HỘI ĐỒNG KHOA HỌCĐƠN VỊ:TRƯỜNG THPT VÕ VĂN KIỆT HỆ PHƯƠNG TRÌNH Họ và tên người thực hiện: Lưu Quí Hiền Môn, lĩnh vực: Toán Phước Long ngày 22 tháng 02 năm 2015... I.Đăt vấn đề:Hệ phương
Trang 1HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
ĐƠN VỊ:TRƯỜNG THPT VÕ VĂN KIỆT
HỆ PHƯƠNG TRÌNH
Họ và tên người thực hiện: Lưu Quí Hiền
Môn, lĩnh vực: Toán Phước Long ngày 22 tháng 02 năm 2015
Trang 2I.Đăt vấn đề:
Hệ phương trình là một nội dung quan trọng trong chương trình toán phổ thông Hệ phương trình
có nhiều dạng và cách giải khác nhau Đơn giản nhất là hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn, hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn.Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn học sinh được học ở cấp hai, đến lớp 10 được ôn tập lại và học hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn.Hệ đối xứng loại I, hệ đối xứng loại II, hệ đẳng cấp và nhiều hệ phương trình không mẫu mực khác thì học sinh không được tìm hiểu chính thức trong chương trình học ở nhà trường.có chăng thì biết được thông qua tài liệu tham khảo, tự học
Với mong muốn giới thiệu đến các em học sinh các dạng hệ phương trình, cách giải của chúng và một số hệ phương trình không mẫu mực, tôi biên soạn chuyên đề này.Mặc dù đã cố gắng nhưng không tránh khỏi thiếu sót, rất mong quý đồng nghiệp, các em học sinh chân thành góp ý để tôi hoàn thiện chuyên đề này trong năm học sau Tôi xin chân thành cảm ơn!
Trang 3II.Nội dung
1.Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn
a)Dạng: ax by c' ' '
a x b y c
b)Cách giải:
Dùng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế.
c)Bài tập Bài 1: Giải hệ phương trình:
x y
+ =
− =
Giải:
C1: Phương pháp cộng
Ta có 2 3
x y
+ =
− =
C2:Phương pháp thế:
9 2
x y
= +
+ =
Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:
x y
− =
+ = −
7
x y
+ =
x y
+ =
+ =
4)
5
4
2.Hệ ba phương trình bậc nhất ba ẩn
a)Dạng:
a x b y c z d
a x b y c z d
a x b y c z d
b)Cách giải:
Dùng phương pháp cộng hoặc phương pháp thế biến đổi về dạng tam giác c) Bài tập:
Trang 4Bài 1: Giải hệ phương trình:
6
x y z
x y z
+ + =
+ − =
+ + =
Giải:
Ta có
6
x y z
x y z
+ + =
+ − =
+ + =
6
x y
x y z
+ + =
Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau:
1)
3 2 2 14 2,1,3
x y z
+ − =
+ + =
− + =
2)
2 3 2 20 3, 2, 4
+ + =
− − = −
3)
2 3 1 2, 2, 1
− − =
3 Hệ đối xứng loại I:
a)Dạng: ( )
( )
f x y
g x y
với f y x( , ) = f x y( , ) và g y x( , ) =g x y( , )
b)Cách giải
Biến đổi hệ phương trình xuất hiện x y+ và xy rồi đặt ẩn phụ p xy
s x y
=
= +
điều kiện 2
s − p≥ hoặc thế trực tiếp để giải
c)Bài tập:
Bài 1: Giải hệ phương trình:
3 3
30 35
x y xy
Giải:
Ta có
3 3
30
35
x y xy
30
xy x y
⇔
Trang 5
( ) ( )3
2
125
2
x
x y
y
Bài 2: Giải hệ phương trình:
3
+ + =
Giải
Ta có 22 22 3
3
+ + =
3 3 0
0
2
1
x y
x y
x y
x y
y
=
= −
Bài 3: Giải hệ phương trình:
2 2
1 1
4
4
x y
+ + + =
Giải
Đk x≠0;y≠0
Ta có
2
2 2
1 1
4
x y
1
4
y y
y
+ =
⇔ + ÷ + ÷= ⇔ + = ⇔ =
Bài 4: Giải hệ phương trình:
3 3
2 7
x y xy
Trang 6Ta có
3 3
2 7
x y xy
2
xy x y
⇔
( )
( )3
1
1
1
x
x y
y
= −
4 Hệ đối xứng loại II:
a)Dạng: ( )
( )
f x y
g x y
=
với f y x( , ) =g x y( , ) và g y x( , ) = f x y( , )
b)Cách giải
Lấy hai phương trình của hệ trừ nhau biến đổi được phương trình dạng(x y f x y− ) (1 , ) =0, kết hợp với một trong hai phương trình của hệ lập hệ phương trình mới giải tìm nghiệm
c)Bài tập:
Bài 1: Giải hệ phương trình:
2
2
3 2 0
3 2 0
− + =
Giải
Ta có
2
2
3 2 0
3 2 0
− + =
2 2
2
0
3( ) 0
3 0
3 2 0
x y
x y x y
x y
( )
2
2 2
1 1; 2
3
2
3 11 0 3( 3) 2 0
y
= − −
= − −
Bài 2: Giải hệ phương trình:
3
3
2 2
Giải
Ta có
3
3
2
2
3 3 3
3( ) 0 2
3
2
3 3
3 0( )
0 0
0 0
2
x y
y
=
=
+ =
Bài 3: Giải hệ phương trình:
Trang 72
2
2
2 3 2 3
x
x y
y
y x
+ =
+
Giải
Đk: x≠0;y≠0
Ta có
2
2
2
2
2
3 2
3
x
x y
y
y x
+ =
+
2 2
3
2 3
+ =
3 2
2
0 0
2 3
2 3
2
2 3
x y
x y
=
2
1 0
1
3 2 2 0 ( )
2 0 ( )
y
y
=
=
5.Hệ đẳng cấp bậc hai :
( )
1 2
a x b xy c y d
b)Cách giải
Từ (1) và (2) suy ra ( 2 2) ( 2 2)
d a x +b xy c y+ =d a x +b xy c y+ biến đổi rút gọn về dạng
ax +bxy cy+ = (3)
Kiểm tra y=0 có thỏa mãn hệ (I) hay không (hoặc x=0)
Xét y≠0, chia hai vế (3) cho y và đặt 2 t x
y
= ta được phương trình at2+ + =bt c 0 giải tìm t, biểu diễn
x theo y (hoặc ngược lại) và kết hợp với một trong hai phương trình của hệ lập hệ phương trinh mới giải
tìm nghiệm
(Tương tự có thể xét x≠0, chia hai vế (3) cho x và đặt 2 t y
x
Nhận xét:
Ta có thể xem các phương trình của hệ là phương trình bậc hai ẩn x (y là tham số)
c)Bài tập
Bài 1: Gải hệ phương trình:
( ) ( )
Giải
Từ (1) và (2) suy ra 4(x2+xy y− 2) (=5 4x2−5xy−2y2) ⇔16x2−29xy−6y2 =0 (3)
2
16 x 29x 6 0
( vì y=0 không thỏa hệ (I))
Trang 82 2
3 3
16 16
x
y
y
= −
*Với x=2y kết hợp vơi (1) ta có hệ pt: 2 2 2 2 2
⇔
2 1 2
1
x y
y
=
*Với 3
16
x= − y kết hợp vơi (1) ta có hệ pt:
3 16
5
= −
+ − =
( vô nghiệm)
Vậy hệ (I) có hai nghiệm ( ) (2;1 ; 2; 1− − )
Áp dụng: Giải các hệ phương trình sau
1)
2)
3)
4)
+ − =
− + =
III Một số cách giải hệ phương trình không mẫu mực:
1)Phương pháp đặt ẩn phụ:
Bài 1: Giải các hệ phương trình sau:
2
+ + − =
Đặt
6
2
( 0; 0) 2
2
x y v
⇒ + = −
Trang 9Hệ (1) trở thành
( )
3 2 2
0
2 0
=
*Với 0
2
u
v
=
=
ta có:
2 2
x y
*Với 1
2
u
v
=
=
ta có:
6
3
2 2
2
x
y
=
thỏa( *)
Vậy hệ (1) có 2 nghiệm ( )1;1 ; 3 1;
2 2
( ) ( ) ( )2 ( )2 ( )2
4 4
u v
u v
+ =
Bài 2: Giải hệ phương trình:
3
Giải
Đk:
1
1
0
x
y
xy
≥ −
≥ −
≥
2 2
1 0; 0
Khi đó (2) trở thành
11 2 0
2 15 11 2
2 15 11 2
uv
+ =
( )2
11 0
0
( ) 3 4
4
uv uv
uv
u v
u v
≤ ≤
+ =
3
1 2
y y
Vậy hệ (2) có một nghiệm 3
3
x y
=
=
*Nhận xét:
Trang 101
1
0
x
y
xy
≥ −
≥ −
≥
(3)
( 0)
u x y
xy v
= +
Hệ (3) trở thành
2 2
3
u v
v
= +
( ) ( )
2
6
3
35 3
u
v
=
= −
3
xy
Vậy hệ (2) có một nghiệm 3
3
x y
=
=
Bài 3: Giải hệ phương trình:
4 2
5 4 5
1 2
4
+ + + + = −
(1)
Giải
Ta có
4 2
5 4 5
1 2
4
+ + + + = −
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
2
2
2
5
4
5 5
4 4
2 2
2 2
2
2
2 2
2 2
0
2
1 0
4
1 0 5
1 0 5
5 4
4
+ − − =
Trang 11*Ta có (2)
3
2
3
5 5
0
4 4
5
25 4
16
x
y
=
= −
*Ta có (3)
( )
2
2
3
2
0
xy
3
2
xy xy
x
= −
= −
= −
Vậy hệ (1) có hai nghiệm 3 5 3 25
;
4 16
−
;
3 1;
2
*Nhận xét:
Sau khi biến đổi hệ (1) về hệ ( ) ( )
( )
2
2 2
5 1
4 5 4
ta có thể đặt ẩn phụ
2
v xy
= +
=
Khi đó ta được hệ phương trình
( )
2
5 1
4 5 4
+ = −
giải tìm u, v từ đó suy ra nghiệm x, y
Bài 4: Giải hệ phương trình:
( )2 2
Giải
Ta có y= 0 không thỏa hệ (1), do đó
(1)
2 2
2
(2)
Đặt
1
y
x
v
y
= +
=
đk: u2−4v≥0
Khi đó (2) trở thành
5 ( ) 5
12
4
7
3
u
l u
v
u
v
= −
Trang 12Vói 4
3
u
v
=
=
ta có
1
4
3
x y x y
+ =
=
2
1 3
1
3
3 3
1
x
x y
y
Vậy hệ phương trình (1) có 2 nghiệm ( )3;1 ; 1;1
3
Bài 5: Giải hệ phương trình:
2 2
Giải
Ta thấy y= 0 không thỏa hệ (1), đo đó :(1)
2
2
1
1
2 2
x
x y
y x
x y y
⇔
+
(2)
Đặt 2
2 1
u x y
x
v
y
= + −
+
=
, (2) trở thành
2 2
2
2
1 1
2 1
2
2 0
2 1
1
5
x x
x y
y
x x
x
y x
y
=
Vậy hệ phương trình (1) có 2 nghiệm ( ) (1;2 ; 2;5− )
Bài 6: Giải hệ phương trình:
2 7
1
+
HD:
(1) (x 1)2 2 (y 1)2 2 2 7
(2) 6 x y (x y) (x 1) (y 1) 6
+
Trang 13Ta có 2 6 2
a b
+ = −
Bài 7: Giải hệ phương trình:
( ) ( ) ( )
1 2
( 7) 1 0
− + + =
HD
Ta thấy y=0 không thỏa (I)
Lần lượt chia (1) cho y và chia (2) cho y ta được hệ :2
2 2
21
1
7 1
( )
x
x
x x
÷
+
Đặt
1
u x
y x v y
= +
=
ta được hpt 2 27
21
u v
+ =
Bài 8: Giải hệ phương trình:
( ) ( ) ( )
1 2
1 4
+ + + =
HD:
I
Ta thấy y=0 không thỏa (II)
Chia 2 vế của các phương trình trong hệ (II) ta được hệ phương trình :
2 2
2
2
15 0
2 15
5
1 4 1
( ) 2 ( ) 2
x y
y y
x y
x y x
x y
x x
x y
+ = − +
+ + = −
2
2
3 7 5
1
1
1
x y
y
x y
y
x
x
⇔
+ =
+
+
Giải các hệ phương trình mới tìm nghiệm và kết luận
Bài 9: Giải hệ phương trình:
1
2
x y
HD:
Trang 142 2 2 2
1
2
x y
1
2
x y
x y
Đặt 2
2
= −
ta được hpt
3
u v
+ =
Tương tự giải các hệ phương trình:
1)
+ + + =
( ) ( )
2 2
2 2
13 25
4)
2
2 2
3 0 5
1 0
x y
x
+ + − =
5)
8
2 9 2 9 10
x y
+ =
2)Sử dụng phương pháp hàm số
* Cơ sở phương pháp Nếu ( )f x đơn điệu trên khoảng ( ; ) a b và , x y∈( ; )a b thì :
( ) ( )
f x = f y ⇔ =x y
Bài 1 :Giải hệ phương trình sau:
2 2
Giải
Từ (2) ta có x2+y2 = ⇒1 x y, ∈ −[ 1;1]
Hàm số f t( )= −t3 3t có f t'( ) 3= t2− ≤ ∀ ∈ −3 0, t [ 1;1 ; ( ) 0] f t' = ⇔ = ±t 1
3
⇒ = − nghịch biến trên đoạn [−1;1]
Với x y, ∈ −[ 1;1], ta có (1) ⇔ f x( )= f y( )⇔ =x y thế vào pt (2) ta được 2
2
Vậy hệ pt có hai nghiệm là 2; 2 ; 2; 2
Trang 15Bài 2 : Giải hệ phương trình sau:
Giải
Đk :x≥0
PT (1)⇔x3+3x=y3+3y
Xét hàm f t( )= +t3 3t Ta có f t'( ) 3= t2+ > ∀ ∈3 0 t R⇒ f t( )= +t3 3t đồng biến trên R
Từ (1) suy ra ( )f x = f y( )⇔ =x y
Thay vào (2) ta được x3+x+ x+ x2+ + − =x 2 5 0(3)
Ta có x=0 không thỏa (3) ; x=1 thỏa (3)
Xét hàm số f x( ) = +x3 x+ x+ x2+ + −x 2 5trên (0;+∞)
2
x
+
+ + ( )
f x
⇒ đồng biến trên khoảng (0;+∞)
⇒ (3) có nghiệm duy nhất x= ⇒ =1 y 1.
Vậy hpt (I) có một nghiệm 1
1
x y
=
=
Bài 3 Giải hệ phương trình sau:
HD:
Từ điều kiện và từ phương trình (2) có x≥1; y− ≥1 1
(1)⇔x −3x=( y−1) −3 y−1, xét hàm số f t( )= −t3 3ttrên [1;+∞)
Hàm số đồng biến trên [1;+∞), ta có ( )f x = f( y− ⇒ =1) x y−1
Với x= y−1thay vào (2) giải được x=1; x=2 1, 2
Bài 4 Giải hệ phương trình sau:
( ) ( )
2 2
1
2 2
HD
Ta có (2) ( 1)2 ( 1)2 1
Trang 16
Ta có (1)⇔ −(x 1)3−12(x− =1) (y+1)3−12(y+1) nên xét f t( )= −t3 12t trên [ 3 1; ]
2 2
−
Chỉ ra f(t) nghịch biến Có (f x− =1) f y( + ⇒ − = +1) x 1 y 1
- Nghiệm ( ; ) ( ;1 3); ( ;3 1)
2 2 2 2
Bài 5 Giải hệ phương trình sau:
HD
- Điều kiện 1− ≤ ≤x 1, 0≤ ≤y 2
(1)⇔x3−3x=(y−1)3−3(y−1)
- Hàm số f t( )= −t3 3t nghịch biến trên đoạn [ 1;1]−
[ ] , 1 1;1
x y− ∈ − nên ( )f x = f y( − ⇔ = − ⇔ = +1) x y 1 y x 1
Thế vào pt (2) ta được 2 2
x − −x = −m
Hệ có nghiệm ⇔Pt (3) có nghiệm x∈ −[ 1;1]
2
1 ( ) 2 1 , 1;1 , '( ) 2 1
1
x
−
'( ) 0 0
g x = ⇔ =x (0)g = −2, ( 1) 1g ± =
Pt (3) có nghiệm x∈ −[ 1;1] ⇔ − ≤ − ≤ ⇔ − ≤ ≤2 m 1 1 m 2
Bài 6 Giải hệ phương trình sau:
( )
2
(1) 2
HD:
Thay y=0 vào hệ (I) ta thấy không thỏa mãn.
⇒ y≠0, chia 2 vế của (1) cho y5 ta được ( )x 5 x y5 y (3)
Xét hàm số f t( )= +t5 t t,( ∈R)
4 '( ) 5 1 0
Từ (3) suy ra f( )x f y( ) x y x y2
Thay vào (2) ta có PT 4x+ +5 x+ = ⇒ =8 6 x 1 Vậy hệ có nghiệm ( ; ) (1;1)x y =
Bài 7 Giải hệ phương trình sau:
2 2
2
x y
y x xy
HD
Thay 2 2
2 x= +y vào phương trình thứ nhất ta được
Trang 172 2 3 3 3 3
2x−2y =(y x xy x− )( + +y )⇔2x−2y = y − ⇔x 2x+ =x 2y+y (1)
Xét hàm số f t( ) 2= +t t t3, ∈¡
Ta có f t'( ) 2 ln 2 3= t + t2 > ∀ ∈0, t ¡ suy ra ( )f t đồng biến trên ¡
(1) ⇔ f x( )= f y( )⇔ =x y thế vào pt thứ hai ta đượcx2 =1
Giải tìm x , suy ra y và kết luận nghiệm của hệ phương trình.
Tương tự giải hệ phương trình:
1)
3 3
− = −
3 3
2 4
3 3 1
− = −
3)
5 3
1 0
y x
− = −
( 4 )(2 4) 36
6)
2
2 2
(4 1) ( 3) 5 2 0
Trên đây là sơ lược hệ thống các dạng hệ phương trình và cách giải.Hai cách giải hệ phương trình không mẫu mực phổ biến là phương pháp đặt ẩn phụ và phương pháp hàm số.Ngoài ra còn có phương pháp đánh giá chưa được giới thiệu ở đây.Mặc dù đã cố gắng nhưng bài viết chắc còn nhiều hạn chế, rất mong quý đồng nghiệp góp ý bổ sung để tôi có thể hoàn thiện chuyên đề này trong năm học sau Tôi xin chân thành cảm ơn!
Phước Long ngày 25 tháng 02 năm 2015
Lưu Quí Hiền
Trang 18Mẫu 02
HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
Đơn vị: TRƯỜNG THPT VÕ VĂN KIỆT
PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
(Trang cuối của SKKN)
1 Kết quả chấm điểm: /100 điểm
a) Về nội dung:
- Tính mới: /30 điểm
- Tính hiệu quả: /35 điểm
- Tính ứng dụng thực tiễn: /20 điểm
- Tính khoa học: /10 điểm
b) Về hình thức: /05 điểm
2 Xếp loại:
Phước Long, ngày tháng năm 2015
HIỆU TRƯỞNG
Trang 19HỘI ĐỒNG KHOA HỌC
Đơn vị: THPT VÕ VĂN KIỆT
PHẦN NHẬN XÉT ĐÁNH GIÁ, XẾP LOẠI
SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
(Trang cuối của SKKN)
1 Kết quả chấm điểm: /100 điểm
a) Về nội dung:
- Tính mới: /30 điểm
- Tính hiệu quả: /35 điểm
- Tính ứng dụng thực tiễn: /20 điểm
- Tính khoa học: /10 điểm
b) Về hình thức: /05 điểm
2 Xếp loại:
Bạc Liêu, ngày tháng năm 20
CHỦ TỊCH HĐKH