Tôpô liên kết với compact hóa một điểm trong không gian tôpô khalimsky luận văn thạc sĩ toán học chuyên ngành hình học và tôpô

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Lê Ngô Ngọc Nam TÔPÔ LIÊN KẾT VỚI COMPACT HÓA MỘT ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ KHALIMSKY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Th

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lê Ngô Ngọc Nam

TÔPÔ LIÊN KẾT VỚI COMPACT HÓA MỘT ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ KHALIMSKY

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Lê Ngô Ngọc Nam

TÔPÔ LIÊN KẾT VỚI COMPACT HÓA MỘT ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ KHALIMSKY

Chuyên ngành : Hình học và Tôpô

Mã số : 8460105

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2020

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng cá nhân

tôi, không sao chép của ai, do tôi tự nghiên cứu, đọc, dịch tài liệu, tổng hợp và

thực hiện Các số liệu, sử dụng phân tích trong luận văn có nguồn gốc rõ ràng,

được trình bày trong mục tài liệu tham khảo Các kết quả nghiên cứu trong

luận văn do tôi tự tìm hiểu, phân tích một cách trung thực, khách quan và phù

hợp với thực tiễn của Việt Nam Nếu có bất kỳ sự gian lận nào, tôi xin chịu

trách nhiệm về nghiên cứu của mình

Tác giả

Lê Ngô Ngọc Nam

LỜI CÁM ƠN

Trong quá trình xây dựng đề cương, nghiên cứu và hoàn thành luận văn thạc sĩ, tôi xin được bày tỏ sự cảm kích đặc biệt và biết ơn tới Tiến sĩ Nguyễn

Hà Thanh, giảng viên hướng dẫn khoa học Thầy đã luôn khích lệ, động viên

và tận tình hướng dẫn cho tôi trong suốt quá trình thực hiện luận văn Không những thế, các bài giảng của thầy đã giúp tôi mở mang thêm kiến thức về lĩnh vực hình học kỹ thuật số nói riêng và toán học nói chung Thầy cũng luôn là người cho tôi những lời khuyên vô cùng quý giá về chuyên môn cũng như là định hướng phát triển sự nghiệp và cách ứng xử trong cuộc sống Một lần nữa, tôi xin gửi tới thầy lời cám ơn chân thành nhất

Bên cạnh đó, tôi xin chân thành cám ơn quý thầy cô khoa Toán – Tin, quý thầy cô phòng Sau đại học, trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, quý thầy cô giảng dạy Cao học trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh và các bạn lớp Cao học K28, K30, trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn

Tôi cũng xin gửi lời cám ơn tới Ban lãnh đạo, Ban giám hiệu Hệ thống trường Song ngữ Quốc tế EMASI đã tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học thạc sĩ

Cuối cùng, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình tôi đã luôn bên cạnh động viên hỗ trợ tôi trong mọi mặt của cuộc sống Tôi cũng xin gửi sự trân trọng và cám ơn tới người vợ sắp cưới của tôi vì đã luôn ủng hộ khích lệ

và hỗ trợ tôi trong công việc để tôi có thể hoàn thành luận văn này

Xin chân thành cám ơn!

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 30 tháng 10 năm 2020

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cám ơn

Mục lục

Danh mục các ký hiệu

Danh mục bảng

Danh mục hình vẽ

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Không gian tôpô 4

1.2 Không gian Alexandroff 9

1.3 Tôpô Khalimsky 12

1.4 Không gian compact hóa một điểm của một không gian tôpô 20

Chương 2 KHÔNG GIAN COMPACT HÓA MỘT ĐIỂM CỦA TÔPÔ KHALIMSKY 24

2.1 Một số tính chất tôpô của  ,κ 24 

2.2 Không gian compact hóa một điểm của đường thẳng Khalimsky và mặt phẳng Khalimsky 30

2.3 Một số tính chất tôpô của không gian compact hóa một điểm của đường thẳng Khalimsky và mặt phẳng Khalimsky 36

Chương 3 KHÔNG GIAN TÔPÔ THƯƠNG CỦA  ,κ VÀ   * * , κ 53

3.1 Không gian thương của  ,κ 53 

3.2 Không gian thương của  * * , κ 62

KẾT LUẬN 66

TÀI LIỆU THAM KHẢO 68

DANH MỤC BẢNG

Bảng 2.1 So sánh một số tính chất tôpô của các không gian tôpô

Khalimsky ít chiều với các không gian compact hóa một điểm tương ứng 52

DANH MỤC HÌNH VẼ

Hình 1.1 Một phần của Đường thẳng Khalimsky 14 Hình 1.2 Một phần của Mặt phẳng Khalimsky 15 Hình 3.1 Một phép đồng phôi h từ X 1, 9 / ~1 lên Y4,1 2 / ~1 57

MỞ ĐẦU

Tôpô kỹ thuật số là chuyên ngành nghiên cứu các cấu trúc và tính chất tôpô trong ảnh kỹ thuật số Ngành học nghiên cứu, sử dụng các khái niệm và kết quả lý thuyết chính của tôpô để giải quyết các vấn đề quan trọng trong khoa học máy tính, đặc biệt là trong xử lý ảnh số gọi là hình học kỹ thuật số

So với hình học Euclide đã biết và tôpô đại cương, lĩnh vực này còn rất mới

mẻ, đặc biệt là ở Việt Nam

Tôpô kỹ thuật số được nghiên cứu lần đầu tiên vào năm 1960 bởi Azriel Rosenfeld (1931 – 2004) Năm 1989, Rosenfeld và cộng sự đã đề xuất tính liên thông kỹ thuật số, sau đó các phương pháp và thuật toán làm việc trên các đối tượng kỹ thuật số lần lượt được đề xuất và sử dụng Vào những năm 1980, Khalimsky đã công bố những bài báo của mình về một cấu trúc tôpô trong không gian kỹ thuật số cùng những ứng dụng của nó Từ đó, tôpô Khalimsky

là một trong những tôpô quan trọng nhất trong nghiên cứu và giải quyết các vấn đề liên quan trong hình học kỹ thuật số

Trong khi nghiên cứu về các tôpô Khalimsky 1 – chiều (đường thẳng Khalimsky, kí hiệu  , κ ) và 2 – chiều (mặt phẳng Khalimsky, kí hiệu 

 2 2

, κ ), ta có thể chứng minh rằng cả  , κ và   2 2

, κ đều không phải là các không gian compact cũng như Hausdorff Tuy nhiên, chúng lại là các không gian compact địa phương Từ đó, một cách tự nhiên, ta có thể compact hóa các không gian tôpô Khalimsky bằng cách sử dụng phương pháp compact hóa một điểm Alexandroff Ta ký hiệu  * *

, κ  và  2* 2*

, κ là các không gian compact hóa một điểm tương ứng với  , κ và   2 2

, κ Khi đó, ta có thể nghiên cứu các tính chất tôpô của các không gian compact hóa một điểm này, từ đó so sánh chúng với các tính chất tôpô của

 , κ và   2 2

, κ Việc nghiên cứu các tính chất này cho ta thêm nhiều công

cụ hơn trong việc nghiên cứu các tiên đề tách, tính compact, liên thông cũng như gợi ý về một hướng nghiên cứu mới mẻ hơn trên các tôpô khác của không gian kỹ thuật số như tôpô Marcus-Wyse, tôpô 𝜔 hay tôpô H mới được giới thiệu gần đây Bên cạnh đó, việc nghiên cứu các tính chất khác nhau của không gian kỹ thuật số có ứng dụng quan trọng và có tính thời sự vào ngành khoa học máy tính, đặc biệt là trong công nghệ xử lý hình ảnh

Vì những lý do trên, với đề tài: “TÔPÔ LIÊN KẾT VỚI COMPACT HÓA MỘT ĐIỂM TRONG KHÔNG GIAN TÔPÔ KHALIMSKY”, luận văn này sẽ trình bày một cách có hệ thống nghiên cứu về các không gian tôpô Khalimsky cùng với các không gian compact hóa một điểm tương ứng

Trong đó, đối tượng chủ yếu của luận văn là không gian tôpô Khalimsky

1 – chiều và 2 – chiều cùng các mối quan hệ giữa chúng và tôpô liên kết với compact hóa một điểm Alexandroff Trong luận văn có sử dụng các công cụ như các tiên đề tách , định lý Alexandroff và các định lý về không gian tôpô Phạm vi nghiên cứu của luận văn còn mở rộng lên các không gian tôpô thương của  * *

, κ , từ đó giới thiệu và phát triển một số cấu trúc tôpô mới

mẻ hơn

Nội dung của luận văn bao gồm 3 phần:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày lại các khái niệm cơ bản của không gian tôpô, các tiên đề tách, không gian Alexandroff, không gian tôpô Khalimsky cùng với một số tính chất cơ bản của tôpô này

Chương 2 Không gian compact hóa một điểm của tôpô Khalimsky

Chương này trình bày định nghĩa của không gian compact hóa một điểm Alexandroff và giới thiệu các không gian compact hóa một điểm của không gian tôpô Khalimsky Từ đó, trình bày, chứng minh các tính chất của không gian tôpô này và rút ra một số kết luận quan trọng

Chương 3 Không gian tôpô thương của  , κ và   2 2

, κChương này giới thiệu và chứng minh các tính chất của một số không gian tôpô thương của  , κ và   2 2

, κ , qua đó phát triển một số loại tôpô mới trong nghiên cứu

Nội dung luận văn tham khảo các ý tưởng trong bài báo “Topologies associated with the one point compactifications of Khalimsky topological spaces” của Sang-Eon Han và Il-Kang Na đăng trong tạp chí Topology and its Applications số 241 năm 2018 Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành tới các tác giả của bài báo trên đã giúp hình thành nên ý tưởng về vấn đề cần nghiên cứu của luận văn

Từ các ý tưởng và nội dung đó, sử dụng phương pháp tổng hợp, so sánh kiến thức từ những tài liệu chuyên ngành, luận văn đã trình bày chi tiết hơn những kiến thức liên quan nhằm làm rõ và chứng minh các vấn đề được nêu

ra trong bài báo Sau đó luận văn cũng chứng minh một số định lý khác liên quan tới logic của vấn đề và trình bày lại toàn bộ luận văn một cách có hệ thống

Trong quá trình nghiên cứu không tránh khỏi những thiếu sót và hạn chế, rất mong nhận được sự chỉ dẫn và đóng góp của quý Thầy Cô, quý độc giả để nội dung luận văn được hoàn thiện hơn Xin chân thành cám ơn!

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Để bắt đầu chương này, ta nhắc lại các khái niệm của không gian tôpô cùng một số định lý cơ bản Đa số các định lý này đã được chứng minh trong [21], [14], [15] Sau đó, luận văn giới thiệu về lớp các không gian Alexandroff, một lớp không gian rất quan trọng trong nghiên cứu các tôpô kỹ thuật số và chứng minh một số định lý liên quan Cuối cùng, ta cũng giới thiệu cấu trúc cơ bản của tôpô Khalimsky trên không gian n và chứng minh một số định lý liên quan tới tính mở, đóng của một tập con trong n

cũng như các kiến thức liên quan tới compact hóa một điểm của không gian tôpô

1.1 Không gian tôpô

Định nghĩa 1.1.1 Cho tập X Một họ τ các tập con của X được gọi là một tôpô trên X nếu thỏa các điều kiện sau:

a X,  thuộc τ;

b Hợp tùy ý các tập thuộc τ thì thuộc τ;

c Giao hữu hạn các tập thuộc τ thì thuộc τ

Tập X cùng với một tôpô trên X được gọi là một không gian tôpô, ký hiệu là (X, τ) hay ngắn gọn hơn là X nếu không cần chỉ rõ τ là tôpô trên X

Định nghĩa 1.1.2 Cho không gian tôpô (X, τ)

Tập AX được gọi là tập mở trong (X, τ) nếu Aτ

Tập BX được gọi là tập đóng trong (X, τ) nếu X \ A là tập mở

Định nghĩa 1.1.3 Cho không gian tôpô (X, τ) và các tập AX; UX.Tập U được gọi là một lân cận của A nếu  G τ : A G U Hơn nữa, nếu U là tập mở thì U được gọi là lân cận mở

Nếu A là tập một điểm x thì U được gọi là một lân cận của điểm x

Nếu Sxlà một lân cận mở của x thỏa mãn tính chất Sx U,  Ulà lân cận mở của x thì Sx được gọi là lân cận mở nhỏ chất của x

Định nghĩa 1.1.4 Cho không gian tôpô (X, τ) và AX; xX

Điểm x được gọi là điểm trong của A nếu A là một lân cận của x;

Điểm x được gọi là điểm ngoài của A nếu X \ A là một lân cận của x; Điểm x được gọi là điểm giới hạn của A nếu với mọi lân cận U của x ta luôn có UA \ x   ;

Điểm x được gọi là điểm dính của A nếu với mọi lân cận U của x ta luôn có U  A ;

Điểm x được gọi là điểm biên của A nếu với mọi lân cận U của x ta luôn có U  A và UX \ A 

Định nghĩa 1.1.5 Cho không gian tôpô (X, τ) và AX

Phần trong của A là tập hợp tất cả các điểm trong của A Ký hiệu: int(A) Bao đóng của A là tập đóng bé nhất trong X chứa A Ký hiệu: cl(A)

Định lý 1.1.6 Cho không gian tôpô (X, τ) và AX

a int(A) là tập mở lớn nhất nằm trong A

b x cl(A)  x là điểm dính của tập A

Định nghĩa 1.1.7 [14] Cho không gian tôpô (X, τ) và AX

Tập A gọi là tập nửa - mở trong X nếu tồn tại một tập mở U trong X sao cho U A cl U 

Tập A gọi là tập nửa - đóng nếu X \ A là tập nửa - mở trong X

Ta cũng dễ dàng chứng minh được các định lý sau:

Định lý 1.1.8

a Tập A gọi là tập nửa - mở trong X khi và chỉ khi Acl int A   

b Tập A gọi là tập nửa - đóng trong X khi và chỉ khi int cl A   A

Định nghĩa 1.1.9 Cho không gian tôpô (X, τ) và AX

a Tập A là tập trù mật trong X nếu với mọi x nằm trong X, giao của A

và lân cận bất kỳ của X là khác rỗng

b Tập A là tập trù mật khắp nơi trong X nếu với mọi tập mở G khác rỗng trong X thì G  A

c Tập A là tập không đâu trù mật nếu với mọi tập mở G khác rỗng trong

X thì tồn tại một tập mở VG sao cho V  A

Định lý 1.1.10 Cho không gian tôpô (X, τ) và AX

a Tập A được gọi là trù mật trong tập X khi và chỉ khi Xcl A 

b Tập A được gọi là tập trù mật khắp nơi trong X khi và chỉ khi

Định nghĩa 1.1.11 Cho không gian tôpô (X, τ) và AX

Tập A được gọi là tập compact nếu mọi phủ mở của A đều có chứa một phủ con hữu hạn

Tức là: nếu   V α α   I là một phủ mở của A thì tồn tại α  ,α  , ,α1 2  n I sao

Tập A được gọi là tập compact tương đối nếu cl(A) là tập compact

Không gian tôpô X được gọi là compact nếu tập X là tập compact

Định nghĩa 1.1.12 Không gian tôpô (X, τ) được gọi là không gian compact địa phương nếu mọi điểm x X đều có một lân cận chứa x trong X

c Nếu X và Y là hai không gian compact thì tích Descartes X × Y là không gian compact

Hơn nữa theo định lý Tychonoff, tích Descartes của bất kỳ một họ các không gian compact là compact

d Tập con đóng của tập compact là tập compact

e Tập compact trong không gian T2 là tập đóng

Định nghĩa 1.1.14 Cho không gian tôpô (X, τ) và AX

Tập A được gọi là liên thông nếu không tồn tại hai tập mở U, V trong X sao cho các điều kiện sau đây đồng thời xảy ra:

Khi đó, ta có các mệnh đề sau là tương đương:

i X là không gian liên thông

ii X không biểu diễn được là hợp của hai tập mở khác trống rời nhau iii X không biểu diễn được là hợp của hai tập đóng khác trống rời nhau

Định lý 1.1.15

a Nếu A là tập liên thông vàA  Bcl A  thì B cũng liên thông

b Nếu  Aα α   I là họ các tập liên thông và α

c Tích Descartes của các không gian liên thông là liên thông

Định nghĩa 1.1.16 Cho không gian tôpô (X, τ)

X được gọi là không gian T0 nếu x, y X, x  y, tồn tại tập mở chứa

x mà không chứa y hoặc một tập mở chứa y mà không chứa x

X được gọi là không gian T1 nếu x, y X, x  y, tồn tại tập mở chứa x

mà không chứa y và một tập mở chứa y mà không chứa x

X được gọi là không gian T2 (không gian Hausdorff) nếu

x, y X, x y

   , tồn tại hai tập mở rời nhau U và V sao cho xU vàyV.Bên cạnh các tiên đề tách cơ bản, theo [15], một lớp các không gian tôpô mới nằm giữa T0 và T1 được gọi là không gian 1

2

T đã được Levine giới thiệu

vào năm 1970 và được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.1.17 Cho không gian tôpô (X, τ) và AX

Tập A được gọi là một tập g-đóng nếu  U mở, A U cl A U

X được gọi là không gian 1

2

T nếu mọi tập g-đóng trong X đều đóng Theo đó, trong [15], tác giả cũng đã chứng minh một mệnh đề rất quan trọng để nhận biết một không gian là không gian 1

Theo [5], khi thay thế các khái niệm tập mở và tập đóng trong các định nghĩa trên lần lượt bằng tập nửa - mở, và nửa - đóng được định nghĩa tại [14],

S N Maheshwari và R Prasad cũng như P Bhattacharyya and B K Lahiri

đã định nghĩa các lớp các tôpô thỏa mãn các tiên đề nửa - tách như sau:

Định nghĩa 1.1.18 Cho không gian tôpô (X, τ)

X được gọi là một không gian nửa - T0 nếu x, y X, x y, tồn tại một tập nửa - mở chứa x mà không chứa y hoặc một tập nửa - mở chứa y mà không chứa x

X được gọi là một không gian nửa - T1 nếu x, y X, x y, tồn tại một tập nửa - mở chứa x mà không chứa y và một tập nửa - mở chứa y mà không chứa x

X được gọi là một không gian nửa - T2 nếu x, y X, x y, tồn tại hai tập nửa - mở rời nhau U và V sao cho xU và y V

Định nghĩa 1.1.19 Cho không gian tôpô (X, τ) và AX

Nửa - bao đóng của tập hợp A, ký hiệu scl A , là giao của tất cả các tập  nửa - đóng chứa A

Tập A được gọi là tập nửa - g-đóng trong X nếu  U là tập nửa - mở và

AU thì scl A U

Không gian tôpô X được gọi là không gian nửa - 1

2

T nếu ta có mọi tập

nửa-g-đóng trong X đều là tập nửa - đóng

Mệnh đề 1.1.20 [5] Một không gian tôpô X là không gian nửa - 1

2

T khi

và chỉ khi mọi tập một phần tử trong X là nửa - đóng hoặc nửa - mở

1.2 Không gian Alexandroff

Định nghĩa 1.2.2 Cho X là một không gian tôpô X được gọi là không

gian Alexandroff nếu giao của các tập mở bất kỳ là một tập mở

Như vậy, một số không gian quan trọng như không gian Euclide sẽ không phải là không gian Alexandroff Tuy nhiên, ngược lại không gian Alexandroff có nhiều tính chất thú vị mà không cần thiết với không gian tôpô thông thường (xem [3]) nhưng lại có ý nghĩa khi nghiên cứu một số không gian đặc biệt như không gian kỹ thuật số Sau đây, ta chứng minh một số mệnh đề quan trọng của không gian Alexandroff được sử dụng trong luận văn này

Mệnh đề 1.2.3 X là không gian Alexandroff khi và chỉ khi mọi điểm x

trong X đều có lân cận mở nhỏ nhất

Chứng minh

)

 Giả sử X là một không gian Alexandroff

Lấy x X , gọi V {UX;U là lân cận mở của X}

Gọi Sx  U với UVx, khi đó, vì X là không gian Alexandroff nên Sx

là tập mở chứa x

Mặt khác, theo định nghĩa của Sx ta suy ra Sx U, U V x

Vậy Sx là lân cận mở nhỏ nhất của x

)

 Giả sử mọi xX đều có một lân cận mở nhỏ nhất, ký hiệu là Sx Xét V α   I  Uα với Uα là tập mở bất kỳ của X

Nếu V  thì hiển nhiên V là tập mở

Nếu V , lấy x   V α I,  x U α, từ đó Uα là một lân cận mở của x với mọi α I Mặt khác Sx là lân cận mở nhỏ nhất của x nên ta có thể suy ra Sx U , αα  I Do đó, Sx V

Vậy ta suy ra V là tập mở do mọi điểm bất kỳ trong V đều có một lân cận mở chứa trong V ■

Mệnh đề 1.2.4 Một không gian Alexandroff với tiên đề tách T0 là một không gian nửa - 1

Do X là không gian Alexandroff nên tồn tại lân cận mở nhỏ nhất Vx của

x Mặt khác, tập một phần tử là nửa – mở trong X khi và chỉ khi nó là tập mở nên  x không phải là tập mở Do đó Vx có nhiều hơn một phần tử

Lấy yVx và yx, do V x là lân cận mở nhỏ nhất chứa x nên suy ra không tồn tại tập mở chứa x mà không chứa y Mà X là không gian T0 nên

suy ra tồn tại một tập mở chứa y mà không chứa x Khi đó, gọi V là lân cận ynhỏ nhất chứa y thì ta có Vy Vx và xVy

Khi đó suy ra Ux X \ x cl(U )x , vậy X \ x là tập nửa – mở nên  

 x là tập nửa đóng, mâu thuẫn vì x không phải là không gian nửa - 1

Z X Y, khi đó Z là một không gian nửa - 1

2

T Xuất phát từ các nghiên cứu về không gian Alexandroff , Khalimsky đã trình bày một cấu trúc tôpô trong không gian kỹ thuật số dựa vào định nghĩa

về các không gian tôpô liên thông xếp thứ tự (xem [11]) Phần tiếp theo của luận văn sẽ trình bày kỹ hơn về không gian tôpô Khalimsky

1.3 Tôpô Khalimsky

Tôpô Khalimsky được đưa ra lần đầu tiên vào năm 1980 dựa trên ý tưởng cơ bản về các không gian liên thông xếp thứ tự Khi áp dụng tính chất này lên tập các số nguyên ,ta có hai cách lựa chọn tôpô khác nhau với cùng cấu trúc, chỉ thay đổi tính chẵn lẻ của các phần tử Do đó, để mang tính thống nhất trong định nghĩa, ta xét họ các tập con của như sau :

Cho tập hợp các số nguyên , gọi κ là họ các tập con A thỏa mãn :

Suy ra giao hữu hạn các tập thuộc κ thì thuộc κ

Vậy κ là một tôpô trên ■

Định nghĩa 1.3.2 Tập hợp các số nguyên cùng với tôpô được trình

bày ở trên là một không gian tôpô được gọi là đường thẳng Khalimsky, ký hiệu  , κ 

Như vậy, theo định nghĩa của đường thẳng Khalimsky, ta dễ dàng nhận thấy rằng mỗi tập một phần tử  2n là tập đóng và mỗi tập 2n 1  là tập

mở Cấu trúc của đường thẳng Khalimsky được mô tả như ở Hình 1.1 Theo

đó, các điểm x 2n gọi là điểm đóng và các điểm x2n 1 gọi là điểm mở

Hình 1.1 Một phần của Đường thẳng Khalimsky

Với x , gọi V x là một lân cận mở chứa x trong κ   , κ được dịnh nghĩa:

1.2.3 thì hệ quả sau đây là hiển nhiên:

Hệ quả 1.3.3 Đường thẳng Khalimsky là một không gian Alexandroff

Như vậy, dựa vào cấu trúc của Đường thẳng Khalimsky, ta có thể môt tả cấu trúc của một Không gian tôpô Khalimsky n – chiều hay không gian tôpô tích sinh bởi họ gồm n Đường thẳng Khalimsky như sau:

Một điểm x xi i 1, ,n được gọi là điểm mở nếu tất cả các giá trị xi đều

là số lẻ, x xi i 1, ,n được gọi là điểm đóng nếu tất cả các giá trị xi đều là số chẵn; những điểm còn lại của n được gọi là các điểm hỗn hợp

Cụ thể hơn, ta có thể định nghĩa một Không gian tôpô 2 – chiều, hay còn gọi là Mặt phẳng Khalimsky như sau:

Định nghĩa 1.3.4 Mặt phẳng Khalimsky, ký hiệu  2 2

, κ , là không gian tôpô tích (không gian tôpô Tychonoff) của hai không gian tôpô  , κ 

Cấu trúc của Mặt phẳng Khalimsky được mô tả như ở Hình 1.2

x i; y | i 1;0;1 khi x = 2m; y=2n+1x; y k | k 1;0;1 khi x = 2m; y=2n+1

đều có lân cận mở nhỏ nhất, do đó theo Mệnh đề 1.2.3

ta cũng có hệ quả:

Hệ quả 1.3.5 Mặt phẳng Khalimsky là một không gian Alexandroff

Định lý 1.3.6 Cho đường thẳng Khalimsky  , κ và tập  A

a A là tập mở khi và chỉ khi nếu 2n A thì 2n 1 A 

b A không là tập đóng khi và chỉ khi tồn tại 2n 1 A  sao cho 2nAhoặc 2n 2 A 

Chứng minh

a Hiển nhiên từ cách xây dựng tôpô κ

b ) A không phải là tập đóng  A c không phải là tập mở Do đó theo câu a ta suy ra  2n Ac sao cho 2n 1 A  c hoặc 2n 1 A  c

)

 Lấy 2n 1 A  sao cho 2nA hoặc 2n 2 A

Vậy A không phải là tập đóng ■

Từ đó, áp dụng phương pháp chứng minh tương tự và sử dụng các công thức (1.1) và (1.2), ta dễ dàng có được các hệ quả sau đây

Hệ quả 1.3.7 Cho đường thẳng Khalimsky  , κ ,  ta có: 

c Nếu A là tập mở trong  2 2

, κ và z x; y A là điểm mở - đóng thì  x; y k | k    1;0;1 A

f Nếu A là tập đóng trong  2 2

, κ và z x; y A là điểm đóng – mở thì  x; y k | k    1;0;1 A

Hệ quả 1.3.9 Cho mặt phẳng Khalimsky  2 2

Định lý 1.3.10 Cho đường thẳng Khalimsky  , κ và tập  A

a A là tập nửa – đóng khi và chỉ khi nếu 2n A thì 2n 1 A  hoặc 2n 1 A 

b A là tập nửa – mở khi và chỉ khi nếu 2n A thì 2n 1 A  hoặc 2n 1 A 

   

2n 1;2n;2n 1 cl A

Mà 2n 1  và 2n 1  là các tập mở trong A nên suy ra 2nA

Vậy int cl A   A, suy ra A là tập nửa – đóng

b ) Lấy x2nA Do A là tập nửa – mở nên suy ra x cl int A      Giả sử rằng 2n 1 A  và 2n 1 A  , suy ra int A V xκ  

Định nghĩa 1.3.11 Cho không gian tôpô Khalimsky n – chiều, n

X

X được gọi là một không gian K-tôpô, ký hiệu  n 

X

X, κ , khi X là không gian tôpô con của  n n

, κ với tôpô κ là tôpô cảm sinh trên X từ tôpô nX κ nKhi đó, nếu V x là lân cận mở nhỏ nhất chứa x trong κ   n n

, κ thì ta

có lân cận mở nhỏ nhất của x trong X là VκX x := V xκ X

Dựa vào đó, ta có các định nghĩa sau:

Định nghĩa 1.3.12 Cho một không gian K-tôpô  n 

, κ Ánh xạ f được gọi là K-liên tục trên X nếu nó K-liên tục tại mọi điểm x nằm trong X

Bên cạnh đó, vì  , κ là không gian Alexandroff nên   n n

, κ cũng là không gian Alexandroff, từ đó nếu ánh xạ f là K-liên tục tại một điểm x trong n

ánh K- liên tục và có ánh xạ ngược là K-liên tục

1.4 Không gian compact hóa một điểm của một không gian tôpô

Ta bắt đầu phần này bằng cách nhắc lại một số định nghĩa về compact hóa và compact hóa một điểm Alexandroff của một không gian tôpô Sau đó,

ta chứng minh mệnh đề quan trọng về tính compact của một không gian compact hóa một điểm theo định nghĩa

Định nghĩa 1.4.1 [22] Cho không gian tôpô (X, τ)

Một không gian tôpô (Y, τ') được gọi là một không gian compact hóa của không gian (X, τ) khi (Y, τ') là không gian compact và (X, τ) đồng phôi với một tập trù mật của (Y, τ')

Một không gian tôpô (Y, τ') được gọi là một không gian compact hóa một điểm của không gian (X, τ) khi (Y, τ') là không gian compact hóa của (X, τ) và Y \ X là tập một phần tử

Một trong những phương pháp hóa một điểm thông dụng nhất là compact hóa một điểm Alexandroff được định nghĩa như sau:

Định nghĩa 1.4.2 Cho không gian tôpô (X, τ) là không gian compact địa phương nhưng không compact Thêm vào tập X một phần tử X và ký

X :  X Khi đó ta định nghĩa họτ các tập con của * *

X như sau:

a Mỗi tập mở trong X đều thuộc vào τ , hay * ττ*

b Với mỗi tập con đóng compact C của (X, τ) thì     *

Trường hợp 2: A và B đều không thuộc τ

Khi đó tồn tại hai tập con P và Q là tập đóng, compact trong X sao cho:

A X \ P   ;B X \ Q   Ta có:

Trường hợp 3: Chỉ có A hoặc B không thuộc τ

Không mất tính tổng quát, giả sử Aτ;B τ Khi đó tồn tại tập con P là tập đóng, compact trong X sao cho AX \ P    Khi đó:

Do B thuộc τ nên B là tập mở trong X, suy ra X \ B là tập đóng trong X

và hiển nhiên B compact trong X Do đó, PX \ B là đóng và compact trong X nên A B τ*

Như vậy, ta vừa chứng minh được τ* thỏa mãn các điều kiện được chỉ ra

trong Định nghĩa 1.1.1 nên τ là một tôpô trên * *

X  U  nên tồn tại Uj Ui i I sao cho Uj Ujτ

Như vậy, theo Định nghĩa 1.4.2., tồn tại một tập C đóng và compact

trong X sao cho: Uj X \ C   

Mặt khác, C là compact nên tồn tại một phủ con hữu hạn  Ui i K của

j

CU  C X \ C      X Xnên suy ra *  

Chương 2 KHÔNG GIAN COMPACT HÓA MỘT ĐIỂM

CỦA TÔPÔ KHALIMSKY

Để bắt đầu chương này, ta chỉ ra một số tính chất của  , κ liên quan tới các tiên đề tách, đồng thời chứng minh được rằng  , κ  là một không gian compact địa phương nhưng không compact và cũng không phải là không gian Hausdorff Từ đó, dựa trên lý thuyết về compact hóa một điểm Alexandroff, ta giới thiệu các không gian compact hóa một điểm của  , κ 

a Lấy x, y và xy, ta có các trường hợp sau:

 x và y đều lẻ, khi đó tồn tại U x là tập mở chứa x và yU

 x lẻ và y chẵn, khi đó tồn tại U x là tập mở chứa x và yU

 x chẵn và y lẻ, khi đó tồn tại U y là tập mở chứa y và xU

 x và y đều chẵn, khi đó x    y 2 y x 1 Khi đó theo (1.1), tồn tại V xκ   x 1; x;x 1   là một tập mở chứa x mà không chứa y

Vậy  , κ là không gian  T0

b Dựa vào Định nghĩa 1.3.2 ta dễ dàng nhận thấy rằng mọi tập một

phần tử trong X đều là tập đóng hoặc mở, cụ thể mỗi tập một phần tử  2n là tập đóng nhưng không phải tập mở và mỗi tập 2n 1  là tập mở nhưng

không phải tập đóng Theo đó, áp dụng Mệnh đề 1.1.18 ta chứng minh được

rằng  , κ là không gian  1

2

T

c Giả sử  , κ là không gian  T1, nghĩa là x, y X, x y   , tồn tại tập

mở chứa x mà không chứa y và một tập mở chứa y mà không chứa x

Lấy x2m; y2m 1 với m Gọi V x là lân cận mở nhỏ nhất κ chứa x trong  , κ , suy ra nếu U là một tập mở bất kỳ chứa x thì  V xκ U Mặt khác, theo công thức (1.1) ta có:

κ

V x  2m 1;2m;2m 1   y V xκ U Hay mọi tập mở chứa x thì đều chứa y

Do đó  , κ không phải là không gian  T1 ■

Dựa trên chứng minh trên, ta có thể rút ra hệ quả sau:

Hệ quả 2.1.2  , κ không phải là không gian  T2

Hiển nhiên vì nếu  , κ là không gian  T2 suy ra  , κ phải là không gian T1, từ đó mâu thuẫn với định lý trên

Hệ quả 2.1.3  , κ là không gian nửa -  1

2

T

Theo Mệnh đề 1.3.2 và Định lý 2.1.1 vừa chứng minh, ta thấy  , κ 

là không gian Alexandroff với tiên đề tách T0 Do đó, dựa vào chứng minh

của Mệnh đề 1.2.4 ở trên, ta suy ra được  , κ là không gian nửa -  1

2

T

Định nghĩa 2.1.4 Quan hệ 8-kề trong mặt phẳng Khalimsky

Với mỗi điểm   2

z x ; y  , các điểm có dạng xi; yk với các giá trị i,k  1;0;1 cùng với điểm z và xác định một quan hệ hai ngôi có tính phản xạ và được gọi là quan hệ 8-kề trong mặt phẳng Khalimsky

a Gọi z x ; y và z'x' ; y' là hai điểm thuộc 2 và zz'

 Nếu z và z không phải là 8-kề của nhau thì hiển nhiên theo công thức (2.1), lận cận mở Uz của z là một tập mở không chứa z'

, κ là không gian T0

b Dựa vào Định nghĩa 1.3.4 ta thấy rằng tập  2m ; 2n 1   là tập vừa

c Lấy z là điểm đóng trong 2

và z' là một điểm 8-kề với z Khi đó, theo công thức (2.1), Uz  x i; y k | i, k     1;0;1  là lân cận mở nhỏ nhất của z Mặt khác z' là một điểm 8-kề với z nên z'Uz Do đó, mọi tập

mở chứa z đều sẽ chứa z' nên  2 2

, κ không phải là không gian T1.■

, κ là các không gian nửa - T1 và nửa - T2 như đã đề cập trong Định nghĩa 1.1.19

Trường hợp 2: x2n 1.

Như vậy trong cả 2 trường hợp thì  x đều là tập nửa – đóng

Do đó với mọi y x, ta luôn có \ x là tập nửa mở chứa y mà không  chứa x nên  , κ là không gian nửa -  T1

Mặt khác, icl(int(A ))i cl iint(A )i  nên tích Descartes của các tập con nửa – đóng cũng là một tập nửa – đóng Do đó ta dễ dàng suy ra được

 n n

, κ là không gian nửa - T1

b Lấy x, y , xy, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: x và y là hai điểm kề nhau Khi đó, không mất tính tổng quát, giả sử x 2n và y2n 1 Theo Định nghĩa 1.1.7 ta dễ dàng chỉ ra

được 2n 1; 2n  và 2n 1  là các tập nửa – mở lần lượt chứa x và y Không những thế, 2n 1; 2n   2n 1  

Trường hợp 2: x và y là hai điểm không kề nhau Lúc này dễ thấy V x κ 

và V y chính là hai tập nửa – mở rời nhau lần lượt chứa x và y κ 

Như vậy, trong cả hai trường hợp thì đều tồn tại hai tập nửa – mở rời nhau lần lượt chứa x và y Do đó  , κ là không gian nửa -  T2

Vì iint(cl(A ))i int icl(A )i  nên tích Descartes của các tập con nửa – mở cũng là một tập nửa – mở nên ta có thể suy ra được  n n

, κ là không gian nửa - T2 ■

Mệnh đề 2.1.8  , κ không phải là không gian compact 

Chứng minh

Giả sử  , κ là không gian compact 

n M

U



là phủ con hữu hạn của  Un n , suy ra M hữu hạn

Từ đó tồn tại no max n | n M) và Uno 2no 1;2n ;2no o 1  Suy

, κ không phải là không gian compact

Ta vừa chỉ ra  , κ không phải là không gian compact Tuy nhiên, theo công thức (1.1), ta nhận thấy rằng mọi phần tử trong  , κ đều có một lân 

cận nhỏ nhất là hữu hạn, hơn nữa Hệ quả 1.3.7 cũng chỉ ra rằng bao đóng

của những lân cận này là hữu hạn, từ đó ta dễ dàng kết luận rằng mọi phần tử

x đều có một lân cận compact trong  , κ Điều này có nghĩa là   , κ 

là compact địa phương

Từ những lập luận trên, một cách tự nhiên, ta nghĩ tới việc compact hóa

 , κ bằng cách sử dụng phương pháp compact hóa một điểm Phần tiếp theo sẽ giới thiệu các không gian compact hóa một điểm của  , κ và 

 2 2

, κ

2.2 Không gian compact hóa một điểm của đường thẳng Khalimsky và mặt phẳng Khalimsky

, κ , đồng thời chứng minh một số tiên đề tách và nửa – tách liên quan

*    và tôpô κ được mô tả như Định nghĩa 1.4.2 *

Không gian compact hóa một điểm của mặt phẳng Khalimsky  2 2

, κ  được gọi là mặt cầu Khalimsky vô hạn, ký hiệu  2* 2*

, κ , với

 

2*  2   và tôpô κ được mô tả như Định nghĩa 1.4.2 2*

Từ Mệnh đề 1.4.4 và Mệnh đề 1.4.5 ta có hệ quả sau đây:

Hệ quả 2.2.2 Đường tròn Khalimsky vô hạn và Mặt cầu Khalimsky vô

hạn là các không gian tôpô compact

Định lý 2.2.3 Tập một phần tử   là tập con đóng nhưng không phải

, κ