Môđun đối cohen macaulay suy rộng luận văn thạc sĩ toán học

MỞ ĐẦUTrong phạm trù các môđun Noether, lớp môđun Cohen-Macaulayđóng vai trò trung tâm và cấu trúc của chúng đã được biết đến một cáchkhá trọn vẹn thông qua nhiều lí thuyết quan trọng củ

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN HỒNG VÂN

MÔĐUN ĐỐI COHEN-MACAULAY SUY RỘNG

luËn v¨n th¹c sü to¸n häc

Nghệ An – 2012 MỤC LỤC Trang

Mục lục……… ……

1

1.1.Giá của môđun

41.2.Chiểu Krull, hệ tham số và số bội của môđun Noether 41.3.Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic

61.4 Môđun đối đồng điều địa phương

81.5 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng …

91.6 Môđun Artin 101.7 Biểu diễn thứ cấp …

121.8 Đồng điều địa phương … 131.9 Chiều Noether, hệ tham số và hệ bội của môđun Artin

14

Chương 2 Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng ………

192.1 Môđun đối Cohen-Macaulay 192.2 Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng trên vành địa phương …

202.3 Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng trên vành không nhất thiết địa

MỞ ĐẦU

Trong phạm trù các môđun Noether, lớp môđun Cohen-Macaulayđóng vai trò trung tâm và cấu trúc của chúng đã được biết đến một cáchkhá trọn vẹn thông qua nhiều lí thuyết quan trọng của Đại số giao hoánnhư: Phân tích nguyên sơ, đối đồng điều địa phương,… Đã có nhiều hướng

mở rộng lớp môđun Cohen-Macaulay để cho ta những lớp môđun mới,chứa thực sự và vẫn còn có nhiều tính chất tương tự lớp môđun Cohen-Macaulay đó là lớp môđun Buchsbaum, lớp môđun Cohen-Macaulay suyrộng, lớp môđun Cohen-Macaulay dãy, lớp môđun Cohen-Macaulay suyrộng dãy Những lớp môđun này đã trở thành những lớp môđun quen biết và

có nhiều ứng dụng trong Đại số giao hoán và Hình học đại số

Trong phạm trù các môđun Artin, lớp môđun đóng vai trò quan trọngnhư lớp môđun Cohen-Macaulay đã được nhiều nhà Toán học nghiên cứu

là lớp môđun đối Cohen-Macaulay

Cho (R, m) là vành Noether, địa phương với iđêan tối đại duy nhất là

m và A là một R-môđun Artin với chiều Noether N-dim A và độ rộng Width A Ta luôn có N-dim A ≥ WidthA A được gọi là môđun đối Cohen

–Macaulay nếu bất đẳng thức trên trở thành đẳng thức Cấu trúc của môđun

đối Cohen-Macaulay đã được biết đến thông qua các tính chất của hệ tham

số, dãy đối chính qui, tập các iđêan nguyên tố gắn kết, đồng điều địa phương…

Trong [4], Nguyễn Tự Cường, Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn

đã nghiên cứu một lớp môđun mở rộng của lớp môđun đối

Cohen-Macaulay và họ gọi là môđun đối Cohen-Cohen-Macaulay suy rộng

Nô ̣i dung chính của Luận văn là tìm hiểu về môđun đối Macaulay suy rộng dựa vào kết quả nghiên cứu của Nguyễn Tự Cường,Nguyễn Thị Dung và Lê Thanh Nhàn trong [4].

Cohen-Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn đượcchia thành hai chương

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi trìnhbày một số khái niệm của Đại số giao hoán nhằm mục đích làm cơ sở choviệc trình bày nội dung chính của luận văn ở chương 2 Ngoài ra chúng tôicòn trích dẫn một số kết quả đã có dưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụcho các chứng minh ở phần sau

Chương 2: Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng Trong chương nàychúng tôi trình bày những vấn đề sau đây

2.1 Môđun đối Cohen-Macaulay

2.2 Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng trên vành địa phương.2.3 Môđun đối Cohen-Macaulay suy rộng trên vành không nhấtthiết địa phương

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn, giúp đỡ, chỉ bảo tận tình của TS Nguyễn Thị Hồng Loan Tôi xin bày

tỏ lòng cảm ơn trân trọng đến cô cùng các thầy giáo, cô giáo khoa Toán,phòng đào tạo Sau đại học Trường Đại học Vinh, Sở giáo dục và Đào tạoTỉnh Đồng Tháp, Trường Đại học Đồng Tháp, Ban giám hiệu trườngTHPT Lấp Vò 2, bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã tạo điều kiện thuận lợicho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu

Tác giả

Trần Hồng Vân

CHƯƠNG I KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số khái niệm của Đại sốgiao hoán nhằm mục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung chính củaLuận văn ở Chương 2 Ngoài ra chúng tôi còn trích dẫn một số kết quả đã códưới dạng những mệnh đề nhằm phục vụ cho các chứng minh ở phần sau

1.1 Giá của môđun

Cho p là một iđêan nguyên tố của vành R Ký hiệu Rp và Mp tương

ứng là địa phương hóa của R và M tại p Gọi SpecR là tập tất cả các iđêan nguyên tố của vành R Khi đó tập con

Supp M V(AnnR M) p SpecR p AnnR M

1.2 Chiều Krull, hệ tham số và số bội của môđun Noether

1.2.1 Chiều Krull Một dãy giảm các iđêan nguyên tố của vành R :

ht p = sup {độ dài các xích nguyên tố với p0 =p}

Cận trên của tất cả các độ dài của các xích nguyên tố trong R được

gọi là chiều Krull của vành R, ký hiệu là dim R

Cho M là một R−môđun Khi đó dim(R/ AnnR M) được gọi là

chiều Krull của môđun M, ký hiệu là dim M

1.2.2 Hệ tham số Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với

iđêan tối đại duy nhất là m; M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiềuKrull dim M = > 0d Một hệ gồm d phần tử x: ( , , )= x1 x d của m được

gọi là một hệ tham số của M nếu lR(M x/( , ) )1 x M d < ∞ ( ( )l ∗ là kí hiệu

độ dài của R-môđun)

Sau đây là một số tính chất cơ bản của hệ tham số

(i) Mọi hoán vị của một hệ tham số của M cũng là một hệ tham số của M

(ii)Nếu x: ( , , )= x1 x d là một hệ tham số của M thì với mọi1,2, ,

cũng là một hệ tham số của môđun M

1.2.3 Số bội Cho R là một vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêancực đại duy nhất m; M là một R-môđun hữu hạn sinh có chiều KrulldimM = >d 0 Một hệ các phần tử x: ( , , , )= x x1 2 x t của m sao cho

1

(M x/( , , ) )x M t < ∞

l được gọi là một hệ bội của M ở đây nếu ; t=0 thì

ta hiểu điều kiện này có nghĩa là ( )l M < ∞. Chú ý rằng mỗi hệ tham số

cũng là một hệ bội nhưng điều ngược lại nói chung là không đúng Ta luôn

có t d≥ Khi đó ký hiệu bội ( ;e x M của môđun ) M đối với hệ bội x được định nghĩa qui nạp theo t như sau:

tức ( , , )x2 x là hệ bội của môđun con t 0 :M x Vậy theo giả thiết qui nạp1

thì e x( , , ;2 x M x M và t / 1 ) e x( , , ; 02 x t M x đã được xác định Khi đó ta1)định nghĩa:

1.3 Vành địa phương đầy đủ theo tôpô m- adic

Cho (R,m) là một vành địa phương Ta xét R như một vành tôpô với

cơ sở lân cận của phần tử 0 là các iđêan mt , với t = 0,1,2 Chú ý rằng cơ

sở lân cận của một phần tử tuỳ ý r R∈ gồm các lớp ghép r+mt với t = 0,

1,2 Khi đó vành đầy đủ theo tôpô m adic của R ký hiệu bởi − µR đượcđịnh nghĩa bằng cách thông thường theo ngôn ngữ dãy Cauchy như sau:

Một dãy Cauchy trong R là một dãy ( )r n các phần tử của R sao cho với mọi

Hai dãy Cauchy ( )r n và ( )s n được gọi là hai dãy tương đương, ký

hiệu là ( ) ( )r n : s n nếu dãy (r n−s n) là dãy không Khi đó quan hệ ∼ trêntập các dãy Cauchy là quan hệ tương đương Ta ký hiệu µR là tập các lớptương đương của các dãy Cauchy

Chú ý rằng nếu ( )r n và ( )s n là các dãy Cauchy thì các dãy (r n +s n) ,(r s n n) cũng là các dãy Cauchy và lớp tương đương của các dãy (r n +s n) ,(r s n n) là không phụ thuộc vào việc chọn các đại diện của các lớp tươngđương của các dãy ( )r n và ( )s n , tức là nếu ( )r n : ( )r n, và ( )s n : ( )s n, thì(r n +s n) : (r n, +s n, ) và (r s n n) : ( )r s n n, , Vì thế µR được trang bị hai phép toánhai ngôi + và đồng thời cùng với hai phép toàn này, µR lập thành mộtvành Mỗi phần tử r R∈ có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy

Cauchy mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r Vì thế ta có một đơn cấu

Định nghĩa tương tự cho môđun M với cơ sở lân cận của phần tử 0 là

{mt M} Khi đó ¶M là một µR-môđun với phép nhân vô hướng như sau:cho a=(a a1, , 2 )∈R , µ x =( x x1, , 2 )∈M Ta có µ ax=(a x a x1 1, 2 2, )∈µM.

1.4 Môđun đối đồng điều địa phương

1.4.1 Định nghĩa Giả thiết R là vành Noether địa phương, m là iđêan tối

đại duy nhất của R và M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull

dim M d=

(i) Đối đồng điều địa phương lần đầu tiên được định nghĩa bởi

A.Grothendick Cho I là một iđêan của R Với mỗi R-môđun M, đặt

môđun vào phạm trù các R-môđun ΓI được gọi là hàm tử xoắn.

Với mỗi số tự nhiên i, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của ΓI được kí hiệu là

i

I

H và được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i với giá là I.

Với mỗi R-môđun M, ta kí hiệu i( )

(ii) Người ta gọi H Mmd ( ) (với dim M =d ) là môđun đối đồng điều

địa phương cấp cao nhất của môđun M.

1.4.2 Mệnh đề (i) H Mmi ( ) là môđun Artin với mọi i≥ 0.

(ii) dim M( )

I

H M là môđun Artin với mọi iđêan I của R.

(iii) H Mmi ( ) 0= với mọi i > dim M hoặc i depth M <

Đặc biệt, Hmdim M( ) 0M ≠ và Hmdim M( )M là môđun Artin

1.5 Môđun Cohen-Macaulay suy rộng

Ta đã biết rằng, với mỗi hệ tham số x của M thì

Đặt I (M) = supx I(x;M) với sup lấy trên tập tất cả các hệ tham số

của M Chú ý rằng I (M)có thể hữu hạn hoặc vô hạn

1.5.1 Định nghĩa M được gọi là môđun Cohen-Macaulay suy rộng nếu

i m trong đó H Mmi ( ) là môđun đối đồng điều địa

phương thứ i của M với giá là m

Cho q là một iđêan m-nguyên sơ của R Một dãy các phần tử

với mọi i= 1, ,r Ở đây ta viết q :(0 M x1) 0 ⊆ khi i= 1 Một dãy các phần tử

(x1, ,x được gọi là dãy yếu nếu nó là m- dãy yếu của M r)

Khái niệm hệ tham số chuẩn tắc được đưa ra bởi Ngô Việt Trung và

P Schenzel nhằm để nghiên cứu lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng vàlớp môđun Buchsbaum Một hệ tham số x = ( , , ) x1 xd của M được gọi là

chuẩn tắc nếu I x A( ; )=I x( , , ; )12 x A d2 Chú ý rằng khi đó ta cũng có

Cohen-1 Chú ý rằng M là R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi

Mˆ là Rˆ -môđun Cohen-Macaulay suy rộng

2 Cho x là phần tử tham số của M Nếu M là môđun Cohen-Macaulay

suy rộng thì M xM cũng là môđun Cohen-Macaulay suy rộng

3 M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi l (H M im( ) < ∞

với mọi i d≠ .

4 M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi M có ít nhất

một hệ tham số chuẩn tắc Hơn nữa ta được I(M) =  (M/x M) −e(x;M) nếu

x là hệ tham số chuẩn tắc

5 M là R-môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi tồn tại một

iđêan m-nguyên sơ q sao cho mọi hệ tham số của M là q – dãy yếu

1.6 Môđun Artin

Từ nay về sau ta luôn kí hiệu A là một R-môđun Artin Cho m là một

iđêan cực đại của vành R Môđun con

0

( ) (0: n)

A n

A

≥

Γ m = U m của A được gọi

là môđun con m- xoắn Khi đó ta có kết quả sau

1.6.1 Mệnh đề (i) Giả sử A là một R- môđun Artin khác không Khi đó chỉ

có hữu hạn iđêan cực đại m của R sao cho Γm( ) 0A ≠ Nếu các iđêan cực đại phân biệt đó là: m 1 , , mr thì:

1.6.2 Mệnh đề Cho A là R-môđun Artin khác không trên vành địa phương.

Khi đó, A có cấu trúc tự nhiên của Rˆ -môđun, trong đó Rˆ là vành đầy đủ theo tôpô m-adic của R và mọi tập con của A là R-môđun con của A nếu và chỉ nếu nó là Rˆ -môđun con của A Do đó, A có cấu trúc tự nhiên của Rˆ - môđun Artin.

Mệnh đề 1.6.1 và Mệnh đề 1.6.2 cho thấy trong nhiều trường hợp khinghiên cứu môđun Artin trên một vành tùy ý có thể quy về việc nghiên cứumôđun Artin trên vành địa phương đầy đủ

Kí hiệu ( / )E R m là bao nội xạ của trường thặng dư / R m của R Xét

hàm tử D( )− = Hom R( , ( / ))− E R m từ phạm trù các R – môđun đến chính

nó Vì ( / )E R m là môđun nội xạ nên ( ) D − là hàm tử khớp và được gọi là

đối ngẫu Matlis Giả sử L là R – môđun, kí hiệu Lˆ là Rˆ – môđun đầy đủ

của L theo tôpô m – adic.

1.6.3 Bổ đề Các phát biểu sau là đúng

(i) Ann L R = Ann D L R ( ). Đặc biệt, L ≠ 0 khi và chỉ khi ( ) 0 D L ≠

(ii) Nếu L có độ dài hữu hạn thì ( ) D L ≅ L. Trong trường hợp này ta

có ( )l L =l( ( )).D L

(iii) Nếu L hữu hạn sinh thì ( ) D L là R- môđun Artin Tuy nhiên, khi L

là Artin thì ( ) D L không nhất thiết là R-môđun hữu hạn sinh.

(iv) Nếu L hữu hạn sinh thì D(L) ≅Lˆ, L là Artin thì ( ( )) D D L ≅ L.(v) Giả sử R đầy đủ theo tôpô m–adic Khi đó, ( ) D L là R-môđun hữu hạn sinh nếu L là Artin.

M = 1 + + thành tổng hữu hạn các môđun con pi-thứ cấp N i Nếu

0

=

M hoặc M có một biểu diễn thứ cấp thì ta nói M là biểu diễn được.Biểu diễn thứ cấp này được gọi là tối thiểu nếu các iđêan nguyên tố pilà đôimột khác nhau và không có hạng tử N i nào thừa, với mọi i = 1,…, n.

Dễ thấy rằng mọi biểu diễn thứ cấp của M đều có thể đưa được vềdạng tối thiểu Khi đó tập hợp { , , } p1 pn là độc lập với việc chọn biểu diễnthứ cấp tối thiểu của M và được gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của

M , kí hiệu bởi Att M R Các hạng tử N i, i =1, ,n được gọi là các thành

phần thứ cấp của M

1.7.2 Mệnh đề (i) Cho M là một R-môđun biểu diễn được Khi đó M ≠ 0

khi và chỉ khi Att R M ≠Ø Trong trường hợp này tập các iđêan nguyên tố tối thiểu của R chứa Ann (M) chính là tập các phần tử tối thiểu của Att M R .

(ii) Cho 0 →M' →M →M '' → 0 là dãy khớp các R-môđun biểu diễn được Khi đó ta có:

'' '

'' Att M Att M Att M M

(iii) Nếu R là vành địa phương, đầy đủ, thì ta có :

a) Nếu N là R-môđun Noether thì ( ) {= p m :p∈ }

j

b) Nếu A là R-môđun Artin thì Ass D A R ( ) =Att A R

1.7.4 Bổ đề Nếu x là một phần tử của R sao cho x∉p , với mọi

1.8 Đồng điều địa phương

1.8.1 Định nghĩa ([5, Định nghĩa 3.1]) Cho I là một iđêan của vành

Noether R và M là một R-môđun Môđun đồng điều địa phương thứ i là

Khái niệm này được xem là đối ngẫu với khái niệm môđun đối đồng

điều địa phương của môđun hữu sinh trên vành Noether của A Tuy nhiên,

trong phạm trù các môđun Artin, hai khái niệm này là như nhau

Các tính chất sau trong [5, Mệnh đề 3.3, Mệnh đề 4.6] thường đượcdùng trong các chứng minh về sau trong Chương 2

1.8.2 Mệnh đề Cho µR là vành đầy đủ của R theo tôpô m-adic Khi đó

(i) Hm( )A

i là µR -môđun Noether, với mọi i.

(ii) H AiI( )≅D H D A( iI( ( ))),trong đó ( ) D A là hàm tử đối ngẫu Matlis.

Cho f: R → R’ là một đồng cấu giữa các vành Noether và A là R’-môđun

Artin Với mỗi phần tử x R v∈ à m∈A, ta xác định phép nhân với vôhướng: xm= f x m( ) Phép nhân vô hướng này cùng với phép cộng sẵn có

của A làm cho A trở thành R-môđun Artin Mệnh đề sau đây là tính chất

chuyển đổi vành cơ sở của môđun đồng điều địa phương

1.8.3 Mệnh đề ([5, Hệ quả 3.7]) Cho : f R→R' là một đồng cấu giữa các

vành Noether và I là một iđêan của R Cho I( ) lim / t

I H A

≥

=

I i với mọi Iđêan

I của R và với mọi i≥0

1.9 Chiều Noether, hệ tham số và hệ bội của môđun Artin

1.9.1 Định nghĩa Chiều Noether của môđun Artin A, kí hiệu bởi

N− dimR < là sai và với mỗi dãy tăng A0 ⊆ A1 ⊆ các môđun con của A ,

tồn tại số nguyên n 0 sao cho N− dimR(A n+1/A n) <d với mọi n>n0.

Đã có nhiều tác giả nghiên cứu cấu trúc của các môđun Artin A thông

qua chiều Noether của chúng và một số tính chất của chiều Noether chomôđun Artin được xem là đối ngẫu với một số tính chất của chiều Krullcho môđun hữu hạn sinh Đặc biệt là kết quả sau được R.N.Roberts chứngminh cho trường hợp vành địa phương và sau đó được Nguyễn Tự Cường

và Lê Thanh Nhàn chứng minh cho trường hợp vành giao hoán bất kì Cho A là

một R-môđun Artin Đặt A= ∩∈Supp

= inf{ : t ∃ x1, , xt∈ JA sao cho (0: ( , , ) ) l A x1 x Rt < ∞ }.

Tuy nhiên nhiều tính chất của môđun Noether không phải luôn luôn được

bảo toàn qua đối ngẫu Matlis Cụ thể là, trong khi với mọi R- môđun Noether M ta luôn có dim = maxp∈ dim / p

rằng, hai iđêan nguyên tố gắn kết trong tập Att R A có thể chứa nhau, mặc

dù chiều của các thành phần thứ cấp tương ứng với chúng bằng nhau Đâycũng là một trong những khó khăn khi dùng tập iđêan nguyên tố gắn kết đểtính toán chiều Noether

1.9.3 Ví dụ Tồn tại môđun Artin A có biểu diễn thứ cấp tối thiểu là

N− = − nhưng pk ⊂ pk’.

Các kết quả sau đây thường được dùng trong các chứng minh về sau của luận văn

1.9.4 Bổ đề (i) Giả sử rằng A= A1⊕ ⊕A r là một phân tích A thành tổng trực tiếp các môđun con A j Khi đó

(ii) Cho (R, m) là vành địa phương và A là R- môđun Artin Khi đó A

có cấu trúc tự nhiên của Rˆ -môđun Artin và ta có :

) ( dim dim A N ˆ A

Chính vì vậy ta có thể viết N dim− A thay cho N− dimR A hay N− dimRˆ(A).

1.9.5 Bổ đề N − dimA= 0 nếu và chỉ nếu A≠ 0 và R (A) < ∞.Trong trường hợp này Att R A={m} Hơn nữa nếu

(ii)N − dim A ≤ dim R / Ann R A = max{dimR/p: p∈AttRA} và tồn tại môđun Artin A

sao cho N− dimA< dimR/Ann R A .

(iii) −dim = dim /ˆ ˆ = max{dim / :ˆ ˆ ˆp p∈ ˆ }

b) N −dimH Mmi ( )≤i với mọi i ≤d− 1.

Từ Định lí 1.9.2, khái niệm hệ bội, số bội, hệ tham số của một

môđun Artin A được định nghĩa như sau.

Một hệ x = (x1, x t)các phần tử trong J A sao cho  ( 0 :A x R) < ∞ được

gọi là một hệ bội của A Trường hợp t = 0 thì ta hiểu R (A) < ∞ Khi t =

d

A

N − dim = thì hệ x = (x1, x d) được gọi là hệ tham số của A Một phần

tử x∈J A được gọi là phần tử tham số của A nếu và chỉ nếu

1 dim )

1.9.6 Bổ đề Cho A=B1 + +B n là một biểu diễn thứ cấp tối thiểu của A với

B i là pi thứ cấp Khi đó x∈J A là phần tử tham số của A nếu và chỉ nếu

∉

x pi với mọi p i sao cho N− dimB i =d với mọi i ≤n

Số bội hình thức e(x;A)của A ứng với hệ bội x được định nghĩa

bằng qui nạp theo t như sau: Với t = 0 tức là R (A) < ∞, đặt e(Ø; A)=

; ,

( ) : 0

; , , (

)

;

(x A e x2 x x1 e x2 x A x1A

Một số tính chất sau của hệ bội và số bội cho môđun Artin nhằm phục

vụ cho việc chứng minh ở các chương sau

1.9.7 Mệnh đề Cho x =( , , )x1 x t là một hệ bội của A và ( , , )n1 n là các t

số nguyên dương Đặt 1

1( ) ( , ,n n d)

s

x n = x x Khi đó ta có các tính chất sau (i)  ( 0 :A x(n)R) ≤n1 n t ( 0 :A x R) và e(x(n);A) =n1 n t e(x;A).

(ii) Cho dãy khớp các R-môđun Artin 0 → A ' → A → A " → 0 Khi

đó x là một hệ bội của A nếu và chỉ nếu x là một hệ bội của A’ và A’’ và