Môđun đối buchsbaum luận văn thạc sĩ toán học

Cấu trúc của môđun đối Cohen – Macaulay đã được biết đến thông qua các tính chất của hệ tham số, dãy đối chính qui, tập các iđêan nguyên tố gắn kết, đồng điều địa phương….. Tương tự như

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN TUẤN KIỆT

MÔĐUN ĐỐI BUCHSBAUM

luËn v¨n th¹c sü to¸n häc

Nghệ An - 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

NGUYỄN TUẤN KIỆT

MÔĐUN ĐỐI BUCHSBAUM

51.2 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic

71.3 Giá của môđun

81.4 Biểu diễn thứ cấp

91.5 Chiều Noether, hệ tham số và số bội của môđun Artin

10

1.7 Đồng điều địa phương

141.8 Dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay 15

Chương 2 Môđun đối Buchsbaum

17

2.2 Môđun đối Buchsbaum trên vành địa phương

182.3 Môđun đối Buchsbaum trên vành không nhất thiết địa phương

30

Tài liệu tham khảo……….………. 33

MỞ ĐẦU

Trong phạm trù các môđun Noether, môđun Cohen - Macaulay, môđunBuchsbaum và môđun Cohen - Macaulay suy rộng là ba lớp môđun quenthuộc trong Đại số giao hoán và có nhiều ứng dụng trong Hình học Đại số

Cho (R, m) là vành Noether, địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m và

M là một R−môđun hữu hạn sinh với chiều Krull là d ; x = ( x1, ,x d) là

một hệ tham số của M Đặt

( ; ) ( / ) ( ; )

I x M = l M xM −e x M ,trong đó l M xM( / ) là độ dài của môđun thương M/xM; e x M( ; ) là số bội

của M ứng với hệ số tham số x Chú ý rằng ( ;I x M luôn là số nguyên)

không âm M được gọi là môđun Cohen - Macaulay nếu nếu tồn tại một hệ

tham số x = ( x1, ,x d) của M sao cho ( ; I x M = 0 (khi đó ( ; )) I x M = 0 với mọi hệ tham số x của M) M được gọi là môđun Buchsbaum nếu ( ; I x M = c)

là hằng số với mọi hệ tham số x của M M là môđun Cohen - Macaulay suy

rộng nếu ( ;I x M < ) ∞ với mọi hệ tham số x của M.

Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọngnhư lớp môđun Cohen-Macaulay đã được nhiều nhà toán học nghiên cứu làlớp môđun đối Cohen-Macaulay Cấu trúc của môđun đối Cohen – Macaulay

đã được biết đến thông qua các tính chất của hệ tham số, dãy đối chính qui,

tập các iđêan nguyên tố gắn kết, đồng điều địa phương… Cho (R, m) là vành

Noether, địa phương với iđêan tối đại duy nhất là m và A là một R-môđun

Artin Với mỗi hệ tham số x của A trong m đặt

I(x; A) = l R (0: A x R) – e(x; R)

và I(A) = sup

x I(x; A), trong đó cận trên lấy trên tập tất cả các hệ tham số của

A Khi đó I(x; A) luôn nhận giá trị nguyên không âm và A là môđun đối Cohen-Macaulay nếu và chỉ nếu I(A) = 0.

Tương tự như trong phạm trù các môđun Noether, trong [4], Nguyễn TựCường, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn đã nghiên cứu lớp những

môđun Artin A thỏa mãn tính chất I(x; A) = c là hằng số với mọi hệ tham số x của A và họ gọi những môđun này là môđun đối Buchsbaum Rõ ràng lớp

môđun này chứa thực sự lớp môđun đối Cohen-Macaulay

Mục đích của Luận văn là dựa vào bài báo [4] của Nguyễn Tự Cường,Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn để trình bày về định nghĩa và một sốtính chất của môđun đối Buchsbaum

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, Luận văn đượcchia thành hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trình bàymột số khái niệm của Đại số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việctrình bày nội dung chính của Luận văn ở Chương 2 Ngoài ra chúng tôi còntrích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ chocác chứng minh ở phần sau

Chương 2: Môđun đối Buchsbaum Trong chương này chúng tôi trìnhbày những nội dung sau đây

2.1 Môđun Buchsbaum: Trong phần này chúng tôi trình bày về kháiniệm và một số tính chất của môđun Buchsbaum dựa theo [13] nhằm mụcđích so sánh với khái niệm môđun đối Buchsbaum sẽ trình bày ở các phầntiếp theo

2.2 Môđun đối Buchsbaum trên vành địa phương: Trong phần nàychúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của môđun đối Buchsbaumtrên vành địa phương theo [4]

2.3 Môđun đối Buchsbaum trên vành không nhất thiết địa phương:Trong phần này chúng tôi trình bày khái niệm và một số tính chất của môđunđối Buchsbaum trên vành không nhất thiết địa phương theo [4].

Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Nguyễn Thị HồngLoan - người đã hướng dẫn tận tình, chu đáo và nghiêm khắc trong suốt quátrình học tập và nghiên cứu Tác giả trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáotrong Bộ môn Đại số và Lý thuyết số, Khoa Toán học và Phòng Đào tạo Sauđại học thuộc Trường Đại học Vinh; phòng QLKH&SĐH trường Đại họcĐồng Tháp; các đồng nghiệp trường THPT Châu Thành 1 đã giúp đỡ trongsuốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn các anh chị,các bạn trong lớp cao học 18 - Đại số và Lý thuyết số đã giúp đỡ động viêntác giả trong suốt quá trình học tập

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, song luận văn không tránh khỏi nhữngsai sót Tác giả rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy giáo,

cô giáo và bạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An, tháng 10 năm 2012

Tác giả

CHƯƠNG IKIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại sốgiao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính củaLuận văn ở Chương 2 Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã códưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

1.1 Chiều Krull, hệ tham số và số bội của môđun Noether

1.1.1 Chiều Krull Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R :

ht p = sup {độ dài các xích nguyên tố với p0 =p}

Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được gọi

là chiều Krull của vành R , ký hiệu là dim R

Cho M là một R−môđun Khi đó dim(R/ AnnR M) được gọi là chiều

Krull của môđun M, ký hiệu là dim M

1.1.2 Hệ tham số Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether vớiiđêan tối đại duy nhất là m; M là một R -môđun hữu hạn sinh có chiều Krull

> 0

dim M = d Một hệ gồm d phần tử x: ( , , )= x1 x d của m được gọi là

một hệ tham số của M nếu lR(M x/( , ) )1 x M d < ∞ ( ( )l ∗ là kí hiệu độ dài

của R -môđun).

Sau đây là một số tính chất cơ bản của hệ tham số

(i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của M cũng là một hệ tham số của M

(ii)Nếu x: ( , , )= x1 x d là một hệ tham số của M thì với mọi i=1,2, ,d

d

cũng là một hệ tham số của môđun M

1.1.3 Số bội Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêancực đại duy nhất m; M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều KrulldimM = >d 0 Một hệ các phần tử x: ( , , , )= x x1 2 x t của m sao cho

tức ( , , )x2 x là hệ bội của môđun con t 0 :M x Vậy theo giả thiết qui nạp thì1

( , , ;t / )

e x x M x M và e x( , , ; 02 x t M x đã được xác định Khi đó ta định1)nghĩa:

Đặt biệt, nếu tồn tại i sao cho n 0

q

F n =l M q M+ là một hàm theo biến ,n hàm này được gọi là hàm Hilbert-Samuel.

1.2 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic

Cho (R,m) là một vành địa phương Ta xét R như một vành tôpô với cơ

sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt , với t = 0,1,2 Chú ý rằng cơ sở lân

cận của một phần tử tuỳ ý r R∈ gồm các lớp ghép r+mt với t = 0, 1,2 Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m adic của R ký hiệu bởi − µR được định nghĩa

bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau: Một dãy Cauchy trong R là một dãy ( )r n các phần tử của R sao cho với mọi t > 0, tồn tại số tự

nhiên n0 để − ∈mt

r r với mọi n m n, > 0.Dãy ( )r n được gọi là hội tụ về dãy không nếu với mọi t > 0 tồn tại số tự

nhiên n0 để − = ∈0 mt

r r với mọi n n> 0.

Hai dãy Cauchy ( )r n và ( )s n được gọi là hai dãy tương đương, ký hiệu

là ( ) ( )r n : s n nếu dãy (r n −s n) là dãy không Khi đó quan hệ ∼ trên tập cácdãy Cauchy là quan hệ tương đương Ta ký hiệu µR là tập các lớp tươngđương của các dãy Cauchy

Chú ý rằng nếu ( )r n và ( )s n là các dãy Cauchy thì các dãy (r n +s n) ,(r s n n) cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy (r n+s n) ,(r s n n) là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tươngđương của các dãy ( )r n và ( )s n , tức là nếu ( )r n : ( )r n, và ( )s n : ( )s n, thì(r n +s n) : (r n, +s n, ) và (r s n n) : ( )r s n n, , Vì thế µR được trang bị hai phép toánhai ngôi + và đồng thời cùng với hai phép toàn này, µR lập thành một vành.Mỗi phần tử r R∈ có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy mà

tất cả các phần tử trong dãy đều là r Vì thế ta có một đơn cấu tự nhiên giữa

các vành

µ( ),

→

a

trong đó ( )r là dãy mà tất cả các phần tử của nó đều là r.

Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là

{mt M} Khi đó ¶M là một µR-môđun với phép nhân vô hướng như sau: cho

Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Ký hiệu Rp và Mp tương ứng

là địa phương hóa của R và M tại p Gọi SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên

tố của vành R Khi đó tập con

1.4.1 Định nghĩa (i) Một R -môđun M được gọi là thứ cấp nếu M ≠ 0 và nếu

với mọi x R∈ , phép nhân bởi x trên M là toàn cấu hoặc lũy linh Trong

trường hợp này Rad(AnnR M) là iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p và ta gọi M

khác nhau và không có hạng tử N i nào là thừa, với mọi i =1, , n

Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa được về dạng tối

thiểu Khi đó tập hợp { , , }p1 pn là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối

thiểu của M và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của M, kí hiệu bởi

AttR M. Các hạng tử N i, i=1, , ,n được gọi là các thành phần thứ cấp của M.

1.4.2 Mệnh đề (i) Cho M là một R -môđun biểu diễn được Khi đó M ≠ 0 khi

và chỉ khi AttR M ≠ φ Trong trường hợp này tập các iđêan nguyên tố tối thiểu

của R chứa Ann ( )M chính là tập các phần tử tối thiểu của AttR M.

(ii) Cho 0 →M' →M →M'' → 0 là dãy khớp các R -môđun biểu diễn được Khi đó ta có

AttR M'' ⊆ AttR M ⊆ AttR M' È AttR M''.

Chú ý rằng mọi môđun Artin đều biểu diễn được Từ nay về sau luôn kí

hiệu A là một R – môđun Artin với R là vành không nhất thiết địa phương Nếu (R, m) là vành địa phương, kí hiệu E = E(R/m) là bao nội xạ của trường thặng dư R/m của R Xét hàm tử D( )− = Hom ( , ( / ))R − E R m từ phạm trù các R – môđun đến chính nó Vì E(R/m) là môđun nội xạ nên ( ) D − là hàm tửkhớp Hàm tử ( )D − được gọi là hàm tử đối ngẫu Matlis

1.4.3 Mệnh đề Gọi mj là các iđêan cực đại của vành R Các phát biểu sau là

đúng.

(i) AttRm j A={pRmj :p∈AttR A}.

m

qÇ q

(iii) Nếu R là vành địa phương, đầy đủ, thì ta có

a) Nếu N là R -môđun Noether, thì Att ( ( )) Ass ( ).R D N = R N

b) Nếu A là R -môđun Artin, thì Ass ( ( )) Att ( ).R D A = R A

1.5 Chiều Noether, hệ tham số và số bội của môđun Artin

1.5.1 Định nghĩa Chiều Noether của môđun Artin A, ký hiệu bởi N-dim R A,

được định nghĩa bằng quy nạp như sau:

Khi A = 0, đặt N-dim R A = -1.

Với A ≠ 0, cho một số nguyên d ≥ 0, ta đặt N-dim R A = d nếu N-dim R A < d

là sai và với mỗi dãy tăng A0 ⊆ A1 ⊆ các môđun con của A, tồn tại số nguyên

n0 sao cho N-dimR (A n +1 /An )< d, với mọi n > n0

Đã có nhiều tác giả nghiên cứu cấu trúc của các môđun Artin A thông qua

chiều Noether của chúng và một số tính chất của chiều Noether cho môđunArtin được xem là đối ngẫu với một số tính chất của chiều Krull cho môđunhữu hạn sinh đã được đưa ra

Cho A là một R-môđun Artin Đặt A= ∩∈Supp

=inf{ :t ∃x1, ,x t∈J A sao cho (0: ( , , ) )l A x1 x R t < ∞}

Tuy nhiên, nhiều tính chất của môđun Noether không phải luôn luôn được

“bảo toàn” qua đối ngẫu Matlis Cụ thể là, trong khi với mọi R-môđun

Noether M , ta luôn có dim M = maxp∈AssR M dim / ,R pthì nhìn chung ta chỉ có

Att

N-dim A „ maxp∈ R Adim /R p, (xem [6, Ví dụ 4.1]) Hơn nữa, ví dụ sau đây

cho thấy rằng, hai iđêan nguyên tố gắn kết trong tập AttR A có thể chứa nhau,

mặc dù chiều của các thành phần thứ cấp tương ứng với chúng bằng nhau.Đây cũng là một trong những khó khăn khi dùng tập iđêan nguyên tố gắn kết

để tính toán chiều Noether

1.5.3 Ví dụ Tồn tại môđun Artin A có biểu diễn thứ cấp tối thiểu là

,

k

A=∑B trong đó B k là pk - thứ cấp và tồn tại hai số nguyên k k≠ ' sao cho

'

N-dim B k = N-dim B k nhưng pk ⊂ pk'

Giả sử A là một môđun Artin trên vành địa phương (R, m) Khi đó A có

cấu trúc như một môđun trên vành đầy đủ m adic − µR của R, và nếu ψ : R →

µR là một đồng cấu vành chính tắc, với mỗi dãy (c n)n N∈ các phần tử của R sao

cho (ψ (c n))n N∈ hội tụ tới c$ của µR , và mỗi x∈A, thì dãy (c n x) n N∈ có giới hạnhằng và giới hạn đó là c$ x Các kết quả sau đây (xem [6, Mệnh đề 2.4, Hệ quả

2.5, Định lý 3.1, Hệ quả 3.6]) thường được dùng để chứng minh trongChương 2.

1.5.4 Bổ đề i) Giả sử rằng A A= ⊕ ⊕1 A r là một phân tích A thành tổng trực tiếp các môđun con A j , trong đó A j n 0(0 :A n j) (1 j r).

Chính vì vậy, ta có thể viết N-dim A thay cho N-dimR A hoặcN-dimRµA.

1.5.5 Bổ đề (i)N-dim A= 0 nếu và chỉ nếu A≠0và lR( )A < ∞ Trong trường hợp này AttR A= { } m Hơn nữa, nếu 0 →A' → →A A'' → 0 là dãy khớp các R-môđun Artin thì N-dimR A= max{N-dimR A', N-dimR A''},

(ii) N-dim dim / AnnA„ R R A= max{dim / : R p p ∈ AttR A} và tồn tại môđun Artin A sao cho N-dim < dim / AnnA R R A.

µ

N-dimA= dim / AnnR R A= max{dim / :R $ $∈ AttR A}.

(iv) Cho (R, m) là vành địa phương và M là R -môđun hữu hạn sinh với

dimM =d. Khi đó ta có

a) N-dim H Mmd( ) =d.

b) N-dim H Mmi ( ) „ ii, với mọi i „ - d− 1.

1.5.6 Bổ đề Cho A B= + +1 B n là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A, với

B i là pi -thứ cấp Khi đó x J∈ A là phần tử tham số của A nếu và chỉ nếu x∉ pi,

với mọi pi sao cho N-dim B i =d, với mọi i „ - n

Số bội hình thức e x A( ; ) của A ứng với hệ số bội x được định nghĩa bằng

quy nạp theo t như sau

Với t = 0, tức là lR( )A < ∞ , ta đặt e( ; ) φ A = lR( ).A

Với t > 0, đặt 0 :A x1 = ∈ {a A x a: 1 = 0}. Khi đó ( , , )x2 x t là hệ bội của 0 :A x1

và A x A/ 1 Vậy theo giả thiết quy nạp thì các số e x( , , ; /2 x A x A và t 1 )

t

x n = x x Khi đó ta có các tính chất sau.

(i) l (0 :A x n R( ) ) ≤n1 n tl (0 :A xR) và e x n A( ( ); ) =n1 n e x A t ( ; ).

(ii) Cho dãy khớp các R-môđun Artin 0 →A' → →A A'' → 0.Khi đó

x là một hệ bội của A nếu và chỉ nếu x là một hệ bội của A’ và A” và ta có

( ; ) = ( ; ') ( ; ")

e x A e x A +e x A (iii) Ta luôn có 0 „ e x A( ; ) „ l (0 :A xR). Hơn nữa e x A( ; ) 0 > nếu và chỉ nếu

1.6 Môđun đối đồng điều địa phương

Cho a một iđêan của R Khi đó, hàm tử a-xoắn Γ −a( ) từ phạm trù các

R -môđun vào phạm trù các R -môđun được xác định bởi ( ) 0(0 :M n)

n

M

≥

là hàm tử cộng tính, khớp trái, hiệp biến trong phạm trù các R-môđun với

hàm tử dẫn xuất phải thứ i là R iΓ − =a( ),i 1,2, môđun đối đồng điều địa phương H Mai( ) thứ i của M được định nghĩa bởi

H Ma = ΓR a M

Sau đây là một số tính chất cơ bản của môđun đối đồng điều địa phương.

5.1 Cho B là một A-đại số phẳng Khi đó ta có đẳng cấu:

Ha B⊗ M ≅ ⊗B H Ma Nếu I M n =0 với một số tự nhiên n nào đó thì H Ma0( )=M và với mọi i > 0

thì H Mai( ) 0.=

1.6.2 Cho k là số tự nhiên Khi đó H Mai( ) là môđun hữu hạn sinh với mọi

i k< nếu và chỉ nếu tồn tại một số tự nhiên n sao cho an H Mai( ) 0,= ∀ <i k

1.6.3 Khi a m là iđêan cực đại của R thì = H Mmi ( ) là R-môđun Artin Hơn

nữa H Mmi ( ) 0= với mọi i d>

6.7 Đồng điều địa phương

1.7.1 Định nghĩa ([5, Định nghĩa 3.1]) Cho I là một iđêan của vành Noether

R và M là một R-môđun môđun đồng điều địa phương thứ I( )

Các tính chất sau trong [5, Mệnh đề 3.3, Mệnh đề 4.6] thường được dùngtrong các chứng minh về sau trong Chương 2

1.7.2 Mệnh đề Cho µR là vành đầy đủ của R theo tôpô m-adic Khi đó

A làm cho A trở thành R-môđun Artin Mệnh đề sau đây là tính chất chuyển

đổi vành cơ sở của môđun đồng điều địa phương

1.7.3 Mệnh đề ([5, Hệ quả 3.7]) Cho : f R→R' là một đồng cấu giữa các

vành Noether và I là một iđêan của R Cho I( ) lim / t

1.7.4 Định lý ([5, Mệnh đề 4.8 ]) I( ) 0,

i

H A = với mọi i> N-dim A

Mệnh đề sau đây là tính chất I - tách của môđun đồng điều địa phương.

1.8 Dãy đối chính quy và môđun đối Cohen-Macaulay

1.8.1 Định nghĩa Cho M là một R-môđun tùy ý Một dãy các phần tử

Cho A là R-môđun Artin và I là một iđêan của R sao cho (0 : A I) 0.≠ Khi

đó độ dài của mỗi A-dãy đối chính quy trong I là hữu hạn và hai dãy đối chính quy tối đại trong I có chung độ dài Vì thế ta có định nghĩa sau.

1.8.2 Định nghĩa Độ rộng của A trong I, ký hiệu là Width I A, là độ dài của một A-dãy đối chính quy tối đại trong I Đặc biệt, nếu I = m thì ta gọi Widthm

A là độ rộng của A trong m và ký hiệu là Width A.

1.8.3 Chú ý (i) Đối với môđun Artin A khác không trên vành giao hoán R,

nếu các phần tử x1, , xn ∈ JA,thì điều kiện (0 : ( , , ) ) 0A x1 x R r ≠ trongĐịnh nghĩa 1.4.1 luôn được thỏa mãn

(ii) WidthI A = inf{ : R( ; / ) 0}

n

n Tor A R I ≠

(iii) Nếu x J∈ A là phần tử A-đối chính quy thì N-dim(0 :A xR) =

N-dimA−1. Do đó, mỗi A-dãy đối chính quy là một phần hệ tham số của A và

vì thế Width ( ) N-dim J A A ≤ A

1.8.4 Định nghĩa Cho (R, m) là vành địa phương Một R-môđun Artin A

được gọi là môđun đối Cohen-Macaulay nếu Width A= N-dim A

Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đã được nghiên cứu bởi nhàtoán học trên thế giới là môđun đối Cohen-Macaulay Lớp môđun này cũng

có những đặc trưng qua dãy đối chính quy, số bội, đồng điều địa phương(xem [ 5, Mệnh đề 4.8])

1.8.5 Định lý Cho A là một môđun Artin trên vành địa phương (R,m) Khi đó

các mệnh đề sau là tương đương :

(i) A là môđun đối Cohen-Macaulay.

(ii) Tồn tại một hệ tham số của A là A dãy đối chính quy.

(iii) Tồn tại một hệ tham số của A sao cho ( ; ) e x A =l(0 :A xR)

(iv) H im( ) 0,A = với mọi i≠ N-dim A