Cách tìm tiệm cân đứng: Đồ thị hàm phân thức thường có tiệm cận đứng, và giá trị x = a thường là nghiệm của mẫu số, hoặc tại x = a thì hàm số đã cho không xác định... hàm phân thức ta
Trang 1III ĐIỂM UỐN, TÍNH LỒI LÕM
Quy tắc xét tính lồi lõm, tìm điểm uốn:
Tính đạo hàm ' y rồi tính tiếp '' y
Giải phương trình '' y =0, từ đó tìm được tọa độ điểm uốn
Xét dấu của '' y để kết luận:
+ nếu '' y >0 thì đồ thị hàm số lõm
+ nếu '' y <0 thì đồ thị hàm số lồi
Ví dụ 1: Tìm tọa độ điểm uốn và các khoảng lồi, lõm của đồ thị các hàm số sau:
a) y = 2x3 – 6x2 + 2x b) y = x3 + 6x – 4
c) 1 4 3 2 5
4 2
2
Ví dụ 2: Tìm a, b để hàm số y = ax3 + bx2 + x + 2 nhận điểm U(1; –1) làm điểm uốn
Ví dụ 3: Tìm m để hàm số
2
3 3
1
x
y x
m
= + + nhận điểm U(–1; 3) làm điểm uốn
BÀI TẬP TỰ LUYỆN :
Bài 1: Tìm m để tiếp tuyến tại điểm uốn của đồ thị hàm số
a) y = x3 + 3x2 – mx + 2 song song với đường thẳng d: y = 3x – 5
b) y = x3 + 3mx2 – 2mx + 3 vuông góc với đường thẳng ∆: y = x – 3
Bài 2: Tìm m, n để đồ thị các hàm số
a) y=x4−2x3−6x2+mx+2m−1 có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2)
b)
3
x
y= − −x +mx+ có điểm uốn nằm trên đường thẳng d : y = x + 2
Bài 3: Tìm m, n để đồ thị các hàm số
a) y = x3 – 3mx2 + 9x + 1 có điểm uốn thuộc đường thẳng d: y = x + 1
b) y = 3x3 – 9x2 + 6x + m – 2 có điểm uốn nằm trên trục hoành
c) y = x3– 3mx2 + (3 + 2m2)x + m2 + 3 có điểm uốn cách đều hai trục tọa độ Ox, Oy
IV TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ
1) Nhắc lại một số giới hạn quan trọng
2
0
0
− −
khi a
khi a
x x
0
0
0
1 lim 1
lim
1 lim +
−
→∞ →∞
→
→
→
= +∞
= −∞
n
x x
x
x x
x
KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ - P2
Thầy Đặng Việt Hùng
Trang 2Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
1
1
0;
;
−
−
−
→∞ −
x
n m
khi m n
khi m n
a khi m n b
2) Tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Định nghĩa: Đường thẳng x = a được gọi là tiệm cận đứng (TCĐ) của đồ thị y = f(x) khi lim ( )
f x
→ = ∞
+ nếu lim ( )
f x
→ = +∞ thì x = a là tiệm cận đứng bên phải
+ nếu lim ( )
f x
→ = −∞ thì x = a là tiệm cận đứng bên trái
Cách tìm tiệm cân đứng:
Đồ thị hàm phân thức thường có tiệm cận đứng, và giá trị x = a thường là nghiệm của mẫu số, hoặc tại x = a thì hàm
số đã cho không xác định
Ví dụ 1: Tìm tiệm cận đứng của các đồ thị hàm số sau
a)
2
9
x
y
x
=
− b) 2
2
x y
+
= + −
Hướng dẫn giải :
a) Ta có
2 3
9
→±
−
x
x
x x
là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
b) Xét phương trình 2 4 5 0 1
5
=
= −
x
x
Ta có
2 1
2 5
2 lim
2 lim
→
→−
= ∞
+
x
x
x
x
là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số
Ví dụ 2: Biện luận theo m số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số 2 2
3
−
=
x y
x x m
Hướng dẫn giải :
Số tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đã cho là số nghiệm khác 2 của phương trình x2 + 3x + m = 0
Đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng khi x2 + 3x + m = 0 vô nghiệm 0 9 4 0 9
4
⇔ ∆ < ⇔ − m< ⇔ >m
Đồ thị hàm số có một tiệm cận khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có nghiệm kép khác 2, hoặc có hai nghiệm phân biệt, trong đó một nghiệm x = 2
Điều đó xảy ra khi
2
9
9 4
9
10 4
∆ > ⇔ − > ⇔ <
m b
x a
m
Đồ thị hàm số có hai tiệm cận khi phương trình x2 + 3x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt khác 2
Khi đó ta có
2
10
m
3) Tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
Định nghĩa: Đường thẳng y = b được gọi là tiệm cận ngang (TCN) của đồ thị y = f(x) khi lim ( )
x
f x b
→∞ =
Cách tìm tiệm cân ngang:
Trang 3hàm phân thức ta thường chia cả tử và mẫu số cho lũy thừa mũ cao nhất của x để tìm tiệm cận ngang
Chú ý: Với các giới hạn mà hàm số có chứa căn thì chúng ta thực hiện theo quy tắc sau:
2
2
x x
Ví dụ mẫu: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của các đồ thị hàm số sau
a) 1
+
=
−
x
y
3 2 1
−
= +
x y
1
+
=
x y
x x
d)
2
2
3
+
=
−
x
y
1
+
= +
x y x
Hướng dẫn giải :
a) Ta có
3
2
lim
−
x
x
x
Mặt khác,
1 1
3
+
y x
x
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
b) Ta có
1
3 2
1
→−
+
x
x
x
Mặt khác,
3 2
3 2
1 1
1
−
y x
x
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
c) Ta có 2
1
1
→
x
x
x
Mặt khác,
2 2
2
1
+
y
x x
là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số
d) Ta có
2
3
2
3
−
x
x
x
Xét
2
2
Khi x→+∞ thì |x| = x nên ta được
3
x
x
x
là tiệm cận ngang
Khi x→−∞ thì |x| = −x nên ta được
3
x
x
x
là tiệm cận ngang
e) Xét
2
2
2 2
3 3
x x
Trang 4
Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95
Khi x→+∞ thì |x| = x nên ta được
1 1
+
1
2
y
⇒ = là tiệm cận ngang
Khi x→−∞ thì |x| = −x nên ta được
1 1
+
2
−
=
y là tiệm cận ngang
4) Tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Định nghĩa:
x
f x ax b
→∞ − + =
Cách tìm tiệm cân xiên:
Đồ thị hàm phân thức chỉ có tiệm cận xiên khi bậc của tử số phải lớn hơn bậc của mẫu số một bậc
Cách 1:
+ Tìm hệ số lim ( )
x
f x a
x
→∞
=
+ Tìm lim [ ( ) ]
x
→∞
= − Từ đó suy ra đường tiệm cận xiên là y = ax + b
Cách 2:
Thực hiện phép chia đa thức ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( )
r x
f x ax b
h x
→∞ − + = →∞ = do r(x) có bậc nhỏ hơn h(x)
Ví dụ 1: Tìm các tiệm cận của các đồ thị hàm số sau
a)
2
1 2
y
x
+ +
=
2
y
x
=
2
2
y x
+ +
= +
Hướng dẫn giải :
a)
2
1 2
y
x
+ +
=
−
+ Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x = 2
+ Ta có
2
+ +
2
x
→∞ − − = →∞ = ⇒ = −
− là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
b)
2
y
x
=
+
+ Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là 1
2
x= −
+ Ta có
2
x
→∞ − + = →∞ = ⇒ = +
+ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
c)
2
2
y
x
+ +
=
+ Ta dễ dàng nhận thấy đồ thị có tiệm cận đứng là x= −2
Trang 5+ Ta có ( ) 3 3 3 5 13 ( ) (3 5) 13
+ +
2
x
→∞ − − = →∞ = ⇒ = −
+ là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số
Ví dụ 2: Tìm m để đồ thị hàm số
2
1
x mx y
x
=
+ có tiệm cận xiên tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích
bằng 4
Hướng dẫn giải :
+ Ta có
2
Đồ thị có tiệm cận xiên khi m≠0
Với m≠0 thì tiệm cận xiên của đồ thị hàm số là y = 2x + m – 2, (d)
+ Giả sử A = d ∩ Ox, B = d ∩ Oy uy ra 2 ;0 , (0; 2)
2
m
A − B m−
2
m
2
OAB
S = OA OB⇒OA OB=
2
2 2
m m
m
=
= −
Vậy m = 6 và m = –2 là các giá trị cần tìm
Ví dụ 3: Cho hàm số
2
1
1
m
x
+
+ Tìm m biết rằng
a) tiệm cận xiên của đồ thị vuông góc với đường thẳng y = 3x – 5
b) tiệm cận xiên của đồ thị cách gốc tọa độ O một khoảng bằng 1
17
BÀI TẬP LUYỆN TẬP:
Bài 1: Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang các đồ thị hàm số sau :
a) 2 3
1
x
y
x
+
=
− b)
1 1
y x
=
1 4
y x
=
−
d) y 1 12
x
2
3 3
x y
x
−
= + f)
2
2 1
x y x
+
=
−
Bài 2: Tìm các đường tiệm cận các đồ thị hàm số sau :
1)
2
2
y
x
=
− 2)
2
1
x y x
=
2 2
1
y x
= +
4)
3
2
2
1
x
y
x
+
=
2
x y
= + − 6)
2 2
5 3 1
x y
x
−
=
−
7)
2
1
y
−
=
+ + 8) ( )2
1
y x
=
2
1
y= x + +x
10) y= −x x2+1 11)
2 2
4
= +
x y x
12)
2
1
x y
= + +
13) y= −x x2−4x+1 14) y=2x+ +1 4x2−2x+1 15)
2
x y x
+
=
16)
2
2
x
y
− −
=
2
y= x− x − +x 18*)
2
1
y
x
=
19) y=2x− +3 x2+ +x 4 20) y= 3x2−2x+4
Bài 3: Biện luận theo tham số m số tiệm cận của các đồ thị hàm số sau
Trang 6Khóa học LTĐH môn Toán 2015 – Thầy ĐẶNG VIỆT HÙNG Facebook: LyHung95 b)
2
y
x m
=
1
mx y
x m
+
= + d)
3 2
1
mx y
−
=
− +
Bài 4: Tim m để đồ thị hàm số
2
1
y
x
=
+ có tiệm cận xiên đi qua điểm M(1; 2)
Bài 5: Cho hàm số
2
2x (m 1)x 3
y
x m
=
+
a) Tìm m để đồ thị có tiệm cận xiên của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 1)
b) Tìm m để giao của hai tiệm cận thuộc (P): y=x2+3
Bài 6: Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số
a)
2
1
y
x
=
− tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 4
b)
2
1 1
x mx
y
x
=
− tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8
c)
2
1
y
x
=
− tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 8
Bài 7: Cho hàm số 2
1
x m y
mx
+
=
− Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng, tiệm cận ngang và các tiệm cận cùng với
hai trục tọa độ tạo thành một hình chữ nhật có diện tích bằng 8
Bài 8: Cho hàm số
2
1
y
x
=
Tìm m để đồ thị hàm số có tiệm cận xiên ∆ biết ∆ tiếp xúc với đường tròn tâm I(1; 2), bán kính R= 2
Bài 9: Chứng minh rằng tích các khoảng cách từ một điểm bất kỳ trên đồ thị của các hàm số sau đến hai tiệm cận
luôn là một hằng số
a)
2
1 1
y
x
− +
=
2
3
y x
=
2
7 3
y x
+ −
=
−