Tính minimax của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng

Lê Nguyễn Thảo Nguyên TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2017... Lê Nguyễn Thảo Nguyên TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN Đ

Lê Nguyễn Thảo Nguyên

TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017

Lê Nguyễn Thảo Nguyên

TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG

Chuyên ngành : Đại số và lí thuyết số

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh – 2017

Tôi xin cam đoan luận văn “Tính minimax của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng” là công trình nghiên cứu của riêng tôi và được sự hướng dẫn khoa học của PGS.TS Trần Tuấn Nam Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công bố trong bất kì công trình nào khác

Học viên thực hiện luận văn

Lê Nguyễn Thảo Nguyên

Luận văn này được hoàn thành trong khóa 25 đào tạo Thạc sĩ của Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Tuấn Nam, trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy hướng dẫn, người đã tạo cho tôi một tinh thần làm việc nghiêm túc và đã dành thời gian, công sức giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn

Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh, những người đã tận tình giảng dạy và giúp đỡ tôi vượt qua những khó khăn trong học tập

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy cô phòng Sau Đại Học, Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi, giúp đỡ tôi trong suốt thời gian tôi học tập

Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bạn bè, người thân đã ủng hộ tôi về mọi mặt để tôi có thể hoàn thành tốt khóa học của mình

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 3 năm 2017

Lê Nguyễn Thảo Nguyên

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Lời cảm ơn

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 2

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và giá 2

1.2 Số chiều – chiều cao – dãy các phần tử chính quy – độ sâu 3

1.3 Môđun đối đồng điều địa phương 4

1.4 Biến đổi iđêan 6

1.5 Dãy phổ 7

1.6 Môđun Artin 9

Chương 2 TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG 10

2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng và một số tính chất 10

2.2 Tính minimax của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng 16

KẾT LUẬN 23

TÀI LIỆU THAM KHẢO 24

MỞ ĐẦU

Môđun đối đồng điều địa phương được nhà toán học Herzog đưa ra đầu tiên vào

năm 1974 Cho R là vành Noether có đơn vị là 1 0 , I là một iđêan của R , M và N

là các R -môđun Khi đó với mọi số tự nhiên i ,

gọi là môđun đối đồng điều địa phương suy rộng của môđun N tương ứng với M

Đây là sự tổng quát hóa môđun đối đồng điều địa phương của Grothendieck

Sau đó, các vấn đề về môđun đối đồng điều địa phương suy rộng và môđun minimax đã được các nhà toán học nghiên cứu và phát triển: Nguyễn Tự Cường, Trần Tuấn Nam, Yan Gu, Saremi Hero,… Hiện nay, nó đang trở thành một đề tài hấp dẫn đối với các nhà toán học Nhiều tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng đã được tìm ra nhưng vẫn còn nhiều tính chất mà các nhà toán học chưa khám phá hết Trong đó, tính minimax của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng là vấn

đề còn khá mới và hấp dẫn

Luận văn giới thiệu một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng, phần sau đó là giới thiệu về tính minimax của nó

Luận văn được chia thành hai chương

Chương 1 Trình bày một số kiến thức cần nắm để hiểu được nội dung chính của luận văn, bao gồm các kết quả của đại số giao hoán, môđun đối đồng điều địa phương, iđêan nguyên tố liên kết, …

Chương 2 Được chia thành 2 phần

Phần 2.1 trình bày các tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Phần 2.2 trình bày tính minimax của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng Mặc dù đã cố gắng trong quá trình làm luận văn nhưng do kiến thức của bản thân

và thời gian còn hạn hẹp nên không thể tránh khỏi những sai sót Rất mong nhận được

sự đánh giá và nhận xét của thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện

Chương 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết và giá

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành, M là R-môđun, iđêan nguyên tố P được gọi

là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x  M x ,  0 : P  ann x  

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là Ass M  

Giá của môđun M kí hiệu là Supp M     P  Spec R M   p  0 

Đặt V I     P  Spec R I     P 0 

Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp M    V ann M    

Nếu R là vành Noether và I là một iđêan của R thì Supp R I  /   V I  

Mệnh đề 1.1.2 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R Khi đó Supp M    V I   khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho

Hệ quả 1.1.4 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của R Khi đó:

Mệnh đề 1.1.5 Cho R là vành Noether, M là R-môđun khác 0:

i) Phần tử tối đại của F   ann x x    M là iđêan nguyên tố liên kết của M hay

 

Ass M khác rỗng

ii) Tập các ước của không của M là hợp các iđêan nguyên tố liên kết của M

Mệnh đề 1.1.6 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh, N là Rmôđun bất kì Khi đó:

Mệnh đề 1.1.7 Cho M N P , , là các R -môđun Nếu ta có dãy

0  M    N P 0 khớp thì:

i) AssR  M  AssR  N  AssR  M  AssR  P

ii) Supp N    Supp M    Supp P  

Mệnh đề 1.1.8 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, ta có: i) Ass M   là tập hữu hạn

ii) Ass M    Supp M  

iii) Phần tử tối tiểu của Ass M   và Supp M   là giống nhau

1.2 Số chiều – chiều cao – dãy các phần tử chính quy – độ sâu

Một chuỗi các môđun con của môđun M là dãy  M i 0 i n các môđun con của

M thỏa mãn 0M0 M1  M n M Chiều dài của chuỗi là n Một chuỗi hợp thành của M là chuỗi tối đại các môđun con của M tức là không thể thêm vào một môđun con nào nữa Điều đó tương đương với việc rằng môđun thương Mi / Mi1

là đơn Độ dài của các chuỗi hợp thành của M là một đại lượng không đổi và được kí hiệu là l M   và được gọi là độ dài của môđun M

Mệnh đề 1.2.1 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó các điều sau là tương đương:

i) l M    

ii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Ass M   đều là iđêan tối đại của R

iii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Supp M   đều là iđêan tối đại của R

Hệ quả 1.2.2 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh, N là Rmôđun bất kì Nếu l N     thì l Hom M N  R ,     Do đó, nếu N là R-môđun Artin thì Hom M NR ,  cũng là R-môđun Artin

-Mệnh đề 1.2.3 Giả sử môđun M có chuỗi hợp thành độ dài n Khi đó mọi dãy môđun con của M đều có thể mở rộng thành chuỗi hợp thành

Mệnh đề 1.2.4 M có chuỗi hợp thành khi và chỉ khi M vừa thỏa điều kiện tăng vừa thỏa điều kiện giảm

Mệnh đề 1.2.5 Cho dãy khớp ngắn 0MM M0, khi đó ta có:

Từ định nghĩa ta thấy nếu htP  0 thì P là iđêan nguyên tố tối tiểu của vành R Nếu

I là một iđêan của R, ta định nghĩa chiều cao của I như sau

dim R  sup htP P  SpecR

Số chiều của R-môđun M , kí hiệu dim M  dim  R ann M /    nếu M  0 và ta kí hiệu dim M   1 nếu M  0

Cho M là R-môđun Một phần tử rR được gọi là M -chính quy nếu rx  0 với mọi x  M x ,  0

Định nghĩa 1.2.7 Một dãy các phần tử a a1, 2, , an của R là một M -dãy (hay là M dãy chính quy) nếu nó thỏa hai điều kiện sau:

-(i) a1 là M -chính quy, a2 là M a M / 1 -chính quy,…, an là M /  a a1 2 an1 M -chính quy

(ii) M /  a a1 2 a Mn  0

Định nghĩa 1.2.8 Cho M là một môđun hữu hạn sinh khác 0 trên vành Noether địa phương ( , R m ) , chiều sâu của M trên R là độ dài lớn nhất của M -dãy trong m, kí hiệu depth MR hay depthM

1.3 Môđun đối đồng điều địa phương

Trong phần này, vành R được xem là vành giao hoán có đơn vị và I là một iđêan khác không của R

Định nghĩa 1.3.1 Với mỗi R-môđun M , tập

gọi là tập các phần tử của M bị linh hóa bởi một lũy thừa nào đó của iđêan I

Chú ý rằng I  M là môđun con của M

Với mỗi đồng cấu R-môđun f M :  N ta có f  I  M   I  N , do đó có ánh

xạ cảm sinh I    f : I M  I  N là thu hẹp của f trên I  M

Nếu g M :  N và f N :  L là các đồng cấu Rmôđun và rR, khi đó

Định nghĩa 1.3.4 Với mọi *

i  , hàm tử dẫn xuất phải thứ i của I được kí hiệu là

i

I

H và được xem như là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i tương ứng với I

Ta nói M là I-xoắn tự do nếu I  M  0 và là I-xoắn khi I  M  M

Mệnh đề 1.3.5 Cho M là R-môđun

i) Nếu I chứa một phần tử không là ước của 0 đối với M , khi đó M là I-xoắn tự

do tức là I  M  0

ii) Giả sử M là hữu hạn sinh Khi đó M là I-xoắn tự do khi và chỉ khi I chứa phần

tử không là ước của không đối với M

Mệnh đề 1.3.6 Với mọi R-môđun M , môđun M / I  M là I-xoắn tự do

Định nghĩa 1.3.7 Cho M là R-môđun nội xạ thì dãy khớp chính tắc sau là chẻ:

0  I M  M  M / I M  0

Định nghĩa 1.3.8 Cho M là R-môđun

Xét phép giải nội xạ của M

H  H N  H N  N với i  0

Mệnh đề 1.3.10 Cho R , m) là vành Noether địa phương giao hoán, I là iđêan của

R và M là R-môđun Nếu  0 :M I  là Artin và M là môđun I-xoắn thì M là Artin

Mệnh đề 1.3.11 Cho R , m) là vành Noether địa phương giao hoán, M là Rmôđun hữu hạn sinh Khi đó m 

-i

H M là Artin với mọi i  0

1.4 Biến đổi iđêan

Định nghĩa 1.4.1 Cho hàm tử hiệp biến, R tuyến tính

đổi iđêan của M tương ứng với I hay còn gọi là I-biến đổi của M

Với mọi i  *, kí hiệu R Di I là hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử DI, khi đó ta

có sự tương đương tự nhiên của các hàm tử

Một môđun Z -phân bậc là một họ các môđun E E p q, với p q ,    0, 1, 2,

Một vi phân d của song bậc r r, 1 là một họ các đồng cấu d E: p q, E p r q r,  1

với mỗi ,p q Đồng điều H E H E d ,  của E dưới vi phân này là môđun Z -song

phân bậc H p q,  E  định nghĩa như thông thường

d xác định r 1

E  Môđun song phân bậc 2

E được gọi là thành phần ban đầu của dãy

phổ E Nếu E là dãy phổ thức hai, một đồng cấu f E: E là một họ các đồng cấu

:

f E E , r2,3,

của các môđun song phân bậc, của song bậc  0, 0 với r r r r

d f  f d và sao cho mỗi

1

r

f  là ánh xạ đồng điều cảm sinh từ r

f Ta sẽ miêu tả dãy phổ như là một dãy các

môđun con song phân bậc của 2

E Đầu tiên ta cho mỗi E r1 với  r, r

các môđun con song phân bậc của 2

  thì B C và dãy phổ được xác định trên một

môđun song phân bậc

iđêan cực đại của R

Mệnh đề 1.6.2 Cho M là R -môđun có giá nằm trong V I M là Artin và I - 

cofinite khi và chỉ khi 0 :M I có chiều dài hữu hạn Nếu có một phần tử xI sao cho

0 :M x là Artin và I -cofinite, khi đó M là Artin và I -cofinite

Bổ đề 1.6.3 Cho M là R -môđun Khi đó các khẳng định sau là tương đương với

nhau

i) M là R -môđun Artin

ii) M là m R -môđun Artin với mọi m mM Rax và AssR M là tập hữu hạn

Chương 2 TÍNH MINIMAX CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU

ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG

2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng và một số tính chất

Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được Herzog đưa ra năm 1974 Đó là

sự mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương của Grothendieck Nó có một số tính chất như tính triệt tiêu, tính hữu hạn,…

Cho R là vành Noether có đơn vị 10, I là một iđêan của R , M và N là các

R -môđun Khi đó với mọi số tự nhiên i ,

n

I n

Nếu ,I J là các iđêan của R thì  I J  M  I J  M với mọi R -môđun M Tiếp

theo, ta sẽ khái quát đối với môđun đối đồng điều địa phương suy rộng như sau:

Mệnh đề 2.1.2 Cho ,I J là các iđêan của R Khi đó ta có:

với mọi R -môđun M N ,

Tiếp tục quá trình, ta xây dựng được một phép giải tự do của M

F n F n    F F M 0trong đó F là các R -môđun tự do với cơ sở có hữu hạn phần tử n

Áp dụng Hom,N vào phép giải tự do phía trên

Hệ quả 2.1.4 Nếu M N là các R -môđun hữu hạn sinh và N là I -xoắn Khi đó ,

hạn sinh với mọi i0 Do đó ta có điều cần chứng minh

Mệnh đề 2.1.5 Cho M N là các R -môđun và t là một số tự nhiên Nếu , i 

I

H M N là Artin với mọi it

Mệnh đề 2.1.6 Cho M N là các R -môđun hữu hạn sinh Nếu , t , / 

0N i N i R P/ i 0cảm sinh dãy khớp

R -môđun hữu hạn sinh

Mệnh đề 2.1.7 Cho M N là các R -môđun hữu hạn sinh Nếu , t , / 

 Nếu t1 Dãy khớp

0 I N  N N/I N 0cảm sinh dãy khớp

Hom R I H M N  N hữu hạn sinh Do đó ta có thể giả

sử N là I -xoắn, như thế tồn tại xI không là ước của 0 trên N Đặt N N xN/ Dãy khớp sau:

x

   cảm sinh dãy khớp

H  M N hữu hạn sinh do đó Imk hữu hạn sinh Xét dãy khớp

Vì môđun thương của môđun Artin là môđun Artin nên chỉ cần chứng minh

Do đó  ,  k 

R Hom M m E là tổng trực tiếp của k , 

Do E R /m là R -môđun Artin nên Hom RM,mE R /m   là R -môđun Artin

Vậy ta có điều phải chứng minh

2.2 Tính minimax của mô đun đối đồng điều địa phương suy rộng

Định nghĩa 2.2.1 Môđun M được gọi là môđun minimax khi nó có một môđun con

hữu hạn sinh N sao cho môđun thương M N là một môđun Artin /

Rõ ràng mọi môđun hữu hạn sinh và môđun Artin là minimax

Chúng ta cũng chỉ ra rằng nếu M N là R -môđun hữu hạn sinh và môđun đối đồng ,điều địa phương i 

 Theo bây giờ giả sử L và M L / là minimax Khi đó tồn tại một môđun hữu hạn sinh T của L, sao cho L T / là Artin Đặt M   L T / và M   M T / Ta có dãy khớp

với M  là Artin và M/M là minimax (chú ý rằng M/M M L/ )

Bây giờ, vì M/M là minimax nên từ định nghĩa ta có thể suy ra rằng tồn tại một môđun con hữu hạn sinh Q M /  của M/M sao cho M  / Q là Artin Vì Q M / 

là hữu hạn sinh nên suy ra QMK với một số môđun con hữu hạn sinh K của

Q Khi đó từ Q K/ M/KM ta có Q K / là Rmôđun Artin

Bởi vì M S /   M T /   / S T /   M  / K là Artin, từ định nghĩa ta có M là minimax

ii) Ta chỉ cần chứng minh cho môđun Ext , còn môđun or T thì tương tự

Vì R là vành Noether và N là hữu hạn sinh, nên suy ra N có một phép giải tự do

M

 Vì vậy suy ra từ i) ta có i  , 

R Ext N M là minimax, với mọi i0

Định lí 2.2.3 Cho M N là R -môđun hữu hạn sinh và , j 

H M N là minimax, với mọi jt

Hệ quả 2.2.4 Cho M N là R -môđun hữu hạn sinh và , j 

Áp dụng 2.2.3 vào lớp các môđun minimax bao gồm tất cả các môđun Artin

Định lí 2.2.5 Cho M N là R -môđun hữu hạn sinh và , I là iđêan của R Cho t là

một số nguyên không âm sao cho i , 

 Giả sử giả thiết quy nạp đúng với t1 và kết quả được chứng minh  i t

Dãy khớp 0 I N  N N/I N 0 cảm sinh một dãy khớp dài:

 

 , 

i

H M  N là hữu hạn sinh và vì vậy là Im 

Bằng cách sử dụng tính khớp trái của hàm tử Hom RR I/ , trên các dãy khớp sau:

Từ đây ta có thể chỉ ra rằng Hom RR I H/ , I tM N, /I N   là hữu hạn sinh Từ đó,

ta có thể giả sử rằng N là R -môđun I -xoắn tự do và vì thế tồn tại xI sao cho N

H M N xN là minimax với mọi it Vì vậy bằng giả thiết quy nạp  1  

Hom R I x là hữu hạn sinh

Bây giờ, với xI ta có kết quả sau: