Bao nội xạ của môđun những hình ảnh cụ thể của nó

Trên vành giao hoán Noether, mỗi môđun nội xạ được phân tích một cách duy nhất thành tổng trực tiếp của các môđun không phân tích được, và vì vậy chúng ta biết rõ hơn về cúc trúc của chú

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đoàn Văn Tuấn Khanh

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Đoàn Văn Tuấn Khanh

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Bùi Tường Trí Nhân dịp này tôi xin bài tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập cũng như quá trình hoàn thành luận văn

Tôi xin cảm ơn tất cả các Thầy Cô, các cán bộ trong khoa Toán – Tin

của trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là các Thầy trong tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học

Tôi xin cam đoan luận văn do chính tôi làm dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Bùi Tường Trí Tôi không sao chép luận văn của người khác Nếu lời cam đoan của tôi không đúng sự thật thì tôi sẽ bị xử lý theo đúng pháp luật

Người viết cam đoan Đoàn Văn Tuấn Khanh

Trang ph ụ bìa

L ời cảm ơn

L ời cam đoan

M Ở ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Môđun – Môđun con – Môđun thương 2

1.2 Đồng cấu môđun 7

1.3 Tích tr ực tiếp – Tổng trực tiếp 11

1.4 Tích Tenxơ 15

1.5 Môđun cốt yếu - Đối cốt yếu 17

1.6 Môđun nội xạ 18

1.7 Môđun Noether – vành Noether 24

1.8 Gi ới hạn trực tiếp 25

Chương 2 BAO NỘI XẠ CỦA MÔĐUN NHỮNG HÌNH ẢNH CỤ THỂ C ỦA NÓ 27

2.1 M ở rộng cốt yếu và bao nội xạ 27

2.2 Nh ững ví dụ cụ thể về bao nội xạ của Môđun 30

2.3 Tính n ội xạ trên vành Noether 37

K ẾT LUẬN 41

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 42

∏ : Tích trực tiếp của họ các đồng cấu ( ,f i i ∈I)

x⊗y : Tích tenxơ của hai phần tử x và y

M⊗N : Tích tenxơ của hai môđun M và N

E(M): Bao nội xạ của môđun M

N⊂M : N là môđun con của M

MỞ ĐẦU

Trong lý thuyết vành và môđun khái niệm nội xạ và xạ ảnh được xem là hai trong những khái niệm cơ bản nhất Khái niệm môđun nội xạ được đưa ra bởi R.Bayer năm 1940 và sau đó là một loạt khái niệm liên quan được đưa ra như là khái niệm bao nội xạ, giải nội xạ, chiều nội xạ,…Chúng có nhiều ứng dụng đối với nghành Đại số nói chung và nghành Đại số giao hoán nói riêng Trên vành giao hoán Noether, mỗi môđun nội xạ được phân tích một cách duy nhất thành tổng trực tiếp của các môđun không phân tích được, và vì vậy chúng ta biết rõ hơn về cúc trúc của chúng

Bao nội xạ là mở rộng cốt yếu cực đại và cũng là mở rộng nội xạ tối tiểu Lớp môđun nội xạ là lớp môđun quan trọng trong Đại số hiện đại Hiện nay người ta đã mở rộng các lớp môđun đó và đã thu được nhiều kết quả quan trọng Trong phạm vi luận văn này tôi đi sâu nghiên cứu về lớp môđun nội xạ với đề tài “Bao nội xạ của môđun - những hình ảnh cụ thể của nó”

Bố cục luận văn chia làm hai chương:

♦ Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa cơ bản của lý thuyết vành có liên quan đến nội dung của đề tài Cụ thể tôi sẽ trình bày tóm

tắt các khái niệm, kí hiệu và tính chất của môđun và môđun nội xạ

♦ Chương 2 Bao nội xạ của môđun - những hình ảnh cụ thể của nó

Trong chương này tôi đề cập đến ba nội dung chính Nội dung thứ nhất trình bày chi tiết và hệ thống các khái niệm, chứng minh các tính chất về mở

rộng cốt yếu và bao nội xạ của môđun Nội dung thứ hai tôi sẽ nêu ra một số

ví dụ cụ thể về bao nội xạ của môđun để qua đó ta thấy rõ được hình ảnh cụ

thể của bao nội xạ Nội dung thứ ba tôi sẽ đi nghiên cứu về tính nội xạ trên vành Noether thông qua định lý Bass Papp và các hệ quả của nó

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Môđun – Môđun con – Môđun thương

với mọi m m, ' ∈M và mọi r r, ' ∈R

Tương tự, một R môđun trái là một nhóm aben M cùng với phép nhân vô hướng rm (r∈R m, ∈M) thỏa

với mọi m m, ' ∈M và mọi r r, ' ∈R

Nếu R là vành giao hoán thì các khái niệm R môđun phải và R môđun trái trùng nhau và được gọi là R môđun

1.1.2 Ví dụ

Phép nhân bên phải trên vành R là phép nhân vô hướng của R lên nhóm aben R và thỏa mãn các tiên đề của môđun Bởi vậy R là R môđun phải Tương tự R cũng là R môđun trái Do đó R là R môđun

Mỗi ideal phải của R là R môđun phải, mỗi ideal trái của R là R môđun trái

Giả sử R=Z là vành các số nguyên Mỗi nhóm aben A có cấu trúc như Z

môđun

Có thể nói khái niệm môđun là mở rộng của khái niệm nhóm aben và không gian vectơ

1.1.3 Định nghĩa

Giả sử M là R môđun phải Tập con A của M được gọi là môđun con của

M nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân vô hướng của M hạn chế trên A

1.1.4 Bổ đề

Giả sử M là R môđun phải Nếu A là tập con khác rỗng của M thì các điều sau tương đương

(a) A là môđun con của M

(b) A là nhóm con cộng của M và với mọi a∈A r, ∈R ta có ar∈A

(c) Giả sử m0 là phần tử của R môđun M, I là ideal phải của vành R Tập

hợp các phần tử m0 α trong đó α chạy khắp I là một môđun con của M Kí

hiệu m I0

(d) Giả sử A và B là hai môđun con của M thì A∩B cũng là môđun con

của M và A B+ = {a b a+ / ∈A b, ∈B} cũng là môđun con của M

1.1.7 Định nghĩa

Giả sử X là một tập con của R môđun M Môđun con bé nhất A chứa X

gọi là môđun con sinh bởi X và X là một tập sinh hay hệ sinh của A Trong trường hợp A=M ta nói X là hệ sinh của M và M được sinh bởi X Nếu M có

hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R môđun hữu hạn sinh

Nếu môđun con sinh bởi một phần tử thì ta gọi môđun đó là môđun con xiclic

1.1.8 M ệnh đề

Giả sử X là một tập con của R môđun M Các mệnh đề sau tương đương:

1) A là môđun con sinh bởi tập X

2) A= {∑xr x/x∈X r, x∈R} trong đó r x bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn

Cho A là tập sắp thứ tự Nếu mỗi tập con sắp thứ tự hoàn toàn trong A

có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại

với phép nhân vô hướng (m+A)r = mr+A và được gọi là môđun thương

1.1.17 Định nghĩa môđun đơn (môđun bất khả qui)

R – môđun M được gọi là môđun đơn (hay môđun bất khả qui) nếu M

chỉ có hai môđun con tầm thường là (0) và M

1.1.18 Định nghĩa môđun nửa đơn

R – môđun M được gọi là môđun nửa đơn (hay môđun hoàn toàn khả qui) nếu M phân tích được thành tổng trực tiếp của các môđun đơn

1.1.19 Định lí

Đối với mỗi R – môđun M, các phát biểu sau đây là tương đương (i) M là nửa đơn

(ii) Mọi môđun con của M đều là hạng tử trực tiếp của M

(iii) M là tổng của một họ môđun con đơn

1.1.20 B ổ đề

Cho M là R – môđun phải (tương ứng, môđun trái) và là môđun đơn Khi

đó R có iđêan phải (iđêan trái) đẳng cấu với M khi và chỉ khi

M*=Hom M, R ≠ 0

1.1.21 Định nghĩa vành đơn, vành nửa đơn

Vành R ≠0 được gọi là vành đơn (nửa đơn) nếu R là môđun đơn (nửa đơn) trên chính nó

1.1.22 Định lí

Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương:

(i) R là R – môđun phải nửa đơn

(ii) R là R – môđun trái nửa đơn

(iii) Mọi R – môđun phải M là môđun nửa đơn

(iv) Mọi R – môđun trái M là môđun nửa đơn

1.1.23 Vành nguyên – vành chia

Vành nguyên:

Vành R được gọi là vành nguyên nếu R 0≠ và ab 0= ⇒ = hoặc a 0

Với mọi x y, ∈M r, ∈R Nếu N=M thì f được gọi là tự đồng cấu của M

Một đồng cấu R môđun còn được gọi đơn giản là đồng cấu nếu không

Ta cũng định nghĩa đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu môđun tương tự đồng

cấu nhóm Cụ thể f M: →N được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f

là đơn ánh (toàn ánh, song ánh)

Đối với đồng cấu môđun f M: →N ta kí hiệu imf = f M( ) và

f− V = ∈x M f x ∈V là môđun con của M

Đặc biệt imf và kerf là những môđun con tương ứng của N,M

1.2.3 Mệnh đề

Giả sử f X: →Y là một đồng cấu R môđun Khi đó các điều sau tương đương:

1) f là đơn cấu

2) f giản ước được bên trái nghĩa là đẳng thức fϕ 1 = fϕ 2 ⇒ ϕ ϕ 1 = 2 trong

đó ϕ ϕ 1 , 2 là những đồng cấu từ R môđun tùy ý M tới X

ψ

Trong đó ψ :A→A/ ker ϕ là toàn cấu tự nhiên, còn ϕ ' là đơn cấu Hơn

nữa ϕ ' là toàn cấu khi và chỉ khi ϕ là toàn cấu

coimϕ = A ϕ là đối ảnh của ϕ

Như vậy coimϕ ≅imϕ

ϕ

'

ϕ

1.2.11 Định lý (định lý về tính phổ dụng của hạt nhân và đối hạt nhân)

Trong biểu đồng các đồng cấu môđun

Được gọi là khớp tại B nếu imα = ker β Dãy được gọi là khớp nếu nó

khớp tại mọi môđun khác hai đầu của dãy

Dãy khớp dạng : 0  → A α→ → B β C → 0 được gọi là dãy khớp

ngắn

1.2.13 M ệnh đề

Cho đồng cấu R môđun α: A→B Khi đó:

1) Dãy 0  → A α→B là khớp nếu α đơn cấu

2) Dãy Aα→ B → 0 là khớp nếu α toàn cấu

i ϕ

ψ

ρ

3) Dãy 0  → A α→ B → 0 là khớp nếu α đẳng cấu

Một hệ quả trực tiếp của mệnh đề trên là trong dãy khớp ngắn α là đơn

cấu còn β là toàn cấu

là một R môđun, gọi là tích trực tiếp của họ (A i i / ∈I)

Trường hợp A i =A với mọi i∈I ta kí hiệu I

i I

Môđun AR được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con

(A i i/ ∈I) nếu các điều kiện sau thỏa:

1.3.8 Bổ đề

Môđun AR là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con (A i i/ ∈I) nều và

chỉ nếu mỗi phần tử a∈A biểu diễn duy nhất dưới dạng :

1) Giả sử V =V K là không gian vectơ trên trường K và {a i/i∈I} là cơ sở

của nó Khi đó hiển nhiên i

I

V = ⊕a K 2) Trong ZZ mọi môđun con đều có dạng mZ, m∈N Với m≠ 0,m≠ 1 thì

mZ không là hạng tử trực tiếp Thật vậy nếu Z =mZ⊕nZ thì

hạng tử trực tiếp trong B Toàn cấu β: B→A được gọi là chẻ ra nếu Kerβ là

Dãy khớp ngắn 0  → A α→ → B β C → 0 được gọi là chẻ ra nếu

Im α =Kerβ là hạng tử trực tiếp của B

1.3.15 Mệnh đề

Đối với dãy khớp ngắn 0  → A α→ → B β C → 0 ta có các phát

biểu sau tương đương:

a) 0  →Hom M A( , ) →α* Hom M B( , ) →β* Hom M C( , )

b) 0  →Hom C M( , ) →β* Hom B M( , ) →α* Hom A M( , )

Trong đó M là R môđun tùy ý α =Hom id( , ) α , *

( , )

α = α (tương

a) 0  →Hom M A( , ) →α* Hom M B( , ) →β* Hom M C( , )

b) 0  →Hom C M( , ) →β* Hom B M( , ) →α* Hom A M( , )

A

1.4.3 M ệnh đề

Nếu (T,f’) và (T’,f’) đều là tích tenxơ của M R và R L thì tồn tại đẳng

cấu duy nhất j T: →T' sao cho jf = f '

1.4.4 Mệnh đề (sự tồn tại )

Tích tenxơ của M và L thì tồn tại

1.4.5 Nh ận xét

Ta kí hiệu tích tenxơ của hai môđun M R và R L là

R

T =M⊗ =L M ⊗L Ánh xạ tuyến tính trong f M: × →L M ⊗L không bao giờ là đơn ánh, trừ khi M = =L 0 Do đó không thể đồng nhất M×L với một tập con của M⊗L

Ta kí hiệu : f x y( , ) = ⊗x y và gọi là tích tenxơ của hai phần tử x và y

1.4.7 Định nghĩa ( Tích tenxơ các đồng cấu )

Giả sử µ :M →M' và λ :L→L' lần lượt là R môđun phải, trái Khi đó

1.4.8 Mệnh đề

Nếu M i (i∈I) là những R môđun phải và L là một R môđun trái thì

tồn tại một đẳng cấu tự nhiên ( i) ( i )

I M R L I M R L

⊕ ⊗  ⊕ ⊗

1.4.9 M ệnh đề

Tích tenxơ hai đơn cấu không là đơn cấu

1.5 Môđun cốt yếu - Đối cốt yếu

1.5.1 Định nghĩa

Môđun con A của M được gọi là cốt yếu (lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có A∩ ≠B 0 ( nếu A∩ = ⇒ =B 0 B 0) Khi đó ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của A và kí hiệu A⊆e M

Ví dụ: 1) Đối với mỗi môđun M ta đều có M ⊆e M

2) Xem vành các số nguyên Z như môđun trên chính nó Khi đó

mỗi ideal khác không trong Z đều cốt yếu, bởi vì đối với hai ideal khác không

Ví dụ : 1) Đối với mỗi môđun M ta đều có 0 ⊆s M

2) Trong Z môđun tự do chỉ có môđun tầm thường 0 là đối cốt yếu

1.6.5 Định lý (Tiêu chuẩn Baer)

Môđun Q là nội xạ khi và chỉ khi đối với mỗi ideal phải U ⊂R R và mỗi đồng cấu f U: →Q đều tồn tại đồng cấu h R: R →Q sao cho hi=f, trong đó i là phép nhúng từ U vào R

Chứng minh :

Điều kiện cần là hiển nhiên

Bây giờ ta đi chứng minh điều kiện đủ

Trong đó α là đơn cấu Gỉa thiết rằng trong B tồn tại môđun con thực sự

C của B sao cho Im α ⊂C và tôn tại đồng cấu γ : C→Q sao cho ϕ γα = Ta sẽ

khẳng định rằng khi đó tồn tại môđun C1 của B thực sự chứa C và tồn tại

ϕ

đồng cấu γ 1: C1 →Q sao cho ϕ γ α = 1 ( và do đó γ 1/ C= γ )

Để hứng minh khẳng định này ta lấy b∈B và b∉C và đặt C1 = +C bR

Nếu C∩bR= 0 thì γ có thể mở rộng trên C1 một cách tầm thường

Nếu C∩bR≠ 0 thì ta có thể làm như sau Gọi U = ∈ {u R bu/ ∈C}

Rõ ràng U là iđêan phải trong R và ánh xạ :U C

 là một R đồng cấu Đặt ξ λζ = , ξ:U →Q Theo giả thiết tìm được đồng cấu ρ: R→Q sao cho ξ ρ = i nghĩa là biểu đồ sau giao hoán

γ = ϕα − ta có ϕ γ α = 0 Bây giờ ta có thể kéo dài γ 0 lên B nhờ bước 1 và bổ

đề Zorn Cụ thể giả sử T là tập tất cả các cặp ( , )C γ trong đó C0 ⊂ ⊂C B và

γ → , γ / C0 = γ0

Tập T ≠ ∅ vì (C , γ ) ∈T Ta đưa vào T quan hệ thứ tự

i ρ

Bây giờ giả sử A là một dây chuyền trong T và D= ∪C với ( , )C γ ∈A

Rõ ràng C0⊂ ⊂D B Hơn nữa giả sử :

do bước 1 phần tử tối đại này phải bằng ( , )Bψ trong đó ϕ ψα =

Điều này kết thúc phép chứng minh

U của B sao cho D∩ =U 0 Tập Γ ≠ ∅ do U = ∈Γ 0 Áp dụng bổ đề Zorn ta

thấy rằng trong B có phần tử tối đại chẳng hạn V Khi đó D V+ = ⊕D V Bây

giờ ta sẽ chứng tỏ B= ⊕D V

Lấy phần tử tùy ý b∈B Xét iđêan I = ∈ {x Z bx/ ∈ +D V} Do Z là vành chính nên I =mZ Hơn nữa I ≠ 0 vì nếu I = 0 thì nhóm con H sinh bởi B thỏa điều kiện H∩ (D V+ ) = 0 Từ đó (H+V) ∩ =D 0, trái với tính tối đại của V

Giả sử bm=d0 +v0 Do D chia được nên tồn tại d' ∈D sao cho md' =d0 Khi đó V0 = − (b d m') Ta khẳng định rằng D∩ (V + − (b d Z') ) = 0

Thật vậy: giả sử d = + −v (b d x') là một phần tử thuộc giao Khi đó

xạ nên tồn tại Z đồng cấu β: B→D sao cho σϕ βα = Bây giờ ta xác định

β

f M →Hom R D sao cho f m r( )( ) = µ (mr), m∈M r, ∈R

Rõ ràng f là đồng cấu R môđun Từ tính đơn cấu của µ suy ra tính đơn

cấu của f Định lý được chứng minh

1.6.10 Bổ đề

Cho R là miền nguyên giao hoán với trường các thương K và cho I là K không gian vectơ trên trường K thì IR là R môđun nội xạ

1.7 Môđun Noether – vành Noether

1.7.1 Điều kiện dây chuyền tăng (ACC)

Một họ các tập con { }Ci i I∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (viết tắt là ACC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền

vô hạn, tăng nghiêm ngặt :

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:

(i) Mọi dây chuyền tăng Ci1 ⊆Ci2 ⊆ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n∈ sao cho

C =C + =C + =

(ii) Mọi họ con khác rỗng của họ đều có phần tử tối đại

1.7.2 Điều kiện dây chuyền giảm (DCC)

Một họ các tập con { }Ci i I∈ của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (viết tắt là DCC) nếu trong họ không tồn tại một dây chuyền

vô hạn, giảm nghiêm ngặt:

Điều này tương đương với một trong các khẳng định sau:

(i) Mọi dây chuyền giảm Ci1 ⊇Ci2 ⊇ trong họ đều dừng, nghĩa là tồn tại n∈ sao cho

Tính chất: Môđun M là Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M đều hữu hạn sinh

1.7.4 Vành Noether – vành Artin

Vành Noether:

Vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu R là Noether khi được xem như R – môđun trái (phải) Nói cách khác, vành R được gọi là vành Noether trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

+ Mọi dây chuyền tăng các iđêan trái (phải) của R đều dừng

+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối đại Vành Artin:

Vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu R là Artin khi được xem như R – môđun trái (phải) Nói cách khác, vành R được gọi là vành Artin trái (phải) nếu một trong các điều kiện sau thỏa mãn:

+ Mọi dây chuyền giảm các iđêan trái (phải) của R đều dừng

+ Mọi tập khác rỗng gồm các iđêan trái (phải) của R đều có phần tử tối tiểu Định lý:

Nếu R là vành Artin phải thì R cũng là vành Noether phải

1.8 Giới hạn trực tiếp

1.8.1 Định nghĩa

Cho { }Aα ,α∈ là mI ột họ các R-môđun với I là một tập định hướng

Với mỗi (α β thu, ) ộc I, α ≤ β, gαβ là R-đồng cấu từ Aα vào Aβ

Giả sử gαβ thỏa mãn điều kiện:

i Với mỗi α∈I, gαα là đồng cấu đồng nhất

ii Nếu có α ≤ β ≤ γ thì gαγ =g gβγ αβ

Ta gọi {A gα, αβ} là một hệ trực tiếpcủa R-môđun trên I