đa thức duy nhât và bi-urs kieu (1,n) cho hàm phân hình trên trường không acsimet

Nếu xét trên trường cơ sở là trường không Acsimet, mà trường các số phức p-adic là một ví dụ,chúng ta có lý thuyết Nevanlinna p-adic, được xây dựng và phát triển bởiHà Huy Khoái, Mỵ Vinh

TRƯỜNG ðẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

- oOo -

ðặng Tuấn Hiệp

ðA THỨC DUY NHẤT VÀ BI-URS

KIỂU (1,N) CHO HÀM PHÂN HÌNH TRÊN TRƯỜNG KHÔNG ACSIMET

Chuyên ngành: ðại số và lý thuyết số

Mã số: 60 46 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS NGUYỄN TRỌNG HÒA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2009

Mở đầu

Một trong các vấn đề quan trọng của lý thuyết hàm giải tích là nghiêncứu các không điểm và điểm kỳ dị Theo hướng này, vào những năm 20 củathế kỷ XX, R Nevanlinna đã công bố các công trình nghiên cứu mà ngàynay được xem là một trong những thành tựu đẹp đẽ và sâu sắc nhất củatoán học: Lý thuyết Nevanlinna Nội dung chính của lý thuyết Nevanlinnalà hai định lý cơ bản: định lý cơ bản thứ nhất là một tương tự siêu việtcủa định lý cơ bản của đại số, định lý cơ bản thứ hai là mở rộng của địnhlý Picard Gần 60 năm sau, P Vojta đã phát hiện ra bản dịch của lý thuyếtNevanlinna trong số học: định lý Roth Phát hiện này đã giúp P Vojta đề

ra giả thuyết tổng quát về lý thuyết Nevanlinna số học mà một trong cáchệ quả là định lý Fermat tiệm cận Sự tương tự giữa lý thuyết Nevanlinnavà xấp xỷ Diophant đã cho một công cụ mới để nghiên cứu các vấn đề củasố học: chỉ cần tìm ra từ điển thích hợp, có thể phiên dịch các kết quả củalý thuyết Nevanlinna thành các kết quả số học Lý thuyết Nevanlinna cũngcho một sự tương tự giữa số đại số và hàm phân hình Nếu xét trên trường

cơ sở là trường không Acsimet, mà trường các số phức p-adic là một ví dụ,chúng ta có lý thuyết Nevanlinna p-adic, được xây dựng và phát triển bởiHà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang, Mai Văn Tư, W Cherry, P C Hu, C C.Yang, A Escassut, A Boutabaa, Giả thuyết nổi tiếng của W Cherry chỉ racó sự tương tự giữa trường số phức và trường p-adic: "Mọi kết quả đúng cho

đa thức (hoặc hàm hữu tỷ) trên C thì cũng đúng cho hàm nguyên (hàm phânhình, tương ứng) trên Cp, trừ những kết quả hiển nhiên sai", nghĩa là tồn tạimột bản dịch từ trường số phức C sang trường không Acsimet K Đây làvấn đề đã và đang nhận được sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thếgiới

Năm 1926, R Nevanlinna đã chứng minh: hàm phân hình trên C xácđịnh một cách duy nhất bởi ảnh ngược, không tính bội của năm giá trị phânbiệt Định lý năm điểm của Nevanlinna suy ra rằng hai hàm nguyên kháchằng chung nhau bốn giá trị hữu hạn phải trùng nhau (ta nói rằng hai hàm

f và g chung nhau giá trị a nếu f −1 (a) = g −1 (a)) Kết quả này không thể tốt hơn, vì hai hàm ez và e −z chung nhau tại 0, 1, −1 Sau đó, Polya chỉ ra, nếu hai hàm phân hình f và g chung nhau bốn giá trị phân biệt, kể cả bội, thì g là biến đổi Mobius của f, nghĩa là g = af + b

cf + d với các hằng số a, b, c, d thỏa mãn (c, d) 6= (0, 0).

Lý thuyết về tập xác định duy nhất của các hàm phân hình được F.Gross nêu ra một cách tự nhiên: Liệu chỉ xét nghịch ảnh của một tập con

S mà không phải là nghịch ảnh của từng phần tử, chúng ta có thể nhậnđược các kết quả tương tự định lý năm điểm Nevanlinna hay không? Tức

là có tồn tại hay không tập S để với bất kỳ các hàm phân hình f, g thỏa mãn f −1 (S) = g −1 (S) kéo theo f = g?

Ký hiệu W là trường số phức C hoặc trường K đóng đại số, đặc số

không, đầy đủ với chuẩn không Acsimet, A(W) là vành các hàm chỉnh hình trên W, M(W) là trường các hàm phân hình trên W Giả sử S là tập

con không rỗng của cW = W ∪ {∞}, F là một họ nào đó các hàm xác định

trên W lấy giá trị trên cW, f ∈ F Đặt

{z ∈ W|z là không điểm của f − a}.

Hai hàm phân hình f, g được gọi là chung nhau S, tính cả bội (tương ứng, không tính bội) nếu Ef(S) = Eg(S) (tương ứng, Ef(S) = Eg(S)) Tập S được

gọi là tập xác định duy nhất (tương ứng, tập xác định duy nhất không tính bội)

cho họ các hàm F, kí hiệu là URS (tương ứng, URSIM), nếu với mọi hàm

f, g ∈ F thỏa mãn Ef(S) = Eg(S) (tương ứng, Ef(S) = Eg(S)) thì f = g.

Giả sử B = {a1, a2, , an} là tập hữu hạn, chúng ta gọi PB(z) = (z − a1)(z − a2) (z − an) là đa thức liên kết với tập hợp B Trong [13], C.

C Yang - P Li đã nêu khái niệm sau

Định nghĩa Đa thức P (z) ∈ W[z] được gọi là đa thức duy nhất mạnh

cho họ các hàm F nếu với mọi hàm f, g ∈ F và hằng số c 6= 0 nào đó thỏa mãn P (f) = cP (g) thì c = 1 và f = g Tương tự, đa thức P (z) ∈ W[z] được gọi là đa thức duy nhất cho họ các hàm F nếu với mọi hàm f, g ∈ F thỏa

mãn P (f) = P (g) thì f = g.

Từ các định nghĩa của URS và đa thức duy nhất ta thấy rằng có một

mối quan hệ chặt chẽ giữa chúng Cho tập S là URS cho các hàm phân hình, chúng ta xây dựng một đa thức P (z) không có nghiệm bội và nhận S làm tập nghiệm Khi đó điều kiện Ef(S) = Eg(S) có nghĩa là P (f) và P (g) có cùng không điểm với cùng bội, điều này yếu hơn điều kiện P (f) = cP (g) Nghĩa là, nếu S là URS cho các hàm phân hình thì đa thức P liên kết với S cũng là đa thức duy nhất mạnh cho các hàm phân hình Vì vậy để

nghiên cứu URS cho các hàm phân hình ta nghiên cứu các đa thức duy nhất

Khi xem xét sự xác định của hàm phân hình thông qua ảnh ngượccủa một tập hợp ta gặp rất nhiều khó khăn để giảm số điểm của tập hợpđó Cho đến nay, chưa có phương pháp nào để tìm URS cho các hàm phânhình phức (tương ứng, p-adic) có số phần tử bé hơn 11 (tương ứng, 10) Vìvậy có một vấn đề được đặt ra là xem xét sự xác định của các hàm phânhình thông qua ảnh ngược của nhiều hơn một tập hợp

Định nghĩa ([3]) Giả sử S, T là các tập con trong c W = W ∪ {∞} sao

cho S ∩T = ∅ Khi đó cặp (S, T ) được gọi là bi-URS cho F nếu với hai hàm khác hằng số f, g ∈ F thỏa mãn Ef(S) = Eg(S) và Ef(T ) = Eg(T ) thì f = g.

Năm 1996, P Li và C C Yang ([12]) đã chứng minh rằng trên C tồn

tại bi-URS kiểu (1, n) cho hàm phân hình có dạng ({∞}, S) với #S ≥ 15.

Trên trường K không Acsimet, năm 1971, W W Adams và E G Straus đã

chỉ ra: với mọi a 6= b ∈ K, cặp ({a}, {b}) là bi-URS cho hàm nguyên Năm

1998, A Boutabaa và A Escassut ([4]), bằng các ước lượng phù hợp cho đa

thức P (z) = zn − azm + 1, đã chỉ ra: với mọi n ≥ 5 và ω ∈ K ∪ {∞},

tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z1, z2, , zn}) Tiếp theo, trong

[6], các tác giả đã chứng minh không tồn tại bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z1, z2, z3}) Sau đó, đến năm 2001, bằng cách sử dụng các ước lượnghàm Nevanlinna, Hà Huy Khoái và Tạ Thị Hoài An ([9]) đã chỉ ra sự tồn

tại của bi-URS cho M(K) có dạng ({ω}, {z1, z2, z3, z4}) Như vậy, vấn đề

tồn tại bi-URS cho M(K) kiểu (1, n) đã được giải quyết trọn vẹn và n = 4

là số tốt nhất có thể

Gần đây, bằng cách sử dụng công cụ của Hình học đại số, xây dựngcác đa thức liên kết và xét tính hyperbolic của các đường cong tương ứng,

Nguyễn Trọng Hòa ([3], [10]) đã chỉ ra sự tồn tại bi-URS cho M(K) kiểu (2, n), với mọi n ≥ 3 và khẳng định n = 3 là số bé nhất có thể Các kết

quả của Tạ Thị Hoài An và Nguyễn Trọng Hòa đạt được là những đónggóp mới không chỉ ở nội dung mà ở cả phương pháp tiếp cận khi nghiêncứu các vấn đề tương tự Bởi vậy chúng tôi mạnh dạn chọn đề tài nghiên

cứu về đa thức duy nhất và song tập xác định duy nhất kiểu (1, n) cho hàm

phân hình trên trường không Acsimet Cụ thể, chúng tôi muốn hệ thống lạimột cách chi tiết các chứng minh của những kết quả mà các tác giả đã chỉ

ra Qua đó, chúng tôi sẽ cố gắng xây dựng các ví dụ cụ thể để minh họa cáckết quả trong một số trường hợp đặc biệt Đề tài của chúng tôi mang tên:

"Đa thức duy nhất và bi-URS kiểu (1, n)

cho hàm phân hình trên trường không Acsimet"

Phương pháp của chúng tôi là sử dụng ước lượng các hàm Nevanlinnađể đánh giá tập không điểm của một lớp các đa thức thỏa mãn một số điềukiện nào đó

Nội dung của luận văn gồm phần mở đầu, phần kết luận, các tài liệutham khảo và ba chương

Chương 1 trình bày các kiến thức cơ bản về giải tích p-adic và lýthuyết Nevanlinna p-adic Đây là các kiến thức cơ sở cho các chương sau

Chương 2 trình bày các kết quả về đa thức duy nhất cho các hàmphân hình trên trường không Acsimet

Chương 3 trình bày các kết quả về song tập xác định duy nhất kiểu

(1, n) cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet

Luận văn được thực hiện dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn TrọngHòa, ngưới đã đặt vấn đề và dẫn dắt tác giả hoàn thành công việc của mình.Tác giả xin gửi tới TS Nguyễn Trọng Hòa lời cảm ơn chân thành Tác giảcũng xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới PGS TS Mỵ Vinh Quang người thầyđầu tiên đã hướng dẫn tác giả trong công việc nghiên cứu các vấn đề vềlý thuyết Nevanlinna p-adic và các áp dụng Tác giả cũng xin chân thànhbiết ơn ban chủ nhiệm khoa Toán-Tin, Đại học Sư phạm thành phố HồChí Minh, đặc biệt là TS Nguyễn Thái Sơn đã tạo điều kiện giúp đỡ tác giảhoàn thành công việc của mình Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn tới PGS

TS Bùi Tường Trí, TS Trần Huyên, PGS TS Đậu Thế Cấp và PGS TS.Lê Hoàn Hóa đã giảng dạy cho tác giả các chuyên đề cao học Tác giả cũngxin gửi lời cảm ơn tới tập thể cán bộ Phòng Khoa học công nghệ và Sauđại học, Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh đã tạo mọi điều kiệnthuận lợi giúp tác giả hoàn thành công việc học tập và nghiên cứu của mình.

Cuối cùng, tác giả xin tỏ lòng biết ơn đến Mẹ, người mà đã chấp nhậnkhó khăn và dành hết tình thương yêu, động viện tác giả hoàn thành côngviệc học tập của mình

Chương 1

Các kiến thức cơ sở

Trong chương này, chúng tôi sẽ trình bày các kiến thức cơ sở về hàmphân hình và lý thuyết Nevanlinna trên trường không Acsimet Trước hết,chúng tôi đưa ra các ký hiệu dùng trong luận văn

• K là trường đóng đại số, đặc số 0 và đầy đủ với chuẩn không Acsimet

• C là trường các số phức

• Cp là trường các số phức p-adic

• L là C hoặc K

• A(L) là vành các hàm nguyên trên L

• M(L) là trường các hàm phân hình trên L

• W là trường đóng đại số, đặc số 0

• cW là không gian xạ ảnh một chiều trên W

• F là một họ các hàm xác định trên W và lấy giá trị trên cW

1.1 Trường không Acsimet

Các khái niệm và kết quả được nhắc đến trong phần này được trìnhbày một cách chi tiết trong [8]

Chuẩn không Acsimet

Định nghĩa 1.1 Một chuẩn trên trường W là ánh xạ

Cho r là số thực dương và điểm x ∈ W Ký hiệu đĩa mở, đĩa đóng tâm

x bán kính r theo thứ tự bởi:

D(x, r) = {y ∈ W|d(x, y) < r}, D(x, r) = {y ∈ W|d(x, y) ≤ r}.

Đĩa D = D(0, 1) được gọi là đĩa đơn vị.

Với hằng số c > 1, hàm vc : W → R ∪ {∞},

Mệnh đề 1.1 Một chuẩn trên trường W là không Acsimet nếu và chỉ nếu hàm

cộng v tương ứng của nó thỏa mãn các điều kiện sau:

(1) v(x) = +∞ ⇔ x = 0,

(2) v(xy) = v(x)v(y); ∀x, y ∈ W,

(3) v(x + y) ≥ min{v(x), v(y)}; ∀x, y ∈ W.

Không gian p-adic (Xem [8], [2])

Một ví dụ của chuẩn không Acsimet là chuẩn p-adic, được xác địnhnhư sau:

Cho p là số nguyên tố Với mỗi số nguyên a 6= 0, ta có thể viết a = pva 0,

p không chia hết a 0 Số tự nhiên v được xác định duy nhất bởi a và p, cho

nên ta nhận được hàm

Định lý 1.1 (Ostrowski [8]) Mọi chuẩn không tầm thường trên Q đều tương

đương với chuẩn p-adic hoặc chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường

Như vậy chỉ có hai hướng mở rộng trường các số hữu tỷ Q Mở rộngtheo chuẩn giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường các số thực R Mởrộng theo chuẩn p-adic ta được trường các số p-adic, ký hiệu là Qp

Gọi Qp là bao đóng đại số của Qp Tuy đóng đại số nhưng Qp khôngđầy đủ theo tôpô không Acsimet Ký hiệu Cp = cQp là trường mở rộngđầy đủ của Qp theo tôpô không Acsimet, và được gọi là trường các số phứcp-adic

Mệnh đề 1.2 Cp là trường đóng đại số và đầy đủ theo chuẩn không Acsimet

Cp là không gian khả ly nhưng không compact địa phương

1.2 Hàm phân hình p-adic

Định nghĩa 1.2 Một chuỗi lũy thừa

hội tụ trên đĩa D(0, ρ) được gọi là hàm chỉnh hình p-adic trên đĩa ấy Hàm

chỉnh hình p-adic trên toàn K được gọi là hàm nguyên p-adic

Giả sử f và g là các hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm

chung trên một đĩa Khi đó hàm

ν(t, f ) − ν(0, f )

t dt + ν(0, f ) log r.

Bổ đề 1.2 (Định lý chuẩn bị Weierstrass) Cho f là hàm chỉnh hình trên đĩa

D(0, ρ) Khi đó, có tồn tại một đa thức monic P có bậc là ν(r, f) và một hàm chỉnh hình p-adic g trên D(0, r) sao cho f = gP Hơn nữa, g không có không điểm trong D(0, r) và P có đúng ν(r, f) không điểm kể cả bội trên D(0, r).

Cho hàm phân hình f trên D(0, ρ), thì khi đó f = g

h , với g, h là hai hàm chỉnh hình p-adic không có không điểm chung trên D(0, ρ) Ta định

1.3 Lý thuyết Nevanlinna p-adic

Một trong những vấn đề quan trọng nhất của lý thuyết hàm giải tíchlà nghiên cứu các không điểm và cực điểm Công trình quan trọng đầu tiên

trong hướng này là kết quả của Hadamard nói rằng, nếu f(z) là hàm chỉnh

hình trong mặt phẳng phức thì ta có bất đẳng thức sau đây: ``Số các không

điểm của f(z) trong hình tròn Dr ≤ log max

|z|≤r |f (z)| + O(1)'' Bất đẳng thứctrên cho ta một mối liên hệ giữa cấp tăng của hàm chỉnh hình với số khôngđiểm của nó Có thể thấy rõ ý nghĩa của định lý Hadamard khi xem nónhư là một sự tương tự siêu việt của định lý cơ bản của đại số nói rằng, sốnghiệm của một đa thức trên trường đóng đại số đúng bằng số bậc của đathức Tuy nhiên định lý Hadamard có hai thiếu sót:

1 Thứ nhất, tồn tại các hàm giải tích, chẳng hạn f(z) = ez có cấp tăngrất lớn, nhưng không có không điểm nào cả Khi đó, định lý Hadamardkhông cho một ước lượng dưới của cấp tăng

2 Thứ hai, khi f(z) là hàm phân hình, vế phải của bất đẳng thức

Hadamard có thể trở thành vô hạn, và như vậy ta không thu được

cận trên của số các không điểm của hàm f(z).

Lý thuyết Nevanlinna ra đời nhằm khắc phục những thiếu sót này Sau đâylà các khái niệm và kết quả chính của lý thuyết này.

Cho f là hàm chỉnh hình trên D(0, ρ) Với mỗi t ≥ 0, ta đặt n(t, 1



=

Z r 0



= log µ(r, f ) − log |an(0,1

Tương tự, chúng ta cũng đặt ¯n(t, 1

f) là số các không điểm phân biệt của f trong D(0, t) và định nghĩa

N



r, 1f



=

Z r 0

Cho f là hàm phân hình trên D(0, ρ), khi đó f = g

h , với g, h là hai hàm chỉnh hình không có không điểm chung trên D(0, ρ) Ta định nghĩa n(t, f) và hàm đếm các cực điểm N(r, f) của f như sau:

n(t, f ) = n



t, 1h



; N (r, f ) = N



r, 1h



.

Áp dụng công thức (1.1) cho các hàm g và h, chúng ta nhận được công thức

Poision-Jensen cho các hàm phân hình:

N



r, 1f



− N (r, f ) = log µ(r, f ) − Cf, (1.2)

trong đó Cf là hằng số chỉ phụ thuộc vào f.

Mệnh đề 1.3 Với mọi hàm phân hình f ta có

N (r, f ) =

Z r 0

n(t, f ) − n(0, f )

t dt + n(0, f ) log r.

Định nghĩa 1.3 (Hàm xấp xỉ) Cho f là hàm phân hình trên D(0, ρ) Ta

gọi hàm m(r, f) = log+

µ(r, f ) = max{0, log µ(r, f )} là hàm xấp xỉ của f.

Nhận xét Hàm xấp xỉ m(r, f) đo độ lớn của tập hợp mà tại đó hàm f nhận

giá trị gần với ∞ trong hình tròn bán kính r.

Định nghĩa 1.4 (Hàm đặc trưng) Cho f là hàm phân hình trên D(0, ρ).

Ta gọi hàm T (r, f) = m(r, f) + N(r, f) là hàm đặc trưng của f.

Mệnh đề 1.4 Hàm đặc trưng T (r, f) là hàm tăng theo biến r và hơn nữa nếu

f là hàm phân hình trên K thì ta có lim

r→∞ T (r, f ) = ∞

Định lý 1.2 (Định lý cơ bản thứ nhất) Giả sử r là một số thực dương, f là

hàm phân hình trên K và a ∈ K bất kỳ Khi đó

Định lý 1.3 (Định lý cơ bản thứ hai) Giả sử r là một số thực dương, f là

hàm phân hình khác hằng số trong K và a1, a2, , aq ∈ K(q ≥ 1) là các sốphân biệt Khi đó

trong đó NRam(r, f ) = N (r, 1/f 0 ) + 2N (r, f ) − N (r, f 0) là hạng tử rẽ nhánh

và N0(r, 1/f 0) là hàm đếm các không điểm của f 0 khi f không nhận các giá trị a1, a2, , aq

Định nghĩa 1.5 Cho f là hàm phân hình trên K và a ∈ K ∪ {∞} Ta đặt

Định lý 1.4 (Quan hệ số khuyết) Giả sử f là hàm phân hình trên K Khi

đó, tập hợp các phần tử a ∈ K ∪ {∞} sao cho Θ(a) 6= 0 là đếm được và hơn

Bổ đề 1.5 Giả sử q ∈ N ∗ , a ∈ K và f ∈ M(K) sao cho mọi không điểm của

f − a đều có bội lớn hơn hoặc bằng q Khi đó Θf(a) ≥ 1 − 1

thức (1.2) và bổ đề 1.4 ta có T (r, f) = max{T (r, g), T (r, h)} + O(1).

Áp dụng bổ đề 1.5 ta thu được

Định lý 1.6 Tồn tại f ∈ M(K) sao cho X

∗ Cho k → ∞, ta phải có Θf(0) = 1

Hơn nữa, do f ∈ A(K) nên Θf(∞) = δf(∞) = 1.

Tóm lại, ta có 2 ≥ X

Chứng minh Lấy g là hàm chỉnh hình siêu việt trên K, tức là g ∈ A(K) −

K[z] Khi đó, với r đủ lớn, ta có µ(r, g 0

Xét hàm phân hình f = 1

g . Hệ thức Wronskian của f là

W =

1 g 0 g 0

= g 0 ∈ A(K).

Theo định lý 2.15 trong [8] ta có N r, 1

Suy ra θf = 1 Mặt khác, ta có δf(0) = δg(∞) = 1.

Với mọi a ∈ K ∪ {∞}, a 6= 0 ta có δf(a) = δg(a −1) = 0

Chứng minh Nếu f ∈ A(K) thì δf (∞) = 1 và δf(a) = 0, ∀a ∈ K.

Với mọi δ ∈ (0, 1) ta đặt

Áp dụng bổ đề 6.3 trong [5] với  = 1 − δ và ρ = log r

log |b| ta thu được

Theo hệ quả 1.25 trong [8], ta được g, h ∈ A(K), hơn nữa dễ thấy g, h

không có không điểm chung, nên áp dụng công thức (1.2) và bổ đề 1.4 với

ϕ , khi đó δf(a) = δϕ(∞) = δ.

Trong cách xây dựng hàm f trong định lý 1.8, chúng ta thấy hàm ϕ

chỉ có các cực điểm đơn, do đó Θϕ(∞) = δϕ(∞) Vì vậy, ta có kết quả sau

đây

Định lý 1.9 Với mọi Θ ∈ [0, 1], luôn tồn tại f ∈ M(K) và a ∈ K ∪ {∞} sao

cho Θf(a) = Θ.

Kết luận chương 1

Nội dung của chương 1 là trình bày các kiến thức cơ sở về giải tíchp-adic Đặc biệtlà lý thuyết Nevanlinna p-adic, với hai định lý cơ bản Lýthuyết này chính là một sự mở rộng định lý cơ bản của đại số Lý thuyếtNevanlinna p-adic là công cụ chủ yếu của chúng tôi trong công việc nghiêncứu các vấn đề về đa thức duy nhất và song tập xác định duy nhất kiểu

(1, n) cho các hàm phân hình trên trường không Acsimet

Trong chương này, các kết quả của định lý 1.5, 1.6, 1.7, 1.8 và 1.9 là cáckết quả mới của chúng tôi Những kết quả này bổ sung và khẳng định đánhgiá số khuyết của Nevanlinna là tốt nhất

Chương 2

Đa thức duy nhất

Khái niệm đa thức duy nhất được đưa ra lần đầu tiên bởi P Li và C

C Yang ([12]) năm 1995 Trong bài báo đó các tác giả đã chứng minh đượcrằng, mọi đa thức lấy hệ số trên C bậc bé hơn 5 không phải là đa thức duynhất yếu (do đó cũng không phải là đa thức duy nhất mạnh) và họ đưa ranhận xét rằng không dễ để có thể khẳng định một đa thức có phải là đathức duy nhất hay không Gần đây, B Shiffman ([14]) đã đưa ra một điềukiện đủ tổng quát cho một đa thức phức là đa thức duy nhất Sau đó, H.Fujimoto ([7]) cũng đưa ra những điều kiện đủ để một đa thức phức là đathức duy nhất mạnh Đối với trường không Acsimet, năm 2001, bằng cáchsử dụng các ước lượng hàm Nevanlinna, Hà Huy Khoái và Tạ Thị Hoài An([9]) đã đưa ra điều kiện đủ để một đa thức là đa thức duy nhất yếu và mạnhcho các hàm phân hình trên trường không Acsimet K Sau đó, đến năm

2002, J T-Y Wang ([16]) đã chỉ ra điều kiện cần và đủ để lớp các đa thứcthỏa mãn điều kiện tách nghiệm là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho các

hàm phân hình trên trường không Acsimet, đặc số p ≥ 0 bất kỳ.

Định nghĩa 2.1 ([9]) Một đa thức khác hằng số P (z) ∈ W[z] được gọi là đa

thức duy nhất yếu cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F thỏa mãn điều kiện P (f) = P (g) thì f = g Tương tự, đa thức P (z) ∈ W[z] được gọi là đa thức duy nhất mạnh cho F nếu với các hàm khác hằng f, g ∈ F và hằng số khác không c ∈ W thỏa mãn điều kiện P (f) = cP (g) thì c = 1 và f = g.

Trong chương này, chúng tôi sẽ tập trung nghiên cứu các điều kiệncần và điều kiện đủ để một đa thức lấy hệ số trên W là đa thức duy nhất

yếu (mạnh) Trong suốt phần này, chúng ta luôn giả sử rằng P (z) ∈ W[z] là một đa thức monic bậc q ≥ 1 Ta viết

P 0 (z) = q(z − d1)q1(z − d2)q2 (z − dk)qk,

trong đó q1+ q2+ · · · + qk = q − 1, di 6= dj; ∀i 6= j và k được gọi là chỉ số đạo hàm của P

2.1 Các trường hợp đặc biệt

• Nếu q = 1 thì P (z) = z + a Khi đó P (f) = P (g) ⇒ f + a = g +

a ⇒ f = g Do đó P là đa thức duy nhất yếu cho F Tuy nhiên,

P (f ) = cP (g) ⇒ f = cg + (c − 1)a , do đó P không là đa thức duy nhất mạnh cho F.

• Nếu q = 2 thì P (z) = z2+ az + b Với bất kỳ hàm khác hằng số f ∈ F, đặt g = −f − a, khi đó P (f) = P (g) nhưng f 6= g Do đó, P không

là đa thức duy nhất yếu (do đó cũng không là đa thức duy nhất mạnh)

Nếu a1 = 0 thì ta chọn f = h và g = ξh, với h ∈ M ∗

(W) bất kỳ và

Trong mọi trường hợp, ta dễ dàng kiểm tra được Q(f) = Q(g), nhưng f 6= g Lấy f 0 = f + d, g 0 = g + d Khi đó f 0 , g 0 ∈ M(W) và f 0 6= g 0 Nhưng ta có

P (f 0 ) = P (f + d) = Q(f ) = Q(g) = P (g + d) = P (g 0 ).

Vậy P không là đa thức duy nhất yếu cho M(W) Do đó P cũng không là

đa thức duy nhất mạnh cho M(W).

Định lý 2.2 Nếu k = 1 thì P không là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho F Chứng minh Giả sử k = 1, khi đó q ≥ 2 và P 0 (z) = q(z − d) q−1 Suy ra

P (z) = (z − d)q + c, với d, c ∈ K và c 6= 0 Với bất kì hàm khác hằng số

f ∈ F và hằng số ξ 6= 1 sao cho ξq = 1 Đặt hàm g = ξf + (1 − ξ)d Dễ

dàng kiểm tra được P (f) = P (g), nhưng f 6= g Do đó P (z) không thể là

đa thức duy nhất yếu (do đó cũng không là đa thức duy nhất mạnh)

Định lý 2.3 Nếu k = 2 và min{q1 , q2} = 1 thì P không là đa thức duy nhất yếu và mạnh cho M(W).

Chứng minh Giả sử k = 2 và min{q1 , q2} = 1 , khi đó q ≥ 3 và

q − 1 (d2− d1) 6= 0 Xét hai hàm phân hình

Dễ dàng kiểm tra được Q(f) = Q(g), nhưng f 6= g.

Lấy f 0 = f + d2, g 0 = g + d2 Khi đó f 0 , g 0 ∈ M(W) và f 0 6= g 0 Nhưng ta có

P (f 0 ) = P (f + d2) = Q(f ) = Q(g) = P (g + d2) = P (g 0 ).

Vậy P không là đa thức duy nhất yếu cho M(W) Do đó P cũng không là

đa thức duy nhất mạnh cho M(W).

Từ các trường hợp đặc biệt đã xem xét ở trên, chúng ta có thể đưa ra mộtđiều kiện cần để một đa thức bất kỳ trên W là đa thức duy nhất yếu (mạnh)

cho M(W).

Hệ quả 2.1 Nếu P là đa thức duy nhất yếu cho M(W) thì q = 1 hoặc k ≥ 3

hoặc k = 2 và min{q1, q2} ≥ 2

Hệ quả 2.2 Nếu P là đa thức duy nhất mạnh cho M(W) thì k ≥ 3 hoặc

k = 2 và min{q1, q2} ≥ 2

Trong [2], chúng tôi phân tích khá rõ một số sự khác biệt của lýthuyết Nevanlinna p-adic Lý do cơ bản là chúng ta đang làm việc trêntrường không Acsimet, nên chắc chắn sẽ có một số tính chất đặc thù và dễdàng kiểm tra hơn khi xét trên trường số phức nói chung Đối với đa thứcduy nhất trên trường không Acsimet chúng ta cũng có các tính chất khácbiệt mà trong trường số phức không có được Cụ thể là mệnh đề sau

Mệnh đề 2.1 ([16]) Các khẳng định sau là tương đương:

(1) P (z) là đa thức duy nhất yếu (mạnh) cho M(K).

(2) P (z) là đa thức duy nhất yếu (mạnh) cho trường các phân thức trên K

2.2 Đa thức duy nhất yếu

Định lý sau đây cho ta biết một điều kiện đủ để đa thức P (z) ∈ W[z]

là đa thức duy nhất yếu

Định lý 2.4 Giả sử P (z) ∈ W[z] là đa thức thỏa mãn điều kiện (H), có chỉ

số đạo hàm k ≥ 3 Khi đó P (z) là đa thức duy nhất yếu cho M(W).

Để chứng minh định lý này, chúng ta cần một số khái niệm sau đây

Giả sử f là hàm phân hình khác hằng số Định nghĩa hàm

Trường hợp a = ∞:

χ ∞f (z) =

(

−1 nếu z là cực điểm của f,

0 trong các trường hợp còn lại

Với điều kiện C cho trước, ta định nghĩa

χ ∗f0|C(z) =

(

χ0f0(z) nếu z thỏa mãn điều kiện C và f(z) 6= dj; ∀j,

0 trong các trường hợp còn lại

Chứng minh Giả sử tồn tại hai hàm phân hình khác hằng số f và g sao

cho P (f) = P (g) Ta chứng minh f = g Thật vậy, giả sử f 6= g Đặt

Mặt khác, từ giả thiết P (f) = P (g) ta có f 0 (z)P 0 (f (z)) = g 0 (z)P 0 (g(z)) Do

P thỏa mãn điều kiện (H) nên nếu f(z) = dj(1 ≤ j ≤ k) thì g(z) = dj hoặc

g 0 (z) = 0 Vì vậy, ta có bất đẳng thức

(2) P (z) đa thức yếu (mạnh) cho trường phân thức K

2.2 Đa thức yếu

Định lý sau cho ta biết điều kiện đủ để đa. .. phân hình trường khơng Acsimet K Sau đó, đến năm

2002, J T-Y Wang ([16]) điều kiện cần đủ để lớp đa thứcthỏa mãn điều kiện tách nghiệm đa thức yếu mạnh cho

hàm phân hình trường