Đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức

GIẢ SƠNĐA THỨC DUY NHẤT CHO HỌ CÁC HÀM PHÂN HÌNH PHỨC Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS... Việc nghiên cứu các

GIẢ SƠN

ĐA THỨC DUY NHẤT CHO HỌ CÁC HÀM PHÂN HÌNH PHỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2015

GIẢ SƠN

ĐA THỨC DUY NHẤT CHO HỌ CÁC HÀM PHÂN HÌNH PHỨC

Chuyên ngành: ĐẠI SỐ VÀ LÝ THUYẾT SỐ

Mã số: 60 46 01 04

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học

TS NGUYỄN THỊ NGỌC DIỆP

Nghệ An - 2015

2.1 Các điểm kỳ dị của đường cong phẳng 122.2 Đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức 17

MỘT SỐ KÝ HIỆU

C : Trường các số phức

k : Trường

An(k) : Không gian afin n chiều trên trường k

Pn(k) : Không gian xạ ảnh n chiều trên trường kk[x1, , xn] : Vành đa thức n biến trên trường k

V (S) : Tập nghiệm của hệ đa thức S

MỞ ĐẦU

Thời gian gần đây, vấn đề nghiên cứu các đa thức duy nhất đã thu hútđược sự quan tâm của nhiều nhà toán học Việc nghiên cứu các đa thức duynhất có liên quan chặt chẽ với việc nghiên cứu các tập xác định duy nhất.Rất nhiều tác giả đã đưa ra điều kiện để một đa thức là đa thức duy nhấtcho họ các đa thức phức, họ các hàm nguyên, họ các hàm hữu tỷ Chúng ta

có thể kể đến các công trình của các tác giả Boutabaa, Escassut, Haddad,Cherry, Yang, Voloch, Fujimoto

Theo hướng nghiên cứu này, trong [2], các tác giả T.T.H.An và J.T.Y.Wang

đã đưa ra điều kiện cần và đủ để đa thức một biến trên trường số phức C là

đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức

Trong luận văn này, chúng tôi tập trung tìm hiểu và trình bày một cáchchi tiết các kết quả trong bài báo [2] của T.T.H.An và J.T.Y.Wang

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, nội dung của luậnvăn được trình bày trong hai chương

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này trình bày những kiến thức cơ bản nhằm mục đích làm cơ sởcho việc trình bày nội dung của chương 2

Chương 2 Đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức

Chương này là nội dung chính của luận văn Trong chương này chúngtôi trình bày về các điểm kỳ dị của đường cong phẳng xác định bởi phươngtrình

F (X, Y ) = P (X) − P (Y )

trong đó P là đa thức một biến trên trường số phức C thỏa mãn Giả thiết Icủa Fujimoto Đồng thời, chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để đa thứcmột biến trên trường số phức C là đa thức duy nhất cho họ các hàm phânhình phức.

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Vinh dưới

sự hướng dẫn của TS Nguyễn Thị Ngọc Diệp Nhân dịp này tác giả xin bày

tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Nguyễn Thị Ngọc Diệp, người đã tận tìnhgiúp đỡ để tác giả hoàn thành luận văn này Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơnchân thành nhất tới tất cả các thầy, cô giáo, những người đã trực tiếp giảngdạy trong thời gian tác giả học tại trường Đại Học Vinh Tác giả xin gửi lờicảm ơn tới gia đình, bạn bè, những người đã động viên, giúp đỡ tác giả tronghọc tập cũng như trong cuộc sống

Cuối cùng tác giả mong nhận được những góp ý chân tình của các thầygiáo, cô giáo và các bạn

Tác giả

CHƯƠNG 1

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản nhằmmục đích làm cơ sở cho việc trình bày nội dung của chương 2 Ngoài ra chúngtôi còn trích dẫn một số kết quả đã có nhằm phục vụ cho các chứng minh ởphần sau Các khái niệm và tính chất này chủ yếu được tham khảo trong cáctài liệu [1], [7]

gọi là tập đại số trong An(k)

1.1.3 Ví dụ (1) Tập rỗng ∅ là một tập đại số vì nó là tập nghiệm củaphương trình f = 0 với mọi f ∈ k, f 6= 0

(2) Một điểm a = (a1, a2, , an) trong không gian An(k) là một tập đại số

vì nó là tập nghiệm của hệ phương trình

xn − an = 0hay

(3) Giao của một họ tùy ý các tập đại số là một tập đại số Nghĩa là: Cho{Si} là một họ các hệ đa thức trong k[x1, x2, , xn] Khi đó

1.1.5 Định nghĩa (1) Một tập đại số V ⊂ An(k) được gọi là khả quy nếu

V = V1∪ V2, trong đó V1, V2 là các tập đại số trong An(k) và Vi 6= V, i =

1, 2 Ngược lại, V được gọi là bất khả quy

(2) Một tập đại số bất khả quy trong An(k) gọi là một đa tạp affin

(3) Một tập con mở của một đa tạp affin gọi là đa tạp tựa affin

1.1.6 Định lý Giả sử V là tập đại số trong An(k) Khi đó, tồn tại duy nhấtcác tập đại số bất khả quy V1, V2, , Vm sao cho

V = V1 ∪ V2 ∪ ∪ Vm

và Vi 6⊂ Vj với mọi i 6= j

CácViđược gọi là các thành phần bất khả quy củaV;V = V1∪V2∪ .∪Vm

là sự phân tích V thành các thành phần bất khả quy

1.1.7 Nhận xét Với bất kỳ tập con X của An(k),

I(X) = {F ∈ k[x1, , xn] | F (a1, , an) = 0 với mọi (a1, , an) ∈ X}

là một iđêan của k[x1, , xn]

1.1.8 Định nghĩa I(X) được gọi là iđêan của X

1.1.9 Định lý Với một tập đại số bất kỳ X ⊂ An(k), ta có V (I(X)) = X.1.1.10 Mệnh đề Một tập đại số X ⊂ An(k) là một đa tạp affin khi và chỉkhi iđêan I(X) ⊂ k[x1, , xn] là iđêan nguyên tố

1.1.11 Định nghĩa Một đa thức f được gọi là đa thức thuần nhất nếu tất

cả các đơn thức của nó đều có cùng bậc

1.1.12 Định nghĩa (1) Với mỗi tập S không rỗng gồm các đa thức thuầnnhất trong k[x1, x2, , xn+1] thì

V (S) = {P ∈Pn(k) | F (P ) = 0 với mọi F ∈ S}

được gọi là tập đại số xạ ảnh trong Pn(k)

(2) Một tập đại số V ⊂ Pn(k) được gọi là bất khả quy nếu nó không là hợpcủa hai tập đại số bé hơn thực sự.

(3) Một tập đại số bất khả quy trong Pn(k) được gọi là một đa tạp xạ ảnh.(4) Một tập con mở của một đa tạp xạ ảnh gọi là đa tạp tựa xạ ảnh

1.2 Đường cong phẳng

Đường cong phẳng C trong A2(k) xác định bởi đa thức F (x, y) là

C = {(x, y) ∈ A2(k) | F (x, y) = 0}

Đường cong C là bất khả quy nếu F (x, y) bất khả quy Bậc của đường cong

là bậc của đa thức xác định đường cong

Giả sử

F = YFei

i

trong đó Fi là các nhân tử bất khả quy của F và ei ≥ 1 Ta nói rằng các Fi

là các thành phần của F và ei là bội của thành phần Fi Ta nói Fi là thànhphần đơn nếu ei = 1, và thành phần bội nếu ei > 1

Vì vành đa thức k[x, y] là vành Gauss nên mọi đa thức F (x, y) ∈ k[x, y]đều có phân tích duy nhất thành nhân tử bất khả quy

F = F1m1F2m2 Frmr

với F1, F2, , Fr là các đa thức bất khả quy phân biệt và m1, m2, , mr làcác số tự nhiên Ký hiệu

Ci = {(x, y) ∈ A2(k) | Fi(x, y) = 0} , i = 1, 2, , r,khi đó Ci, i = 1, 2, , r, là các thành phần bất khả quy của C và C có sựphân tích thành các thành phần bất khả quy

C = C1 ∪ C2 ∪ ∪ Cr.Giả sử F (x, y) là đa thức bậc n của vành đa thức k[x, y] Đặt

Khi đó, F (x, y, z)ˆ là đa thức thuần nhất bậc n thuộc k[x, y, z] và được gọi là

sự thuần nhất hóa của đa thức F (x, y) Ta gọi đường cong

ˆ

C := {(x : y : z) ∈ P2(k) | ˆF (x, y, z) = 0}

là đường cong xạ ảnh tương ứng của đường cong C Ta nhận thấy rằng(x, y) ∈ C khi và chỉ khi (x, y, 1) ∈ ˆC, C bất khả quy khi và chỉ khi Cˆbất khả quy Nếu C có sự phân tích thành các thành phần bất khả quy

C = C1 ∪ C2 ∪ ∪ Crthì Cˆ cũng có sự phân tích thành các thành phần bất khả quy tương ứng

ˆ

C = ˆC1 ∪ ˆC2 ∪ ∪ ˆCr.1.2.1 Định nghĩa Cho đường cong phẳng C trong A2(k) xác định bởiphương trình F (x, y) = 0, P (a, b) ∈ C P được gọi là điểm đơn của C nếu

P

(x − a) + ∂F

∂y

P

(y − b) = 0được gọi là đường tiếp tuyến với C tại P Một điểm không phải là điểm đơnthì được gọi là điểm kỳ dị Đường cong được gọi là trơn nếu mọi điểm củađường cong là điểm đơn

1.2.2 Định nghĩa Cho đường cong phẳng C trong A2(k) xác định bởi đathức F (x, y), P = (0, 0) Ta viết

F = Fm + Fm+1 + + Fntrong đó Fi là đa thức thuần nhất bậc i trong k[x, y], Fm 6= 0 Ta gọi m là

số bội của C tại P = (0, 0) và viết m = mP(F ) = mP(C)

Vì Fm là đa thức thuần nhất hai biến trên trường đóng đại số nên ta cóthể viết Fm = Q

Lri

i trong đó Li là các nhân tử tuyến tính Các Li được gọi

là các đường tiếp tuyến của C tại P = (0, 0), ri gọi là số bội của tiếp tuyến

Li gọi là tiếp tuyến đơn (tương ứng kép, ) nếu ri = 1 (tương ứng 2, ).Nếu C có m tiếp tuyến đơn phân biệt tại P thì ta nói rằng P là điểm

kỳ dị chính tắc của C

ta thực hiện phép tịnh tiến T (x, y) = (x + a, y + b) biến (0, 0) thành P Khi

đó FT = F (x + a, y + b) Ta định nghĩa mP(F ) chính là m(0,0)(FT)

1.2.4 Định lý ( Định lý Bezout ) Cho H và G là các đường cong phẳng xạảnh có bậc tương ứng là m và n Giả sử H và G không có thành phần chung.Khi đó,

X

P

I(P, H ∩ G) = m.n

CHƯƠNG 2

ĐA THỨC DUY NHẤT CHO HỌ CÁC HÀM PHÂN HÌNH PHỨC

Trong chương này, chúng tôi tìm hiểu về các điểm kỳ dị của đường congphẳng xác định bởi phương trình

F (X, Y ) = P (X) − P (Y )

trong đó P là đa thức một biến trên trường số phức C thỏa mãn Giả thiết Icủa Fujimoto Đồng thời chúng tôi trình bày điều kiện cần và đủ để đa thứcmột biến trên trường số phức C là đa thức duy nhất cho họ các hàm phânhình phức

Trong suốt toàn bộ chương này, ta luôn luôn giả sử rằng P (X) là đathức một biến trên trường số phức C có bậc là n Ta ký hiệu các hệ số của

P như sau:

P (X) = a0 + a1X + + anXn,trong đó ai ∈ C, an 6= 0

Ký hiệuα1, α2, , αl là các nghiệm phân biệt củaP0(X)vàm1, m2, , ml

là các bội của các nghiệm của P0(X) Khi đó, với λ nào đó trong C, ta có

P0(X) = λ(X − α1)m1(X − α2)m2 (X − αl)ml

Ta đặt

F (X, Y ) = P (X) − P (Y )

X − Y .Trong mục này, chúng tôi trình bày về các điểm kỳ dị của đường congxác định bởi phương trình F (x, y) = 0, thiết lập một kết quả cần cho việcchứng minh ở mục sau

2.1.1 Định nghĩa Đa thức P (X) được gọi là thỏa mãn Giả thiết I nếu

P (αi) 6= P (αj) với i 6= j, i, j = 1, 2, , l,hay nói cách khác,P đơn ánh trên tập các không điểm của đạo hàm bậc nhấtcủa P

2.1.2 Mệnh đề Giả sử P (X) thỏa mãn Giả thiết I Khi đó tập hợp cácđiểm kỳ dị của đường cong phẳng xác định bởi phương trình F (X, Y ) = 0 là{(x, x) | x là nghiệm bội của phương trình P0(X) = 0} Hơn nữa, các điểm

kỳ dị (x, x) của đường cong phẳng xác định bởi phương trình F (X, Y ) = 0 làđiểm kỳ dị chính tắc với số bội bằng số bội của x trong P0(X)

Điểm(x, x)thuộc đường cong phẳng xác định bởi phương trìnhF (X, Y ) =

0 khi và chỉ khi P0(x) = 0 Nếu (x, x) thuộc đường cong phẳng xác định bởi

phương trình F (X, Y ) = 0, ta có thể giả thiết rằng x = 0 và P0(0) = 0 saukhi thay đổi biến Khi đó

F (X, Y ) = am+1(Xm + Xm−1Y + + XYm−1 + Ym)+

am+2(Xm+1 + XmY + + XYm + Ym+1) + ,trong đó am+1 6= 0 và Xm + Xm−1Y + + XYm−1 + Ym phân tích đượcthành m nhân tử tuyến tính Điều này chứng tỏ(0, 0) là một điểm kì dị chínhtắc

trừ khi d = 4, e1 = e2 = 2, và d = 5, e1 = 3, e2 = 2 Hơn nữa, nếu h = 0 thì

d = 1, 2 hoặc3 Nếuh = 1 thì g 6= 1; vàg = 0 khi và chỉ khi e1 = d−1; g = 2khi và chỉ khi d = 4, e1 = 2

+



h − 12

2

− 2g − 1

4.Điều này tương đương với

2

− 2g − 1

4. (2.3)Nếu g = 0 và h ≥ 2, hoặc g = 1 hoặc 2 và h ≥ 3, thì

= d + 1, nên d = 5, e1 = 3, e2 = 2

2.2 Đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức

Trong mục này, chúng tôi tìm hiểu điều kiện cần và đủ để đa thức mộtbiến trên trường số phức C là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hìnhphức

Ký hiệu M(C) là tập các hàm phân hình trên C và F là tập con khôngrỗng của M(C)

2.2.1 Định nghĩa Đa thức một biến P trên trường số phức C được gọi là

đa thức duy nhất cho họ các hàm F nếu với mọi hàm khác hằng f, g ∈ Fthỏa mãn P (f ) = P (g) thì f = g

2.2.2 Định nghĩa Cho Q(X, Y ) là đa thức hai biến trên trường số phức C

và Q(X, Y, Z) là đa thức thuần nhất của Q(X, Y ) Ký hiệu δQ là số khuyếtcủa đường cong phẳng xác định bởi phương trình Q(X, Y, Z) = 0, nghĩa là

δQ = 1

2(degQ − 1)(degQ − 2) −

12X

p

mp(mp− 1)

trong đó tổng được lấy trên tất cả các điểm thuộc đường cong phẳng xácđịnh bởi phương trình Q(X, Y, Z) = 0 và mp là số bội của đường cong phẳngxác định bởi phương trình Q(X, Y, Z) = 0 tại p

Định lý sau đây đưa ra điều kiện cần và đủ để một đa thức một biếntrên trường số phức C là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức.2.2.3 Định lý Cho P (X) là đa thức một biến bậc n trên trường số phức Cvà

P0(X) = λ(X − α1)m1(X − α2)m2 (X − αl)ml,trong đó λ là hằng số khác 0 Giả sử P (X) thỏa mãn Giả thiết I Khi đó

P (X) là đa thức duy nhất cho họ các hàm phân hình phức khi và chỉ khi

l ≥ 3, trừ khi P (X) thỏa mãn điều kiện (A); hoặc l = 2 và min{m1, m2} ≥ 2

trừ khi P (X) thỏa mãn điều kiện (B), trong đó điều kiện (A) và (B) nhưsau:

(A) n = 4, m1 = m2 = m3 = 1,(B) n = 5, m1 = m2 = 2

Để chứng minh Định lý 2.2.3, chúng ta cần các bổ đề sau đây

2.2.4 Bổ đề Nếu F (X, Y ) có nhân tử bất khả quy H(X, Y ), thì H(X, Y )

là nhân tử tuyến tính, l = 1, và δF < 0

Chứng minh Giả sử H(X, Y ) ∈ C[X, Y ] là một nhân tử bất khả quy của

F (X, Y ) Khi đó

F (X, Y ) = H(X, Y )G(X, Y ),với G(X, Y ) ∈ C[X, Y ].G(X, Y ) không chia hết cho H(X, Y ) vì đường congxác định bởi phương trình F (X, Y ) = 0 chỉ có hữu hạn điểm kỳ dị Mặtkhác, (αi, αi), 1 ≤ i ≤ l, chỉ có thể là các điểm kỳ dị của đường cong xácđịnh bởi phương trìnhH(X, Y ) = 0và đường cong xác định bởi phương trìnhG(X, Y ) = 0; đồng thời chúng cũng chỉ có thể là các điểm thuộc phần giao củahai đường cong này Giả sử mGi và mHi lần lượt là số bội tương ứng của điểm(αi, αi) thuộc nhánh đường cong xác định bởi phương trình G(X, Y ) = 0 vànhánh đường cong xác định bởi phương trình H(X, Y ) = 0 Vì đường congxác định bởi phương trình F (X, Y ) = 0 chỉ có các điểm kỳ dị chính tắc, nêngiống của đường cong xác định bởi phương trìnhH(X, Y ) = 0bằng số khuyết

δH Giả sửd là bậc củaH(X, Y ).VìP0(X) = F (X, X) = G(X, X)H(X, X),nên ta có

Nếu d = 1 thì H(X, Y ) là nhân tử tuyến tính Hơn nữa, kết hợp (2.4) và(2.5) ta có mG1 = n − 2 = degG, do đó δG < 0 và l = 1 Bây giờ giả sử rằng

d ≥ 2 Do số bội của điểm thuộc phần giao của hai đường cong xác địnhbởi phương trình H(X, Y ) = 0 và G(X, Y ) = 0 không lớn hơn bậc của mỗiđường cong, nên ta có mHi ≤ d − 1 Do đó

điều này mâu thuẫn với 1 ≤ d < n

2.2.5 Bổ đề F (X, Y ) có thành phần bất khả quy xác định đường cong phẳng

có giống 0 hoặc 1 khi và chỉ khi

có thành phần bất khả quy xác định đường cong có giống 0 hoặc 1 Theo Bổ

đề 2.2.5 ta có điều này tương đương với

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

[1] Ngô Việt Trung (2012), Nhập môn Đại số giao hoán và Hình học đại

số, NXB Khoa học tự nhiên và công nghệ

en-[6] H Fujimoto (2000), On uniqueness of meromorphic functions sharingfinite sets, Amer J Math., 122, 1175-1203

[7] W Fulton (1969), Algebraic Curves, WA Benjamin, New York

[8] H H Khoai and T.T.H An (2001), On uniqueness polynomials and urs for p-adic meromorphic functions, J Number Theory, 87, 211-221

bi-[9] L.-W Liao and C.-C Yang (2000), On the cardinality of the uniquerange sets for meromorphic and entire functions, Indian J Pure Appl.Math., 31, 431-440.

[10] B Shiffman (2001), Uniqueness of entire and meromorphic functionssharing finite sets, Complex Variables Theory Appl., 43, 433-449

[11] J T.-Y Wang (2002), Uniqueness polynomials and bi-unique rangesets for rational functions and non-archimedean meromorphic functions,Acta Arith., 104, 183-200

2.2 Đa thức cho họ hàm phân hình phức< /h3>

Trong mục này, chúng tơi tìm hiểu điều kiện cần đủ để đa thức mộtbiến trường số phức C đa thức cho họ hàm phân hìnhphức

Ký hiệu...

Định lý sau đưa điều kiện cần đủ để đa thức biếntrên trường số phức C đa thức cho họ hàm phân hình phức. 2.2.3 Định lý Cho P (X) đa thức biến bậc n trường số phức Cvà

P0(X) =...

trong P đa thức biến trường số phức C thỏa mãn Giả thiết Icủa Fujimoto Đồng thời chúng tơi trình bày điều kiện cần đủ để đa thứcmột biến trường số phức C đa thức cho họ hàm phânhình phức

Trong