Dãy chính quy suy rộng và tính hữu hạn của tập các Iđêan nguyên tố liên kết của Môđun đối đồng điều địa phương

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM PHAN THỊ HIỀN DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỊ HIỀN

DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN – 2012

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

PHAN THỊ HIỀN

DÃY CHÍNH QUY SUY RỘNG VÀ TÍNH HỮU HẠN CỦA TẬP CÁC IĐÊAN NGUYÊN TỐ LIÊN KẾT CỦA MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60.46.05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN THỊ DUNG

THÁI NGUYÊN – 2012

Mục lục

Trang

Mục lục .1

Lời cảm ơn 2

Mở đầu 3

Chương 1 Một số mở rộng của dãy chính quy 6

1.1 Dãy chính quy và độ sâu của môđun 6

1.1.1 Hàm tử mở rộng 6

1.1.2 Môđun đối đồng điều địa phương 8

1.1.3 Dãy chính quy và độ sâu của môđun .9

1.2 Dãy chính quy lọc và độ sâu lọc 10

1.2.1 Dãy chính quy lọc 10

1.2.2 Độ sâu lọc .12

1.3 Dãy chính quy suy rộng và độ sâu suy rộng 20

1.3.1 Dãy chính quy suy rộng 20

1.3.2 Độ sâu suy rộng 24

Chương 2 Một số tính chất hữu hạn 29

2.1 Tính hữu hạn của tập S n1, ,nr∈N Ass(M/(xn1 1 , , xnr r )M ) 29

2.1.1 Biểu diễn thứ cấp .29

2.1.2 Tính hữu hạn của tập S n1, ,nr∈N Ass(M/(xn1 1 , , xnr r )M ) 31 2.2 Tính hữu hạn của tập Ass(HIi(M )) 35

Kết luận .42

Tài liệu tham khảo 43

Lời cảm ơn

Luận văn được hoàn thành nhờ sự hướng dẫn nhiệt tình và nghiêm khắccủa Cô giáo TS Nguyễn Thị Dung Cô đã giành nhiều thời gian, công sứcchỉ bảo tôi trong suốt quá trình thực hiện đề tài và tạo mọi điều kiện cho tôihoàn thành luận văn này Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc

đến Cô cùng gia đình

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban lãnh đạo trường Đại học sư phạm TháiNguyên, lãnh đạo khoa Toán, lãnh đạo khoa Sau đại học của Trường đã tạomọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành tốt nhiệm vụ học tập của mình.Tôi xin chân thành cảm ơn sự tận tâm và nhiệt tình của các quý Thầy côtham gia giảng dạy cho lớp Cao học chuyên ngành Toán khóa 18

Cuối cùng tôi xin cảm ơn các bạn bè, những người thân yêu trong gia đình

đã luôn cho tôi niềm tin và động lực để tôi học tập tốt

Thái Nguyên, tháng 9 năm 2012

Học viênPhan Thị Hiền

Mở đầu

Cho (R,m) là vành giao hoán, địa phương, Noether với iđêan cực đạiduy nhất m Cho M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều dim M = d Dãychính quy là một trong những dãy cơ bản của Đại số giao hoán mà thôngqua đó người ta có thể định nghĩa khái niệm độ sâu-một bất biến rất quantrọng để nghiên cứu cấu trúc của môđun Khái niệm dãy chính quy và độsâu đóng một vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu cấu trúc vành vàmôđun, chẳng hạn một dãy chính quy luôn là một phần của hệ tham số, độsâudepth M 6 dim M và nếudepth M = dim M thìM được gọi là môđunCohen-Macaulay Đặc biệt, độ sâu r của M trong I chính là số nguyên nhỏnhất sao cho môđun đối đồng điều địa phương HIr(M ) không triệt tiêu

Đã có nhiều nhà toán học nghiên cứu và mở rộng các khái niệm trên

để cho ta những lớp môđun mới Trước tiên, N T Cường, N V Trung và

P Schenzel [4] đã giới thiệu khái niệm dãy chính quy lọc (f-dãy), và lớpmôđun thỏa mãn mọi hệ tham số đều là f-dãy được gọi là f-môđun Sau đó,liên quan đến các kết quả trên, khái niệm độ sâu lọc (f-độ sâu), ký hiệu là

f-depth(I, M ), được giới thiệu bởi Lu-Tang [10] như là cận trên của các độdài của mộtf-dãy cực đại củaM trong I và đó cũng là số nguyênr nhỏ nhấtsao cho môđun đối đồng điều địa phương HIr(M )không là môđun Artin, khi

Supp(M/IM ) 6⊆ {m} Tiếp theo, L T Nhàn [14] đã giới thiệu khái niệmdãy chính quy suy rộng như là một sự mở rộng của dãy chính quy và dãy chínhquy lọc: Một dãy các phần tử (x1, , xr) trong m được gọi làM-dãy chínhquy suy rộng nếuxi ∈/ p,với mọi p ∈ AssR(M/(x1, , xi−1)M ), thỏa mãn

dim R/p > 1, với mọii = 1, , r Chú ý rằng khi dim(M/IM ) > 1tất cảcác dãy chính quy suy rộng cực đại của M trong I đều có chung độ dài và

độ dài chung đó được gọi là độ sâu suy rộng, ký hiệu là gdepth(I; M ) Rõràng, mọi dãy chính quy là dãy chính quy lọc, và mọi dãy chính quy lọc là

dãy chính quy suy rộng, nhưng điều ngược lại không đúng Do đó ta có

depth(I, M ) 6 f-depth(I, M ) 6 gdepth(I, M )

Nhiều tính chất của dãy chính quy suy rộng và độ sâu suy rộng tương tự cáctính chất của dãy chính quy và độ sâu cũng được chứng minh Đặc biệt, độsâu suy rộng gdepth(I; M ) chính là số nguyên r nhỏ nhất sao cho môđun

đối đồng điều địa phương HIr(M ) có tập giá vô hạn, khi dim(M/IM ) > 1

Hơn nữa, thông qua khái niệm dãy chính quy suy rộng và độ sâu suy rộng,một số thông tin về tính hữu hạn của tập

và tính chất hữu hạn của tập iđêan nguyên tố liên kết của môđun đối đồng

điều địa phương cũng được chứng minh Chú ý rằng, tính chất hữu hạn củatập Ass(HIi(M )) được nhiều nhà toán học quan tâm Đã có giả thuyết rằngtập Ass(HIi(M )) chỉ có hữu hạn các iđêan nguyên tố liên kết, với mọi iđêan

I của R và với mọi i > 0 Tuy nhiên, giả thuyết trên chỉ được chứng minh

là đúng trong một số trường hợp đặc biệt về vành (xem [6], [7]) và đã cónhững phản ví dụ chứng tỏ rằng giả thuyết trên là sai trong trường hợp vành

địa phương và không địa phương (xem [8], [16])

Mục đích của luận văn này là trình bày và chứng minh lại chi tiết toàn bộnội dung bài báo "On generalized regular sequences and the finiteness forassociated primes of local cohomology modules" của Lê Thanh Nhàn đăngtrên tạp chí Communication in Algebra, năm 2005 và một phần bài báo "The

f-depth of an ideal on a module" của Lu-Tang đăng trên tạp chí Proceedings

of the American Mathematical Society

Luận văn được chia thành hai chương, không có chương chuẩn bị Cáckiến thức cơ sở dùng trong luận văn sẽ được nhắc lại xen kẽ trong khi trìnhbày nội dung hai bài báo Chương 1 dành để nghiên cứu về dãy chính quy

và độ sâu, dãy chính quy lọc và độ sâu lọc, dãy chính quy suy rộng và độsâu suy rộng cùng một số đặc trưng của chúng Chương 2 trình bày hai kếtquả hữu hạn: Nếu (x1, , xr) là một dãy chính quy suy rộng của M thì

Ass(M/(xn1

1 , , xnr

r )M ) là hữu hạn và tập các iđêan nguyên

tố liên kết Ass(HIi(M )) là tập hữu hạn với mọi i 6 gdepth(I, M ) Đặcbiệt, chương này cũng trình bày một chứng minh sơ cấp cho tính chất môđun

đối đồng điều địa phương đầu tiên không Artin HIi(M ) chỉ có hữu hạn cáciđêan nguyên tố liên kết Kết quả này tương tự như kết quả của Brodmann vàFaghani [2] cho tính hữu hạn của tập Ass(HIi(M )), nhưng ở đây, tính chấthữu hạn sinh được thay thế bởi tính Artin

Phần kết luận của luận văn tổng kết lại các kết quả đã trình bày

Với mong muốn là trình bày lại một số nội dung quan trọng về các dãychính quy và ứng dụng của nó trong việc nghiên cứu các lớp môđun quantrọng trong Đại số giao hoán, nhưng, vì điều kiện thời gian, năng lực và kinhnghiệm của bản thân còn hạn chế nên luận văn không tránh khỏi những thiếusót Tác giả mong muốn nhận được những sự góp ý quý báu của các quý thầycô cùng độc giả quan tâm để luận văn được hoàn thiện hơn

Chương 1

Một số mở rộng của dãy chính quy

Trong toàn bộ chương này, ta luôn ký hiệu (R,m) là vành giao hoán, địaphương, Noether, A là R-môđun Artin và M là R-môđun hữu hạn sinh vớichiều Krull dim M = d Chương này để chứng minh chi tiết một số kết quả

về dãy chính quy lọc được đưa ra bởi Cường-Shenzel-Trung [4] và độ sâu lọc

được giới thiệu bởi Lu-Tang [10], dãy chính quy suy rộng và độ sâu suy rộng

được đưa ra bởi L T Nhàn [14] và mối quan hệ của chúng với các khái niệmdãy chính quy và độ sâu quen biết Một số kiến thức được dùng trong cácnội dung tiếp theo như: Hàm tử mở rộng, môđun đối đồng điều địa phương, cũng được nhắc lại ở chương này

1.1 Dãy chính quy và độ sâu của môđun

Dãy chính quy là một trong những dãy cơ bản của đại số giao hoán màthông qua đó người ta có thể định nghĩa khái niệm độ sâu - một bất biến rấtquan trọng để nghiên cứu cấu trúc của môđun (xem [12])

1.1.1 Hàm tử mở rộng

Mục này dành để nhắc lại khái niệm và các tính chất của môđun Ext thường

được dùng trong luận văn

Định nghĩa 1.1.1 Cho M, N là cácR-môđun và n > 0là một số tự nhiên.Môđun dẫn xuất phải thứ n của hàm tử Hom(−, N ) ứng với M được gọi làmôđun mở rộng thứ n của M và N và được ký hiệu là ExtnR(M, N ).

Cụ thể, để xây dựng ExtnR(M, N ) ta lấy một giải xạ ảnh của M

→ Hom(P1, N ) u

∗ 2

→ Hom(P2, N ) →

Khi đó ExtnR(M, N ) = Ker u∗n+1/ Im u∗n là môđun đối đồng điều thứ n của

đối phức trên (môđun này không phụ thuộc vào việc chọn giải xạ ảnh của

M)

Mệnh đề 1.1.2 (i) Ext0R(M, N ) ∼= Hom(M, N )

(ii) NếuM là xạ ảnh hoặc N là nội xạ thì ExtnR(M, N ) = 0 với mọin > 1

(iii) Nếu 0 → N0 → N → N00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồngcấu nối ExtnR(M, N00) → Extn+1R (M, N0), với mỗi n> 0sao cho ta có dãykhớp dài

0 → Hom(M, N0) → Hom(M, N ) → Hom(M, N00) → Ext1R(M, N0)

→ Ext1R(M, N ) → Ext1R(M, N00) → Ext2R(M, N0) →

(iv) Nếu 0 → M0 → M → M00 → 0 là dãy khớp ngắn thì tồn tại các đồngcấu nối ExtnR(M0, N ) → Extn+1R (M00, N ),với mỗi n > 0sao cho ta có dãykhớp dài

0 → Hom(M00, N ) → Hom(M, N ) → Hom(M0, N ) → Ext1R(M00, N )

→ Ext1R(M, N ) → Ext1R(M0, N ) → Ext2R(M00, N ) →

Các kết quả sau cho ta tính chất hữu hạn sinh của môđun Ext và tính chấtgiao hoán giữa môđun Ext với hàm tử địa phương hóa

Mệnh đề 1.1.3 (i) Nếu M, N là hữu hạn sinh thì ExtnR(M, N ) là hữu hạnsinh với mọi n.

(ii) Nếu S là tập đóng nhân củaR thì ta có đẳng cấu

S−1(ExtnR(M, N )) ∼= ExtnS−1 R(S−1M, S−1N )

trong đó S−1 là hàm tử địa phương hóa Đặc biệt,

(ExtnR(M, N ))p ∼= Extn

1.1.2 Môđun đối đồng điều địa phương

Trước hết, ta nhắc lại khái niệm môđun đối đồng điều địa phương của mộtmôđun tùy ý

Định nghĩa 1.1.4 ChoI là một iđêan củaR vàM là mộtR-môđun Môđun

đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với iđêan I, ký hiệu là HIi(M ),

Định lý 1.1.5 (i) Cho 0 → L → Mf → N → 0g là một dãy khớp các

R-môđun Khi đó, với mọi i ∈ N ta có dãy khớp dài

(iii) R-môđun HId(M ) là Artin Đặc biệt, R-môđunHmi (M )là Artin với mọi

i ∈ N0

1.1.3 Dãy chính quy và độ sâu của môđun

Trước hết ta nhắc lại khái niệm dãy chính quy cho một môđun M trênvành R tùy ý

Định nghĩa 1.1.6 Cho M là R-môđun khác 0 Dãy các phần tử (a1, , an)

trong R được gọi là dãy chính quy của M (M-dãy) nếu

(a) M/(a1, , an)M 6= 0

(b) (a1, , ai−1)M :M ai = (a1, , ai−1)M với mọi i = 1, , n

Cho I là iđêan của R sao cho M 6= IM Khi đó mỗi dãy chính quy của

M trong I đều có thể mở rộng thành dãy chính quy tối đại trong I, và cácdãy chính quy tối đại củaM trong I có chung độ dài Độ dài chung này đượcgọi là độ sâu củaM trongI và được ký hiệu làdepth(I, M ).NếuM = IM

thì ta quy ước depth(I, M ) = ∞

Chú ý 1.1.7 (i) (a1, , an) ∈ m là M-dãy khi và chỉ khi ai ∈/ p, với mọi

p ∈ AssRM/(a1, , ai−1)M

(ii) Nếu (a1, , an) ∈ m thì M/(a1, , an)M 6= 0, do đó nó là M-dãykhi và chỉ khi nó thỏa mãn điều kiện (b) trong định nghĩa trên Trong trườnghợp này, độ sâu của M trong m gọi là độ sâu của M và kí hiệu là depth M

(iii) Nếu(a1, , an)làM-dãy trongI thì(at1

1 , , atn

n)cũng làM-dãy trong

I với mọi số nguyên dương t1, , tn

(iv) Hoán vị của một dãy chính quy cũng là một dãy chính quy

Tiếp theo ta đưa ra một số tính chất của độ sâudepth(I, M ) củaM thôngqua chiều, hàm tử mở rộng và môđun đối đồng điều địa phương

Định lý 1.1.8 (i) depth(M ) 6 dim(M )

(ii) Cho I là iđêan của R Ta có các đẳng thức sau

depth(I, M ) = inf{i | ExtiR(R/I, M ) 6= 0} = inf{i | HIi(R/I, M ) 6= 0}

(iii) Giả sử depth(I, M ) = t Khi đó

AssR(ExttR(R/I, M )) = AssR(HIt(M ))

(iv) Cho p ∈ Supp(M/IM ) \ {m}, khi đó

ExtnR

p(Rp/IRp, Mp) ∼= HomRp(Rp/IRp, Mp/(x1/1, , xn/1)Mp)

1.2 Dãy chính quy lọc và độ sâu lọc

1.2.1 Dãy chính quy lọc

Khái niệm dãy chính quy lọc được giới thiệu bởi Cuong-Schenzel-Trung[4] như là một sự mở rộng của dãy chính quy Ngày nay dãy chính quy lọc đãtrở thành một khái niệm quen biết và là một công cụ hữu ích để nghiên cứucấu trúc vành và môđun Chẳng hạn, thông qua khái niệm này, lớp môđun

được gọi là f-môđun thỏa mãn tính chất mọi hệ tham số đều là dãy chính quylọc (xem [4]), dãy chính quy suy rộng và f-môđun suy rộng (xem [14]), cũng đã được nghiên cứu

Định nghĩa 1.2.1 Một dãy các phần tử(x1, , xr)trong m được gọi là mộtdãy chính quy lọc (f-dãy) của M nếu với mọi i = 1, , r, ta có

Chú ý 1.2.2 (i) Phần tử x ∈ m là f-dãy nếu và chỉ nếu x /∈ p với mọi

p ∈ Ass(M ) \ {m} và một dãy các phần tử (x1, , xr) trong m là f-dãy

nếu và chỉ nếu xi ∈/ p với mọi p∈ Ass(M/(x1, , xi−1)M ) \ {m}, với mọi

i = 1, , r

(ii) Cho p ∈ Supp M \ {m}và(x1, , xr) ∈p Vì pRp là iđêan cực đại duynhất của vành Rp nên theo (i), dãy (x1, , xr) là một f-dãy khi và chỉ khi

xi ∈/ q với mọi q ∈ Ass(M/(x1, , xi−1)M ) \ {m}, với mọi i = 1, , r,

khi và chỉ khi (x1/1, , xr/1) /∈ qRp với mọi qRp ∈ Ass(Mp), khi và chỉkhi (x1/1, , xr/1) là Mp-dãy chính quy theo Chú ý 1.1.7, (i) Hơn nữa,theo Chú ý 1.1.7, (iii), nếu (x1, , xr) ∈p là f-dãy thì (xn1

1 , , xnr

là một f-dãy với mọi số nguyên dươngn1, , nr

(iii) Với mỗi môđun hữu hạn sinh N, ký hiệu `(N ) là độ dài của môđun N.Khi đó `R(N ) < ∞ nếu và chỉ nếu dim(N ) 6 0 Do đó theo (ii), ta có

(x1, , xn) là f-dãy nếu và chỉ nếu

dim((x1, , xi−1)M :M xi/(x1, , xi−1)M ) 6 0

với mọi i = 1, , n tương đương với

`((x1, , xi−1)M :M xi/(x1, , xi−1)M ) < ∞

với mọi i = 1, , n

Cho (x1, , xn) là một dãy các phần tử trong R Ta nhắc lại định nghĩaphức Koszul ứng với dãy (x1, , xn), ký hiệu là K• và đồng điều của phứcKoszul như sau (xem [12]) Khi p /∈ {0, , n} thì ta đặt K0 = R, và

Kp = 0 Khi1 6 p 6 n, đặtKp = ⊕Rei1 ip là một R-môđun tự do có hạng

(trong đó với p = 1, đặt d(ei) = xi) Ta có thể kiểm tra được rằng

dd = 0 Phức này được gọi là phức Koszul và được viết là K•(x1, , xn)

(hoặc K•(x)) Với mỗi R-môđun M, ta đặt K•(x, M ) = K•(x) ⊗R M.Phức Koszul có các nhóm đồng điều Hp(K•(x, M )) được viết ngắn gọn là

Hp(x, M ) Nhìn chung ta luôn có

H0(x, M ) ∼= M/xM và Hn(x, M ) ∼= {ξ | x1ξ = = xnξ = 0}

Cho(x1, , xn)là một dãy các phần tử trongRvà choHi(x1, , xn; M )

là môđun đồng điều thứ i của phức Koszul K•(x1, , xn; M ) của M ứngvới (x1, , xn) Khi đó ta có tính chất sau

Mệnh đề 1.2.3 Nếu (x1, , xn) là f-dãy thì

`(Hi(x1, , xn; M )) < ∞, với mỗi i > 0

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n Giả sử n = 1 Khi đó

H1(x1; M ) = (0 :M x1) có độ dài hữu hạn theo Chú ý 1.2.2, (iii) Giả sử

n > 1 và mệnh đề đã đúng với n − 1, nghĩa là với mọi i > 0 ta có

Chứng minh Giả sử ngược lại, nghĩa là không tồn tại phần tử f-dãy nàocủa M trong I Khi đó theo Chú ý 1.2.2, (i) ta có I ⊆ S

p,

vì thế theo định lý Tránh nguyên tố, tồn tại p ∈ AssR(M ) \ {m} sao cho

I ⊆ p Do đó tồn tại phần tử 0 6= a ∈ M sao cho p = AnnRa Vì vậy

dim(Ra) > dim R/p > 0.VìI ⊆pnênaI = 0.Lấy bất kỳ phần tửy ∈ Ra,

khi đóy ∈ R và suy ra ya ∈ M.Mặt khác, vìaI = 0nên yaI = y(aI) = 0

Vì vậyRa ⊆ 0 :M I ∼= HomR(R/I, M ).Do đódim(HomR(R/I, M )) > 0,

mâu thuẫn với giả thiết

Để giới thiệu khái niệm độ sâu lọc, trước hết ta chứng minh điều kiện cần

và đủ để tồn tại một f-dãy có độ dài n trong I

Mệnh đề 1.2.5 Cho I ⊆m là một iđêan và n > 0 là một số nguyên Khi đócác điều kiện sau là tương đương:

(i) `(ExtiR(R/I, M )) < ∞, với mọi i < n;

(ii) I chứa một f-dãy có độ dài n

Nếu (x1, , xn) ∈ I là một f-dãy thì với mỗi p ∈ Spec(R) \ {m}, ta có

ExtnR(R/I, M )p ∼= Hom

R(R/I, M/(x1, , xn)M )p

Chứng minh Giả sử `(ExtiR(R/I, M )) < ∞, với mọi i < n Ta sẽ chứngminh bằng quy nạp theo n Nếun = 1 thì theo Bổ đề 1.2.4, ta có I chứa mộtphần tử f-dãy Giả sử n > 1 và kết quả đúng vớin − 1 Khi đó, lại theo Bổ

đề 1.2.4, tồn tại x1 ∈ I là phần tử f-dãy Từ hai dãy khớp ngắn

0 → HomR(R/I, x1M ) → HomR(R/I, M ) → HomR(R/I, M/x1M )

→ Ext1R(R/I, x1M ) →

Vì `(0 :M x1) < ∞ nên với mỗi i > 0 ta có `(ExtiR(R/I, 0 :M x1)) < ∞

Khi đó từ dãy khớp dài thứ nhất ta có `(ExtiR(R/I, x1M )) < ∞, với mọi

i < n Lại từ dãy khớp dài thứ hai ta có `(ExtiR(R/I, M/x1M )) < ∞, vớimọii < n − 1.Vì thế, theo giả thiết quy nạp, tồn tại (x2, , xn) ∈ I là một

M/x1M-dãy chính quy lọc Suy ra (x1, x2, , xn) là một f-dãy

Đảo lại, giả sử (x1, , xn) ∈ I là một f-dãy có độ dài n Khi đó, vớimỗi p ∈ Supp(M/IM ) \ {m}, theo Chú ý 1.2.2 ta có (x1/1, , xn/1) làmộtMp-dãy chính quy Do đó, theo Mệnh đề 1.1.3, (ii) và Định lý 1.1.8, (ii),(iv), ta có

ExtiR(R/I, M )p = 0,với mọi i < nExtnR(R/I, M )p ∼= Hom

R(R/I, M/(x1, , xn)M )p

Nhưng, với mỗi p ∈ Supp(M/IM )/ và mỗii > 0, ta có

ExtnR(R/I, M )p = 0 và HomR(R/I, M/(x1, , xn)M )p = 0

Do đó ta có điều phải chứng minh là `(ExtiR(R/I, M )) < ∞ với mọi i < n

và với mỗi p ∈ Spec(R) \ {m} ta có

ExtnR(R/I, M )p ∼= Hom

R(R/I, M/(x1, , xn)M )p

Nếu (x1, , xn) là một f-dãy cực đại của M trong I thì theo Bổ đề1.2.4, dim(HomR(R/I, M/(x1, , xn)M )) > 0 Theo Mệnh đề 1.2.5 suy

ra dim(ExtnR(R/I, M )) > 0 Do đó, hai f-dãy cực đại trong I (nếu tồn tại)

có chung độ dài Điều này dẫn đến khái niệm sau

Định nghĩa 1.2.6 Cho I là iđêan thực sự của R Độ sâu lọc (f-độ sâu) của

M trong I, ký hiệu là f-depth(I, M ), được định nghĩa là độ dài của mỗi

f-dãy cực đại củaM trongI ởđây, nếu không tồn tạif-dãy cực đại của M

trong I thì ta hiểu độ dài là ∞

Chú ý 1.2.7 (i) f-depth(I, M ) = 0 nếu và chỉ nếu ∃ p ∈ AssR(M ) \ {m}

sao cho I ⊆p Đặc biệt, theo Mệnh đề 1.2.5, nếux ∈ I là phần tử f-dãy thì

f-depth(I, M ) = f-depth(I, M/xM ) + 1

(ii) Theo Mệnh đề 1.2.5, ta có

f-depth(I, M ) = min{n | dim(ExtnR(R/I, M )) > 0}

trong đó, nếu dim(ExtnR(R/I, M )) 6 0 với mọi n > 0 thì ta hiểu vế phảicủa đẳng thức trên là ∞

Mệnh đề 1.2.8 Cho I, J là hai iđêan thực sự của R Nếu √I = √

J nên tồn tại một số nguyên α > 0 sao cho xα1, , xαn ∈ J

Theo Chú ý 1.2.2, (ii) ta có (xα1, , xαn) cũng là f-dãy của M trong J nên

Do đó mệnh đề được chứng minh nếu ta chỉ ra đượcf-depth(I, M ) 6 htMI.

Theo giả thiết,Supp(M/IM ) * {m}.Chox1, , xn ∈ I là mộtf-dãy Khi

đó ta chỉ cần chứng minh n 6 htM(p) với mọi p ∈ Supp(M/IM ) \ {m}

Thật vậy, vìx1, , xn ∈ p nên x1/1, , xn/1 ∈ Rp là một Mp-dãy Do đó

n 6 dim(Mp) = htM(p) Mệnh đề được chứng minh

Mệnh đề 1.2.10 f-depth(I, M ) = ∞ nếu và chỉ nếu I chứa một hệ tham

số của M

Chứng minh Ta đã biết I chứa một hệ tham số của M tương đương với

dim(M/IM ) = 0 Do đó, theo Mệnh đề 1.2.9, ta chỉ cần chỉ ra rằng khi

dim(M/IM ) = 0,với mỗi số nguyên dương nta có thể tìm được mộtf-dãy

có độ dàintrongI.Thật vậy, vì ta có`(ExtiR(R/I, M )) < ∞, với mọii > 0

nên theo Mệnh đề 1.2.5, ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.2.11 Cho V (I) là tập các iđêan nguyên tố chứa I Khi đó

f-depth(I, M ) = min{f-depth(p, M )| p ∈ V (I)}

Chứng minh Khi dim(M/IM ) = 0 ta có f-depth(I, M ) = ∞ Mặt khác,vì dim(M/IM ) = 0 nên V (I) = {m} và do đó f-depth(m, M ) = ∞ nêntrong trường hợp này đẳng thức được thỏa mãn Giả sử dim(M/IM ) > 0

Đặt r = min{f-depth(p, M )| p ∈ V (I)} Vì tồn tại p ∈ V (I) sao cho

dim(M/pM ) > 0 nên ta có f-depth(p, M ) < ∞ do đó r < ∞ Ta chứngminh bằng quy nạp theo r để chỉ ra rằng f-depth(I, M ) = r Nếu r = 0

thì tồn tại một iđêan nguyên tố p ⊇ I sao cho f-depth(p, M ) = 0 Do

đó, vì I ⊆ p nên f-depth(I, M ) = 0 Giả sử r > 0 Khi đó với mọi

p ∈ AssR(M ) \ {m}, vì f-depth(p, M ) = 0 và r > 0 nên ta có I * p

Vì thế I * S p

Vì vậy, tồn tại x1 ∈ I là phần tử f-dãy Đặt

M1 = M/x1M Khi đó, theo Chú ý 1.2.7,(i) ta có

min{f-depth(p; M1)| p ∈ V (I)} = min{f-depth(p; M ) − 1| p ∈ V (I)}

mt, t = 0, 1, 2, Rb được trang bị hai phép toán hai ngôi: phép cộng, phépnhân các dãy Cauchy và cùng với hai phép toán này, bR làm thành một vành.Mỗi phần tử r ∈ M có thể đồng nhất với lớp tương đương của dãy Cauchy

mà tất cả các phần tử trong dãy đều là r

Cho cM là môđun đầy đủ theo tôpô m-adic của M Khi đó ta có độ sâulọc là bất biến qua phép chuyển qua đầy đủ

Mệnh đề 1.2.12 f-depth(I, M ) = f-depth(I,b M ).c

Chứng minh Lấy lời giải xạ ảnh của R/I và [R/I tương ứng trong vành R

và bR, sau đó tác động tương ứng hàm tửHom(−, M )vàHom

b

R(−,M )c , theo

định nghĩa của môđun mở rộng ta thu được các môđun ExtiR(R/I, M ) và

b

R(R/b I,b M )c Vì dãy các iđêan nguyên tố p chứa AnnR(ExtiR(R/I, M ))

và dãy các iđêan nguyên tố bp chứa Ann

b

b

R(R/b I,b M ))c là như nhau nênvới mỗi i > 0, ta có

dim(ExtiR(R/I, M )) = dim(ExtiR\(R/I, M )) = dim(Exti

b

R(R/b I,b M )).cTheo Mệnh đề 1.2.5 ta có điều phải chứng minh

Kết quả sau cho ta đặc trưng của độ sâu lọc thông qua đồng điều của phứcKozsul

Định lý 1.2.13 Cho y1, , yn ∈ I sao cho I = (y1, , yn) Khi đó

f-depth(I, M ) = n-sup{i| dim(Hi(y1, , yn; M )) > 0}

trong đó, nếu không tồn tại số nguyên i để dim(Hi(y1, , yn; M )) > 0 thì

ta hiểu vế phải của đẳng thức trên là ∞

Chứng minh Nếu dim(M/IM ) = 0 thì f-depth(I, M ) = ∞ và với mỗi

i ta có dim(Hi(y1, , yn; M )) 6 0, vì vậy định lý đúng trong trường hợpnày Giả sử dim(M/IM ) > 0 Đặt r = f-depth(I, M ) Ta chứng minhbằng quy nạp theo r Nếu r = 0 thì tồn tại p ∈ AssR(M ) \ {m} sao cho

I ⊆ p Do đó tồn tại 0 6= a ∈ M sao cho p = AnnR(a) Vì Ia = 0 nên ta

có a ∈ 0 :M I = Hn(y1, , yn; M ) Do đó p ∈ AssR(Hn(y1, , yn; M ))

Nhưng vì p 6= m, nên ta có dim(Hn(y1, , yn; M )) > 0, định lý đúngtrong trường hợp này Giả sử r > 0 Cho x ∈ I là một phần tử f-dãy và đặt

M1 = M/xM Khi đó, vì f-depth(I, M1) = r − 1 nên theo giả thiết quynạp ta có

sup{i| dim(Hi(y1, , yn; M1)) > 0} = n − r + 1 (∗)

Vì Supp(Hi(y1, , yn; M1)) ⊆ Supp(M/IM ) nên đẳng thức trên tương

đương với hai trường hợp: Hi(y1, , yn; M1)p = 0, với mọi i > n − r + 1,

với mỗi p ∈ Supp(M/IM ) \ {m} và Hn−r+1(y1, , yn; M1)p 6= 0 với

Từ dãy khớp trên, kết hợp với suy luận tương đương của đẳng thức (*), ta có

Hi(y1, , yn; M )p = 0, ∀i > n − r, với mỗi p ∈ Supp(M/IM ) \ {m} và

Hn−r(y1, , yn; M )p 6= 0 với p ∈ Supp(M/IM ) \ {m} nào đó Vậy

sup{i| dim(Hi(y1, , yn; M )) > 0} = n − r

Định lý được chứng minh

Nếu như độ dài của một dãy chính quy cực đại của M trong I đặc trưngcho tính không triệt tiêu thì kết quả sau đây của f-dãy đặc trưng cho tínhkhông Artin của môđun đối đồng điều địa phương của M ứng với iđêan I

Định lý 1.2.14 Cho I là iđêan thực sự của R,

f-depth(I, M ) = min{r|HIr(M ) không là Artin}

Chứng minh Cho dim(M/IM ) = 0 Theo tính chất của chiều và căncủa môđun thương, ta có dim(M/IM ) = dim(R/ Ann(M/IM )) vàp

AnnR(M/IM ) = pI + AnnR(M ) Do đó pI + AnnR(M ) = m Vìvậy, theo Định lý 1.1.5, (iii) ta có HIr(M ) ∼= Hmr(M ) là Artin với mọi

r > 0 Do đó min{r|HIr(M ) không là Artin} = ∞ Mặt khác, theo Mệnh

đề 1.2.10, ta cũng có vế trái f-depth(I, M ) = ∞ Vì vậy, kết quả đúngtrong trường hợp này

Giả sử dim(M/IM ) > 0 Cho n = f-depth(I, M ) Khi đó theoChú ý 1.2.7, (ii), ta có n = min{i| dim(ExtiR(R/I, M ) > 0} Chú

ý rằng với mọi i < n, với mỗi p ∈ Supp(M/IM ) \ {m} ta có

dim(ExtiR(R/I, M )) 6 0tương đương với ExtiRp(Rp/IRp, Mp) = 0, tương

đương với depth(IRp, Mp) > n Mặt khác, ta có dim(ExtnR(R/I, M )) > 0

khi và chỉ khi tồn tại p ∈ Supp(M/IM ) \ {m}đểExtnRp(Rp/IRp, Mp) 6= 0,khi và chỉ khi depth(IRp, Mp) = n Suy ra

n = min{depth(IRp, Mp)| p ∈ Supp(M/IM ) \ {m}}

Vì vậy, theo [13, Định lý 3.1], ta có điều phải chứng minh là

n = min{r|HIr(M ) không là Artin}

1.3 Dãy chính quy suy rộng và độ sâu suy rộng

1.3.1 Dãy chính quy suy rộng

Dãy chính quy suy rộng được giới thiệu bởi L T Nhàn [14] như là một sự

mở rộng của dãy chính quy và f-dãy

Định nghĩa 1.3.1 Một dãy các phần tử (x1, , xr) trong m được gọi làmột dãy chính quy suy rộng của M nếu xi ∈/ p, với mọi iđêan nguyên tố

p ∈ AssRM/(x1, , xi−1)M thỏa mãndim R/p > 1, với mọii = 1, , r.

Một phần tửx ∈ m, được gọi là phần tử chính quy suy rộng củaM nếux /∈ p,

với mọi p ∈ AssRM sao cho dim R/p > 1

Từ khái niệm trên, ta thấy rằng mọi dãy chính quy đều là f-dãy và mọi

f-dãy đều là dãy chính quy suy rộng Tuy nhiên, điều ngược lại nhìn chungkhông đúng Ta hãy xét ví dụ sau:

Ví dụ 1.3.2 ChoR = k[[x, y, z]]vàM = k[[x, y, z]]/(x, y) ∩ (y) ∩ (x, y2, z)

Đặt p1 = (x, y), p2 = (y), m = (x, y, z) Ta có AssRM = {p1,p2,m} và

dim R/p1 = 1, dim R/p2 = 2 Rõ rằng z là phần tử f-dãy vì z /∈ p1 và

z /∈ p2,nhưng z không là M-dãy vì iđêan cực đại m ∈ AssRM Tiếp đến, ta

có x là phần tử chính quy suy rộng vì x /∈ p2, tuy nhiên x không là phần tử

f-dãy vì x ∈ p1

Bổ đề 1.3.3 Cho (x1, , xr) là một dãy các phần tử trong m Khi đó

(i)(x1, , xr)là dãy chính quy suy rộng củaM nếu và chỉ nếu(x1/1, , xr/1)

là mộtMp-dãy với mọi p ∈ Supp M chứa x1, , xr sao cho dim R/p > 1,trong đó xi/1, i = 1, , r,là ảnh của xi trong Rp

(ii) Nếu r 6 d − 2, thì mỗi hoán vị của một dãy chính quy suy rộng của M

có độ dài r lại là một dãy chính quy suy rộng của M

(iii) Nếu(x1, , xr)là một dãy chính quy suy rộng củaM thì(xn1

1 , , xnr

là một dãy chính quy suy rộng của M với mọi số nguyên dương n1, , nr

Chứng minh (i) Tương tự như đối với f-dãy, vì pRp là iđêan cực đại duynhất trong vành địa phương Rp, nên x /∈ q với mọi q ∈ Supp M sao cho

dim R/q > 1 tương đương với x/1 /∈ qRp, ∀ qRp ∈ Ass Mp, tương đươngvới x/1 là Mp-chính quy Dùng quy nạp theo nta có điều phải chứng minh.(ii) Cho r 6 d − 2 và giả sử rằng (x1, , xr) là một dãy chính quy suyrộng của M Kí hiệu T = {p ∈ Supp M | dim R/p > 2, x1, , xr ∈ p}