Tập duy nhất cho các hàm phân hình với giá trị khuyết

Nhúng ng÷íi luæn ëng vi¶n chia s´ khâ kh«n v luænmong mäi tæi th nh cæng... Cæng thùc Jensen v ành lþ cì thù nh§t.. ành lþ cì b£n thù hai... C¡c tªp URSM-CM,URSM-IM, URSE-CM, URSE-IM ÷ñc

TR×ÍNG „I HÅC S× PH„M

Teui VONGDALA

TŠP DUY NH‡T CHO CC H€M PH…N HœNH

VÎI GI TRÀ KHUY˜T

Chuy¶n ng nh: To¡n gi£i t½ch

Líi cam oan

B£n luªn v«n n y l  sü nghi¶n cùu ëc lªp cõa tæi d÷îi sü h÷îng d¨ncõa PGS.TS H  Tr¦n Ph÷ìng, c¡c k¸t qu£ trong luªn v«n ch÷a tøng

÷ñc cæng bè trong c¡c cæng tr¼nh cõa c¡c t¡c gi£ kh¡c ð Vi»t Nam

Líi c£m ìn

Luªn v«n ÷ñc thüc hi»n v  ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc S÷ph¤m Th¡i Nguy¶n d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa PGS.TS H  Tr¦nPh÷ìng Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn væ h¤n tîi PGS.TS H  Tr¦nPh÷ìng - ng÷íi ¢ tªn t¼nh d¼u d­t tæi tø nhúng b÷îc chªp nhúng ¦uti¶n tr¶n con ÷íng nghi¶n cùu khoa håc vîi t§t c£ ni·m say m¶ khoahåc v  t¥m huy¸t cõa ng÷íi th¦y

Tæi công ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y trong Vi»n To¡n håc, c¡c th¦y

cæ trong khoa To¡n - Tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n ¢ tªnt¼nh gi£ng d¤y trang bà cho tæi nhúng ki¸n thùc cì sð tr¶n con ÷íngnghi¶n cùu khoa håc

Tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn c¡c th¦y cæ trong Pháng  o t¤o

¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n ¢ t¤o måi i·u ki»n cho tæi v· t i li»u

v  thõ töc h nh ch½nh º tæi ho n th nh b£n luªn v«n n y

Tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s­c tîi nhúng ng÷íi th¥n trong gia

¼nh cõa m¼nh Nhúng ng÷íi luæn ëng vi¶n chia s´ khâ kh«n v  luænmong mäi tæi th nh cæng

Tæi công gûi líi c£m ìn ¸n c¡c b¤n trong lîp Cao håc To¡n K21,

¢ ëng vi¶n gióp ï tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  l m luªn v«n.B£n luªn v«n khæng thº tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, t¡c gi£ r§t mongnhªn ÷ñc sü ch¿ b£o tªn t¼nh cõa c¡c th¦y cæ v  b¤n b± çng nghi»p

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 3 n«m 2015

T¡c gi£ luªn v«n

Teui VONGDALA

Möc löc

1 Mët sè ki¸n thùc cì b£n trong lþ thuy¸t Nevanlinna 3

1.1 C¡c h m Nevanlinna v  t½nh ch§t 3

1.2 C¡c ành lþ cì b£n 8

1.2.1 Cæng thùc Jensen v  ành lþ cì thù nh§t 8

1.2.2 ành lþ cì b£n thù hai 10

2 X¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh vîi i·u ki»n chùa gi¡ trà khuy¸t 16 2.1 H m ph¥n h¼nh chung nhau gi¡ trà 16

2.1.1 C¡c kh¡i ni»m mð ¦u 16

2.1.2 Mët sè t½nh ch§t 20

2.2 X¡c ành h m ph¥n h¼nh bði i·u ki»n ¤i sè chùa gi¡ trà khuy¸t 27

MÐ †U

N«m 1926, R Nevanlinna ÷ñc chùng tä mët h m ph¥n h¼nh tr¶nm°t ph¯ng phùc C ÷ñc x¡c ành mët c¡ch duy nh§t bði £nh ng÷ñckhæng t½nh bëi cõa 5 ph¥n bi»t c¡c gi¡ trà Cæng tr¼nh n y cõa Æng

÷ñc xem l  khði nguçn cho c¡c v§n · nghi¶n cùu v· tªp x¡c ành duynh§t V· sau, vi»c nghi¶n cùu sü x¡c ành c¡c h m ph¥n h¼nh bði £nhng÷ñc cõa mët tªp húu h¤n ph¦n tû ¢ thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõanhi·u nh  to¡n håc trong v  ngo i n÷îc

N«m 1977, Gross ([4]) · xu§t nghi¶n cùu v§n · x¡c ành duy nh§t

h m ph¥n h¼nh (h m nguy¶n) bði £nh ng÷ñc cõa mët tªp húu h¤n Khinghi¶n cùu v§n · cõa Gross, n«m 1996 H Yi ([11]) chùng minh hai

h m ph¥n h¼nh ph£i tròng nhau n¸u chóng chung nhau tªp S = {z :

zn + azn−m+ b = 0}, trong â m, n l  hai sè nguy¶n d÷ìng sao cho m

v  n khæng câ ÷îc sè chung, n > 2m + 8 (m ≥ 2) v  a, b l  c¡c h¬ng sèkh¡c khæng sao cho ph÷ìng tr¼nh zn+ azn−m+ b = 0 khæng câ nghi»mbëi N«m 1998, Fang v  Hua ([3]) ¢ chùng minh: n¸u hai h m ph¥nh¼nh f v  g thäa m¢n Θ(∞, f) > 11

12, Θ(∞, g) > 1112 v  Ef(S) = Eg(S)th¼ f ≡ g, trong â S = {z : z7 − z6 − 1 = 0} K¸t qu£ tr¶n cõa Fang

v  Hua cho th§y mët i·u ki»n ¤i sè º f ≡ g, trong â i·u ki»n ¤i

sè câ chùa i·u ki»n v· sè khuy¸t t¤i ∞ V· sau câ nhi·u nh  to¡n håcti¸p töc mð rëng theo h÷îng nghi¶n cùu n y vîi mong muèn t¼m ra c¡c

i·u ki»n ¤i sè mîi câ chùa sè khuy¸t º hai h m ph¥n h¼nh tròngnhau Ch¯ng h¤n, Lahiri ([5]), Lahiri v  Banerjee ([6]), A Banerjee v 

S Majumder ([1, 2])

Vîi mong muèn t¼m hiºu v§n · h m ph¥n h¼nh ÷ñc x¡c ành mëtc¡ch duy nh§t bði i·u ki»n ¤i sè câ chùa gi¡ trà khuy¸t, chóng tæichån · t i Tªp duy nh§t cho c¡c h m ph¥n h¼nh vîi gi¡ trà

khuy¸t Möc ½ch ch½nh cõa luªn v«n l  tr¼nh b y mët sè k¸t qu£

÷ñc chùng minh n«m 2013 bði A Banerjee v  S Majumder trong [1]

v  [2] Luªn v«n n y gçm câ hai ch÷ìng nh÷ sau:

Ch÷ìng 1: Mët sè ki¸n thùc cì sð trong lþ thuy¸t Nevanlinna Trongch÷ìng n y chóng tæi tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n trong lþ thuy¸tph¥n bè gi¡ trà Nevanlinna cho c¡c h m ph¥n h¼nh v  mët sè kh¡i ni»m

v  k½ hi»u sû döng trong Ch÷ìng 2

Ch÷ìng 2: Tªp gi¡ trà duy nh§t cho c¡c h m ph¥n h¼nh vîi gi¡ tràkhuy¸t ¥y l  ch÷ìng ch½nh cõa luªn v«n, chóng tæi tr¼nh b y l¤i mët

sè k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa A Banerjee v  S Majumder v· i·u ki»n

¤i sè câ chùa gi¡ trà khuy¸t º hai h m ph¥n h¼nh l  b¬ng nhau

Ch֓ng 1

Mët sè ki¸n thùc cì b£n trong lþ thuy¸t Nevanlinna

1.1 C¡c h m Nevanlinna v  t½nh ch§t

Tr÷îc h¸t ta nh­c l¤i mët sè kh¡i ni»m v· khæng iºm v  cüc iºmcõa h m ph¥n h¼nh, th÷íng ÷ñc sû döng trong lþ thuy¸t ph¥n bè

ành ngh¾a 1.1 Cho h m ch¿nh h¼nh f tr¶n m°t ph¯ng phùc C, iºm

z0 ∈ C ÷ñc gåi l  khæng iºm bëi k > 0 cõa h m f(z) n¸u tçn t¤i mët

h m ch¿nh h¼nh h(z) khæng tri»t ti¶u trong l¥n cªn U cõa z0 sao chotrong l¥n cªn â h m f ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng

f (z) = (z − z0)kh(z)

Ngh¾a l  f(n)(z0) = 0, vîi méi n = 1, , k − 1 v  f(k)(z0) 6= 0

ành ngh¾a 1.2 iºm z0 ÷ñc gåi l  cüc iºm bëi k > 0 cõa h m

f (z) n¸u trong l¥n cªn U cõa z0 h m f ÷ñc biºu di¹n d÷îi d¤ng

f (z) = 1

(z − z0)k.h(z), trong â h m h(z) l  h m ch¿nh h¼nh khængtri»t ti¶u trong l¥n cªn U cõa z0

Vîi méi sè thüc x > 0, k½ hi»u:

log+x = max{log x, 0}

Khi â log x = log+

1

f (reiϕ)

,n¶n

1

f (reiϕ)

B¥y gií ta ành ngh¾a c¡c h m ¸m Cho f l  h m ph¥n h¼nh v 

r > 0 K½ hi»u n(r, 1/f) l  sè khæng iºm kº c£ bëi, n(r, 1/f) l  sèkhæng iºm khæng kº bëi cõa f, n(r, f) l  sè cüc iºm kº c£ bëi, n(r, f)

l  sè cüc iºm khæng kº bëi cõa f trong Dr = {z ∈ C : |z| 6 |r|}

ành ngh¾a 1.5 H m

T (r, f ) = m(r, f ) + N (r, f )gåi l  h m °c tr÷ng cõa h m f

÷ñc gåi l  h m ¸m bëi c­t cöt bði k, trong â nk(0, f ) = limt→0nk(r, f )

Sè k trong nk(r, f ) ÷ñc gåi l  ch¿ sè bëi c­t cöt

Cho a ∈ C∪ {∞}, k½ hi»u n(r, 1/(f − a)) l  sè c¡c khæng iºm kº c£bëi, n(r, 1/(f − a)) l  sè c¡c khæng iºm ph¥n bi»t cõa f − a trong Dr

Dr vîi bëi khæng v÷ñt qu¡ k; n(k(r, 1/(f − a)) l  sè c¡c khæng iºm kºc£ bëi, n(k(r, 1/(f − a)) l  sè c¡c khæng iºm ph¥n bi»t cõa f − a trong



+ N(2



r, 1h



= N2



r, 1h



≤ N



r, 1h

v  g − a, N0(r, a; f, g); (N0(r, a; f, g)) l  h m ¸m kº c£ bëi (h m ¸mkhæng kº bëi) t¤i t§t c£ c¡c khæng iºm chung cõa f − a v  g − a.

ành lþ 1.1 Cho c¡c h m ph¥n h¼nh f1, f2, · · · , fp, khi â:

R2 − aizR(z − ai)

c1

f − a

+ log+|a| + log 2,trong â cf l  h» sè kh¡c 0 nhä nh§t trong khai triºn Taylor cõa h m

f trong l¥n cªn iºm 0, c1/(f − a) l  h» sè kh¡c 0 nhä nh§t trong khaitriºn Taylor cõa h m 1/(f − a) trong l¥n cªn iºm 0

Nhªn x²t 1.1 Ta th÷íng dòng (2) cõa ành lþ cì b£n thù nh§t d÷îid¤ng

T (r, 1

f − a) = T (r, f ) + O(1),trong â O(1) l  ¤i l÷ñng bà ch°n khi r → ∞

óng vîi måi r ≥ r0 n¬m ngo i mët tªp câ ë o Lebesgue húu h¤n.Chùng minh K½ hi»u δ = mini6=j{|ai−aj|, 1} Vîi méi z m  f(z) 6= ∞

v  f(z) 6= aj, j = 1, , q, gåi j0 l  mët ch¿ sè trong tªp {1, , q}, saocho

|f (z) − aj0| ≤ |f (z) − aj|, vîi måi 1 ≤ j ≤ q

Khi â, vîi j 6= j0, theo b§t ¯ng thùc tam gi¡c ta câ |f(z)−aj| ≥ δ/2

Nh÷ vªy, vîi j 6= j0,

log+f (z) ≤ log+|f (z) − aj| + log+|aj| + log 2

≤ log |f (z) − aj| + log+2/δ + log+|aj| + log 2

B¥y gií ta ÷îc l÷ñng têng ¦u ti¶n trong v¸ ph£i cõa biºu thùc tr¶n,

log |cf −aj| − log |cf0|.

M°t kh¡c, theo ành lþ cì b£n thù nh§t v  ành ngh¾a h m Nram(r, f ),v¸ tr¡i cõa b§t ¯ng thùc tr¶n ÷ñc vi¸t l¤i l 

dj)α ≤

X

j=1

2T (ρ, f − aj) + C(α),trong â C(α) l  h¬ng sè ch¿ phö thuëc v o α °t

log1+εT (r, f ),vîi r ≤ r0 v  r 6= E ta câ

log T (ρ, f ) ≤ log T (r, f ) + 1

v 

log+ ρr(ρ − r) ≤ (1 + ε) log+T (r, f ) + log 2

Nh÷ vªy , vîi r ≥ r0, r 6= E ta câ

≤ (1 + ε) log+log T (r, f ) + log(2T (ρ, f )) + C(α)

≤ (1 + ε) log+log T (r, f ) + log(T (ρ, f )) + C(α),

δ(a, f ) = lim inf

2 N¸u N(r, 1

f − a) = o(T (r, f )) khi â δ(a, f) = 1 Nh÷ vªy sèkhuy¸t b¬ng 1 khi sè nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh qu¡ ½t so vîi c§p t«ngcõa nâ

3 Vîi méi h m ph¥n h¼nh f v  a ∈ C, ta luæn câ

Ch֓ng 2

X¡c ành duy nh§t h m ph¥n h¼nh vîi i·u ki»n chùa gi¡ trà khuy¸t

2.1 H m ph¥n h¼nh chung nhau gi¡ trà

2.1.1 C¡c kh¡i ni»m mð ¦u

Trong ph¦n n y chóng tæi s³ giîi thi»u mët sè kh¡i ni»m v  chùngminh mët sè bê · sû döng trong vi»c chùng minh c¡c k¸t qu£ v·tªp x¡c ành duy nh§t Cho f v  g l  hai h m ph¥n h¼nh, ta kþ hi»u

T (r) = max{T (r, f ), T (r, g)} v  S(r, f), S(r) l  c¡c ¤i l÷ñng x¡c ànhnh÷ sau:

S(r, f ) = o(T (r, f )), S(r) = o(T (r))khi r → ∞, r /∈ E, trong â E l  mët tªp con cõa tªp c¡c sè thücd÷ìng câ ë o tuy¸n t½nh húu h¤n

ành ngh¾a 2.1 Cho f v  g l  hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng sè v  a

l  mët sè phùc húu h¤n Ta nâi r¬ng f v  g chung nhau gi¡ trà a CMn¸u f −a v  g −a câ chung c¡c khæng iºm vîi bëi nh÷ nhau Mët c¡cht÷ìng tü, chóng ta nâi r¬ng f v  g chung nhau gi¡ trà a IM n¸u f − a

v  g − a câ chung c¡c khæng iºm (khæng c¦n º þ ¸n bëi) Ngo i ra,

ta nâi r¬ng f v  g chung nhau ∞ CM (ho°c IM), n¸u 1/f v  1/g chung

nhau gi¡ trà 0 CM (t÷ìng ùng IM).

Cho S l  tªp c¡c ph¥n tû ph¥n bi»t cõa C ∪ {∞}, kþ hi»u

ành ngh¾a 2.2 Ta nâi hai h m ph¥n h¼nh f v  g chung nhau tªp S

CM (IM) n¸u Ef(S) = Eg(S) (t÷ìng ùng Ef(S) = Eg(S))

ành ngh¾a 2.3 Tªp S ⊂ C ÷ñc gåi l  tªp x¡c ành duy nh§t cho c¡c

h m ph¥n h¼nh (h m nguy¶n) kº c£ bëi, k½ hi»u l  URSM-CM (t÷ìngùng l  URSE-CM), n¸u vîi méi c°p h m ph¥n h¼nh (h m nguy¶n) kh¡ch¬ng f v  g thäa m¢n i·u ki»n Ef(S) = Eg(S), ta luæn câ f ≡ g Tªp

S ⊂ C ÷ñc gåi l  tªp x¡c ành duy nh§t cho c¡c h m ph¥n h¼nh (h mnguy¶n) khæng kº bëi, k½ hi»u l  URSM-IM (t÷ìng ùng l  URSE-IM),n¸u vîi méi c°p h m ph¥n h¼nh (h m nguy¶n) kh¡c h¬ng f v  g thäam¢n i·u ki»n Ef(S) = Eg(S), ta luæn câ f ≡ g C¡c tªp URSM-CM,URSM-IM, URSE-CM, URSE-IM ÷ñc gåi chung l  tªp x¡c ành duynh§t

ành ngh¾a 2.4 Mët a thùc P trong C ÷ñc gåi l  a thùc duy nh§tm¤nh cho c¡c h m ph¥n h¼nh (hay h m nguy¶n) n¸u vîi méi c°p c¡c

h m ph¥n h¼nh (t÷ìng ùng h m nguy¶n) f, g, i·u ki»n P (f) = cP (g)k²o theo f = g, trong â c l  mët h¬ng sè th½ch hñp kh¡c 0 Trongtr÷íng hñp n y ta gåi P l  SUPM (SUPE) Mët c¡ch kh¡c, mët athùc P trong C ÷ñc gåi l  a thùc duy nh§t cho c¡c h m ph¥n h¼nh(hay h m nguy¶n) n¸u vîi méi c°p c¡c h m ph¥n h¼nh (t÷ìng ùng h m

nguy¶n) f, g, i·u ki»n P (f) = P (g) k²o theo f = g, trong tr÷íng hñp

n y ta gåi P l  UPM (UPE)

Cho P l  a thùc bªc n trong C ch¿ câ c¡c khæng iºm ìn v  S l tªp hñp t§t c£ c¡c khæng iºm cõa P N¸u S l  URSM (URSE) th¼ tø

ành ngh¾a ta suy ra P l  UPM (UPE) Tuy nhi¶n, v§n · ng÷ñc l¤i,trong tr÷íng hñp têng qu¡t khæng óng Ch¯ng h¤n

P (z) = az + b (a 6= 0)

l  mët UPM nh÷ng vîi f = (−b/a)ez v  g = (−b/a)e−z th¼ ta th§y

Ef(S) = Eg(S), trong â S = {−b/a} l  tªp c¡c khæng iºm cõa P.Cho f l  mët h m ph¥n h¼nh, k l  mët sè nguy¶n khæng ¥m ho°c væcòng Vîi a ∈ C∪ {∞}, kþ hi»u Ek(a; f ) l  c¡c tªp cõa a-iºm cõa f,trong â méi a-iºm bëi m ÷ñc t½nh m l¦n n¸u m ≤ k v  k + 1 l¦nn¸u m > k

ành ngh¾a 2.5 N¸u Ek(a; f ) = Ek(a; g), ta nâi r¬ng f, g chung nhaugi¡ trà a vîi trång sè k

Ta vi¸t f, g chung (a, k) ngh¾a l  f, g chung gi¡ trà a vîi trång sè k.Hiºn nhi¶n, n¸u f, g chung (a, k) th¼ f, g chung (a, p) vîi mët sè nguy¶n

p : 0 ≤ p < k Hìn núa d¹ th§y r¬ng f, g chung gi¡ trà a IM ho°c CMn¸u v  ch¿ n¸u f, g chung (a, 0) ho°c (a, ∞) t÷ìng ùng

ành ngh¾a 2.6 Cho S l  tªp c¡c ph¦n tû ph¥n bi»t cõa C∪ {∞} v 

k l  mët sè nguy¶n khæng ¥m ho°c ∞ Kþ hi»u

l¦n l÷ñt l  h m t¤i c¡c a−iºm cõa f m  bëi cõa nâ khæng lîn hìn(t÷ìng ùng, khæng b² hìn) m, trong â méi a−iºm ÷ñc t½nh b¬ng sèbëi cõa nâ C¡c h m N(r, a; f| ≤ m)(N(r, a; f| ≥ m)) ÷ñc x¡c ànhmët c¡ch t÷ìng tü, trong â c¡c a−iºm cõa f s³ khæng t½nh bëi Ngo ira,

¸m khæng kº bëi t¤i c¡c a-iºm chung â cõa f v  g khi p = q ≥ 2.B¬ng c¡ch t÷ìng tü ta ành ngh¾a ÷ñc c¡c h m

ành ngh¾a 2.9 Cho f v  g chung nhau (a, 0) Ta kþ hi»u N∗(r, a; f, g)

l  h m ¸m khæng kº bëi t¤i c¡c a− iºm chung cõa f v  g sao cho bëit¤i c¡c a−iºm n y èi vîi f v  g l  kh¡c nhau

Rã r ng

N∗(r, a; f, g) ≡ N∗(r, a; g, f )

v 

N∗(r, a; f, g) = NL(r, a; f ) + NL(r, a; g)

Pm j=0bjfj

l  mët h m húu t vîi c¡c h» sè h¬ng sè ak v  bj, trong â an 6= 0 v 

bm 6= 0 Khi â

T (r, R(f )) = dT (r, f ) + S(r, f ),trong â d = max{n, m}

Bê · 2.2 ([12]) N¸u F, G l  hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng sao cho

F v  G chung (1, 0) v  H 6≡ 0, khi â

NE1)(r, 1; F | = 1) = NE1)(r, 1; G| = 1) ≤ N (r, ∞; H) + S(r, F ) + S(r, G)

Bê · 2.3 ([1]) Cho

S = {z : zn + azn−1+ b = 0},trong â a, b l  c¡c h¬ng sè kh¡c khæng thäa m¢n zn + azn−1 + b = 0khæng câ nghi»m l°p, n (≥ 3) l  sè nguy¶n v  F, G l  x¡c ành bði (2.1).N¸u vîi hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng f v  g, Ef(S, 0) = Eg(S, 0) v 

H 6≡ 0 th¼

N (r, ∞; H) ≤N (r, 0; f ) + N (r, 0; g) + N (r, ∞; f ) + N (r, ∞; g)

+ N (r, 0, nf + a(n − 1)) + N (r, 0, ng + a(n − 1))+ N∗(r, 1; F, G) + N0(r, 0; f0) + N0(r, 0; g0),trong â N0(r, 0; f0) l  h m ¸m khæng kº bëi t¤i c¡c khæng iºm cõa

f0, khæng ph£i l  khæng iºm cõa f v  (F − 1), N0(r, 0; g0) x¡c ànhmët c¡ch t÷ìng tü

Chùng minh Do Ef(S, 0) = Eg(S, 0) ta suy ra F v  G chung (1, 0)

Tø (2.1) ta câ

F0 = [nf + (n − 1)a]fn−2f0/(−b)

v 

G0 = [ng + (n − 1)a]gn−2g0/(−b)

D¹ th§y cüc iºm cõa H ch¿ câ thº x£y ra t¤i

(i) khæng iºm cõa f v  g,

(ii) khæng iºm cõa nf + a(n − 1) v  ng + a(n − 1),

(iii) cüc iºm cõa f v  g,

(iv) 1-iºm cõa F v  G vîi bëi kh¡c nhau ,

(v) khæng iºm cõa f0 m  khæng ph£i l  khæng iºm cõa f(F − 1),(vi) khæng iºm cõa g0 m  khæng ph£i l  khæng iºm cõa g(G − 1).V¼ H ch¿ câ c¡c cüc iºm ìn n¶n bê · ÷ñc suy ra tø c¡c i·u ki»ntr¶n

Bê · 2.4 ([6]) Cho f, g l  hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng Khi â

fn−1(f + a)gn−1(g + a) 6≡ b, trong â a, b l  c¡c h¬ng sè húu h¤n kh¡ckhæng v  n (≥ 5) l  sè nguy¶n

Bê · 2.5 ([1]) Cho f, g l  hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng sè sao cho

Θ(0; f ) + Θ(∞; f ) + Θ(0; g) + Θ(∞; g) > 4

n − 1,

khi â fn−1(f + a) ≡ gn−1(g + a) s³ k²o theo f ≡ g, trong â n (≥ 3)

âng gâp cho khæng iºm cõa f v  tø g = fy, khæng iºm cõa y công

âng gâp cho khæng iºm cõa g Nh÷ vªy tø (2.4) ta câ:

uk = exp 2kπi

n

, k = 1, 2, , n − 1,

2n − 4

n − 1 T (r, y) ≤ (2 − Θ(0; f ) − Θ(∞; f ) + ε)T (r, y) + S(r, y), (2.5)trong â 0 < 2ε < Θ(0; f) + Θ(∞; f) + Θ(0; g) + Θ(∞; g)

2n − 4

n − 1 T (r, y) ≤ (2 − Θ(0; g) − Θ(∞; g) + ε)T (r, y) + S(r, y)). (2.6)Cëng (2.5) v  (2.6) ta câ

(4n − 8

n − 1 −4+Θ(0; f )+Θ(∞; f )+Θ(0; g)+Θ(∞; g)−2ε)T (r, y) ≤ S(r, y),

â l  mët sü m¥u thu¨n Do â f ≡ g, bê · ÷ñc chùng minh

Bê · 2.6 ([7]) K½ hi»u N(r, 0; f(k)|f 6= 0) l  h m ¸m t¤i c¡c khæng

iºm cõa f(k) m  khæng ph£i l  khæng iºm cõa f, trong â méi khæng

iºm cõa f(k) l  ÷ñc t½nh b¬ng bëi cõa nâ Khi â

N (r, 0; f(k)|f 6= 0) ≤kN (r, ∞; f ) + N (r, 0; f | < k)

+ kN (r, 0; f | ≥ k) + S(r, f )

Bê · 2.7 ([2]) Cho

S = {z : zn + azn−1+ b = 0},trong â a, b l  c¡c h¬ng sè kh¡c khæng thäa m¢n zn + azn−1 + b = 0khæng câ nghi»m bëi, n (≥ 3) l  sè nguy¶n v  F, G l  x¡c ành bði (2.1).N¸u vîi hai h m ph¥n h¼nh kh¡c h¬ng f v  g, Ef(S, 0) = Eg(S, 0) v 

H 6≡ 0 th¼

N (r, H) ≤N (r, 0, f ) + N (r, 0, g) + N (r, ∞, f ) + N (r, ∞, g)

+ N (r, −a; f | ≥ 2) + N (r, −a; g| ≥ 2) + N∗(r, 1; F, G)+ N0(r, 0; F0) + N0(r, 0; G0) (2.7)trong â N0(r, 0; F0) l  h m ¸m khæng kº bëi t¤i c¡c khæng iºm cõa

F0, khæng ph£i l  khæng iºm cõa F (F − 1), N0(r, 0; G0) x¡c ành mëtc¡ch t÷ìng tü

Chùng minh Tø Ef(S, 0) = Eg(S, 0), k²o theo F v  G chung nhau(1,0) Chóng ta câ thº d¹ d ng chùng minh ÷ñc cüc iºm cõa H ch¿

câ thº x£y ra t¤i:

(i) c¡c khæng iºm cõa f v  g

(ii) c¡c khæng iºm bëi cõa f + a v  g + a,

(iii) c¡c cüc iºm cõa f v  g,

(iv) c¡c 1−iºm cõa F v  G vîi bëi kh¡c nhau,

(v) khæng iºm cõa F0 m  khæng ph£i l  khæng iºm cõa F (F − 1),

nh nghắa 2.4 Mởt a thùc P C ÷đc gåi l  a thùc nhĐtmÔnh cho cĂc hm phƠn hẳnh (hay hm nguyản) náu vợi mội cp cĂc

hm... nghắa ữủc cĂc hm

nh nghắa 2.9 Cho f v g chung (a, 0) Ta kỵ hiằu N(r, a; f, g)

l hm ám khổng k tÔi cĂc a im chung cừa f v g cho bởitÔi c¡c a−iºm n y èi vỵi f v ... ([6]) Cho f, g l hai hm phƠn hẳnh khĂc hơng Khi õ

fn−1(f + a)gn−1(g + a) 6≡ b, â a, b l cĂc hơng số hỳu hÔn khĂckhổng v n (≥ 5) l  sè nguy¶n

Bê · 2.5 ([1]) Cho