ứng dụng đạo hàm khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

ứng dụng đạo hàm khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

TÀI LIỆU TỔNG HỢP

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM

Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

LUYỆN THI THPT QUỐC GIA

BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI

HUẾ, 2015

LỜI NÓI ĐẦU

Với mong muốn giúp các em học sinh thực hiện tốt quá trình tự học,

tự nghiên cứu và chuẩn bị cho kì thi Trung học phổ thông Quốc gia, đồng thời cũng để hỗ trợ bản thân trong quá trình giảng dạy môn Toán 12 và

bồi dưỡng học sinh giỏi, chúng tôi tiến hành tổng hợp tập tài liệu “Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số – Luyện thi THPT Quốc gia và bồi dưỡng học sinh giỏi”

Tập tài liệu được chia làm hai Phần chính, hai Phụ lục và Hướng dẫn

giải – đáp số, trong đó Phần 1 gồm sáu chuyên đề cơ bản:

Chuyên đề 1 Sự biến thiên của hàm số

Chuyên đề 2 Cực trị của hàm số

Chuyên đề 3 Giá trị lớn nhất của hàm số

Chuyên đề 4 Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Chuyên đề 5 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

Chuyên đề 6 Một số bài toán liên quan khảo sát hàm số

Phần 2 gồm ba chuyên đề nâng cao:

Chuyên đề 1 Sự biến thiên – Cực trị và Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ

nhất của hàm số;

Chuyên đề 2 Tiệm cận và sự tương giao của hai đồ thị hàm số Chuyên đề 3 Một số bài toán khác

Hai phụ lục với nội dung tương ứng:

Phụ lục 1 Khảo sát hàm số và các bài toán liên quan qua các kì thi

Đại học – Cao đẳng (từ 2002 đến nay)

Phụ lục 2 Sử dụng MTCT giải một số bài toán phương trình và hệ

phương trình

Và cuối cùng là Hướng dẫn giải và đáp số

Mỗi chuyên đề bao gồm nhiều vấn đề khác nhau, đều được bắt đầu

bằng cách nêu Phương pháp, tiếp theo là một số Ví dụ mẫu và cuối cùng

là Bài tập tương tự

Kiến thức trong tập tài liệu hoàn toàn không có gì mới mẻ; chúng tôi chỉ tổng hợp và sắp xếp lại theo ý đồ của mình Tập tài liệu được hoàn thành nhờ vào quá trình sưu tầm, chế bản từ nguồn tài liệu phong phú, đa dạng như sách, báo, tạp chí,… đặt biệt là từ internet, kết hợp với kinh nghiệm của chúng tôi trong quá trình giảng dạy các lớp ôn thi Đại học – Cao đẳng và bồi dưỡng học sinh giỏi Mọi sai sót người tổng hợp xin nhận trách nhiệm vì lỗi đã không nhận thấy được trong quá trình chế bản Chúng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý bạn bè đồng nghiệp đã đọc và cho ý kiến về tập tài liệu này cũng như cảm ơn sự chia sẻ tài liệu quý báu của quý thầy, cô thông qua mạng internet

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng những thiếu sót là khó tránh khỏi, chúng tôi rất mong nhận được sự góp ý của quý vị để tập tài liệu được hoàn chỉnh hơn

Với xu hướng cải cách giáo dục hiện nay, tập tài liệu này cũng chỉ sử dụng được thêm vài năm nữa!

Mùa hạ năm Ất Mùi – 2015 Người tổng hợp: Trần Quang Thạnh

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

PHẦN 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN 7

CHUYÊN ĐỀ I SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ 9

VẤN ĐỀ I SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ THAM SỐ 11

P HƯƠNG PHÁP 11

V Í DỤ MẪU 11

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 14

VẤN ĐỀ II SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CÓ THAM SỐ 15

P HƯƠNG PHÁP 15

V Í DỤ MẪU 15

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 17

VẤN ĐỀ III PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC 19

P HƯƠNG PHÁP 19

V Í DỤ MẪU 19

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 21

VẤN ĐỀ IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 23

P HƯƠNG PHÁP 23

V Í DỤ MẪU 23

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 28

CHUYÊN ĐỀ II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 29

VẤN ĐỀ I CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ THAM SỐ 31

P HƯƠNG PHÁP 31

V Í DỤ MẪU 31

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 34

VẤN ĐỀ II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ 35

P HƯƠNG PHÁP 35

V Í DỤ MẪU 37

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 41

CHUYÊN ĐỀ III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ 43

VẤN ĐỀ: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM TÌM GTLN, GTNN 43

P HƯƠNG PHÁP 43

V Í DỤ MẪU 44

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 47

CHUYÊN ĐỀ IV ĐƯỜNG TIỆM CẬN 49

P HƯƠNG PHÁP 49

V Í DỤ MẪU 50

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 52

CHUYÊN ĐỀ V KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ 53

P HƯƠNG PHÁP 53

V Í DỤ MẪU 54

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 56

CHUYÊN ĐỀ VI MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN KHẢO SÁT HÀM SỐ 57

VẤN ĐỀ I SỰ TƯƠNG GIAO CỦA CÁC ĐỒ THỊ 57

P HƯƠNG PHÁP 57

V Í DỤ MẪU 57

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 59

VẤN ĐỀ II BIỆN LUẬN NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH 61

P HƯƠNG PHÁP 61

V Í DỤ MẪU 62

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 66

VẤN ĐỀ III BÀI TOÁN TIẾP XÚC GIỮA CÁC ĐƯỜNG 67

P HƯƠNG PHÁP 67

V Í DỤ MẪU 69

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 73

VẤN ĐỀ IV MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐIỂM ĐẶC BIỆT TRÊN ĐỒ THỊ HÀM SỐ 75 P HƯƠNG PHÁP 75

V Í DỤ MẪU 77

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 81

PHẦN 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO 83

CHUYÊN ĐỀ I 85

SỰ BIẾN THIÊN - CỰC TRỊ VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT – GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM

SỐ 85

V Í DỤ 85

B ÀI TẬP 90

CHUYÊN ĐỀ II 93

TIỆM CẬN VÀ SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ HÀM SỐ 93

V Í DỤ 93

B ÀI TẬP 102

CHUYÊN ĐỀ III MỘT SỐ BÀI TOÁN KHÁC 105

V Í DỤ 105

B ÀI TẬP 106

PHỤ LỤC 1 KHẢO SÁT HÀM SỐ VÀ MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN QUA CÁC KÌ TUYỂN SINH ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG TOÀN QUỐC 109

PHỤ LỤC 2 SỬ DỤNG MÁY TÍNH CẦM TAY GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 131

I PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 4 131

V Í DỤ MẪU 131

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 135

II HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐA THỨC 135

V Í DỤ MẪU 135

B ÀI TẬP TƯƠNG TỰ 137

III ĐOÁN NGHIỆM VÀ DÙNG LƯỢNG LIÊN HỢP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH 137

V Í DỤ MẪU 137

HƯỚNG DẪN GIẢI – ĐÁP SỐ 141

PHẦN I MỘT SỐ VẤN ĐỀ CƠ BẢN 141

PHẦN 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ NÂNG CAO 153

TÀI LIỆU THAM KHẢO 163

PHẦN 1

MỘT SỐ VẤN ĐỀ

CƠ BẢN

CHUYÊN ĐỀ I SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ

1 Định nghĩa

Hàm số đồng biến (tăng) trên

( ) ( ) Hàm số f nghịch biến (giảm) trên

( ) ( )

2 Điều kiện cần

Giả sử có đạo hàm trên khoảng

a) Nếu đồng biến trên khoảng thì ( )

b) Nếu nghịch biến trên khoảng thì ( )

3 Điều kiện đủ

Giả sử có đạo hàm trên khoảng

a) Nếu ( ) ( ( ) tại một số hữu hạn điểm) thì đồng biến trên

b) Nếu ( ) ( ( ) tại một số hữu hạn điểm) thì nghịch biến trên

c) Nếu ( ) thì không đổi trên

Chú ý: Nếu khoảng được thay bởi đoạn hoặc nửa khoảng thì phải liên

tục trên đó

VẤN ĐỀ I SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ

Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) hàm số nghịch biến trên ( )

Vậy, hàm số đồng biến trên ( ) và nghịch biến trên ( )

d Txđ Ta có

( ) Bảng biến thiên:

2 4

0

Vậy, hàm số đồng biến trên các khoảng ( ) ( ) và nghịch biến trên các khoảng ( ) ( )

e Txđ  

23

x y x

d  



11

14

x y x

g y  x 3 2 2 x h y 2x  1 3 x i y x 2x2

VẤN ĐỀ II SỰ BIẾN THIÊN CỦA HÀM SỐ CÓ THAM SỐ

00

a b c

00

a b c

Ta có ( )

Bảng biến thiên của :

-1 0 + 0 - -

Qua bảng trên ta thấy rằng, ( ) trên ( ) khi và chỉ khi

Vậy, hàm số đồng biến trên ( ) khi và chỉ khi

c Hàm số đã cho đồng biến trên ( ) khi và chỉ khi với mọi ( ) hay , với mọi ( )

Qua bảng trên ta thấy rằng, ( ) trên ( ) khi và chỉ khi Vậy, hàm số đồng biến trên ( ) khi và chỉ khi

d Xét có

Nếu thì với mọi nên hàm số đã cho đồng biến trên ; trường hợp này không thỏa mãn yêu cầu bài toán Nếu thì có hai nghiệm phân biệt Lúc đó,

vì hệ số của là nên hàm số nghịch biến trên ( ) Như vậy,

để hàm số nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1, ta cần thêm

hàm đồng biến trên khoảng K(0;)

Bài tập 1.2.4 Cho hàm số y x 33x2mx m (1), (m là tham số) Tìm 

m để hàm số (1) nghịch biến trên đoạn có độ dài bằng 1

x m (1) Tìm tất cả các giá trị của tham

số để hàm số (1) nghịch biến trên khoảng (;1)

VẤN ĐỀ III PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ TRONG CHỨNG

MINH BẤT ĐẲNG THỨC

PHƯƠNG PHÁP

Trong vấn đề này, chúng tôi chỉ xét đến vài bất đẳng thức một biến đơn giản Việc vận dụng hàm số trong chứng minh các bất đẳng thức nhiều biến sẽ được trình bày trong chuyên đề nâng cao “Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số” thuộc tập sách này

Để chứng minh bất đẳng thức (một biến) bằng phương pháp hàm số

ta thực hiện các bước sau:

 Chuyển bất đẳng thức về dạng ( ) (hoặc <, ,  ) Xét hàm

số ( ) trên tập xác định do đề bài chỉ định

 Xét dấu ( ) Suy ra hàm số đồng biến hay nghịch biến

 Dựa vào định nghĩa sự đồng biến, nghịch biến để kết luận

CHÚ Ý

1 Trong trường hợp ta chưa xét được dấu của ( ) thì ta đặt ( ) ( ) và quay lại tiếp tục xét dấu ( ), … cho đến khi nào xét dấu được thì thôi

2 Nếu bất đẳng thức có hai biến (đơn giản) thì ta đưa bất đẳng

thức về dạng ( ) ( ) Xét tính đơn điệu của hàm số ( ) trong khoảng ( )

g x x liên tục trên [ ) Theo câu a), ta

có ( ) với mọi nên hàm đồng biến trên [ ) Do đó, với mọi ta có ( ) ( ) hay

Do đó hàm số đã cho đồng biến trên   



0;2 và ta có

( ) ( ) ( ) ( )

Bài tập 1.3.2 Chứng minh các bất đẳng thức sau:

VẤN ĐỀ IV PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH, BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

PHƯƠNG PHÁP

1 Dạng 1: Sử dụng tính chất của hàm số liên tục

Áp dụng định lý: nếu hàm số ( ) liên tục trên [ ] và có

( ) ( ) thì tồn tại ( ) sao cho ( ) Nghĩa là phương trình ( ) có ít nhất một nghiệm trên ( )

Phương pháp này thường sử dụng để chứng minh phương trình có ít nhất một nghiệm thỏa mãn điều kiện nào đó

2 Dạng 2: Sử dụng tính đơn điệu đối với hai hàm số có chiều biến thiên ngược nhau

Chuyển phương trình về dạng ( ) ( ) ( ), trong đó là hàm đồng biến trên và là hàm nghịch biến trên

Từ đó suy ra đồ thị hai hàm số cắt nhau tại nhiều nhất một điểm, hay phương trình ( ) đã cho có nhiều nhất một nghiệm trên

Nhẩm một nghiệm nào đó của ( ) thì đây là nghiệm duy nhất

3 Dạng 3: Sử dụng tính đơn điệu đối với một hàm số

Sử dụng định lý: nếu là một hàm tăng (hoặc giảm) trên ( ) thì

Nhận thấy rằng, nếu thì và ( ) nên lúc này phương trình vô nghiệm

Nếu thì ta xét hàm số ( )

Ta có ( ) ( ) ( ) với mọi đồng thời liên tục trên [ ) nên đồng biến trên [ ) Do đó phương trình ( ) có nhiều nhất một nghiệm trên [ )

Mặt khác ( ) ( ) nên ( ) có ít nhất một nghiệm trên [ )

Vậy phương trình có đúng một nghiệm trên [ ) nên phương trình

có đúng một nghiệm trên

CÁCH KHÁC

Phương trình đã cho tương đương với phương trình ( ) Nhận thấy không phải là nghiệm phương trình nên ta viết lại như sau, với điều kiện

Đến đây, lý luận tương tự cách trên, ta có điều cần chứng minh

Bài mẫu 1.4.2 (CĐ – 2012) Giải phương trình

( )√

GIẢI

( ) (√ ) √ ( ) Xét hàm số ( ) Ta có ( ) với mọi Suy ra hàm số ( ) đồng biến trên Do đó

( ) ( ) (√ ) √ √ Vậy, tập nghiệm phương trình là

{ √

}

Bài mẫu 1.4.3 Giải hệ phương trình

{( √ ) ( √ ) ( ) √ √ ( )

GIẢI

Điều kiện và

Ta có √ √ | | do đó √ Mặt khác (√ )(√ ) nên từ phương trình ( ) ta có √ √ ( )

Xét hàm số ( ) √ Ta có

( ) √

√ nên hàm đồng biến trên do đó ( ) ( ) ( )

Cách 1

Thay vào phương trình ( ) ta được

√ √ [√ ( )] [√ ( )]

nên ( ) hoặc

Vậy, nghiệm hệ phương trình là và

Cách 2 Thay vào phương trình ( ) ta được

√ √ Đặt ( ) √ √ [ ]

( )

√ √ ( ) ( )

√ ( ) √ ( ) ( )

Vì ( ) với mọi ( ) nên hàm số ( ) đồng biến trên ( ) Do đó phương trình ( ) có nhiều nhất một nghiệm trên ( ) (5)

( )

Từ bảng biến thiên ta thấy rằng phương trình ( ) có nhiều nhất hai nghiệm trên ( ) Mà và là hai nghiệm của ( ) nên đây là hai nghiệm cần tìm

Vậy, nghiệm hệ phương trình là và

Bài mẫu 1.4.4 Giải hệ phương trình

{

( ) √ ( ) √ ( )

√ ( ) Đặt ( ) √

2

x là nghiệm của ( ) nên đây là nghiệm duy nhất của ( ) Vậy, hệ đã cho có nghiệm x1;y1

CHUYÊN ĐỀ II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

I Khái niệm cực trị của hàm số

Giả sử hàm số xác định trên tập ( ) và

a) – điểm cực đại của nếu tồn tại khoảng ( ) và

( ) sao cho ( ) ( ), với mọi ( )

Khi đó ( ) được gọi là giá trị cực đại (cực đại) của

b) – điểm cực tiểu của nếu tồn tại khoảng ( ) và

( ) sao cho ( ) ( ), với mọi ( )

Khi đó ( ) được gọi là giá trị cực tiểu (cực tiểu) của

Cực đại và cực tiểu của hàm số được gọi chung là cực trị của hàm

số

c) Nếu là điểm cực trị của thì điểm ( ( )) được gọi là

điểm cực trị của đồ thị hàm

II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số có đạo hàm tại và đạt cực trị tại điểm đó thì ( )

III Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1 Giả sử hàm số liên tục trên khoảng ( ) chứa điểm

2 Định lí 2 Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng ( ) chứa điểm

( ) và có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm

a) Nếu ( ) thì đạt cực đại tại

b) Nếu ( ) thì đạt cực tiểu tại

VẤN ĐỀ I CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ KHÔNG CÓ THAM SỐ

5 CD 3125

x y và hàm số đạt cực tiểu tại

c TXĐ: Ta có và

[

[

Ta có ( ) và ( ) nên hàm số đạt

( ) nên hàm số đạt cực tiểu tại  

Bảng biến thiên:

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

Bài tập 2.1.1 Tìm cực trị của các hàm số sau

a y x 32x22x1 b ycosxsin x

c y x 44x25 d y x  2x x 2

VẤN ĐỀ II CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ CHỨA THAM SỐ

PHƯƠNG PHÁP

Dạng 1 Tìm tham số m để hàm số đạt cực trị tại

Nếu hàm số ( ) đạt cực trị tại điểm thì ( ) hoặc tại không có đạo hàm Từ đây giải ra các giá trị của tham số

Khi có các giá trị , ta sử dụng một trong hai cách sau đây để thử :

+ Cách 1 Tính , rồi thay vào và sử dụng dấu hiệu II, để

xác định tại giá trị nào thì hàm đạt cực đại hoặc cực tiểu Cách này thường dùng với hàm đa thức, dễ dàng lấy

+ Cách 2 Với các giá trị , ta suy ra và dùng bảng biến thiên

Cách này thường dùng khi cách 1 tỏ ra phức tạp trong việc lấy

Dạng 3 Tìm tham số m để hàm số có cực trị thỏa mãn điều kiện nào

Dạng 4 Đường thẳng đi qua hai cực trị của đồ thị hàm số

1 Hàm số bậc ba ( )

 Chia ( ) cho ( ), ta được ( ) ( ) ( )

 Khi đó, giả sử ( ) ( ) là các điểm cực trị thì:

P x y

Q x d

CHÚ Ý

 Hàm số bậc ba ( ) có cực trị 

Phương trình có hai nghiệm phân biệt

Khi đó nếu là điểm cực trị thì ta có thể tính giá trị cực trị ( ) bằng hai cách:

+ ( ) + , trong đó là phần dư trong phép chia cho

Ta tính phần dư bằng cách lấy chia cho và được

( )

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai

 Khi giải các bài tập loại này thường ta còn sử dụng các kiến thức khác nữa, nhất là định lí Viette:

x x

b x

a c x a

Vậy, với hoặc  2

3

m thì hàm số đạt cực đại tại

c Trước hết, hàm số có hai cực trị khi thỏa ( )

Lúc đó, gọi là hai cực trị của hàm số thì là hai nghiệm của phương trình và ta có

Do đó, hàm số đã cho luôn có hai cực trị, với mọi giá trị của

Hai điểm cực trị của hàm số là và

Từ đó ( ) và ( ) Khoảng cách giữa hai cực trị của hàm số là

| | Vậy, với mọi hàm số đã cho luôn có cực đại, cực tiểu và khoảng cách giữa chúng là hằng số

Ví dụ mẫu 3 Cho hàm số ( ) Tìm