Iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc

16 Chương 2 Iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy r ộng phân bậc ..... Nam,…Ngày nay, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được xem là một đối tượng nghiên c

Ngô Văn Bé Em

IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT

ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh – 2012

Ngô Văn Bé Em

IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT

ĐỊA PHƯƠNG SUY RỘNG

M ục lục

L ời cảm ơn ii

L ời nói đầu iii

B ảng các kí hiệu toán học thường dùng trong luận văn 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 2

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết 2

1.2 Iđêan nguyên tố gắn kết 4

1.3 Độ dài của môđun 5

1.4 Độ cao của một iđêan 6

1.5 Chiều của một vành, môđun 7

1.6 Độ sâu của môđun 8

1.7 Chiều nội xạ và chiều xạ ảnh 9

1.8 Giới hạn thuận 10

1.9 Hàm tử xoắn 11

1.10 Môđun đối đồng điều địa phương 12

1.11 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng 13

1.12 Vành phân bậc, môđun phân bậc 14

1.13 Môđun cofinite tương ứng với một iđêan 16

Chương 2 Iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy r ộng phân bậc 17

2.1 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc 17

2.2 Tính ổn định tiệm cận của tập R0 R i ( , ) n Ass H M N + 19

K ết luận 48

Tài li ệu tham khảo 49

L ời cảm ơn

Trước hết, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các thầy cô trong khoa

Toán – Tin học của trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, các thầy cô trong

các khoa khác và các thầy cô trong phòng sau đại học đã tận tình giảng dạy và giúp

đỡ tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn này

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đối với thầy PGS TS Trần Tuấn Nam,

người đã hết lòng hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, thực hiện

luận văn này

Cuối cùng xin gửi lời tri ân gia đình, bạn bè và đặc biệt các bạn lớp Đại số và

Lý thuyết số khóa 21 trường Đại học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh

Tác gi ả

Ngô Văn Bé Em

L ời nói đầu

Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được nhà toán học J Herzog đưa ra đầu tiên và được tổng quát hóa bởi M H Bijan-Zadeh Sau đó, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được nghiên cứu và phát triển ngày càng mạnh bởi N Suzuki, N Zamani, J Asadollahi, K Khashyarmanesh, Sh Salarian, N T Cường,

T T Nam,…Ngày nay, môđun đối đồng điều địa phương suy rộng được xem là

một đối tượng nghiên cứu khá mạnh mẽ của đại số hiện đại nói riêng và toán học nói chung

Cho R là m ột vành Noether giao hoán có đơn vị, I là một iđêan của R và C R( )

là phạm trù các R-môđun Hàm tử đối đồng điều địa phương suy rộng thứ i với sự

tương ứng iđêan I Đến ngày nay, nhiều kết quả quan trọng về tính triệt tiêu và sự

hữu hạn của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng đã được tìm ra cả trong trường hợp phân bậc và không phân bậc, song bên cạnh đó các nhà toán học vẫn và đang nghiên cứu tìm ra những kết quả mới về môđun đối đồng điều địa phương suy

rộng

Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc như tính hữu hạn sinh, tính triệt tiêu của các thành phần phân bậc cùng một số tính chất về tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc Và quan trọng nhất là tính ổn định tiệm cận của

tập Ass R0 (H R i+ (M N, )n) , cũng từ đó chúng tôi chỉ ra tính hữu hạn của tập

R R

Ass H + M N

Luận văn được chia làm 2 chương;

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Trong phần này chúng tôi trình bày một số khái niệm, định nghĩa và một số tính chất cũng như mệnh đề mà chúng tôi sử dụng trong chương 2

Chương 2: Iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng điều địa phương suy

Mệnh đề 2.2.2 Cho R là vành phân bậc Noerther thuần nhất, N là một R-môđun

Và cũng từ mệnh đề trên, tổng quát hơn khi N là một R-môđun phân bậc hữu

hạn sinh bất kì ta có H R i+ (M N, )n là R -0 môđun hữu hạn sinh với mọi i∈  và 0( , )

i

+ bị triệt tiêu khi n đủ lớn như định lí 2.2.3

Nhờ áp dụng định lí chuyển vành cơ sở, chúng tôi chứng minh được tính ổn định tiệm cận của tập các iđêan nguyên tố liên kết của các thành phần phân bậc của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng trong định lí 2.2.6, định lí 2.2.9 Hơn thế

nữa, từ tính Artin của môđun đối đồng điều địa phương suy rộng phân bậc chúng tôi xây dựng nên bổ đề 2.2.10 như sau:

Bổ đề 2.2.10 Cho S ⊆  0, R0 m0 là vô h ạn và M, N là các R-môđun phân bậc

+

i∈S Khi đó, tồn tại n0∈S { }∞ và m ột phần tử N ΓR+( )N -chính qui x∈R1

Hệ quả 2.2.20 Cho R=R R[ ]1 v ới vành cơ sở địa phương (R0,m0) và gi ả sử rằng

pd M < ∞ như trong định lí 2.2.24 sau:

Định lí 2.2.24 Giả sử rằng R=R R0[ ]1 , (R0,m0) là địa phương với dimR0 ≤ và 1

B ảng các kí hiệu toán học thường dùng trong luận văn

dim M Chiều Krull của môđun M

tương ứng với iđêan I

( , )

i

H M N Thành phần phân bậc thứ n của môđun đối đồng điều địa phương suy

rộng thứ i của môđun M, N tương ứng với iđêan I

( )R

C Phạm trù các R-môđun

( )

*C R Phạm trù các R-môđun phân bậc

Chương 1

Trong chương này, tôi sẽ trình bày một số khái niệm và mệnh đề mà tôi sử

dụng để chứng minh các mệnh đề, bổ đề, định lí và hệ quả được bày trong chương

2 Tôi không đưa ra cách chứng minh chi tiết các tính chất, mệnh đề, định lí mà chúng được trích dẫn chủ yếu từ các tài liệu [2],[3],[7],[11],[14],[21] Và do đó, đọc

giả có thể tham khảo cách chứng minh trong các tài liệu này

1.1 Iđêan nguyên tố liên kết

Định nghĩa 1.1.1 Cho R là một vành, M là R–môđun, iđêan nguyên tố p của R được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại x∈M x( ≠0): p Ann x= ( )

Tập các iđêan nguyên tố liên kết của M kí hiệu là Ass R( )M

Giá của môđun M, kí hiệu Supp M( )={p∈Spec R M( ) p ≠0}

Đặt V I( )={p∈Spec R( )|I ⊂p}

Khi đó:

i) Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh thì Supp M( )=V Ann M( ( ) )

ii) Nếu R là vành Noether và I là một iđêan của R thì Supp R I( / )=V I( )

Tính chất 1.1.2 Cho R là một vành, M là R – môđun Iđêan nguyên tố p của R

được gọi là iđêan nguyên tố liên kết của M thì các điều sau là tương đương :

i) Tồn tại x∈M x( ≠0): p Ann x= ( )

ii) M ch ứa một môđun con đẳng cấu với R/p

Tính chất 1.1.3 Cho R là một vành, M là R – môđun Giả sử p là phần tử tối đại

của {Ann x x( ) ∈M x, ≠0} thì p∈Ass R( )M

H ệ quả 1.1.4 Ass R( )M = ∅ ⇔M =0

Hệ quả 1.1.5 Giả sử S là tập con nhân của R Đặt 1 1

ta có Ass R( )M' = f Ass( R'( )M ' )= Ass R( ) {M  p p| S = ∅}

Trong đó f Spec R: ( )' →Spec R( ) là một đồng cấu

sao cho M i M i−1 ≅R pivới mọi pi∈Spec R( ),1≤ ≤i n

Tính ch ất 1.1.7 Cho 0→M →N → → là dãy khớp các R-môđun, khi đó ta L 0

có các kết quả sau:

i) Ass M( )⊆ Ass N( )⊆ Ass M( )Ass L( )

ii) Supp N( )=Supp M( )Supp L( )

Tính chất 1.1.8 Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó ta

có:

i) Ass M( )là tập hữu hạn

ii) Ass M( )⊂Supp M( )

iii) Phần tử tối tiểu của Ass M và ( ) Supp M gi( ) ống nhau

Tính chất 1.1.9 Cho R là vành Noether, M là R-môđun hữu hạn sinh và I là một

iđêan của R Khi đó Supp M( )⊂V I( ) khi và chỉ khi tồn tại số nguyên k sao cho

Định nghĩa 1.2.1 Cho S là một R-môđun S được gọi là thứ cấp khi S≠ và v0 ới

mọi r R∈ , hoặc rS S= , hoặc tồn tại n ∈  sao cho r S n = N0 ếu p= 0 :R S là

một iđêan nguyên tố của R, chúng ta nói S là R-môđun p-thứ cấp

S

=

∑

cũng là môđun con p-thứ cấp của M

Định nghĩa 1.2.3 Cho M là một R-môđun Một sự biểu diễn thứ cấp của M là một

sự biểu diễn M thành tổng hữu hạn các môđun con thứ cấp của M Một sự biểu diễn

thứ cấp

1 2 n

M =S +S + + vS ới S là i pi-thứ cấp (1≤ ≤i n)

của M được gọi là tối tiểu khi

i) p1, ,pn là n iđêan nguyên tố khác nhau của R; và

ii) Với mọi j =1, 2, ,n, ta có

Do đó, một R-môđun biểu diễn luôn có một sự biểu diễn thứ cấp tối thiểu

Mệnh đề 1.2.4 Cho M là một R-môđun biểu diễn và cho

không phụ thuộc vào cách chọn sự biểu diễn tối tiểu của M, được gọi là tập các

iđêan nguyên tố gắn kết của M và được kí hiệu Att M ho( ) ặc Att R( )M Các phần

tử của Att M ( ) được gọi là các iđêan nguyên tố gắn kết của M

M ệnh đề 1.2.6 Cho 0→M → N → L → là m0 ột dãy khớp các

R-môdun biểu diễn và các R-đồng cấu Khi đó

Mệnh đề 1.2.7 Cho A là một R-môđun Artin, cho r R∈ Khi đó:

i) rA= nA ếu và chỉ nếu \ ( )

p Att A p

r∈R  ∈ ; và ii)

( )

R A = ∈Att A

1.3 Độ dài của môđun

Định nghĩa 1.3.1 Cho một dãy ( )M i 0≤ ≤i n các môđun con của môđun M thỏa

0 1 n 1 n 0

M =M ⊃M ⊃ ⊃M − ⊃ M = Khi đó dãy ( )M i 0≤ ≤i n

được gọi là chuỗi hợp

Điều này tương đương với môđun thương M M i i+1 là môđun đơn.

Độ dài các chuỗi hợp thành của M là một đại lượng không thay đổi, được kí hiệu là

( )

l M và được gọi là độ dài của môđun M

Tính chất 1.3.2 Cho R là vành Noether và M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó ta

có các điều sau là tương đương:

i) l M( )< ∞

ii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Ass M( )

đều là iđêan tối đại của R

iii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Supp M( )

đều là iđêan tối đại của R

Hệ quả 1.3.3 Cho R là vành Noether và M là môđun hữu hạn sinh, N là

R-môđun bất kì Nếu l N( )< ∞ thì l Hom( R(M N, ) )< ∞ Do đó nếu N là R-môđun

Artin thì Hom R(M N, )cũng là R-môđun Artin

Tính chất 1.3.4 Giả sử môđun M có chuỗi hợp thành có độ dài là n Khi đó mọi

dãy môđun con của M đều có thể mở rộng thành chuỗi hợp thành

Tính ch ất 1.3.5 ( )M i 0≤ ≤i n là chuỗi hợp thành của M khi và chỉ khi ( )M i 0≤ ≤i n vừa

là dãy điều kiện tăng vừa là dãy điều kiện giảm

Tính ch ất 1.3.6 Cho dãy khớp ngắn 0→M → N → → các R- P 0 môđun, khi đó ta

có

( ) ( ) ( ) 0

1.4 Độ cao của một iđêan

Định nghĩa 1.4.1 Cho R là một vành khác 0, p là một iđêan nguyên tố của R Độ

ii) Nếu I là một iđêan của R Độ cao I là độ cao thấp nhất của iđêan nguyên tố

chứa I Tức là ht I( )=inf ht{ ( ) |p I ⊂p p, ⊂Spec R( ) }

1.5 Chi ều của một vành, môđun

Định nghĩa 1.5.1 Cho R là vành, chiều của R, kí hiệu là dimR, là chiều dài lớn nhất

của dãy các iđêan nguyên tố p0 ⊂p1 ⊂ ⊂ pn− 1 ⊂pn = cp ủa R

Nếu có một dãy các iđêan nguyên tố như trên có độ dài vô hạn thì ta kí hiệu

dim R= ∞

Nh ận xét:

i) Từ định nghĩa ta có dimR=sup{htp p| ∈Spec R( ) } Số chiều này được gọi

là số chiều Krull của R

ii) htp=dim( )Rp ,p∈Spec R( )

iii) Với mọi iđêan I của R, ta có: dim(R I)+htI ≤dimR

Tính ch ất 1.5.2 Giả sử M ≠ là một R-môđun, khi đó số chiều của môđun M 0được định nghĩa là chiều của vành thương R Ann M ( )

Tức là dimM =dim(R Ann M( ) )

Khi M = 0 ta qui ước dimM = − 1

Tính chất 1.5.3 Cho R là vành Noether và M ≠ là một R-môđun hữu hạn sinh thì 0các điều kiện sau là tương đương:

i) M là m ột R-môđun có độ dài hữu hạn

ii) Vành R Ann M( ) là vành Artin

iii) Mọi iđêan nguyên tố thuộc Supp M( )

đều là iđêan tối đại của R

1.6 Độ sâu của môđun

Định nghĩa 1.6.1 Cho M là một R-môđun Một phần tử r R ∈ được gọi là M-chính

qui nếu rx≠ ∀ ∈0, x M x, ≠ 0

Định nghĩa 1.6.2 Cho R là vành giao hoán Noether và M ≠ là một R-môđun hữu 0

hạn sinh Dãy các phần tử a a1, 2, ,a n∈R được gọi là dãy M-chính qui nếu:

i) a∈ là phR ần tử M-chính qui nếu a không là ước của 0 trong M

ii) a a1, 2, ,a n∈R được gọi là M-dãy chính qui khi và chỉ khi

( 1, 2, , n) 0

M a a a M ≠ và a i∉ ∀ ∈p p, Ass R(M (a a1, 2, ,a n)M) với mọi

1, 2, ,

Định nghĩa 1.6.3 Cho R là vành giao hoán Noether và M ≠ là một R-môđun hữu 0

hạn sinh Lấy I là một iđêan của M sao cho M IM≠ , khi đó a a1, 2, ,a n là M-dãy

chính qui t ối đại trong I nếu không tồn tại phần tử a n+1∈ sao cho I a a1, 2, ,a a n, n+1

là M-dãy chính qui có độ dài n+1

Định nghĩa 1.6.4 Cho R là vành giao hoán Noether và M ≠ là một R-môđun hữu 0

hạn sinh Lấy I là một iđêan của M sao cho M IM≠ , khi đó mọi dãy chính qui của

qui tối đại của M trong I có cùng độ dài Độ dài này được gọi là độ sâu của M trong

I, kí hiệu là depth I M ( , )

Nh ận xét:

Nếu R là vành địa phương với iđêan tối đại là m Khi đó mọi M-dãy chính qui

1, 2, , n

a a a phải có các phần tử thuộc m, đơn giản vì M (a a1, 2, ,a n)M ≠ Theo 0

bổ đề Nakayama ta có M ≠mM , do đó dãy các phần tử của R là M-dãy chính qui

khi và chỉ khi nó là M-dãy chính quy trong m

Trong trường hợp này, độ sâu của M trong m gọi là độ sâu của M và kí hiệu là

1.7 Chi ều nội xạ và chiều xạ ảnh

Định nghĩa 1.7.1 Nếu M là một R-môđun mà có một phép giải xạ ảnh P• với 0

n

P = khi n d> nhưng P d ≠ v0 ới mọi phép giải xạ ảnh của M Khi đó ta nói M có

chi ều xạ ảnh là d, kí hiệu pd M( )= d

Nếu không có số d thỏa định nghĩa trên thì ta viết pd M( )= ∞

Định nghĩa 1.7.2 Nếu M là một R-môđun mà có một phép giải nội xạ J• với 0

n

J = khi n d> nhưng J d ≠ v0 ới mọi phép giải nội xạ của M Khi đó ta nói M

có chi ều nội xạ là d, kí hiệu id M( )= d

Nếu không có số d thỏa định nghĩa trên thì ta viết id M( )= ∞

Nh ận xét:

Rõ ràng nếu M là môđun xạ ảnh thì pd M( )= , n0 ếu M là môđun nội xạ thì

( ) 0

1.8 Gi ới hạn thuận

Định nghĩa 1.8.1 Một tập sắp thứ tự bộ phận khác rỗng I được gọi là sắp thứ tự

thu ận nếu với mỗi cặp phần tử i, j của I thì tồn tại phần tử k của I sao cho i k≤ và

j ≤ k

Như vậy, tập các số tự nhiên với thứ tự thông thường là một sắp thứ tự thuận

Định nghĩa 1.8.2 Cho ( )M i i I∈ là một họ các R-môđun đánh chỉ số trên tập sắp thứ

tự thuận I Với mỗi cặp phần tử i, j của I mà i j ≤ , cho R-đồng cấu :

Ω = là một hệ thống thuận, gọi D là R-môđun

con của R-môđun ⊕i I∈ M i được sinh bởi các phần tử dạng m i −µij( )m i với i j≤ Đặt M = ⊕i I∈ M i D, kí hiệu µ:⊕i I∈ M i →M là phép chiếu tự nhiên và :

i M i M

µ → là hạn chế của µ lên M i

Khi đó, ta gọi M và họ các đồng cấu ( )µi i I∈ , hoặc đơn giản hơn chỉ gọi M, là

gi ới hạn thuận của hệ thống thuận ( i, ij),

Tính ch ất 1.8.5 Một dãy các hệ thống thuận và các đồng cấu Ω →Λ →Π

được gọi là khớp nếu các dãy tương ứng của các R-môđun và các R-đồng cấu là

khớp Khi đó, dãy các giới hạn thuận của chúng cũng là dãy khớp

Γ = , là tập hợp tất cả các phần tử của M bị linh hóa bởi

một lũy thừa nào đó của I

Rõ ràng, ΓI( )M là một môđun con của M

Với mỗi R-đồng cấu môđun : f M → , ta có N f (ΓI ( )M )⊆ ΓI( )N Như

vậy, f sẽ cảm sinh một đồng cấu thu hẹp của nó trên ΓI( )M , định bởi:

R-Nếu ΓI( )M = thì ta nói M là I-không xo0 ắn, nếu ΓI ( )M =M thì ta nói M

là I-xoắn

Từ đó, với mọi R-môđun M, thì môđun ΓI( )M là I-xoắn và M ΓI( )M là

I-không xoắn

Mệnh đề 1.9.2 Hàm tử I-xoắn Γ là hàm tI ử khớp trái

Mệnh đề 1.9.3 Một R-môdun M là hữu hạn sinh là I-xoắn khi và chỉ khi tồn tại

ii) Nếu R là vành Noether, thì Ass R(M ΓI( )M )= Ass R( ) ( )M \V I

Bổ đề 1.9.6 (Bổ đề Melkersson) Cho M là một R-môđun I-xoắn và (0 :M I là )

Artin Khi đó M là Artin

1.10 Môđun đối đồng điều địa phương

Định nghĩa 1.10.1 Với mỗi i ∈  , hàm tử dẫn xuất phải thứ i của hàm tử Γ , kí I

hiệu là i

I

H , được gọi là hàm tử đối đồng điều địa phương thứ i của iđêan I

I

i c ủa M ứng với iđêan I

iii) Nếu 0→M → N → L → là một dãy khớp ngắn của các R-0

môđun và các R-đồng cấu, khi đó ta có một dãy khớp dài sau

Mệnh đề 1.10.3 Cho i ∈  , M là một R-môđun Khi đó môđun đối đồng điều địa

phương i( )

I

1.11 Môđun đối đồng điều địa phương suy rộng

Định nghĩa 1.11.1 Cho R là một vành Noether giao hoán có đơn vị 1 0 ≠ , I là một iđêan của vành R, M và N là các R-môđun

Khi đó, với mỗi số tự nhiên i, ta có

Hàm tử H I i(M,• là hàm t) ử hiệp biến, R-tuyến tính từ phạm trù các R-môđun

vào chính nó Hàm tử H I i(•,N) là hàm tử phản biến, R-tuyến tính từ phạm trù các

ii) Với mỗi cặp R-môđun M và N, ta luôn có dãy khớp dài (được gọi là dãy

Mayer-Vietoris của M, N tương ứng với I và J)

Mệnh đề 1.11.3 Cho M là R-môđun hữu hạn sinh Khi đó, với mọi R-môđun N ta

Từ các đồng cấu trên ta thấy mọi H I i(M N , ) đều là các môđun I-xoắn

1.12 Vành phân b ậc, môđun phân bậc

Định nghĩa 1.12.1 Một vành phân bậc (  -phân bậc) là một vành R với một họ

( )R n n∈ các nhóm con của nhóm cộng của R, sao cho R= ⊕n∈R n và R R n m ⊆R n m+

với mọi ,m n ∈ 

Định nghĩa 1.12.2 R được gọi là vành phân bậc không âm nếu R n = , v0 ới mọi 0

n< Khi đó, ta có R= ⊕n∈0R n

Do đó, R là m0 ột vành con của R, và mỗi R là m n ột R -0 môđun

Định nghĩa 1.12.3 Cho R là một vành phân bậc không âm Khi đó vành R được gọi

là phân b ậc thuần nhất nếu R=R R0[ ]1

Hơn thế nữa, R 0 được gọi là vành cơ sở của R

Định nghĩa 1.12.3 Cho R là một vành phân bậc không âm, một R-môđun phân bậc

là một R-môđun cùng với một họ ( )M n n∈ các nhóm con của M sao cho

n n

M = ⊕ ∈M và R M m n ⊆M m n+ với mọi ,m n∈ 

Do đó, mỗi M là m n ột R -0 môđun, và được gọi là thành phần phân bậc thứ n

của M

Một phần tử x M∈ được gọi là thuần nhất nếu ∃ ∈n :x∈M n (x có b ậc là n,

kí hiệu deg x( )= ) Mọi y Mn ∈ đều được viết duy nhất dưới dạng tổng hữu hạn

y được gọi là các thành phần thuần nhất của y

Mệnh đề 1.12.4 Cho R là một vành phân bậc và cho M là một R-môđun phân bậc

Khi đó:

i) Với mọi môđun con N của M, thì N 1à một R-môđun phân bậc với

n n

N = ⊕ ∈N , ở đây N n = NM n với mọi n ∈

ii) Với mọi môđun con N của M, thì M N là một R-môđun phân bậc với

M N = ⊕∈ M N , ở đây (M N) (n = N +M n) N với mọi n ∈

iii) Một iđêan phân bậc của R là iđêan I R⊆ , được phân bậc như là một môđun con của R

Định nghĩa 1.12.5 Cho R là một vành phân bậc, M là một R-môđun phân bậc và

r ∈ Với mọi n∈ đặt M r( )n =M n r+ Khi đó, M r( )= ⊕n∈M r( )n là một môđun phân bậc R-môđun M r ( ) được gọi là sự xê dịch thứ r của M

R-Nếu N M⊆ là một môđun con phân bậc của M, thì N r là m( ) ột môđun con

của M r và ( ) (M N)( )r =M r( ) ( )N r

Mệnh đề 1.12.6 Cho R là một vành phân bậc không âm Khi đó, các mệnh đề sau

là tương đương:

ii) R là Noether và 0 iđêan R+ của R là hữu hạn sinh

iii) R là Noether và R là m0 ột R -0 đại số hữu hạn sinh

Mệnh đề 1.12.7 Nếu R là một vành phân bậc không âm và M là R-môđun phân bậc

hữu hạn sinh thì M n = v0 ới mọi n 0

M ệnh đề 1.12.8 Cho X = ⊕n∈X n là một R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi

đó, với mọi n ∈ , X là m n ột R0-môđun hữu hạn sinh Hơn thế nữa nếu R X+t = 0

với t ∈  , thì X−n = X n = v0 ới n đủ lớn

Mệnh đề 1.12.9 Nếu R là một vành phân bậc thuần nhất và M là hữu hạn sinh, khi

đó các mệnh đề sau là tương đương:

i) Tồn tại r∈  sao cho 0 ( )R+ r M = 0

ii) M n = v0 ới mọi n 0

iii) M là m ột R+-xoắn

Định nghĩa 1.12.10 Cho R và ' R là các vành phân bậc Cho :f R→ là một R'

đồng cấu vành Chúng ta nói f là đồng cấu thuần nhất (phân bậc) nếu ( ) '

n n

với mọi n ∈

Định nghĩa 1.12.11 Một R-môđun phân bậc X được gọi là một môđun minimax,

nếu tồn tại một môđun con phân bậc hữu hạn sinh 'X c ủa X , sao cho X X là m' ột môđun Artin

Định nghĩa 1.12.12 Cho :f A→ là mB ột đồng cấu vành Nếu A-môđun B cảm

sinh từ f là dẹt, trung thành thì f được gọi là đồng cấu dẹt, trung thành

Mệnh đề 1.12.13 Cho X là một R-môđun minimax phân bậc, (R0,m0) là địa

phương Nếu X là R+-xoắn, khi đó R-môđun 0 ( )

0 m0,

R j

Artin với mọi j∈  0

1.13 Môđun cofinite tương ứng với một iđêan

Một R-môđun M được gọi là I-cofinite nếu Supp M( )⊂V I( ) và

( , )

i

R

Ext R I M là hữu hạn sinh với i ≥ 0

Dễ thấy nếu R là một vành Noether giao hoán và M là một R-môđun hữu hạn

sinh sao cho Supp M( )⊆V I( ) thì khi đó M là I-cofinite

= ⊕ là một vành giao hoán Noether phân bậc 1 0≠ , M

và N là hai R-môđun  -phân bậc hữu hạn sinh Cho

là một R-môđun phân bậc H R i+ (M N, ) được gọi là môđun đối đồng điều địa

phương suy rộng phân bậc của M, N tương ứng với I

Ta có R i ( , ) R i ( , )

n n

ii) Cho M là m ột R-môđun hữu hạn sinh và N

cấu của các 'R -môđun

Định nghĩa 2.1.3 Nếu T = ⊕n∈T n là một R-môđun phân bậc, chúng ta nói rằng T là

thu ần hóa nếu tồn tại số n0∈  sao cho hoặc T n = với 0 n≤ hoặc n0 T n ≠ với 0

0

n ≤ n

Rõ ràng, mọi R-môđun Artin và mọi R-môđun Noether đều thuần hóa

Định nghĩa 2.1.4 Nếu ( )T n n∈là một họ các R-môđun, chúng ta nói rằng tập

n→−∞ trong một số trường hợp cụ thể sau:

Bổ đề 2.2.1 Cho M là một R-môđun hữu hạn sinh, I là một iđêan của vành

Chứng minh: Vì N là một R-môđun I-xoắn nên theo [7, 2.1.6] có một phép giải

với mọi i≥ , và theo m0 ệnh đề 2.1.2(ii) ta có H I i(M N, )≅Ext R i (M N, ) với mọi 0

i≥

Tiếp theo, ta chứng minh H I i(M N là h, ) ữu hạn sinh với mọi i ≥ nếu N là 0

hữu hạn sinh Thật vậy, vì M là hữu hạn sinh nên ta giả sử

1, 2, , k

Khi đó, ta đặt

0 1

Mà K0 ⊂ nên F0 K là h0 ữu hạn sinh (do R là vành Noether)

Lập luân tương tự như trên, ta xây dựng được một phép giải tự do của M

0←M←F ← ←F  ← F i− ← ←F i 

trong đó F là các R- i môđun tự do với cơ sở là hữu hạn

Áp dụng hàm tử Hom(•,N) vào phép giải trên, ta có

Vì F là t i ự do và có cơ sở hữu hạn nên Hom F N( i, )≅ ⊕ (tổng hữu hạn) là hữu N

hạn sinh với mọi i≥ 0

Do đó ta có Ext i R(M N là h, ) ữu hạn sinh với mọi i≥ Và vì vậy, từ chứng 0minh trên ta có H I i(M N là h, ) ữu hạn sinh với mọi i≥ 0 

Mệnh đề 2.2.2 Cho R là vành phân bậc Noerther thuần nhất, N là một R-môđun

b ậc hữu hạn sinh, thì H R i+ (M N, )n là R -0 môđun hữu hạn sinh và chỉ có hữu hạn

R+ − Ext M N là R -0 môđun Noether, từ dãy khớp ngắn

Ext M N là một R -0 môđun Noether hữu hạn sinh với mọi

n∈ và chỉ có hữu hạn Ext R i (M N, )n có thể khác 0 Theo bổ đề 2.2.1, ta có

( , ) ( , )

H + M N ≅ Ext + M N , nên ta có điều cần chứng minh 

Định lí 2.2.3 Cho M, N là các R-môđun phân bậc hữu hạn sinh Khi đó:

i) V ới mọi i ∈  và với mọi n∈ , 0 R -0 môđun H R i+ (M N, )n là h ữu hạn sinh

ii) V ới mọi i ∈  , tồn tại 0 r i ∈ sao cho R i ( , ) 0