Chiều hữu hạn chiều minimax và môđun đối đồng điều địa phương

Sử dụng định nghĩa môđun minimax, Bahmanpour cũng đã chứng minh đượctrong [4] rằng fa1M := inf{i ∈ N : Hi Nguyên lý toàn cục – địa phương cho tính hữu hạn của môđun đối đồng điềuđịa phươ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS TRẦN TUẤN NAM

Thành phố Hồ Chí Minh - 2016

Trước khi đi vào giới thiệu và trình bày luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn củamình đến Trường Đại học Sư phạm Tp Hồ Chí Minh nói chung và Phòng Sau Đạihọc nói riêng đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi và tất cả các học viên trongnhà trường được học tập và rèn luyện.

Tôi xin gửi lời cám ơn đến các Thầy Cô đã giảng dạy tôi trong thời gian qua.Đặc biệt là các Thầy trong tổ Đại Số đã nhiệt tình dạy dỗ, cung cấp kiến thức, giúptôi có được nền tảng vững chắc cho việc làm luận văn tốt nghiệp này

Trên hết, tôi xin gửi lời cám ơn sâu sắc nhất đến PGS.TS Trần Tuấn Nam –người thầy đã chọn đề tài thích hợp cho tôi và tận tình chỉ bảo, hướng dẫn tôi trongsuốt thời gian hoàn thành khóa luận

Cạnh đó, gia đình và bạn bè cũng là nguồn động viên, cổ vũ tôi rất lớn Nhânđây tôi cũng xin bày tỏ sự trân trọng và quý mến của mình đến họ

Mặc dù đã rất cố gắng trong quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn,nhưng luận văn cũng không thể tránh được các sai sót Rất mong nhận được sựthông cảm và góp ý chân thành từ các thầy cô và các bạn để luận văn có thể đượchoàn chỉnh hơn

Tp Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2016

Học viên

Trần Khánh Linh

Tôi xin cam đoan: Luận văn thạc sĩ Toán học với đề tài “ Chiều hữu hạn – Chiềuminimax và môđun đối đồng điều địa phương” do tôi thực hiện với sự hướng dẫncủa PGS.TS Trần Tuấn Nam là không sao chép của bất cứ ai Nội dung của luậnvăn có tham khảo và sử dụng một số thông tin, tài liệu từ các nguồn sách, tạp chí

đã được liệt kê trong danh mục tài liệu tham khảo Tôi xin hoàn toàn chịu tráchnhiệm về luận văn của mình

Tp Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2016

Học viên

Trần Khánh Linh

Lời cám ơn

Lời cam đoan

Mục lục

1.1 Môđun đối đồng điều địa phương 1

1.2 Chiều hữu hạn của môđun M đối với iđêan a 3

1.3 Chiều hữu hạn thứ n của môđun M đối với iđêan a 4

1.4 Chiều b-hữu hạn của môđun M đối với iđêan a 5

1.5 Môđun minimax 6

1.6 Môđun a-cofinite 7

1.7 Môđun FSF 8

2 Nguyên lý toàn cục – địa phương cho tính minimax của môđun đối

3 Tính linh hóa và iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Môđun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.1.1 Cho M là một R-môđun và a là một iđêan của vành R.

nên đồng cấuΓa( f ) : Γa(M) → Γa(N) là thu hẹp của f lênΓa(M)

Nếu f : M → N,g : N → P là các đồng cấu R-môđun thì

Γa(g ◦ f ) = Γa(g) ◦Γa( f ) và Γa(1M) = 1Γa(M).Hơn nữa, nếu f , g : M → N là các đồng cấu R-môđun và r ∈ R thì

Γa( f + g) = Γa( f )+ Γa(g) vàΓa(r f )= rΓa( f )

chính nó

Định nghĩa 1.1.2 Với mỗi i ∈ N, hàm tử dẫn xuất phải thứ i của Γa(−) (được kí

NếuΓa(M) = 0 thì M được gọi là môđun a-xoắn tự do.

đều bị linh hóa bởi một lũy thừa nào đó của a) Khi đó, mọi môđun con của M vàmọi ảnh R-đồng cấu của M đều là môđun a-xoắn

Áp dụng hàm tử khớp tráiΓa(−) vào đối phức (I•, d•):

Lấy đối đồng điều thứ i của đối phức trên

Hai(M) = Hi Γa(I•),Γa(d•)
= kerΓa(di) /Im Γa(di−1)

hàm tử hiệp biến và R-tuyến tính với mọi i > 0

nối này tạo ra một dãy khớp dài

0 → Ha0(L) → Ha0(M) → Ha0(N) → Ha1(L) → Ha1(M) → Ha1(N) →

→ Ha2(L) → → Hai−1(N) → Hai(L) → Hai(M) → Hai(N) →

→ Hia+1(L) →

Với mỗi R-môđun M và với mỗi i ∈ N, ta có

1.2 Chiều hữu hạn của môđun M đối với iđêan a

Định nghĩa 1.2.1 Cho R-môđun hữu hạn sinh M và a là một iđêan của vành Nơte

được định nghĩa như sau

fa(M) := inf{i ∈ N : Hi

Bổ đề 1.2.2 Cho L −→ Mf −→ N là dãy các R-môđun và R-đồng cấu Nếug

Mệnh đề 1.2.3 Cho R-môđun hữu hạn sinh M và số nguyên dương t ∈ N Khi đó

các điều kiện sau là tương đương:

(i) Hai(M) là R-môđun hữu hạn sinh với mọi i < t;

(ii) a ⊆ Rad(0 : Hai(M)) với mọi i < t.

Theo đó, chiều hữu hạn fa(M) có thể được viết lại là

fa(M) : = inf{i ∈ N : a * Rad(0 : Hi

= inf{i ∈ N : an

fa(M) = inf{i ∈ N0 : anHai(M) , 0 với mọi n ∈ N}

M.P Brodmann cũng đã chứng minh được trong [10] rằng

fa(M) = inf{ faRp(Mp) : p ∈ S pecR}

fa(M) = inf{ faRp(Mp) : p ∈ S upp(M/aM) và dim(R/p) > 0}

1.3 Chiều hữu hạn thứ n của môđun M đối với iđêan a

Định nghĩa 1.3.1 Với số nguyên không âm n, chiều hữu hạn thứ n của R-môđun

fan(M) := inf{ faRp(Mp) : p ∈ S upp(M/aM) và dim(R/p) > n}

Sử dụng định nghĩa môđun minimax, Bahmanpour cũng đã chứng minh đượctrong [4] rằng

fa1(M) := inf{i ∈ N : Hi

Nguyên lý toàn cục – địa phương cho tính hữu hạn của môđun đối đồng điềuđịa phương được phát biểu như sau:

"Cho r là số nguyên dương Khi đó Rp-môđun HaRi

mọi i 6 r."

Ta có thể dùng thuật ngữ "chiều hữu hạn của môđun đối đồng điều địa phương"

để phát biểu lại nguyên lý trên như sau:

"Cho r là số nguyên dương Nguyên lý toàn cục – địa phương cho tính hữu hạncủa môđun đối đồng điều địa phương đúng tại bậc r cho vành R nếu

faRp(Mp) > r với mọi p ∈ S pecR ⇔ fa(M) > r.”

1.4 Chiều b-hữu hạn của môđun M đối với iđêan a

Định nghĩa 1.4.1 Cho R-môđun hữu hạn sinh M và a, b là hai iđêan của vành R

Định nghĩa 1.4.2 Ta nói nguyên lý toàn cục – địa phương cho tính linh hóa của

môđun đối đồng điều địa phương đúng tại bậc r cho vành R nếu với mọi iđêan a, bcủa vành R thỏa b ⊆ a và với mọi R-môđun hữu hạn sinh M thì

faRpbRp(Mp) > r với mọi p ∈ S pecR ⇔ fab(M) > r

K.N Raghavan đã chứng minh được trong [14] rằng nguyên lý toàn cục – địaphương cho tính linh hóa của môđun đối đồng điều địa phương đúng tại bậc 1 chovành Nơte giao hoán R bất kì Tiếp đó, trong [6], M.P Brodmann tiếp tục chứng

minh được nguyên lý toàn cục – địa phương vẫn đúng tại bậc 2 cho vành Nơtegiao hoán R bất kì và mở rộng ra tại mọi bậc r của vành Nơte giao hoán R thỏa

1.5 Môđun minimax

Định nghĩa 1.5.1 Một R-môđun M được gọi là môđun minimax nếu tồn tại

môđun con hữu hạn sinh N của M thỏa M/N là môđun Artin

Bổ đề 1.5.2 Cho R là vành Nơte và cho dãy khớp các R-môđun

Khi đó M là môđun minimax khi và chỉ khi M’ và M” là môđun minimax.

Mệnh đề 1.5.3 Cho M là R-môđun minimax Khi đó Mp là một Rp-môđun hữu hạn sinh với mọi iđêan nguyên tố không tối đại p của R.

Mệnh đề 1.5.4 Cho R là vành Nơte, M là R-môđun hữu hạn sinh và a là iđêan

của vành R Với số nguyên t > 1, các điều kiện sau là tương đương:

(i) Hai(M) là R-môđun minimax với mọi i < t;

(ii)Hai(M)

plà Rp-môđun hữu hạn sinh với mọi i < t và với mọi p ∈ S upp(M/aM)

thỏadim(R/p) > 0

Định lý 1.5.5 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, a là iđêan của vành R Khi đó

các điều kiện sau là tương đương:

(i) Các R-môđun Hai(M) là minimax và a-cofinite với mọi i < fa1(M)

(ii) R-môđun Haf1(M)(M) là không minimax nếu fa1(M) < ∞.

(iii) Với mọi môđun con minimax N của Haf1(M)(M) thì các R-môđun



là hữu hạn sinh nếu fa1(M) <

∞.

Hệ quả 1.5.6 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh, a là iđêan của vành R Khi đó với

mọi môđun con minimax N của Haf1(M)(M) thì Ass



Haf1(M)(M)/N



là tập hữu hạn.

1.6 Môđun a-cofinite

Định nghĩa 1.6.1 Cho a là một iđêan của vành R R-môđun M được gọi là

a-cofinite nếu:

(i) S upp(M) ⊆ V(a);

Mệnh đề 1.6.2 Nếu M là R-môđun thỏa dim(M/aM) 6 1 thì R-môđun Hai(M) là

a-cofinite với mọi i.

M.P Brodmann và F.A Lashgari đã đưa ra một vài kết quả về tính hữu hạn

Mệnh đề 1.6.3 Cho R-môđun hữu hạn sinh M và số nguyên t ∈ N0 thỏa các môđun H0a(M), , Ht−1a (M) là hữu hạn sinh Khi đó với mọi môđun con hữu hạn

R-sinh N của Hat(M) thì AssR



Hat(M)/N là tập hữu hạn.

Định lý 1.6.4 Cho R-môđun hữu hạn sinh M và số nguyên t ∈ N0 thỏa các môđun Ha0(M), , Hat−1(M) là hữu hạn sinh Khi đó AssR

R-

Hat(M) là tập hữu hạn.

Định lý 1.6.5 và 1.6.6 sau đây là kết quả quan trọng của K Bahmanpour trong[3], là sự mở rộng Mệnh đề 1.6.3 cho lớp các môđun minimax

Định lý 1.6.5 Cho R là vành Nơte, M là R-môđun hữu hạn sinh khác 0 và a là

iđêan của vành R Cho số nguyên không âm t ∈ N0thỏa Hai(M) là minimax với mọi

i< t Khi đó R-môđun HomR

R/a, Ht

a(M)là hữu hạn sinh Đặc biệt, AssHat(M)

là tập hữu hạn.

Định lý 1.6.6 Cho R là vành Nơte, M là R-môđun hữu hạn sinh khác 0 và a

là iđêan của vành R Cho số nguyên không âm t ∈ N0 thỏa Hia(M) là

mini-max với mọi i < t và N là môđun con minimini-max của Hat(M) Khi đó R-môđun

HomRR/a, Ht

1.7 Môđun FSF

Định nghĩa 1.7.1 Một R-môđun M được gọi là FSF nếu tồn tại môđun con hữu

hạn sinh N của M sao cho giá của môđun thương M/N là tập hữu hạn

Mệnh đề 1.7.2 Cho M là một R-môđun Nếu M là một môđun FSF thì AssR(M)

là tập hữu hạn.

Mệnh đề 1.7.3 Cho a là một iđêan của vành Nơte R, M là R-môđun FSF Cho số

nguyên không âm t ∈ N0thỏa Hai(M) là FSF với mọi i < t Khi đó HomR

R/a, Ht

a(M)

là FSF Do đó, AssHat(M)là tập hữu hạn.

Định lý 1.7.4 Cho a là một iđêan của vành Nơte R, M là một R-môđun hữu

hạn sinh Cho số nguyên không âm t ∈ N0 thỏa Hai(M) là hữu hạn sinh hoặc

S uppHai(M) là tập hữu hạn với mọi i < t Khi đó AssHat(M)là tập hữu hạn.

Bổ đề 2.1 Cho R là vành Nơte, a là iđêan của vành R và M là một R-môđun bất

kì Khi đó, aM là minimax khi và chỉ khi M/ (0 :M a) là minimax

Chứng minh. (⇒) Giả sử a = ha1, a2, , ani Xét đồng cấu

m 7−→ (aim)

Bổ đề 2.2 Cho R là vành Nơte, a là iđêan của vành R và M là một R-môđun hữu

hạn sinh Với số nguyên dương s, các phát biểu sau là tương đương:

(i) Hai(M) là minimax với mọi i < s;

(ii) Tồn tại số nguyên dương t thỏa atHai(M) là minimax với mọi i < s.

Chứng minh. (i) ⇒ (ii) : Hiển nhiên

(ii) ⇒ (i) : Ta chứng minh quy nạp theo s

Giả sử điều phải chứng minh đúng đến s − 1

Theo Bổ đề 2.1, do atHas−1(M) là minimax nên Has−1(M)/0 :Hs−1

Hệ quả 2.3 Cho R là vành Nơte, a là iđêan của vành R và M là một R -môđun

hữu hạn sinh Kí hiệu fa1(M) là chiều hữu hạn thứ 1 của môđun M đối với iđêan a.

Khi đó

fa1(M) = inf{i ∈ N0|atHai(M) không minimax với mọi t ∈ N}.

Chứng minh. Ta đã biết fa1(M) = inf{i ∈ N0|Hai(M) không minimax }.

Giả sử fa1(M) = s

Theo định nghĩa trên ta có Hai(M) là minimax với mọi i < s

Theo Bổ đề 2.2, tồn tại số nguyên dương t thỏa atHai(M) là minimax với mọi i < s

Như vậy Hệ quả 2.3 được suy ra từ định nghĩa chiều hữu hạn thứ 1 và Bổ đề2.2

Bây giờ ta sẽ giới thiệu khái niệm chiều b-minimax của môđun M đối với iđêan

Định nghĩa 2.4 Cho M là một môđun hữu hạn sinh trên vành Nơte R và a, b là hai

được định nghĩa như sau

a(M) = inf{i ∈ N0|btHai(M) không minimax với mọi t ∈ N}

2.3 thì µaa(M) = f1

a(M)

Tiếp theo ta sẽ giới thiệu nguyên lý toàn cục – địa phương Falting cho tínhminimax của môđun đối đồng điều địa phương, là sự mở rộng của nguyên lý toàncục – địa phương Falting cho tính linh hóa của môđun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 2.5 Cho R là vành Nơte giao hoán và r là một số nguyên dương cố

định Ta nói nguyên lý toàn cục – địa phương Falting cho tính minimax của môđunđối đồng điều địa phương đúng tại bậc r cho vành R nếu với mọi iđêan a, b của Rthỏa b ⊆ a và với mọi R-môđun hữu hạn sinh M ta có

µbRp aRp(Mp) > r với mọi p ∈ S pecR ⇔ µba(M) > r

Định lý 2.6 sau đây đóng vai trò quan trọng trong việc chứng minh kết quảchính của chương 2.

Định lý 2.6 Cho R là vành Nơte và a, b là hai iđêan của R thỏa b ⊆ a Cho M là

R-môđun hữu hạn sinh và r là số nguyên dương thỏa các môđun đối đồng điều địa phương Ha0(M), Ha1(M), , Har−1(M) là a-cofinite Khi đó

µbRp aRp(Mp) > r với mọi p ∈ S pecR ⇔ µba(M) > r

Chứng minh. Lấy i là số nguyên không thỏa i 6 r Theo định nghĩa của chiều

t ∈ N0 Vì vậy với mọi t ∈ N0, tập hợp S uppbtHai(M)là tập con đóng trong topoZariski của S pecR và do đó dãy giảm

0 và vì vậy p < S uppbt0Hai(M) Từ đó ta có được S uppbt0Hai(M) ⊆ MaxR

hạn sinh Vì HomR/a, bt0Hai(M) ⊆ MaxR nên HomR/a, bt0Hai(M) là Artin,kéo theo0 :bt0Hi (M) a là Artin

Hệ quả 2.7 Cho R là vành Nơte, M là R-môđun hữu hạn sinh và a là một iđêan

của vành R thỏadim(M/aM) 6 1 Nếu b là iđêan thứ hai của vành R thỏa b ⊆ a.

Khi đó với số nguyên dương r bất kì, ta có

µbRp

aRp(Mp) > r với mọi p ∈ S pec(R) ⇔ µba(M) > r

Chứng minh. Ta đã có Bổ đề:

“Cho R là một vành Nơte giao hoán, M là một R-môđun hữu hạn sinh và a là một

i.”

Hệ quả 2.8 Nguyên lý toàn cục – địa phương (cho tính minimax của môđun đối

đồng điều địa phương) đúng tại mọi bậc r cho vành Nơte giao hoán R bất kì có số chiều không vượt quá 2 (dim R6 2).

Chứng minh. Theo [8, Hệ quả 5.2], ta có:

“Cho M và N là hai môđun hữu hạn sinh trên vành Nơte giao hoán R và a là một

i> 0.”

Áp dụng vào Hệ quả 2.8 với dim R 6 2 và M là R-môđun hữu hạn sinh, khi đó

Hai(R, M)= Hi

a(M) là a-cofinite với mọi i > 0

Với r là số nguyên dương bất kì, áp dụng Định lý 2.6 ta có điều phải chứng minh



Hệ quả 2.9 Nguyên lý toàn cục - địa phương (cho tính minimax của môđun đối

đồng điều địa phương) đúng tại bậc 1 cho vành Nơte giao hoán R bất kì.

Chứng minh. Chú ý rằng Ha0(M) là a-cofinite.

a(M) là

Hệ quả 2.10 Cho R là vành Nơte giao hoán và a, b là hai iđêan của R thỏa b ⊆ a,

M là R-môđun hữu hạn sinh thỏa aM , M Khi đó

µbRp

aRp(Mp) > gradeM(a) với mọi p ∈ S pecR ⇔ µba(M) > gradeM(a)

Chứng minh. Suy ra trực tiếp từ định nghĩa gradeM(a) và Định lý 2.6 

Hệ quả 2.11 tiếp theo là mở rộng của Hệ quả 2.10

Hệ quả 2.11 Cho R là vành Nơte giao hoán và a, b là hai iđêan của R thỏa b ⊆ a.

M là R-môđun hữu hạn sinh và r ∈ { fa(M), fa1(M), fa2(M)} Khi đó

µbRp aRp(Mp) > r với mọi p ∈ S pecR ⇔ µba(M) > r

Chứng minh. Suy ra từ [4, Định lý 2.3 và 3.2] và Định lý 2.6 Bây giờ ta sẽ phát biểu và chứng minh định lý quan trọng nhất của chương 2.Định lý 2.12 chỉ ra rằng nguyên lý toàn cục-địa phương Falting cho tính minimaxcủa môđun đối đồng điều địa phương vẫn xảy ra tại bậc 2 trên vành Nơte giaohoán R bất kì

Định lý 2.12 Nguyên lý toàn cục-địa phương (cho tính minimax của môđun đối

đồng điều địa phương) đúng tại bậc 2 cho vành Nơte giao hoán R bất kì.

Chứng minh. Cho M là R-môđun hữu hạn sinh thỏa µbRpaRp(Mp) > 2 với mọi p ∈

S pecR Ta chứng minh µba(M) > 2

Địa phương hóa dãy khớp trên bởi iđêan nguyên tố p với dim(R/p) > 0, ta thuđược dãy khớp dài

aRp(Mp) → HaRp1 (Mp0) → H2aRp(Γb(Mp)) → HaRp2 (Mp) →

→ HaRp2 (Mp0) →

và dim(R/p) > 0) nên tồn tại số nguyên không âm u thỏabuHa1(M)

Nếu a ⊆ Rad(0 : L) và a ⊆ Rad(0 : N) thì a ⊆ Rad(0 : M)

bRp ⊆ Rad0 : HaRp1 (Mp0)haybRpkHaRp1 (Mp0) = 0 với k ∈ N0 nào đó

đó, tồn tại phần tử x ∈ b không là ước của không trên M0 Khi đó xkHaRp1 (Mp0) = 0

k

aRp



Mp0/xkMp0 → HaRp1 (Mp0) → HaRp1 (Mp0) →

Ta thấy rằng HaRp1 (Mp0) là ảnh đồng cấu của HaRp0 Mp0/xkMp0, vì vậy HaRp1 (Mp0) cũng

lý 2.2] ta được Ha1(M0) cũng hữu hạn sinh Do đó R-môđun HomRR/a, H2

a(M0)

là R-môđun minimax

thỏa dim(R/p) > 0, tồn tại up ∈ N0 thỏa bupHa2(M)



0 : HaRp2 (Mp0)

haybvpHa2(M0)

trên, tồn tại số nguyên k ∈ N0 thỏa bkHa2(M0) là Artin Do đó S uppbkHa2(M0) ⊆MaxR

Hệ quả 2.13 Nguyên lý toàn cục - địa phương (cho tính minimax của môđun đối

đồng điều địa phương) đúng tại mọi bậc r cho vành Nơte giao hoán R bất kì có số chiều không vượt quá 3 (dim R6 3).

Chứng minh. Theo M.P Brodmann trong [5], ta có:

“Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh khác không có số chiều hữu hạn n Khi đó

Hệ quả 2.13 được suy ra trực tiếp từ Hệ quả 2.8, Hệ quả 2.9, Định lý 2.12 và kết