lý thuyết sự xác định duy nhất các hàm phân hình

Trong lĩnh vực này, lý thuyết phân bố giá trị được xây dựng bởi chúng ta thêm vào điều kiện.. Trong luận văn này tôi sẽ trình bày một số kết quả và phương pháp khác nhau để xác định duy

Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HCM

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUY ỄN VĂN ĐÔNG

Thành ph ố Hồ Chí Minh - 2009

M Ở ĐẦU

e và z

hình là đề tài hấp dẫn và phức tạp Trong lĩnh vực này, lý thuyết phân bố giá trị được xây dựng bởi

chúng ta thêm vào điều kiện Trong luận văn này tôi sẽ trình bày một số kết quả và phương pháp khác nhau

để xác định duy nhất các hàm phân hình dưới những điều kiện khác nhau

Tôi xin chân thành cám ơn Tiến sĩ Nguyễn Văn Đông đã tận tình hướng dẫn tôi hoàn thành tốt luận văn này

Chương 1:

MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Định lý cơ bản của đại số nói rằng một đa thức bậc p với biến số phức nhận một giá trị nào đó đúng p

phân hình

tượng là có thể không đúng cho hàm nguyên Ngoài ra các hàm siêu việt có thể nhận các giá trị vô hạn lần, nhưng ta không thể thật sự nói được tổng số lần mà hàm số nhận một giá trị Vì hàm phân hình trên toàn mặt

thức trong định lý cơ bản của đại số

T r

biểu một đa thức bậc p nhận giá trị a tối đa p lần

Định lý cơ bản thứ nhất cho một chặn trên ( theo thuật ngữ tăng của hàm số ) mà một hàm phân hình có thể thường xuyên nhận mọi giá trị Điều này tương tự phát biểu một đa thức bậc p có thể nhận mọi giá trị nhiều

=

▪ Kí hiệu: S r f( , )=o T r f( ( , ) ) (r→ ∞ ∉,r E), E là tập có độ đo tuyến tính hữu hạn

▪ Hàm a z ( ) được gọi là hàm nhỏ của f z n( ) ếu T r a( ), =o T r f( ( , ) )

Định nghĩa 1.2: Cho f là hàm phân hình trên mặt phẳng phức và a là giá trị hữu hạn Nếu f z( )− a

không có không điểm thì a được gọi là giá trị Picard của f z ( )

(q≥3) là các giá trị phân biệt trên mặt phẳng phức mở rộng Khi đó

phức và a z i( ) (i =1, 2, q) là các hàm nhỏ phân biệt của f z( ) Khi đó với mọi ε >0 ta có

µ là bậc dưới của g z N( ) ếu λ( )f <µ( )g thì T r f( , )=o T r g( ( ), ) ,(r → ∞)

N r ψ 

với ε >0 cố định cho trước ta có

i) T r h( ), =o T r f( ( , ) ) ,(r→ ∞) ii) T r h( , ')=S r f( , )

(ii) Nếu h z là hàm nguyên siêu vi( ) ệt thì λ µ= = ∞

♦ Định lý 1.12: Mọi hàm phân hình trong mặt phẳng phức có nhiều nhất hai giá trị Picard

Chương 2:

CÁC ĐỊNH LÝ LIÊN QUAN ĐẾN

Trong chương này ta sẽ trình bày các định lý về tổ hợp các hàm phân hình, bao gồm các kết quả thu được

n

n n

2 2 1

1 1

2 2

n n

n n

n n

f f

f f

Khi đó C j =0 (j=1,n)

▪ Với n=2 ta có C f1 1( )z +C f2 2( )z ≡ N0 ếu một trong hai giá trị C C khác 0, gi1, 2 ả sử C1 ≠ ta có 0

f z ≡ −C ( mâu thuẫn với (ii)) Do đó C1 =C2 = nên 0 định lý đúng với n=2

▪ Giả sử định lý đúng với n≥2 Ta chứng minh định lý đúng với n+1

1

n

j j j

1

n

j j j

=

≡

Theo giả thuyết quy nạp ta có a C j j =0 (j =1,n) Bởi vì một trong các a j (j=1,n) khác 0, giả sử a1 ≠ 0

ta suy ra C1 = ( mâu thuẫn vì 0 C j ≠0 (j=1,n)) Do đó g j( )z (j=1,n) độc lập tuyến tính

n

N r S r g

Áp dụng định lý 2.2 ta có T r g( , k)≤S r( ), (k =1,n) Do đó T r( )≤S r( ) ( vô lý )

Vì thế tất cả C j =0 ,(j =1,n+ 1)

Vậy định lý đúng với n+1 ■

♦ Định lý 2.4: Giả sử f1( )z , ,f n( )z , (n≥2) là các hàm phân hình và g1( )z , ,g n( )z là các hàm nguyên

thoả các điều kiện:

▪ Giả sử định lý đúng với n( )≥2 Ta chứng minh định lý đúng với n+1

Giả sử f j( )z , g j( )z (j =1,n+ thoả mãn các điều kiện của định lý và một trong các 1) f j( )z (j=1,n+ 1)

1

n

g z j

Ta thấy F j( )z ≡/ 0 (j =1,n+ và 1) ( )

( )

j k

e − (h≠k) lớn hơn 0 và vì thế g j( )z −g k( )z , (h≠k) không

thể là hằng Vậy điều kiện (ii) của định lý 2.4 thoả

Từ định lý 1.11 suy ra bậc và bậc dưới của g h g k

(ii) Bậc của f nh j ỏ hơn bậc của g k

e với 1≤ ≤ +j n 1, 1≤ ≤k n Hơn thế, bậc của f nh j ỏ hơn

bậc của g h g k

e − với n≥2, 1≤ ≤ +j n 1, 1≤ < ≤h k n Khi đó f j( )z ≡ 0 (j =1,n+ 1)

1 1

Từ (ii) ta thấy bậc của f nh j ỏ hơn bậc của g h g k

e − với n≥2, 1≤ ≤ +j n 1, 1≤ < ≤ +h k n 1 nên điều kiện (ii)

của định lý 2.5 thoả mãn đối với các hàm f j( )z , g j( )z (j=1,n+ 1) Do đó f j( )z ≡ 0 (j=1,n+ 1) ■

Bổ đề 2.1: Cho f1( )z , f2( )z là các hàm phân hình khác hằng trên mặt phẳng phức và c c c là các h1, 2, 3 ằng

1 1

T r f N r N r N r f S r f

c f

f c

1 2 3 '' '' ''

' ' 3

' ' ' 2 3 ' '' '' '

2 3 '' '' 2 3 2 3

3 '' '' ''

2 3 1

j j

j j

j j

phụ thuộc tuyến tính Khi đó tồn tại 3 hằng số c c c ( ít nh1, 2, 3 ất một trong ba số khá c 0 ) sao cho

Tương tự trường hợp 2 ta được f2( )z ≡ 1 ■

♦ Định lý 2.7: ( Niino – Ozawa [5] ) Cho g j( )z (j=1, 2, ,p) là các hàm phân hình khác hằng thoả điều

▪ Giả sử định lý đúng với 2≤ ≤p q (q≥2), ta chứng minh định lý đúng với p= +q 1

▫ Nếu g j( )z (j =1, 2, ,q+ là các hàm độc lập tuyến tính, từ điều kiện 1) Θ ∞( ,g j)=1 (j=1, 2, ,q+1)

Không mất tính tổng quát, giả sử c q+1 ≠0, từ (2.32) ta có 1 ( )

1 1

q j

đúng với mọi số nguyên n (3≤ ≤ , ta chứng minh định lý đúng với n l) n= +l 1

Nếu các hàm f1( )z , f2( )z , , f l+1( )z độc lập tuyến tính, từ định lý 2.1 ta suy ra

Bởi vì f j (j =1, 2, ,l) là các hàm khác hằng và f l+1 ≡/ nên ít nh0 ất một trong c j (j=1, 2, ,l) khác 0,

l

j j j

mâu thuẫn ) Vậy c=1 nghĩa là f l+1 ≡ 1

Do đó định lý đúng với n= +l 1 ■

Chương 3:

Nevanlinna đã chứng minh được rằng hàm phân hình khác hằng có thể được xác định duy nhất bởi 5 điểm,

Trong chương này ta sẽ bổ sung thêm các điều kiện để xác định duy nhất các hàm phân hình khi chúng lần lượt chia 5, 4, 3, 2 và 1 giá trị Bao gồm các kết quả quan trọng thu được bởi Nevanlinna, L.Yang, H.X.Yi, Brosch

Định nghĩa 3.1: Cho f g, là hai hàm phân hình và số phức a

▪ Gọi z n (n=1, 2 ) là không điểm của f −a Nếu z n (n=1, 2 ) cũng là không điểm của g−a ( không

Định nghĩa 3.2: Cho f g, là hai hàm phân hình khác hằng và số phức a

Kí hiệu N E( )r a , là hàm đếm quy gọn những không điểm chung của f −a và g−a với bội bằng nhau 1)( )

,

E

3.1 Hàm phân hình chia 5 giá trị

3.1.1 Định lý 5 điểm của Nevanlinna:

Định lý 5 điểm là kết quả quan trọng của Nevanlinna trong việc xác định duy nhất các hàm phân hình

♦ Định lý 3.1: Cho f g, là hai hàm phân hình khác hằng, a j(j=1, 5) là 5 giá trị phân biệt trên mặt phẳng

phức mở rộng Nếu f g, chia a j(j=1, 5) IM thì f ≡g

Nh ận xét: Điều kiện ,f g chia 5 điểm trong định lý 3.1 không thể làm yếu hơn bởi điều kiện ,f g chia 4

g z =e− Ta thấy f g, chia 0,1, 1,− ∞ IM nhưng f ≡/g ■

3.1.2 M ở rộng định lý 5 điểm:

Định nghĩa 3.3: Cho f g, là hai hàm phân hình khác hằng, a là số phức tuỳ ý

Kí hiệu E a f là t( , ) ập các không điểm của f z( )− , ma ỗi không điểm được đếm 1 lần

1,

1lim

21

Ch ứng minh:

Tương tự như trong chứng minh của định lý 3.1 ta có thể giả sử a j(j=1, 5) hữu hạn

Theo định lý cơ bản thứ 2 ta thu được (3.1), (3.2)

1,

1lim

21

3.1.3 Tổng quát hoá định lý 5 điểm bằng việc thay thế các hằng số bởi các hàm nhỏ:

♦ Định lý 3.3: Cho f g, là hai hàm phân hình khác hằng, a j( )z (j=1, 5) là 5 hàm nhỏ phân biệt của f g,

Cho f g, là hai hàm phân hình khác hằng, a j( )z (j=1, 5) là 5 hàm nhỏ phân biệt của f g, Nếu

3.2 Hàm phân hình chia 4 giá trị

Năm 1929, Nevanlinna đã chứng minh định lý 4 điểm CM, đó là kết quả quan trọng trong việc xác định duy

Trong chương này tôi sẽ trình bày những kết quả được chứng minh bởi Nevanlinna, Gudersen, Mues

3.2.1 Hàm phân hình chia 4 giá tr ị CM

0,1, , c∞ CM (c≠0,1,∞ thì ) f g, có một trong các mối liên hệ sau:

(i) f z( )≡g z( )

(ii) f z( )≡ −g z( ) nếu c= −1 và 1, 1− là giá trị Picard của ,f g

(iii) f z( )≡ −2 g z( ) nếu c=2 và 0, 2 là giá trị Picard của f g,

B ổ đề 3.2: Cho f g, là hai hàm phân hình khác hằng và a a là các giá tr1, 2 ị hữu hạn phân biệt Nếu f g,

chia ∞ CM và nếu a a là giá tr1, 2 ị P icard của f g, thì f z( )≡g z( ) hoặc tồn tại hàm nguyên khác hằng

f z

e

α α

g z

e

α α

g z

e

β β

α α

Theo định lý 2.6 suy ra 1 1 2

c e c

φ =

− ( mâu thuẫn giả thiết )

H ệ quả: Cho f g, là hai hàm phân hình khác hằng Nếu f g, chia 4 điểm phân biệt 0,1, , c∞ CM và

Vì ,f g là hàm nguyên nên ∞ là giá trị Picard của ,f g Do , f g chia 4 giá tr ị 0,1, ,c∞ CM nên từ định lý

không thể xảy ra vì khi đó ,f g sẽ có 3 giá trị Picard ( vô lý ) ■

Hệ quả: Cho ,f g là hai hàm nguyên khác hằng và a j (j=1, 3) là 3 giá trị hữu hạn phân biệt Nếu ,f g

chia a j (j=1, 3) CM và 1 3

2 3

1, 2, 12

điểm cố định của T, 2 điểm còn lại là giá trị Picard của f g,

Mặt khác, do f g, chia a j (j=1, 4) CM nên F G, chia L a( )j (j =1, 4) CM, nghĩa là F G, chia 0,1, , c∞

CM Theo định lý 3.6 ta suy ra F G, có 1 trong 6 mối liên hệ sau:

◦ F z( )+G z( )≡ n0 ếu c= −1 và 1, 1− là giá trị Picard của F G, ; nghĩa là L f z( ( ) )+L g z( ( ) )≡0 nếu

L a = và a a là giá tr1, 4 ị Picard của f g,

Từ 6 trường hợp ta suy ra kết luận của định lý ■

3.2.2 Hàm phân hình chia 4 giá tr ị IM

B ổ đề 3.3:

0 p 1 p p , 0 0

p và hệ số a j ,(j=0,p) là hằng số Giả sử b j ,(j=0,q) (q> p) là các giá trị hữu hạn phân biệt Khi đó

Từ đó ta thu được (i), (ii)

◦ Theo định lý cơ bản thứ hai:

Hệ quả: Cho f g, là hai hàm phân hình khác hằng chia 4 giá trị phân biệt a j (j=1, 4) IM Nếu

♦ Định lý 3.10: Cho f g, là hai hàm phân hình khác hằng phân biệt và a j (j =1, 4) là các giá trị phân biệt

Nếu ,f g chia a a a CM và 1, 2, 3 a IM thì ,4 f g chia a CM và vì th4 ế kết quả của định lý 3.8 vẫn đúng

Vì f g, chia 0,∞ CM nên không điểm và cực điểm của f g, không thể là cực điểm của G Vì thế cực điểm

Vậy f g, chia c CM và do đó kết luận của định lý 3.8 vẫn đúng ■

♦ Định lý 3.11: Cho f g, là hai hàm phân hình khác hằng phân biệt chia 4 giá trị phân biệt a j (j =1, 4)

“CM” Khi đó f g, chia a j (j =1, 4) CM và vì thế kết luận của định lý 3.8 vẫn đúng

Theo định lý 1.6 ta có m r H( , )=S r f( , ) Mặt khác vì H chỉ có thể có cực điểm đơn nên

( ) 1 ( )

2 3 0 0

Theo định lý 3.11 f g, chia 0,1, ,c ∞ CM và do đó kết luận của định lý 3.8 vẫn đúng ■

Vì thế không điểm của f z( )− và 1 f z( )− không là cc ực điểm của α( )z Rõ ràng cực điểm và không

Giả sử z c là không điểm của f −c thì z là c c ực điểm đơn của g'

zc không là cực điểm của F1 Tương tự ta có không điểm của f cũng không là cực điểm của F 1

Giả sử *

bội max{ }p q, Do đó

( ) ( *)( 2 ) ( 1 max { } , ) ( *) 1 max { } , 1

Giả sử z 1 là không điểm của f −1 với bội p thì z 1 là không điểm của f −g Vì thế z là c1 ực điểm của F 1

với bội tối thiểu là (p – 1) Suy ra

Tương tự cho các bất đẳng thức còn lại ■

Bổ đề 3.6: Cho f g, là hai hàm phân hình khác hằng chia 4 giá trị 0,1, ,c ∞ IM và

Giả sử z 0 là không điểm đơn chung của f z và ( ) g z , z( ) ∞ là cực điểm đơn chung của f z và ( ) g z ( )

♦ Định lý 3.13: Cho f g, là hai hàm phân hình khác hằng phân biệt, a j (j=1, 4) là các giá trị khác nhau

Nếu ,f g chia a a CM và chia 1, 2 a a IM thì ,3, 4 f g chia a a CM và vì th3, 4 ế kết quả của định lý 3.10 vẫn đúng

Vì F1 ≡/G1 nên ít nhất 1 trong 2 hàm β− +(1 c F) 1 ; β− +(1 c G) 1 không đồng nhất 0

Ta thấy nếu z là c0 ực điểm đơn của f thì theo bổ đề 3.6 ta thấy z 0 là không điểm của β− +(1 c F) 1 và

Nếu cả 1 và −1đều là giá trị Picard của f z thì ( ) f g, chia 0,1, 1,− ∞ CM

Không mất tín h tổ n g qu át giả sử 1 k h ô ng là giá trị Picard củ a f z( ) Khi đó tồn tại z sao cho 1

Vậy λ ≡/ Theo bổ đề 3.3 ta có 0 m r( ),λ =S r f( , )

z là không điểm của f −1 và g−1 Trong lân

Nếu F1 ≡G1, F c ≡G c thì tương tự trường hợp 2 ta có f z( ) ( ),g z chia 0,1, ,c ∞ CM

Giả sử F1 ≡/G1, F c ≡/G c Vì F1 ≡/G1 nên ít nhất một trong hai hàm α − +(1 c F) 1, α − +(1 c G) 1 không đồng

nhất 0

Nếu z 0 là không điểm đơn của f thì z 0 là không điểm của α − +(1 c F) 1 và α − +(1 c G) 1 ( theo bổ đề 3.6 )

Nếu z 0 là không điểm bội của f thì z 0 là không điểm của F G1, 1,α nên theo bổ đề 3.4, 3.5, 3.6 ta có

Lấy tích phân ta được f z( )≡ A g z ( ) (A≠0,1 là hằng số )

Vì A≠0 nên 1 và c là 2 giá trị Picard của f g, Mặt khác A và Ac cũng là giá trị Picard của f g, , vì thế

Lấy tích phân ta được ( 1)(' ) .( 1)(' )

Vậy kết quả của định lý 3.8 vẫn đúng ■

3.3 Hàm phân hình chia 3 giá tr ị

3.3.1 Định lý 3 điểm của Nevanlinna

Cho ,f g là hai hàm phân hình khác hằng chia 3 giá trị phân biệt a a a CM 1, 2, 3

Do đó không mất tính tổng quát ta giả sử a1 =0 ,a2 =1 ,a3 = ∞

♦ Định lý 3.14: Cho f g, là hai hàm phân hình khác hằng chia 3 giá trị a a a IM K1, 2, 3 hi đó

(i) Tồn tại hai hàm nguyên β( ) ( )z ,γ z thoả eβ( )z ≡/ , 1 eγ( )z ≡/ , 1 ( )z ( )z

( ) ( )( ) 1

1

z z

e

f z

e

β γ

e

g z

e

β γ

1) Các hàm nguyên β( ) ( )z ,γ z trong định lý là tùy ý

thêm điều kiện Mục đích của chương này là trình bày một số kết quả nghiên cứu về vấn đề này

Không mất tính tổng quát giả sử chia 3 giá trị 0, 1,∞ Nếu 3.16 không đúng thì tồn tại 3 hàm phân hình , ,

11

e f e

β γ

−

=

− ,

1 1

11

e g e

β γ

11

e f e

β γ

−

=

− ,

2 2

11

e g e

β γ

◦ Nếu eβ1 ≡eβ2 ⇒ eγ1 ≡eγ2 do đó từ (3.49) ta có g h≡ ( mâu thuẫn giả thiết ) Vậy eβ1 ≡/eβ2

◦ Nếu eβ β2− 1 ≡c const( ≠0,1) thì từ (3.51) ta suy ra không điểm của f phải là không điểm của eβ1 −1 và là không điểm của eβ2 − =1 c e β1 −1 Điều này không xảy ra vì eβ1 − và 1 c e β1 − không th1 ể có không điểm chung Vì thế eβ β2− 1 ≡/const

Nh ận xét: Chia 3 giá trị CM trong định lý 3.16 là hợp lý Thật vậy vào năm 1991, Jack-Terglane đã đưa ra

1

e f

♦ Định lý 3.17: ( Sự duy nhất của 4 hàm phân hình )

Cho f g h k, , , là các hàm phân hình khác hằng và a a a là 3 giá tr1, 2, 3 ị phân biệt trong mặt phẳng phức mở

rộng Nếu , , ,f g h k chia a a CM và 1, 2 a IM thì ít nh3 ất hai trong , , ,f g h k đồng nhất

Không mất tính tổng quát giả sử a1 =0 ,a2 = ∞,a3 = 1

Giả sử định lý không đúng, nghĩa là f g h k, , , khác nhau đôi một Theo định lý 3.14 ta có

f g h đồng nhất ( mâu thuẫn ) Vì thế ít nhất hai trong N r( ), 0 , N r( ,∞ , ) N r( ),1 khác S(r)

Không mất tính tổng quát giả sử N r( ), 0 ≠S r( ), N r( ),1 ≠S r( ) (3.59)

Vì f g h k, , , chia 0,∞ CM nên tồn tại các hàm nguyên α β γ sao cho , ,

Nếu α ≡ =c const thì từ (3.59), (3.60) ta có eα ≡1 ( vì nếu eα ≡/ thì 1 f g, không chia 1 IM ) và vì thế

f ≡g ( mâu thuẫn ) Do đó α ≡/const

=

11

f

B h

−

=

11

f C k

B A

B e A

C A

C e A

Năm 1985, H.X.Yi đã chứng minh định lý sau:

♦ Định lý 3.18: Cho f g, là hai hàm phân hình chia nhau ba giá trị 0, 1,∞ CM

β γ

−

=

− ;

11

e g e

β γ

điểm của f cũng không thể là cực điểm của β Vì thế β là hàm nguyên Do đó T r( ,β)=S r f( , )

Giả sử z là c0 ực điểm của f với bội p( )≥2 và là cực điểm của g với bội q( )≥ Từ (3.74) ta có 1 z là 0

không điểm của β với bội lớn hơn hoặc bằng min{ }p q, −1 Do đó

Kết hợp với (3.73) ta suy ra c = 1 ( vì nếu c≠1 thì f g, không chia ∞ IM )

Từ đó ta có f ≡g ■

Nhận xét: Đặt ( ) ( )

2 2

z z

Hơn nữa ρ là hàm phân hình thoả T r( ),ρ =S r f( , )

◦ Dễ thấy nếu ρ thoả phương trình (3.78) thì τ =c.ρ thoả phương trình (3.79)

Đặt h= −g τ, phương trình (3.79) có thể viết lại là h'=h B.( +2τ +h) (3.80)