tài liệu ôn thi toán cao cấp - phụ thuộc tuyến tính và độc lập tuyến tính

1 2 n



sao cho: 1 1x  2 2x   nxn 0

x , x , , x ĐLTT  x , x , , x1 2  n không PTTT

  1, 2, , n   0,0, ,0 

không có bộ số



sao cho: 1 1x  2 2x   nxn 0

x , x , , x ĐLTT  Nếu 1 1x  2 2x   nxn 0

thì   1 2   n 0

     

x  1,2, 1,0 ; y  2,1,2,3 ; z   1,4, 7, 6  PTTT

Ta cần tìm 1 bộ số    , ,   0,0,0 sao cho x y  z O R4

1,2, 1,0  2,1,2,3  1,4, 7, 6 0,0,0,0

        

  2    , 2  4 ,  2 7 ,3  6  0,0,0,0

3 6 0

 







   





   



   , ,    3,2,1 là 1 bộ số thỏa (*)

(*)

Vậy 3 vectơ x, y, z PTTT

f 1; g 2 3x; h 1 3x x      ĐLTT

Giả sử có bộ số    , ,  sao cho  

3

P x

    

  2     33 x  x2 0 x

0

 

 









  





Vậy 3 vectơ đa thức f, g, h ĐLTT

1 2 1 0 0 1

PTTT hay ĐLTT

Giả sử có bộ số    , ,  sao cho A B C O 2 2

 



      

0

4

 

  

 



  





  



  



(*)

Vậy 3 vectơ ma trận

A, B, C PTTT

Xét hệ M gồm một số hữu hạn các vectơ trong KGVT V

có ít nhất 1 vectơ biểu diễn được

qua các vectơ còn lại

M PTTT 

Ví dụ: trong ví dụ 3, các vectơ ma trận

PTTT vì A B 2C 

Xét hệ M gồm một số hữu hạn các vectơ trong KGVT V

U  M

nên các hệ con       f ; g ; h ; f ,g ; g,h ; h,f cũng     ĐLTT

Ví dụ: trong ví dụ 2, ta đã chứng minh 3 vectơ

2

f 1; g 2 3x; h 1 3x x      ĐLTT