tập xác định duy nhất và đa thức duy nhất cho các đường cong đại số trên trường không acsimet

LỜI CẢM ƠNTrong su ốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô, các đồng nghiệp và các anh ch ị, em và các bạn bè thân

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguy ễn Thanh Hải

TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2014

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

Nguy ễn Thanh Hải

TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính bản thân tôi làm dưới sự hướng

LỜI CẢM ƠN

Trong su ốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự hướng dẫn, giúp đỡ quý báu của các thầy cô, các đồng nghiệp và các anh ch ị, em và các bạn bè thân thiết.Với lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc, tôi xin được bày tỏ lời cảm ơn chân thành nhất tới:

Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học và Khoa Toán trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ

tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn

TS Nguy ễn Trọng Hòa, người thầy kính mến đã hết lòng giúp đỡ, chỉ

b ảo, động viên và tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình hoàn thành luận văn tốt nghiệp

TS Nguy ễn Hà Thanh- Tổ trưởng bộ môn Hình học khoa Toán trường

Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh- một người đáng kính trong công việc cũng như trong cuộc sống Thầy đã động viện giúp đỡ và hướng dẫn cho tôi rất nhiều để tôi có thể hoàn thành được luận văn này

Xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, các thầy cô trong tổ Toán trường

PTTH chuyên Bình Long đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi trong trong thời gian làm lu ận văn

Xin cảm ơn tới bạn bè, các anh chị em trong lớp Hình học Tôpô khóa 23

đã động viên và giúp đỡ tôi trong những lúc tôi gặp khó khăn

MỤC LỤC Trang ph ụ bìa

L ời cam đoan

M ục lục

Danh m ục các kí hiệu

Lời mở đầu……… 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 9

1.1 Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p-adic 9

1.2 Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức p-adic 17

1.3 Các trường hàm đại số và số chiều của đa tạp xạ ảnh 23

1.4 Đường cong đại số Giống của đường cong đại số 25

CHƯƠNG 2 ĐA THỨC DUY NHẤT VÀ TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT

CHO HÀM PHÂN HÌNH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET 32

2.1 Đa thức duy nhất mạnh 32

2.2 Tập xác định duy nhất 60

K ẾT LUẬN 81

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 82

LỜI MỞ ĐẦU

trường đóng đại số, có đặc số 0 thông qua ảnh ngược của các tập hữu hạn đã được nghiên cứu bởi nhiều nhà toán học trên thế giới Cụ thể, năm 1921, G

ngược, tính cả bội, của ba giá trị phân biệt Năm 1926, Nevanlinna đã chứng

f− a =g− a , với 1, ,5i= ) thì chúng trùng nhau Sau đó, Sauer

giống g>0 không thể chung nhau nhiều hơn 2+2 g giá trị [6] Con số này

ảnh, cũng được đưa ra bởi Schweizer [7]

ngược của các điểm rời rạc mà xét ảnh ngược của các tập hợp điểm trong một trường đóng đại số nào đó Gross đưa ra khái niệm tập xác định duy nhất cho

cứu trong lý thuyết số và được trình bày theo nhiều cách khác nhau Việc

bày sau đây

Gọi F X Y Z là s( , , ) ự thuần nhất hóa của P X( ) P Y( )

F X Y Z c≠ ∈k là sự thuần nhất hóa của ( )P X −cP Y( ) Gọi ,f g là các

hàm phân hình sao cho ( )P f =bP g( ) với b∈ nào đó Khi đó ta chứng minh *

: ( , ,1) :f g C

[F X Y Z( , , )= n0] ếu b=1 hoặc thuộc [F X Y Z c( , , )= n0] ếu b= ≠c 1 Từ định

cong nào trong [F X Y Z( , , )= và 0] [F X Y Z c( , , )= , v0] ới mọi c≠0,1, chứa bất

trong các đường cong trên Nhờ định lý Hurwitz, chúng ta biết rằng điều này

tuyến tính khi g lớn Khi g≥2 và tất cả các đường cong [F X Y Z( , , )= và 0] [F X Y Z c( , , )=0], với mọi c ≠0,1 chỉ chứa các thành phần có giống g≥2

g Chú ý rằng nếu các hệ số của ( )P X là các số trong trường k, thì theo phỏng

cặp điểm ( , )x y ∈ ×K K với x y≠ sao cho ( )P x =cP y( ) nếu

(i) [F X Y Z( , , )= khi 0] c= ho1 ặc

(ii) [F X Y Z c( , , )= khi 0] c≠0,1

Trong suốt luận văn, ta kí hiệu ( )P X là đa thức bậc n trong [ ]k X , l là số các nghiệm phân biệt của đa thức '( )P X và α α1, 2, ,αl là các nghiệm này, và

Giả sử rằng: P(αi)≠P(αj), khi i≠ j (ta gọi đây là giả thiết I)

I là điều kiện chung, và sau này, ta thấy điều này giúp ta tính toán dễ dàng hơn

Để đơn giản, ta kí hiệu các trường hợp đặc biệt của ( )P X như sau:

(1A) l =2 và min{m m1, 2} 1;=

(1B) l=2 và m1=m2 =1;

(1C) l=2 và m1=m2 =2;

(1D) l =3 và m1 =m2 =m3 =1;

(1E) l= và 3 m1 =m2 =m3 =1, và tồn tại một hoán vị φ của {1, 2,3 sao }

cho ( )φ i ≠ với 1,2,3i i= và ω thỏa mãn 2

P

αω

α

phép biến đổi tuyến tính T sao cho T()=

Điều kiện cần và đủ để một đa thức là duy nhất mạnh là:

Định lý 2.1.4.1

Gọi ( )P X là một đa thức xác định như trên thỏa mãn giả thiết I

(I) (a) Khi g=0 ( )P X là đa thức duy nhất mạnh trên K khi và chỉ khi tập

hoặc (1E)

(b) Khi g=1 ( )P X là đa thức duy nhất mạnh trên K khi và chỉ khi tập

(c) Khi g≥2 Giả sử  là cứng affine ( )P X là đa thức duy nhất mạnh

trên K khi và chỉ khi l≥2g+4

(II) Nếu S = thì ( )1 P X là đa thức duy nhất mạnh trên S khi và chỉ khi 

là cứng affine

Định lý 2.1.4.2

Gọi ( )P X là một đa thức xác định như trên thỏa mãn giả thiết I và tập các

khác hằng trên K sao cho ( )P f =cP g( ) với c∈k \ {0} nào đó Khi đó:

(a) ( )h f =h g( )≤8g−8 nếu P không thỏa mãn (1A), (1C) hoặc (1D) (b) ( )h f =h g( )≤6g− +6 3S nếu f và g là S − nguyên và P không thỏa

mãn (1 )B hoặc (1D)

Như đã nói đến ở phần trước, sự xây dựng các 1-dạng chính quy không

và υ ηp∞( ) := −min{0,υ ηp( )}, υ ηp∞( ) : min{1,= υ ηp∞( )}

theo thứ tự là bậc của cực điểm tại p và các giá trị bị chặt của nó;

Cho  là một tập con của k Ta định nghĩa:

0

( , ) {( , min{ , ( )}) | }

m S

trong đó, m là số nguyên dương hoặc ∞

Gọi ,f g là hai hàm khác hằng của K Chúng ta nói rằng ,f g chung nhau

 trên S , tính cả bội (gọi là CM) nếu E S∞( ,f )=E S∞( , )g  ; và ,f g chung

( , ) ( , )

E f  =E g  Chúng ta hãy để ý rằng định nghĩa của chúng ta nói chung nhẹ hơn của

của K(chẳng hạn, chọn F là K hoặc  ) nếu f và S g chung nhau  trên S

Khi đó  là tập xác định duy nhất trên S :

(a) IM trên K nếu n>max 2{ l+13, 2l+ +2 13g+2S};

(b) CM trên K nếu n>max 2{ l+7, 2l+ +2 7g+2S};

(c) IM trên S nếu n>max 2{ l+6, 2l− +5 13g+6 S};

(d) CM trên S nếu n>max 2{ l+3, 2l− +2 7g+3S}

Định lý 2.2.2.4

Cho  ={u1, ,u n}là cứng affine và cũng là một tập con của k Đặt

1

( ) ( ) ( n)

(a) IM, khi đó ( )h f +h g( )≤26g−20+4 S nếu n≥ +2l 13; (b) CM, khi đó ( )h f +h g( )≤22g− +8 4 S nếu n≥2l+ 7

(a) IM, khi đó ( )h f +h g( )≤26g−20 12+ S nếu n≥ + 2l 6;(b) CM, khi đó ( )h f +h g( )≤22g− +8 10 S nếu n≥ +2l 3

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

Chương này sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản, chứng minh

3 Các trường hàm đại số và số chiều của đa tạp xạ ảnh

4 Đường cong đại số Giống của đường cong đại số

Chương 2 Đa thức duy nhất và tập xác định duy nhất cho hàm phân hình

trên trường không Acsimet

Dù đã cố gắng hết sức nhưng do kiến thức và thời gian có hạn, luận văn

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p-adic

Khi đó là một chuẩn trên k, gọi là chuẩn tầm thường

1.1.2.1 Định nghĩa

Cho p là một số nguyên tố Với mọi x y, ∈, ta có :

(1) ord p(xy)=ord x p +ord y p

(2) ord p(x+ y)≥min{ord x ord y p , p }

1.1.2.4 Định nghĩa

1.1.2.5 Ví d ụ

1.1.2.6 M ệnh đề

thuộc vào n, ta được n ≤C n 0sα

0 1 ,(02 1 2 0) 0 1 2 1

Suy ra n1 < và 1 n2 < ( mâu thu1 ẫn với sự lựa chọn n0)

Đầy đủ hóa  bởi tôpô cảm sinh từ p, ta thu được một trường, được kí

trên  , vẫn kí hiệu là p p và thỏa mãn các tính chất sau :

(ii)  trù mật trong  p

(iii)  đầy đủ p

Hơn nữa, pcòn có tính chất sau :

cách khác, tập tất cả các giá trị của  và  qua p p là trùng nhau và đó là { |p n n∈}∪{0}

Các tập pk p; −n = p np,(n∈ tạo thành một hệ cơ bản các lân cận )

của 0∈ p

Kí hiệu  là bao đóng đại số của p  p

Ta mở rộng giá trị tuyệt đối p-adic trên p như sau

:p → +

không đầy đủ với chuẩn này

Đầy đủ hóa của  ứng với tôpô sinh bởi p p là một trường, được kí

phép nhúng là chuẩnp-adic Do vậy, ta đồng nhất  với ảnh p

(ii)  trù mật trong p  p

(iii)  đầy đủ p

Ngoài ra,  còn có các tính chất sau: p

p

 qua υp là 

1.2 Hàm chỉnh hình và hàm phân hình trên trường các số phức phức adic

p-1.2.1 Hàm chỉnh hình trên trường các số phức p-adic

có đặc số 0

Các khái niệm về dãy, chuỗi và sự hội tụ của dãy, chuỗi trong trường không Acsimet tương tự như trong trường Acsimet Tuy nhiên, với trường có

Điều kiện đủ là hiển nhiên theo định nghĩa

i) Nếu ρ = thì ( )0 f z chỉ hội tụ tại z = 0

ii) Nếu ρ = +∞ thì ( )f z hội tụ với mọi z∈k

iii) Nếu 0< < +∞ và limρ n n 0

Khi đó, ρ được gọi là bán kính hội tụ của ( )f z

Khi đó ( ,.)m r là một chuẩn không Acsimet trên A k r( ) và

iv) A k r( )đầy đủ với chuẩn ( ,.)m r

v) Vành đa thức [ ]k z trù mật trong A k r( ) theo chuẩn ( ,.)m r

1.2.1 6 Định lý

Với f ∈A r( ) \ {0},k r>0, tồn tại đa thức g z( )= +b0 b z1 + + b zυ υ∈k[ ]z

với υ υ= ( , )r f và chuỗi lũy thừa

Giả sử D là tập vô hạn trong k, ( )R D là tập các hàm hữu tỷ không có

hình địa phương nếu với mọi a∈D, tồn tại r∈+,{ }a n ⊂ k sao cho

1.2.2 Hàm phân hình trên trường các số phức p-adic

1.2.2 1 Định nghĩa

điểm giới hạn trong D sao cho hàm f chỉnh hình trên \D S

Kí hiệu ( )M D là tập các hàm phân hình trên D

1.2.2.2 Định nghĩa

hàm phân hình địa phương trên Dnếu ∀ ∈a D r, ∈+,q∈ và + a n∈K sao cho

Cho k là một trường, ( )n k là không gian afin n chiều trên k

Đặt ( )V F là tập hợp các không điểm của F, với F∈k[X X1, 2, ,X n]

Cho v⊂n là một đa tạp khỏc rỗng Khi đú ( )I V là một ideal nguyờn tố trong k[X X1, 2, ,X n], vỡ vậy k[X X1, 2, ,X n]/ ( )I V là một miền nguyờn Đặt

1 2

( )V [X X, , ,X n]/ ( )I V

trờn V , kớ hiệu ( )kV Mỗi phần tử của ( )kV gọi là một hàm hữu tỷ trờn V

Đặt P( )V = ∈k{f (V)| f xác định tại }P và gọi P( )V là vành địa

phương của V tại P

1.3.2 Số chiều của đa tạp xạ ảnh

1.3.2.1 Định nghĩa

Cho đa tạp X , ( )k X là một mở rộng hữu hạn của k Số chiều của X , kớ

hiệu dim X , là bậc mở rộng siờu việt của k( )X trờn k

1.3.2.1 M ệnh đề

(i) Nếu U là một tập con mở của X thỡ dimU =dimX

(ii) Gọi *

(v) Một đa tạp con đúng cú số chiều bằng 1 khi và chỉ khi nú là một đường cong

1 4 Đường cong đại số và giống của đường cong đại số

trong Γ

1.4.1.4 Hệ quả

Nếu mọi điểm của L nằm trên Γ thì F chia hết cho a X0 0 +a X1 1+a X2 2

1.4.1.5 Định lý

Cho F X( 0,X X1, 2) là đa thức thuần nhất bất khả quy Nếu G là một đa

thức thuần nhất triệt tiêu tại mọi điểm của F =0 thì G chia hết F trong

[X ,X X, ]

1.4.1.6 Định lý

Nếu đường cong Γ được cho bởi phương trình F = , với 0

1r 2r r m

m

khác đơn vị, F i ≠ không liên kF j ết với i j≠ và r i >0 Khi đó, một phương

Phương trình của Γcó bậc nhỏ nhất có dạng cF F1 2 F m =0 Vì vậy, nếu

nhỏ nhất là duy nhất

1.4.1.8 Định nghĩa

đường cong khác, tức là Γ = Γ ∪ Γ1 2 với Γ ≠ Γ Γ ≠ Γ1, 2 Γđược gọi là bất

1.4.1.9 Định lý

Cho Γ là đường cong có phương trình F = (không nhất thiết là có bậc 0

0

G= Khi đó ∆ chứa trong Γ khi và chỉ khi F chia hết cho G , tức là G là

trong Γ ∪ Γ ∪ ∪ Γ1 2 s khi và chỉ khi nó chứa trong một đường cong Γi

1.4.1.12 H ệ quả

Nếu ,Γ ∆ là các đường cong bất khả quy và ∆ ⊂ Γ thì ∆ = Γ

1.4.1.13 Định lý

1.4.1.14 Định lý

Cho F X( 0,X X1, 2)=0 là một đa thức bất khả quy thuần nhất với F C≠

Nếu G X( 0,X X1, 2)=0 là một đa thức thuần nhất không chia hết F thì G chỉ triệt tiêu tại một số điểm hữu hạn của F =0

1.4.1.15 Định lý

Cho G F, ∈k[ ,Y Y1 2, ,Y n] với F bất khả quy Nếu G triệt tiêu tại các điểm mà F triệt tiêu thì G≡0( )F (trong k[ ,Y Y1 2, ,Y n])

1.4.2 Giống của đường cong

Do đó f ∈L D( ) nếu div f( )+ ≥ hoD 0 ặc f =0 Khi đó ( )L D tạo thành

một không gian vectơ hữu hạn chiều, kí hiệu dim ( ) ( )L D =l D

1.4.2.3 Định lý (Định lý Riemann)

Tồn tại một số nguyên g sao cho ( )l D ≥deg( ) 1D + − g với mọi ước D

trên k, các phần tử ω∈Ω được gọi là vi phân trên X , hoặc trên C

tại P, kí hiệu là ord P( )ω như sau : Chọn một tham số đơn trị hóa t trong

( )

P

o X ,ω = fdt , f ∈K, và đặt ord P( )ω =ord P( )f

Lấy ω∈Ω,ω ≠0 Ước của ω , kí hiệu div( )ω , được định nghĩa là

Cho D là một ước Ta định nghĩa ( ) {Ω D = ω∈Ω|div( )ω ≥D} Khi đó ( )D

Ω là một không gian vectơ trên k Gọi d( )D =dimkΩ( )D , gọi là chỉ số

1.4.2.18 M ệnh đề

(i) ( )d D =l W( −D)

(ii) Tồn tại g vi phân cấp 2 độc lập tuyến tính trên X

(iii) l D( )=deg( ) 1D + − +g d( )D

CHƯƠNG 2 ĐA THỨC DUY NHẤT VÀ TẬP XÁC ĐỊNH DUY NHẤT CHO HÀM PHÂN HÌNH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG

ACSIMET 2.1 Đa thức duy nhất mạnh

Trong phần này, gọi ( )P X là đa thức monic bậc n trong [ ]k X , và  là

Ta gọi ( )P αi ≠P(αj), khi i≠ là giả thiết I j

Khai triển của P tại αi là:

tức là trên S−nguyên trong K Khi g≥1, ta cũng đưa ra điều kiện về độ cao

của f và g nếu chúng thỏa mãn phương trình P f( )=cP g( ) với c∈k \ {0}

nào đó

2.1.1 Các mệnh đề

2.1.1.1 M ệnh đề

Giả sử  là cứng affine

(i) Nếu f và g là hai hàm khác hằng phân biệt trong K sao cho

hệ tuyến tính, tức là g ≠λf + với mọi ,β λ β∈k

Đối với (ii), ta nhận thấy rằng nếu l= thì 1 P X( )=(X −α1)n + vb ới

trên K, và đặt g=ε f −εα α1+ 1 Khi đó ( )P f =P g( ) nên  không là cứng

t i

d d

dt

η

i i

i

d d

(iii) ( )h f ≥ , n2 ếu  là cứng affine

(iv) S ≥ , n2 ếu  là cứng affine và f và g là các S−nguyên

Chú ý: Từ (i) suy ra h P f( '( ), '( )P g )≤2 ( )h f +2g−2 vì υp0(d fp )≥0 và

υp0(d gp )≥0

Ch ứng minh

thể tìm được hằng số λ sao cho f −λg không có cực điểm và do đó f −λg

affine Vì vậy ( ) 2h f ≥

đó là q∈C, và ,f g là hai S − nguyên sao cho ( )P f =cP g( ) với c∈k \ {0}

, ,1 :

( )C

Φ là một trong các thành phần của [F X Y Z( , , )= n0] ếu c = ho1 ặc

[F X Y Z c( , , )= nếu 0] c≠1, vì một đồng cấu giữa hai đường cong bất khả quy

là một toàn ánh Hơn nữa, ( ) [Φ C ∩ Z = = Φ0] ( )q vì q là cực điểm duy nhất

của f và g Mặc khác, ta có thấy rằng ( , ,0) (F X Y = X n −Y n) / (X −Y) và

c

F X Y = X −cY được phân tích thành n − và n nhân t1 ử tuyến tính

đến mệnh đề sau

j j

+ +

Giả sử rằng ( )P X là đa thức như trên thỏa mãn giả thiết I, và gọi  là

trong K thỏa mãn ( )P f =P g( )

(I) Khi g=0thì hoặc là 1l= hoặc là P thỏa mãn (1A)

(II) Khi g≥1 và  là cứng affine thì

nếu (υp f −αi)>0 và υp(g−αi)>0 với 1, ,i= l nào đó

Để có một chặn dưới của h P f( '( ), '( )P g ), ta cần xây dựng một phần tử

Từ đây, giả sử g≥1 Vì f được giả sử là khác hằng và  là cứng affine,

ta có h f( )≥2 Khi đó (2.5) suy ra

2

1

l i i

Từ phương trình (2.5) cũng suy ra rằng ( ) 2h f ≤ g−2 nếu

2

3

l i i

m

=

≥

cũng đúng trong các trường hợp sau: (i) l≥ , (ii) 4 l= ngoại trừ 3 m2 =m3 =1,

hoặc (iii) l= ngo2 ại trừ m2 ≤2

Với (II)(b), cần xét thêm các trường hợp (1) l =3,m2 =m3 = và 1 m1 ≥ , 2

Nếu m1≥3 thì h f( )≤4 2( g−2) Vậy (II)(b) được chứng minh

suy ra

( ) ( ) 3 2 2

h f =h g ≤ g− , ngoại trừ các trường hợp (1) l =3 và m1 =m2 =m3 =1, và (2) l=2,m2 =1 và (3) l=2,m2 =2