Sự xác định duy nhất và đa thức duy nhất cho các đường cong chỉnh hình trên trường không acsimet

LÝ THUYẾT PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ NEVANLINNA P-ADIC TRÊN CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH .... Định lí cơ bản thứ nhất và thứ hai của đường cong chỉnh hình .... SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT VÀ ĐA THỨC DUY NH

Tôn Th ị Yến Anh

TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

Tôn Th ị Yến Anh

TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET

Chuyên ngành: Hình học và tôpô

Mã số: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN TRỌNG HÒA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin g ửi lời cảm ơn chân thành đến:

Gia đình đã hiểu, chia sẽ và động viên tôi trong suốt quá trình tôi thực

L ỜI CẢM ƠN

MỤC LỤC

M Ở ĐẦU 1

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 4

1.1 Trường định chuẩn không Acsimet, trường số phức p−adic 4

1.2 Hàm chỉnh hình, hàm phân hình trên trường số phức p−adic 8

1.3 Lý thuyết Nevanlinna 15

Chương 2 LÝ THUYẾT PHÂN PHỐI GIÁ TRỊ NEVANLINNA P-ADIC TRÊN CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH 24

2.1 Đường cong chỉnh hình trên  n( ) p 24

2.2 Định lí cơ bản thứ nhất và thứ hai của đường cong chỉnh hình 27

Chương 3 SỰ XÁC ĐỊNH DUY NHẤT VÀ ĐA THỨC DUY NHẤT CHO CÁC ĐƯỜNG CONG CHỈNH HÌNH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMÉT 33

3.1 Định lí duy nhất cho đường cong chỉnh hình p-adic khác hằng 33

3.2 Đa thức duy nhất và tập xác định duy nhất cho đường cong chỉnh hình p−adic không suy biến đại số 42

K ẾT LUẬN 49

TÀI LIỆU THAM KHẢO 50

MỞ ĐẦU

Năm 1926, Nevanlinna đã chứng minh rằng hai hàm phân hình phức khác

f− a =g− a Năm 1971, Adams và Strau [1] đã chứng minh định lí sau

giá tr ị a b, (h ữu hạn) phân biệt ta có f x( ) = ⇔a g x( ) =a và f x( ) = ⇔b g x( ) =b Khi đó f ≡ g.

bốn giá trị a a a a1, 2, 3, 4 phân biệt ta có f x( ) = ⇔a i g x( ) =a i i, = 1, 2,3, 4. Khi đó

.

f ≡ g

Ru [10] và Hu và Yang [6, Định lí 6.33] đã mở rộng định lí B đến đường

nhất mạnh với các hàm phân hình p−adic (viết tắt SUPM) nếu với mọi hàm

và f = g

Tương tự một đa thức thuần nhất P của các biến z z1 , 2 ,  , zn+1 được gọi là đa

th ức duy nhất (viết tắt UPC) cho đường cong chỉnh hình nếu với mọi đường

rút gọn tương ứng f và g, từ điều kiện P f( ) =P g( ) kéo theo f = g Một đa

thức thuần nhất P của các biến z z1 , 2 ,  , zn+1 được gọi là một đa thức duy nhất

mạnh (viết tắt SUPC) cho đường cong chỉnh hình nếu với mọi đường cong chỉnh

tương ứng f và g thỏa mãn P f( ) =cP g( ) , c≠ 0 kéo theo c=1 và f =g

[2],[3],[6],[9])

cho các đường cong chỉnh hình trên trường không Acsimet làm đề tài luận

văn thạc sĩ của mình Nội dung chính của luận văn là trình bày kết quả bài báo

curves của hai tác giả Vũ Hoài An và Trần Đình Đức công bố năm 2008 Kết

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

1.3 Lí thuyết Nevanlinna p−adic

Chương 2: Lý thuyết phân phối giá trị Nevanlinna p−adic trên các đường cong chỉnh hình

p

Chương 3: Sự xác định duy nhất và đa thức duy nhất cho các đường

cong chỉnh hình trên trường không Acsimet

Chương 1

Trong chương đầu tiên này sẽ trình bày các kiến thức chuẩn bị cho các nội

Nevanlinna

Trước tiên ta nhắc lại các trường số phức, số thực, số hữu tỉ kí hiệu lần lượt là

: κ → + = [0, +∞ ) thỏa mãn điều kiện:

1) x = 0 nếu x= 0;

3) x+ ≤ +y x y với mọi x y, ∈ κ ;

4) x+ ≤y max{x y, } với mọi x y, ∈ κ ;

Acsimet

Một chuẩn trên κ cảm sinh một hàm khoảng cách (metric) d được định nghĩa bởi

( , )

d x y = −x y với mọi x y, ∈ κ;

( , )x r y d x y( , ) r , [ , ]x r y d x y( , ) r ,

và kí hiệu đường tròn κ x r, ={y∈κ d x y( , ) =r}=κ[ , ] \ ( , ).x r κ x r

1) Nếu y∈ κ ( , )x r thì κ ( , )x r = κ ( , )y r ;

2) Hình c ầu κ ( , )x r v ừa là tập mở vừa là tập đóng;

3) Hai hình c ầu mở (đóng) hoặc rời nhau hoặc chứa nhau

Định nghĩa 3 Một trường hợp riêng của chuẩn không Acsimet là chuẩn

tương đương với một chuẩn

p v ới p là s ố nguyên tố hoặc p= ∞

1

p p

Xây d ựng trường số p−adic p

p x p

Ký hiệu p =S={ { }x n :{ }x n Cauchy trong  theo p}.

p của 

Tập hợp p ={x∈ p x p ≤ 1} cùng với phép cộng và phép nhân trong p lập

hiệu p = p

compact địa phương

làm cơ sở cho chương sau

liên t ục tại z0∈U nếu với mọi ε > 0 tồn tại một số δ > 0 sao cho với mọi

' 0 0 0

0

( ) ( ) ( ) lim

đề cập đến các hàm cho bởi chuỗi lũy thừa Dãy trên chuẩn không Acsimet có

a

( )

i) Nếu ρ = 0 thì f z( ) chỉ hội tụ tại z= 0

ii) Nếu ρ = +∞ thì f z( ) hội tụ tại mọi z∈

iii) Nếu 0 < < +∞ ρ thì f z( ) hội tụ nếu z < ρ và phân kì nếu z > ρ

Hơn nữa f và f' có cùng bán kính h ội tụ và f' th ỏa mãn

' 1 ( ,r f ) ( , )(0r f r )

r

m ≤ m < < ρ

ii) m ( , )r g = b rυ υ

iii) h∈ r( p)

iv) m ( , h 1) 1r − <

Để chứng minh các định lí về phân tích các hàm nguyên, bổ đề sau cho ta

Bổ đề 1.2.7 Cho dãy các hàm lũy thừa {f z n( )}⊂ r( p)(r > 0) sao cho

( )

lim , n 1 0,

→∞ − = khi đó ta có tích vô hạn

1

n n

∞

=

=∏ là m ột chuỗi lũy thừa trong r( p)

N ếu cố định r> 0 thì f là hàm nguyên trên p

Mệnh đề 1.2.8 Với dãy { }z n n≥1 ⊂ p∗ th ỏa z n → ∞ khi n→ ∞, khi đó tích vô

Ngược lại, nếu f là m ột hàm nguyên trên p khác đa thức , khi đó f có th ể được viết dưới dạng

vô s ố không điểm

N ếu f là hàm nguyên trên p không có không điểm thì f là hàm h ằng

T ồn tại ước chung lớn nhất của một họ hữu hạn các hàm nguyên trên  ( p)

Định nghĩa 7 Cho D⊂ p là tập vô hạn, đặt R D( ) là tập tất cả các hàm hữu tỉ

phần tử của H (D' ) hạn chế trên D thuộc H ( )D

Từ định nghĩa suy ra H ( )D ⊂Hol D( )

Mệnh đề 1.2.10 Cho f là hàm gi ải tích địa phương trong tập mở D Khi đó

nó có đạo hàm mọi cấp trên D N ếu z0 là nghi ệm bội q c ủa f thì ( )

( ) n n r( p), s= sup n n 0.

n n

iii) Chu ỗi lũy thừa f h ội tụ trên p(0, )r

Kí hiệu ∗(r( p) là tập các chuỗi hội tụ bị chặn trong p(0, )r , ta có

S⊂ D, không có điểm tới hạn trong D và thỏa f ∈H (D S\ ) Kí hiệu M ( )D là

tích tại a∈D nếu tồn tại ρ ∈  + ∪ ∞ { } và a n∈p sao cho p( , )a ρ ⊂D mà

Kí hiệu  ( )D là tập các hàm giải tích trên D

Đĩa p( , )a ρ được gọi là đĩa giải tích cực đại của f tại a Các hàm giải tích

( )D ⊂ ( )D ⊂Hol D( )

Định nghĩa 13 (Độ cao của hàm chỉnh hình)

Độ cao của hàm chỉnh hình f z( ) trên D r xác định bởi H f( )r = log f r

Hàm giá tr ị của f tại a :

0

1 , 1

1 , 1

0

1 0

1 ( , ) , : 1

,

1 , :

,

1 , :

,

1 , :

,

1 , :

1 ( ) max ,

k j k

Định nghĩa 14 (Công thức Jensen)

Cho f ∈ (ρ( p) và 0 < ρ0 < < ≤ ∞r ρ , ta có công th ức Jensen

0

1 , log ( , ) log ( , )

1 1 , , ( , ) (1) ( )

+ +

− ≤ +

+ + +

1 ( , ) , log

0 0, i 1 i 0 ( 1, 2, , )

F = f F = −f a f i=  q khi đó

( ) ( ) ( ) max ( ) , ( ) max ( ) , ( )

0 0 0

( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( )

p p

j p

Wj j

j

j j

F F D

F F

F F

= = − Khi đó ta có

1 1

0 ( ) ( ) log ( ) ( ) log log ( )

W( )

q

j p

W( )

δ δ

0

1 , j

Suy ra: logD j( )z ≤ − log r

0 0

' '

0 1 1 0 0

1 , log ,

, log ,

1 , log ,

1 , log , log , 1, 2, ,

0, l

i i

i i

0 0

m r f r f

m

m m

Như vậy kết hợp lại, ta được:

Chương 2

Trong chương này tôi sẽ giới thiệu lý thuyết phân phối giá trị của các

trên p và một cơ sở e= ( ,e0  , )e n của V Một đường cong chỉnh hình trên

trường không Acsimet là hàm

Hàm đặc trưng

 ( , ) log ( , )

T r f = m r f

đúng với mọi r > 0, sai khác O(1)

i) f là hàm hằng khi và chỉ khi T r f( , ) =o(log )r

ii) f là hàm hữu tỉ khi và chỉ khi T r f( , ) =O(log )r

iii) f là khác h ằng khi và chỉ khi tồn tại hằng số c∈  ,A∈ +sao cho

log

r

T r f r

→∞ = ∞

 0 0 n n: p

h=h e + +  h e  →V

tồn tại ước chung lớn nhất h của h0 ,  ,h n sao cho  h f

h

N r N r N r h N r h

h

Cho f : p →  ( )V là một đường cong chỉnh hình từ p vào  ( )V và

0 1 0

0 1

W[ , ]=W( , , )

n n n

với biểu diễn thu gọn tương ứng  :f j p →V j, j=0,1,  ,s

Định nghĩa 17 ( ,f  ,f ) được gọi là độc lập với W nếu f WWf ≡ 0

( , ) ( , )

s s

= WW WW

2.2 Định lí cơ bản thứ nhất và thứ hai của đường cong chỉnh hình

Nếu dim W = 1 thì ( )W là một điểm và T r f( , 0 WW f s) là hàm hằng

thu gọn g =g0ε0 + +  g nεn:p →V∗ với ε = ( , ε 0  , εn) là cơ sở đối ngẫu của e

( ) 1 lim sup ( ) ( ) ( ),

, T ,

f f

r

N r g g

r

N r g g

r

N r a a

T r f

δ

→∞

= −

tuyến tính khi và chỉ khi ma trận Wronski W[ , ]e f của một biểu diễn thu gọn f

c ủa f v ới cơ sở e là đồng nhất bằng 0

biểu diễn thu gọn tương ứng f = f e0 0 + + f e n n:p →V∗

( ) max ( ) ( ) , 0, ,

l

k k

f z ≤ f z ≤ A Fβ z l=  q−n

Từ Wλ =cλW,ta có

1

0 ( ) ( ) log log ( ) ( ) log ( ) log

(z) (z) ( ) max

1 log W(z) log , W , log , W

W log i(z) log , i f , i log , i

Ta có

0

1 ( 1) ( ) ( , ) ( , ) , log (1)

hàm trong bất phương trình trên nên (2.5) thỏa mãn tất cả ρ 0 < < ∞r 

tuy ến tính và cho A = { , ,a a0 1  ,a q} là m ột họ các điểm a j∈  (V∗) l ấy tổng quát

Khi đó

, 0

( 1) ( ) ( , ) ( , ) log (1)

,

1 ( , ) ,

tuyến tính và cho A = { , ,a a0 1  ,a q} là một họ các điểm a j∈  (V∗) ở vị trí tổng

tuy ến tính và cho A = { , ,a a0 1  ,a q} là m ột họ các điểm a j∈  (V∗) ở vị trí tổng

quát sao cho

(a ) 0; =1,j ,q

Khi đó q≤ −n 1

tuy ến tính và cho A = { , ,a a0 1  ,a q} là m ột họ các điểm a j∈  (V∗) ở vị trí tổng

Chương 3

ACSIMET

Trong chương này chúng tôi nghiên cứu hai vấn đề chính Nội dung được

polinomials for p-adic Holomorphic curves của hai tác giả Vũ Hoài An và Trần Đình Đức công bố năm 2008 Cụ thể:

Các khái niệm

thức P x( , 1  ,x n) được gọi là đa thức thuần nhất bậc d nếu

Cho f là hàm chỉnh hình trên pdạng f =∑P z i( −a)với mỗi a∈p, P i là

( ) min :

v a = {i P≡ 0} Cho k l, là số nguyên dương hoặc ∞,ρlà số thực thỏa 0 < ≤ ρ r

1 Định nghĩa hàm v≤f k: p →  xác định bởi ( ) 0 : ( )

( ) : ( )

f k

( , )

ln

k r f k

( , ) 1

( , )

ln

k r

l f k

( , )

ln

k r f k

( , ) 1

( , )

ln

k r

l f k

sao cho f i =cg i với mọi i

có biểu diễn rút gọn tương ứng f = ( ,f1  ,f n+1 ) và g =( ,g1 ,g n+1)

Đặt

 ( , ) { : ( ) 0

bi ến đại số (không suy biến tuyến tính) nếu không tồn tại đa thức thuần nhất

P(dạng tuyến tính F)của các biến z1 ,  , zn+1 sao cho P f( ) =0 (F f( ) =0)

Nếu m=n thì f được gọi là đường cong không suy biến tuyến tính

tuy ến tính và H1 ,  ,H q là siêu ph ẳng của n ở vị trí tổng quát với

1 ≤ ≤ ≤m n 2n− <m q và f( p) ⊂H i i, =  1, ,q Khi đó

, 1

( 1) ( 2 1) ( ) ( , ) log (1)

Đặt X i =H i+1 , i= 0,  ,q− 1 và p= −q 1 Theo định lí 6.3.1 ta có

, 0

( 1) ( 2 ) ( ) ( , ) log (1)

( 1) ( 2 1) ( ) ( , ) log (1)

tuyến tính k1 ,  ,k q∈ ∗và H1,  ,H q là siêu phẳng của n ở vị trí tổng quát với

Chứng minh: Giả sử ngược lại f ≡ g Khi đó tồn tại h l, ∈ {1,  ,n+ 1},h≠l sao

tính với mọi k m, , 1 ≤ ≤ ≤k n 2n− <k q,1 ≤ ≤ ≤m n 2n− <m q Theo bổ đề 3.1.2 và

theo (3.2) ta có

,

1, 1

2 1 ( ) ( , ) log (1)

( 1) ( , ) log (1)

2 ( 1) ( ) ( ) log (1).

Không mất tính tổng quát giả sử rằng 1 m≤ ≤k Từ (3.4) và (3.5) ta có

q

n k

trí tổng quát

là các siêu m ặt bậc d trong n , Y i là các siêu m ặt bậc l ở vị trí tổng quát sao cho ảnh của f và g không ch ứa trong X Y i, i tương ứng, i= 1,  ,n+ 1

Trước khi chứng minh ta nhắc lại Định lí không điểm Hilbert [14]:

1

1 1 1 1 1

( , , ) ( , , )

k

k

n m

nguyên m k ≥d l, k ≥lsao cho

1

1 1 1 1 1

( , , ) ( , , )

k

k

n m

( , , ) Q ( , , )

k

k

n l

( , , ) ( , , ), 1, , 1

k

k

n m

( , , ) Q ( , , ), 1, , 1

k

k

n l

Sau đây ở định lí 3.1.5 chúng tôi đưa ra định lí duy nhất cho các đường cong

n+1 siêu phẳng và ảnh ngược không tính bội ở vị trí tổng quát

là các siêu m ặt bậc d , H j là các siêu ph ẳng ở vị trí tổng quát trong n sao cho ảnh của f và g không ch ứa trong X H i, j v ới i= 1,  ,n+ 1 và j=  1, ,q Gi ả sử

Ch ứng minh: Giả sử ngược lại f ≡ g Khi đó tồn tại h j, ∈ {1,  ,n+ 1},h≠ j

suy biến tuyến tính với 1 ≤ ≤ ≤k n 2n− <k q

Theo định lí 3.1.3 ta có

( ) ( )

,

1, 1

2 1 ( ) , log (1)

( 1) , log (1)

2 ( 1) ( ) ( ) log (1).

3.2 Đa thức duy nhất và tập xác định duy nhất cho đường cong chỉnh

Cho n∈ ∗,n≥ 2m+ 8,m≥ 2,(m n, )= 1, xét một đa thức P z( ) =z n−az n m− +b trong đó

Bổ đề 3.2.1 Với giả thiết như trên, P z( ) là m ột UPM

( )

( ) ( ) ( ) ( )

Định lí 3.2.2 P s được định nghĩa bởi ( )∗ là m ột SUPC

Trước tiên chúng ta sẽ chứng minh định lí với trường hợp s= 1

Lấy f =( f f1 , 2),g =(g g1 , 2) sao cho  

4 2, 1

Do đó n< 2m+ 8 mâu thuẫn với giả thiết n≥ 2m+ 8

( ) ( )

( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Từ đây ta có n< +m 3 (mâu thuẫn vì n≥ 2m+ 8) Vậy C C C1 2 3 = 0.

= =  −

Do đó f =g 

t ừ p vào s và X là siêu m ặt của s xác định bởi P s = 0. N ếu E f ( )X =E g( )X

thì f ≡g.

Ch ứng minh: Từ E f ( )X =E g( )X suy ra P s f =cP s g c, ∈ p \ 0{ }

Theo định lí 3.2.2 thì P s là một SUPC, do đó P sf =cP sg kéo theo f ≡g.



KẾT LUẬN

Như vậy luận văn đã nghiên cứu về các vấn đề về tập xác định duy nhất cho

đủ ứng dụng của lí thuyết Nevanlinna về các vấn đề trên Nếu có điều kiện và cơ

T ÀI LIỆU THAM KHẢO

1 W W Adam and E G Straus (1971), “Non-Archimedean analytic functions

taking the same values at the same points” , Illinois J.Math, (15), 418-424

2 T T H An , J T Y Wang and P.M Wong (2005), “Unique range sets and

uniqueness polynomials in positive characteristic II” , Acta Arith, (116),

115-143

3 T T H An , J T Y Wang and P M Wong (2004) , “Strong uniqueness

polynomials : the complex case” , Journal of Complex Variables and its

Application, (49), 25-54

4 Vu Hoai An and Doan Quang Manh (2003), “On Unique Range Sets for

P-Adic Holomorphic Maps” , VietNam J.Math, (31) , 241-247

5 Vu Hoai An and Tan Dinh Duc (2008), “Uniqueness theorems and

Uniqueness polinomials for p-adic Holomorphic curves”, Acta Math

Vietnamica, No 2 (33), pp 181-195

6 P C Hu and C C Yang (2000), Meromorphic functions over

non-Archimedean fields, Kluwer

7 Ha Huy Khoai (1983), “On p-adic meromorphic functions” , Duke Math J,

(50), 695-711

8 Ha Huy Khoai and Vu Hoa An (2003), “Value distribution for p-adic

hypersurfaces”, Taiwanese J.Math, (7), 51-67

9 Ha Huy Khoai and Ta Thi Hoai An (2001), “On uniqueness polynomials and

Bi-URS for p-adic Meromorphic functions” , J.Numper Theory, (87),

211-221

10 Ha Huy Khoai and Mai Van Tu (1995), p-adic Nevanlinna-Cartan Theorem,

Intl J.Math, (6), 719-731

11 M Ru (2001), “Uniqueness theorems for p-adic holomorphic curves”,

Illinois J Math, No.2 (45), 487-493

12 M Shirosaki (1987), “On polynomials which determine holomorphic

mapping”, J Math Soc Japan, (49), 289-298

13 Tran Van Tan (2005), “Uniqueness polynomials for entire curves into complex projective space”, Analysis, (25), 297-314

14 B L Van der Waerden (1991), Algebra, 2, 7-th ed., Springer-Verlag, New

York