâu sắc của bản thân đến các thầy giáo trong tổ Hình học, những người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tác giả hoàn thành khóa học và luận văn này

Vinh, tháng 10 năm 2013

Tác giả

CHƯƠNG I : ĐẠI SỐ LIE

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm cơ bản về đại số, đại

số Lie, đồng cấu Lie, và đạo hàm Lie Ở đây ta luôn giả thiết K là một trường

thỏa mãn tính chất song tuyến tính

Nghĩa là: +) [a, (b + c)] = [a, b] + [a, c]

+) Mn(R) cùng với phép cộng các ma trận, phép nhân ma trận với một số lập

thành không gian vectơ

+) Phép toán thứ ba (nhân hai ma trận với nhau) thỏa mãn tính chất song tuyến tính

Thật vậy, A, B, C  Mn(R) ;   K Theo cỏc tớnh chất đó biết của ma trận ta cú

) A(B + C) = AB + AC

) (A + B)C = AC + BC

) (A)B = (AB) = A(B)

b, Ta kí hiệu L(G) là tập hợp tất cả các dạng tuyến tính trên môđun G,

L(G)={f:GR/ f tuyến tớnh} Ta đưa vào L(G) các phép toán sau:

Giả sử G là một đại số trên K G được gọi là đại số Lie nếu tích trong[,] của G

thoả mãn tính chất phản xứng và đẳng thức Jacobi

Nghĩa là:

i) [x, y] = -[y, x]; x, y  G

ii) [[x, y], z] + [[y, z], x] + [[z, x], y] = 0 ; x, y, z  G

Chú ý: Điều kiện i có thể thay thế bằng [x, x] =0 ; x  G

1.2.2 Nhận xét:

a) Mọi đại số tầm thường G đều là đại số Lie

b) Cho G là một khụng gian vộc tơ n - chiều trờn trường K Cấu trỳc đại số Lie trờn G cú thể đươc xỏc định bởi tớch Lie của từng cặp vectơ thuộc cơ sở

{e1, e2, , en} đó chọn cho trước trờn G như sau: [ei, ej ] =

1

,1

n k ij k

a) Ta xột G = B ( R n ) là tập tất cả cỏc trường vộc tơ khả vi trong R n Ta đưa

vào G một tớch Lie là [X, Y] = D X Y  D Y X;  X, Y  B ( R n ) Khi đú G là một

Khi đú B (R n ) là khụng gian vộc tơ trờn trường R

Mặt khỏc, theo hỡnh học vi phõn thỡ tớch Lie [X, Y] = D X Y  D Y X cú tớnh chất

song tuyến tớnh nờn B (R n ) trở thành một đại số

Ở đõy ta chỉ kiểm tra cỏc điều kiện phản xứng và jacobi của [,]

Với mọi X thuộc B ( R n ), dễ thấy [X, X] = D X X - D X X = 0

Với mọi X, Y, Z thuộc B ( R n ), mọi f thuộc F( R n ), xét

[X, [Y, Z]] [f] = X[[Y, Z][f]] – [Y, Z][X[f]]

= X[Y[Z[f]]] – X[Z[Y[f]]] –Y[Z[X[f]]] + Z[Y[X[f]]]

Hoàn toàn tương tự ta có:

[Y, [Z, X]][f] = Y[Z[X[f]]] – Y[X[Z[f]]] – Z[X[Y[f]]] + X[Z[Y[f]]]

[Z, [X, Y]][f] = Z[X[Y[f]]] – Z[Y[X[f]]] – X[Y[Z[f]]] + Y[X[Z[f]]]

Cộng vế theo vế ta có [X, [Y, Z]] [f]+ [Y, [Z, X]][f] +[Z, [X, Y]][f]= X[Y[Z[f]]] –

X[Z[Y[f]]] –Y[Z[X[f]]] + Z[Y[X[f]]]+ Y[Z[X[f]]] – Y[X[Z[f]]] – Z[X[Y[f]]] + X[Z[Y[f]]] + Z[X[Y[f]]] – Z[Y[X[f]]] – X[Y[Z[f]]] + Y[X[Z[f]]] =0, mọi f thuộc

a, Giả sử G là một đại số kết hợp trên trường K Ta đặt

[a, b] = a.b  b.a ; a, b  G Khi đó G là đại số Lie

Thậy vậy :Ở đây, ta chỉ kiểm tra tính chất phản xứng và đẳng thức Jacobi của [,]

Ta cú [a, a] = a.a  a.a = 0

Và [a, [b, c]] + [b, [c, a]] + [c, [a, b]]

= [a, bc – cb] + [b, ca – ac] + [c, ab – ba]

= abc – acb – bca + cba +bca– bac– cab+acb+cab – cba – abc+ bac= 0

Vậy nếu G là một đại số kết hợp trờn trường K, với [a, b] = ab – ba;

a, b  G thỡ G là đại số Lie

b, Giả sử V là không gian vec tơ trên K Xét tích Lie : [f,g] = fg-gf với f,g 

End(V) Khi đó End(V) là một đại số Lie trên K ( ở đây End(V) là tập các tự

Do M, N là các Iđêan của G nên: [G, M]  M; [G, N]  N;

Suy ra: [G, [M, N]]  [M, N] + [N, M] = [M, N]. [M, N] là Iđêan của G

Trên G ta trang bị phép tính tích Lie như sau:

Với mọi x, y thuộc G thì

Giả sử  : G  G’ là một đồng cấu Lie Khi đó:

i) Im  là đại số Lie con của G’

ii) Ker  là Iđêan của G

Mặt khác: Ta có: [a’, b’] = [(a), (b)] = [a, b]  Im

 < [a’, b’]| a’, b’  Im>  Im  [Im, Im]  Im

 Im là đại số Lie con của G’

ii) a, b, c  Ker  (a) = (b) = 0;

,   K ta có: (a + b) =  (a) +  (b) = 0

 a + b  Ker  Ker là không gian vectơ con của L

Bây giờ ta chứng minh: [G, Ker]  Ker

Thật vậy, a  G, b  Ker  [a, b] = [(a), (b)] = [(a), 0] =0

 [a, b]  Ker  [G, Ker]  Ker

 Ker là Iđêan của G

1.3.4 Chú ý

i)  được gọi là đẳng cấu Lie nếu và chỉ nếu  song ánh và  là đồng cấu Lie

ii) Hai đại số Lie G, G’ được gọi là đẳng cấu nếu có đẳng cấu Lie

[ 1(a),  1(b)] = [  1(a),   1(b)] = [a, b] = ( 1[a, b])

Do  là song ánh nªn  1[a, b] = [ 1(a),  1(b)]

VËy  1 là đồng cấu Lie

Hay  1 là đẳng cấu Lie Tøc lµ G’ 2G

+) Giả sử G  G’; G’ G’’ Ta cã  các đẳng cấu Lie:

: G  G’ ; : G’ G’’

Ta chứng minh  : G G’’ cũng là đẳng cấu Lie

Thật vậy, do ,  là song ánh    cũng là song ánh

a, b  G ta có:   [a, b] = [(a), (b)] = [  (a),   (b)];

    là đồng cấu Lie, ta suy ra    là đẳng cấu Lie

 G  G’’

1.3.5 Mệnh đề

Ta ký hiệu L = {  |  là các tự đẳng cấu của đại số Lie G } Khi đó L lập thành

một nhóm với phép nhân các ánh xạ thông thường

Chứng minh:

Ta ký hiệu M = {  |  là các tự đẳng cấu của G, G là không gian véctơ} Lúc này M là một nhóm với phép nhân các ánh xạ thông thường Để chứng minh L là một nhóm, ta sẽ chứng minh L là nhóm con của M Cụ thể ta cần chứng minh

Từ đó ta có  1 là đồng cấu Lie Do đó  1 là đẳng cấu Lie Vậy L lập thành một

nhóm với phép nhân các ánh xạ thông thường

1.4.ĐẠO HÀM TRÊN ĐẠI SỐ LIE G

i)  D1 +  D2 là ánh xạ đạo hàm trên G  ,   K

ii) D = D1D2 - D2 D1 cũng là một ánh xạ đạo hàm trên G

Chứng minh:

Việc chứng minh mệnh đề i tương đối đơn giản, ta chỉ kiểm tra điều kiện ii)

trong định nghĩa, của ánh xạ D1D2 - D2 D1

Thật vậy, a, b  G ta có:

D[a, b] = (D1D2 - D2 D1)[a, b]

= D1(D2[a, b]) - D2(D1[a, b])

= D1([D2(a), b] + [a, D2(b) ]) - D2([D1(a), b] + [a, D1(b)]

= [D1(D2(a)), b] + [D2(a), D1(b)] + [D1(a), D2(b)] + [a, D1(D2(b))]

- [D2(D1(a)), b] - [D1(a), D2(b)] - [D2(a), D1(b)] - [a, D2(D1(b))]

= [(D1D2 - D2 D1)(a), b] + [a, (D1D2 - D2 D1)(b)]

 D là ánh xạ đạo hàm trên G

Kí hiệu: DerG = {D | D là ánh xạ đạo hàm trên G}

Ta đưa vào DerG các phép toán:

+) (D1 + D2)(a) = D1(a) + D2(a) ; a  G

[[D1, D2], D3](a) = [D1, D2](D3(a)) - D3([D1, D2](a))

= D1(D2(D3(a))) - D2(D1(D3(a))) - D3(D1(D2(a))) + D3(D2(D1(a)))

[[D2, D3], D1](a) = [D2, D3](D1)(a) - D1([D2, D3](a))

= D2(D3(D1(a))) - D3(D2(D1(a))) - D1(D2(D3(a))) + D1(D3(D2(a)))

[[D3, D1], D2](a) = [D3, D1](D2)(a) - D2 ([D3, D1](a))

= D3(D1(D1(a))) - D1(D3(D2(a))) - D2(D3(D1(a))) + D2(D1(D3(a)))

Ta biết rằng: Không gian véc tơ Euclid R3 cùng với tích Lie x y,   là đại x y

số Lie Với mỗi xR3, xét ánh xạ:

ad x : R3  R3

y  ad y x( )  x  y

Khi đó adx là một ánh xạ đạo hàm trên không gian các đại số Lie

Thật vậy, dễ thấy ad x là một ánh xạ tuyến tính

Mặt khác, với mọi y, z thuộc R3, ta có:

y  ad y x( )  x  y là một ánh xạ đạo hàm trên không

gian véc tơ Euclid R3

Chứng minh:

Để chứng minh G a là một idean của DerG ta cần chứng minh G a là không gian

véctơ con của DerG và [DerG, G a]  Ga

[a, b](y) = [[a, b], y] = [a, [b, y]] + [b, [a, y]] = ada[b, y] + adb [a, y]

= (a)((b)(y)) - (b)((a)(y)) = [(a), (b)](y) ; y  G

[a, b] = [(a), (b)]

VËy  là đồng cấu Lie

ii) Giả sử x  Ker, y  G; ta có: [x, y] = adx(y) = 0, y  G  x  T (T là tâm của G)

Ngược lại, x  T  [x, y] = 0, y  G  adx(y) = 0, y  G

 adx = 0  (x) = 0  x  Ker

 Ker = T

1.4.10 Nhận xét Cho G là một đại số Lie trên trường K Nếu  là một tự đẳng

cấu bất kỳ của G thì với mọi x thuộc G ta luôn có 1

) (



Chương II ĐẠI SỐ LIE GIẢI ĐƯỢC

Trong chương này chúng tôi trình bày một cách có hệ thống các khái niệm cơ bản , chứng minh các tính chất của đại số Lie giải được và chứng minh chi tiết định lý Lie, đồng thời xét một số ứng dụng của nó

Cũng trong chương này ta luôn giả thiết G là một đại số Lie hữu hạn chiều trên trường K có đặc số 0 và G tác động lên không gian véctơ V

2.1.ĐẠI SỐ LIE LŨY LINH

Cho đại số Lie G Ta ký hiệu:

(do G là đại số Lie giao hoán)

b) G là đại số Lie có chiều bằng 3 với cơ sở là e1,e2,e3cùng với tích Lie được xác định bởi:

[ x, [ y, z ] ] = [ x1e1+ x2e2+ x3e3, ( y1z2- y2z1) e3] = x1( y1z2- y2z1) [ e1, e3]

+ x2( y1z2- y2z1) [ e2, e3] + x3( y1z2- y2z1) [ e3, e3] = 0

Suy ra trong G có dãy Iđêan hữu hạn

3 2

G là đại số Lie và dãy giảm các Iđêan của G là G  A1  A2   A n  Khi

đó A i /A i+1 nằm trong tâm của G/A i+1  [G,A i]  A i1; i=1,2,3, ,n

Chứng minh:

Ta gọi tâm của G/Ai+1 là N thì [G/Ai+1 ,N] = 0 Do Ai/Ai+1  N nên

[ G/A i+1 , Ai /A i+1] = 0 hay [x+ Ai+1, y + Ai+1 ] = 0, xG, yA

<=> [x,y] + Ai+1 = 0 , xG, yAi

<=> [x,y]  A i+1, xG, yAi

<=> [G,Al]Al+1;i=l,2, ,n

2.1.4 Định lý:

Với G là một đại số Lie thì các phát biếu sau là tương đương:

a,G là đại số Lie lũy linh

b,Tồn tại n để [x1, [x2,[ ,[xn-1,xn ] ]= 0, x1,x2, ,xn G

c,Tồn tại một dãy các Iđêan hữu hạn A1,A2, ,An của G thỏa mãn:

0

G là lũy linh <=> có dãy (Cn ) và có n N để Cn =0

Với xG,yCi, i = l,2, ,n và tích Lie trong đại số thương G/Ai+1 ta có:

[y + Ci+1,x+ Ci+1] = [[x+y] + Ci+1], [x+y]  Ci+1 = [Ci+1] = [0]

tức là có Ai/Ai+1 T(G/Ai+1 ) (Ở đây T(G/Ai+1) là tâm của G/Ai+1)

i

C  ;i= 1,2, ,n bằng quy nạp Với i = l có C1 = G = A1 suy ra C1  A1 Giả sử Ci-1  Ai-1 đúng thì có

Ci = [G,Ci-1] = [G,Ai-1] Ai i= 1,2,3 ,n

Mà An = 0 suy ra Cn = 0 Vậy G lũy linh

Vì G lũy linh nên có n  N sao cho x 1 , x2, ,xn G có

[x 1 ,[x 2 ,[ ,[x n-1 ,x n ] ] = 0 Lấy y 1 ,y 2 , ,y n tùy ý thuộc Im  thì tồn tại

a1,a2, ,an G sao cho  a  i y i;i=1,2,3, ,n

Do điều kiện ở trên suy ra có [a1,[a2,[ ,[an-1,an] ]= 0 Hơn nữa vì  là đồng

cấu Lie nên  0  0, suy ra có [a1, [a2, [ , [a n1,a n] ] 0

Cho G là đại số Lie lũy linh Khi đó đại số con, đại số thương của G cũng là

đại số lũy linh

Vì G lũy linh nên tồn tại n để Gn = {0} suy ra xn = {0}

Vậy X lũy linh

b,Với H là Iđêan của đại số Lie lũy linh G Xét toàn cấu  : G —> G/H

a, Cho G là đại số Lie Dãy giảm các Iđêan của G

G  A1  A2  A3   An  , được gọi là dãy giải được nếu

Ai/Ai+1 giao hoán

b, Đại số Lie G được gọi là đại số Lie giải được nếu trong G tồn tại dãy giải

được hữu hạn G  A1  A2  A3   A n 0

2.2.2.Ví dụ.:

0 0 0 0

0

là đại số Lie giải được

Thật vậy: Xét G1 G,G khi đó, với  a c G

b a

0

1 1

1 1

,

G c a

b a

0

0

0

2 2

2 2

0

0 0

0 0

1 2 2 1

c a c a

b a b a Y

0 0

0 0

Ta xét 2  1 1

,G G

1 1

0 0 0

0 0

0 0

G c

0 0 0

0 0

0 0

G c

G là đại số Lie giải được

b, Mọi đại số Lie giao hoán, đại số Lie lũy linh đều là các đại số Lie giải được vì chúng đều có dãy giải được hữu hạn

c, Giả sử V không gian vectơ hữu hạn chiều trên K

 i n i 1



 là lá cờ trong V Ta ký hiệu B F( ) f EndV / ( )f V i V i1

Khi đó B(F) với [f,g]=gf-fg là một đại số Lie giải được

Thật vậy: chọn cơ sơ trong Vn: {e1,e2,e3, ,en}; sao cho ei Vi , i=1,2,3, ,n Giả sử '

1 1

e2’=a21e1+0e2+ +0en

e3’=a31e1+a32e2+0e3+ +0en

en’=an1e1+an2e2+an3e3+ +ann-1en-1+0en

.

.

0 0

0 0

0 0

1 2

1

32 31 21

nn n

a

a a

a A

Vậy B(F) được đồng nhất với tập hợp ma trận A với a i R

.

.

0 0

0 0

0 0

1 2

1

32 31 21

nn n

b

b b

Giải sử G là một đại số Lie Khi đó các khẳng định sau đây là tương đương

a, G là đại số Lie giải được

b, Dãy dẫn xuất của G thỏa mãn G D1  D2  D n  0

An-1 Dn

An Dn+1 suy ra Dn+1=0, vậy D1 D2  Dn+1=0

(b)(a): Hiển nhiên vì ta lấy Ai=Di

Ta cần chứng minh {Di} giải được

Giả sử G là đại số Lie giải được, khi đó

a, Mọi đại số con của G đều là đại số Lie giải được