Hệ phương trình toán tử loại đơn điệu

Mở đầuCho E là một không gian Banach thực phản xạ, E∗ là không gianliên hợp của E, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k, A : E → E∗ làtoán tử đơn điệu đơn trị.. Nội dung chủ yếucủa ph

Tr-ờng đại học khoa học

Tr-ờng đại học khoa học

Mục lục

Mục lục 1

Mở đầu 5

1 Hệ phương trình với toán tử ngược đơn điệu mạnh 6 1.1 Toán tử đơn điệu 6

1.1.1 Không gian Banach 6

1.1.2 Toán tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc 9

1.1.3 Ánh xạ đơn điệu cực đại 11

1.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn điệu mạnh 13 1.2.1 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 13

1.2.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh 19

2 Hệ phương trình với toán tử accretive 22 2.1 Toán tử accretive 22

2.1.1 Toán tử accretive 22

2.1.2 Một số bổ đề bổ trợ 24

2.2 Hệ phương trình toán tử accretive 26

2.2.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 26

2.2.2 Thuật toán điểm gần kề quán tính 29

2.2.3 Tính ổn định của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 33 Kết luận 39

Mở đầu

Cho E là một không gian Banach thực phản xạ, E∗ là không gianliên hợp của E, cả hai có chuẩn đều được kí hiệu là k.k, A : E → E∗ làtoán tử đơn điệu đơn trị Với f ∈ E∗, tìm x0 ∈ E sao cho

Một trong những hướng nghiên cứu quan trọng của bài toán (0.1) là việcxây dựng các phương pháp giải Bài toán (0.1), khi toán tử A không cótính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh, nói chung là bài toán đặtkhông chỉnh (ill-posed) theo nghĩa nghiệm của nó không phụ thuộc liêntục vào dữ liệu ban đầu

Năm 1963 A.N Tikhonov [7] đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng

và kể từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh được phát triển hếtsức sôi động và có mặt ở hầu hết các bài toán thực tế Nội dung chủ yếucủa phương pháp này là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trìnhtoán tử (0.1) trong không gian Hilbert thực H dựa trên việc tìm phần

tử cực tiểu xh,δα của phiếm hàm Tikhonov

Fαh,δ(x) = kAh(x) − fδk2 + αkx∗ − xk2 (0.2)trong đó α > 0 là tham số hiệu chỉnh phụ thuộc vào h và δ, x∗ là phần

tử cho trước đóng vai trò là tiêu chuẩn chọn và (Ah, fδ) là xấp xỉ của(A, f ) Hai vấn đề cần được giải quyết ở đây là tìm phần tử cực tiểu của

phiếm hàm Tikhonov và chọn tham số hiệu chỉnh α = α (h, δ) thích hợp

để phần tử cực tiểu xh,δα(h,δ) dần tới nghiệm chính xác của bài toán (0.1)khi h và δ dần tới không

Việc tìm phần tử cực tiểu của phiếm hàm Tikhonov sẽ gặp nhiều khókhăn trong trường hợp bài toán phi tuyến Đối với bài toán phi tuyếnvới toán tử đơn điệu A : E → E∗, F Browder [5] đưa ra một dạng kháccủa phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov Tư tưởng chủ yếu của phươngpháp do F Browder đề xuất là sử dụng một toán tử M : E → E∗ có tínhchất hemi-liên tục, đơn điệu mạnh làm thành phần hiệu chỉnh Js, ánh

xạ đối ngẫu tổng quát của E, là một toán tử có tính chất như vậy Bằngphương pháp này Ya.I Alber [2] nghiên cứu phương trình hiệu chỉnh

Ah(x) + αJs(x − x∗) = fδ (0.3)cho bài toán (0.1)

Một mở rộng của bài toán (0.1) là bài toán tìm nghiệm chung cho hệphương trình toán tử

Aj(x) = fj ∀j = 1, , N, (0.4)

ở đây Aj : E → E∗, là các toán tử loại đơn điệu, đơn trị và fj ∈ E∗.Dựa trên việc sử dụng phương trình (0.3) để hiệu chỉnh cho mỗiphương trình trong (0.4), năm 2006 Nguyễn Bường [4] đã kết hợp cácphương trình dạng này để hiệu chỉnh cho hệ phương trình toán tử (0.4)trên cơ sở xây dựng một phương trình phụ thuộc tham số

trong trường hợp fj = θ, ở đây Ahj là xấp xỉ của Aj.

Mục đích của luận văn nhằm trình bày lại các kết quả về phương pháphiệu chỉnh Tikhonov và thuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh

hệ phương trình toán tử (0.4) với toán tử đơn điệu và toán tử accretivetrên cơ sở các nghiên cứu của Nguyễn Bường, Nguyễn Thị Thu Thủy vàTrương Minh Tuyên trong các tài liệu [4], [6], [8] và [9]

Nội dung của luận văn được trình bày trong hai chương Chương 1trình bày sự hội tụ của phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov hiệu chỉnh hệphương trình với toán tử đơn điệu đồng thời trình bày định lý về tốc

độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh với tham số hiệu chỉnh được chọn tiênnghiệm

Trong chương 2 sẽ trình bày phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov vàthuật toán điểm gần kề quán tính hiệu chỉnh hệ phương trình với toán

tử accretive, đồng thời trình bày sự ổn định của phương pháp hiệu chỉnhTikhonov trong trường hợp này

Tôi xin bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thị Thu Thủy,trưởng khoa Toán - Tin, trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên, người đã hướng dẫn, chỉ dạy tận tình để tôi hoàn thành luậnvăn này

Tôi xin chân thành cảm ơn các thầy, cô công tác tại trường Đại họcKhoa học - Đại học Thái Nguyên, trường Đại học Khoa học tự nhiên -Đại học Quốc gia Hà Nội, Viện Toán học, Viện Công nghệ Thông tinthuộc Viện Khoa học và Công nghệ Việt Nam đã truyền thụ kiến thứccho tôi trong suốt quá trình học tập vừa qua

Tôi cũng xin cảm ơn cơ quan, bạn bè, gia đình đã chia sẻ, giúp đỡ,

động viên, tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi hoàn thành luận văn này.

Thái Nguyên, ngày 15 tháng 10 năm 2012

Tác giả

Nguyễn Thị Vân

Các khái niệm và kết quả trong mục này được tham khảo trong cáctài liệu [1], [3] và [10].

1.1.1 Không gian Banach

Cho E là một không gian Banach và E∗ là không gian đối ngẫu của

E, tức là không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E Sự hội

tụ mạnh và hội tụ yếu của dãy {xn} ∈ E về phần tử x trong E lần lượtđược kí hiệu là xn → x và xn * x tương ứng

Không gian Banach E được gọi là không gian phản xạ, nếu với mọi

phần tử x∗∗ của không gian liên hợp thứ hai E∗∗ của E, đều tồn tại phần

tử x ∈ E sao cho x∗(x) = x∗∗(x∗) với mọi x∗ ∈ E∗ Sau đây là một tínhchất của không gian phản xạ:

Mệnh đề 1.1.1 Cho E là một không gian Banach Khi đó, các khẳngđịnh sau là tương đương:

Định nghĩa 1.1.2 Không gian Banach E được gọi là lồi đều nếu vớimọi ε > 0, tồn tại δ(ε) > 0 sao cho với mọi x, y ∈ E mà kxk ≤ 1,kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε ta luôn có

x + y

2 ≤ 1 − δ (ε)

Dễ thấy rằng nếu E là một không gian Banach lồi đều thì nó là khônggian Banach lồi chặt Tuy nhiên điều ngược lại không đúng, ta xét ví dụsau

Ví dụ 1.1.1 Xét E = c0 (không gian các dãy số hội tụ về không) vớichuẩn k.kβ xác định bởi

Để đo tính lồi của không gian Banach E người ta đưa vào khái niệm

mô đun lồi

δE() = inf1 − 2−1kx + yk : kxk = 1, kyk = 1, kx − yk = 

Mô đun lồi của không gian Banach E là một hàm số xác định, liên tục

và tăng trên đoạn [0, 2] Không gian Banach E lồi chặt khi và chỉ khi

δE(2) = 1 Không gian Banach E lồi đều khi và chỉ khi δE(ε) > 0 vớimọi ε > 0

Mệnh đề 1.1.2 Mọi không gian Banach lồi đều đều là không gian phảnxạ

Mô đun trơn của không gian Banach E là một hàm số xác định bởi

ρE(τ ) = sup2−1(kx + yk + kx − yk) − 1 : kxk = 1, kyk = τ

Mô đun trơn của không gian Banach E là một hàm số xác định, liên tục

và tăng trên khoảng [0, +∞)

Định nghĩa 1.1.3 Không gian Banach E được gọi là trơn đều nếu

i) Nếu E là không gian trơn đều thì E∗ là không gian lồi đều;

ii) Nếu E là không gian lồi đều thì E∗ là không gian trơn đều

1.1.2 Toán tử đơn điệu, ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc

Định nghĩa 1.1.4 Cho E là một không gian Banach, toán tử A :D(A) ⊂ E → 2E∗ được gọi là đơn điệu nếu với mọi x, y ∈ D(A) ta luôncó

hx − y, u − vi ≥ 0 ∀u ∈ A(x), v ∈ A(y)

Trong trường hợp A : E → E∗ là toán tử đơn trị, ta có các định nghĩasau:

Định nghĩa 1.1.5 Toán tử A được gọi là

i) đơn điệu nếu hAx − Ay, x − yi ≥ 0 ∀x, y ∈ D(A);

ii) đơn điệu ngặt nếu x 6= y thì hAx − Ay, x − yi > 0 ∀x, y ∈ D(A);iii) đơn điệu đều nếu tồn tại hàm không âm δ (t) không giảm với

t ≥ 0, δ(0) = 0 và hAx − Ay, x − yi ≥ δ kx − yk) ∀x, y ∈ D(A);

iv) đơn điệu mạnh nếu ∃τ > 0, (τ = const) thỏa mãn hAx − Ay, x −

yi ≥ τ kx − yk2 ∀x, y ∈ D(A);

v) ngược đơn điệu mạnh nếu tồn tại một hằng số mA > 0 thỏa mãn

hAx − Ay, x − yi ≥ mA k Ax − Ay k2 ∀x, y ∈ D(A)

vi) hemi-liên tục trên E nếu A(x + ty) * Ax, khi t → 0, ∀x, y ∈ E.vii) bức nếu

lim

kxk→+∞

hAx, xikxk = ∞ ∀x ∈ E.

Định nghĩa 1.1.6 Cho A là một toán tử từ không gian Banach E vàokhông gian Banach F Toán tử A được gọi là khả vi Fréchet tại điểm

x ∈ E nếu tồn tại một toán tử tuyến tính liên tục T : E → F sao cho

A(x + h) = A(x) + T h + o(khk)

với mọi h thuộc lân cận của điểm θ trong E Nếu tồn tại thì T được gọi

là đạo hàm Fréchet của A tại x và viết là A0(x) = T

Định nghĩa 1.1.7 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn,ánh xạ đa trị j : E → 2E∗ xác định bởi

j (x) = nf ∈ E∗ : hx, f i = kxk2, kxk = kf kođược gọi là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E

Nếu E là một không gian Hilbert thì j ≡ I, ở đây I là ánh xạ đồngnhất trên E

Mệnh đề 1.1.3 Cho E là một không gian tuyến tính định chuẩn và j

là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của nó Khi đó,

i) j là một ánh xạ lẻ, tức là j (−x) = −j (x) ∀x ∈ E;

ii) j là thuần nhất dương, tức là j(λx) = λj (x) ∀λ > 0, ∀x ∈ E;iii) j bị chặn, tức là nếu A là tập con bị chặn của E thì j(A) là tậphợp bị chặn trong E∗;

iv) Nếu E∗ là lồi chặt thì j là đơn trị;

v) j là đơn trị và liên tục đều trên mỗi tập con bị chặn của E khi vàchỉ khi E là không gian Banach trơn đều;

vi) Nếu E là không gian phản xạ thì j là một toàn ánh

Trong trường hợp j là toán tử đơn trị, ta kí hiệu là J

Định nghĩa 1.1.8 Ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc J của không gian Banach

E được gọi là có tính liên tục yếu theo dãy nếu J là đơn trị và nếu{xn} ⊂ E, thỏa mãn xn * x thì J (xn) hội tụ yếu về J (x)

1.1.3 Ánh xạ đơn điệu cực đại

Cho E là không gian Banach thực phản xạ, E∗ là không gian liên hợpcủa E, A : E → 2E∗ là một toán tử đơn điệu

Định nghĩa 1.1.9 Một toán tử đơn điệu A : D(A) ⊂ E → 2E∗ được gọi

là đơn điệu cực đại nếu đồ thị G(A) = {(u, x) : x ∈ D (A) , u ∈ A (x)}của nó không thực sự chứa trong đồ thị của một toán tử đơn điệu nàokhác trên D(A)

Định nghĩa 1.1.10 Phiếm hàm F : E → R ∪ {+∞} được gọi là

i) lồi trên D(E) nếu với mọi x, y ∈ D(E) và mọi λ ∈ [0, 1] ta có

ϕ(λx + (1 − λ)y) ≤ λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y);

ii) lồi chặt trên D(E) nếu với mọi x, y ∈ D(E), x 6= y và mọi λ ∈ (0, 1)

ta có

ϕ(λx + (1 − λ)y) < λϕ(x) + (1 − λ)ϕ(y);

iii) nửa liên tục dưới tại điểm x0 ∈ domF nếu với dãy {xn} bất kỳ

xn ∈ domF sao cho xn → x0 thì F (x) ≤ lim

n→∞inf(F (xn));

iv) nửa liên tục dưới yếu tại điểm x0 ∈ domF nếu với dãy {xn} bất

kỳ xn ∈ domF sao cho xn * x0 thì F (x) ≤ lim

E : F (y) − F (x) ≥ hy − x, x∗i ∀y ∈ E} là toán tử đơn điệu cực đại từ Evào 2E∗

Toán tử đơn trị A đơn điệu cực đại khi và chỉ khi miền ảnh của A+λJ

là toàn bộ không gian E∗, đó là nội dung định lý sau

Định lý 1.1.3 Cho E và E∗ là các không gian Banach thực phản xạ vàlồi chặt, J : E → E∗ là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắc của E, A : E → E∗

là một toán tử đơn điệu Khi đó A là toán tử đơn điệu cực đại nếu vàchỉ nếu với mọi λ > 0, R(A + λJ ) là toàn bộ E∗

Định lý sau đây chỉ ra rằng bất cứ một toán tử đơn điệu, hemi-liêntục và bị chặn nào từ E vào E∗ cũng đều là toán tử đơn điệu cực đại.Định lý 1.1.4 Cho E là một không gian Banach thực phản xạ, B :

E → E∗ là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bị chặn, A : E → E∗

là toán tử đơn điệu cực đại Khi đó A + B cũng là một toán tử đơn điệucực đại

Tính bị chặn của toán tử A sẽ là không cần thiết nếu miền xác địnhcủa nó là toàn bộ không gian E Ta có kết quả sau

Định lý 1.1.5 Cho E là không gian Banach thực phản xạ và A : E →

E∗ là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục xác định trên E Khi đó A là toán

tử đơn điệu cực đại Ngoài ra, nếu A là toán tử bức thì ta có R(A) = E∗.Định lý 1.1.6 Nếu A là một toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và bức từkhông gian Banach phản xạ E vào E∗ thì phương trình toán tử Ax = f

có nghiệm với mọi f ∈ E∗

1.2 Hiệu chỉnh hệ phương trình toán tử ngược đơn

điệu mạnh

Trong mục này chúng tôi trình bày kết quả về sự hội tụ của nghiệmhiệu chỉnh và đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh của phươngpháp hiệu chỉnh Tikhonov giải hệ phương trình toán tử ngược đơn điệumạnh trong không gian Banach Các kết quả của mục này được tổnghợp trong tài liệu [4] và [6]

1.2.1 Sự hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh

Định nghĩa 1.2.1 Không gian Banach thực E được gọi là không gian

có tính chất Ephimov-Stechkin (hay không gian có tính chất E-S) nếu

E phản xạ và trong X sự hội tụ yếu các phần tử xn * x
và sự hội tụchuẩn kxnk → kxk
luôn kéo theo sự hội tụ mạnh kxn− xk → 0

Bổ đề 1.2.1 (Bổ đề Minty) Cho E là không gian Banach thực, E∗ làkhông gian liên hợp của E, f ∈ E∗ và A : E → E∗ là một toán tửhemi-liên tục Khi đó nếu tồn tại phần tử x0 ∈ E thỏa mãn bất đẳngthức

hA(x) − f, x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ Ethì x0 là nghiệm của phương trình A(x) = f

Hơn nữa, nếu A là một toán tử đơn điệu trên E thì điều kiện trêntương đương với

hA(x0) − f, x − x0i ≥ 0 ∀x ∈ E

Trong toàn bộ mục này ta luôn giải thiết E là không gian Banachthực phản xạ có tính chất E-S, E∗-không gian liên hợp của E lồi chặt,

Aj : E → E∗ là toán tử đơn điệu, đơn trị, hemi-liên tục có tính chấtngược đơn điệu mạnh.

Xét bài toán tìm nghiệm chung cho hệ phương trình toán tử

Aj(x) = θ, j = 1, 2, , N (1.1)Nếu Aj không có tính chất đơn điệu đều hoặc đơn điệu mạnh thì mỗiphương trình trong (1.1) nói chung là một bài toán đặt không chỉnh Đểtìm nghiệm ổn định cho mỗi phương trình này người ta sử dụng phươngpháp hiệu chỉnh Browder-Tikhonov dưới dạng

Ahj (x) + αJ (x − x∗) = θ, j = 1, 2, , N, (1.2)

ở đây Ahj là toán tử đơn điệu, hemi-liên tục và là xấp xỉ của Aj thỏamãn

Aj(x) − Ahj ≤ hg (kxk) , h → 0, (1.3)g(t) là hàm không âm, bị chặn, t ≥ 0, J là ánh xạ đối ngẫu chuẩn tắccủa E Với mỗi j = 1, 2, , N, phương trình hiệu chỉnh (1.2) có duy nhấtnghiệm, ký hiệu là xα,hj và nếu h

α, α → 0 thì x

α,h

j → xj ∈ Sj Kết quảnày là nội dung của định lý sau

Định lý 1.2.1 Với mỗi α > 0, h > 0 phương trình hiệu chỉnh Ahj (x) +

αJ (x − x∗) = θ có duy nhất nghiệm xα,hj Ngoài ra nếu h

α, α → 0 thì dãynghiệm hiệu chỉnh xα,hj hội tụ đến nghiệm x0 của phương trình Aj (x) = θ

có x∗-chuẩn nhỏ nhất, nghĩa là

kx0 − x∗k = min

x∈S kx − x∗k Vấn đề đặt ra là tìm nghiệm chung cho hệ phương trình toán tử (1.1)tức là tìm phần tử x0 ∈ S = ∩N

j=1Sj ở đây

Sj = {¯x ∈ E : Aj(¯x) = θ}

với giả thiết S 6= ∅ Để giải quyết vấn đề này, Nguyễn Bường [4] đãnghiên cứu phương pháp hiệu chỉnh dưới dạng phương trình toán tử

Định lý 1.2.2 Cho E là không gian Banach phản xạ thực lồi chặt,

E∗-không gian liên hợp của E lồi chặt, Aj : E → E∗ là toán tử đơn điệu

có tính chất ngược đơn điệu mạnh, Ahj : E → E∗ đơn điệu thỏa mãn(1.3) Khi đó, với mỗi α > 0, h > 0 phương trình hiệu chỉnh (1.4) có duynhất nghiệm xhα Ngoài ra, nếu h

α, α → 0, thì x

h

α → x0 ∈ S có x∗-chuẩnnhỏ nhất của hệ phương trình toán tử (1.1)

Chứng minh Từ tính chất đơn điệu, bị chặn và hemi-liên tục của toán

tử Ahj, suy ra Ahj là toán tử đơn điệu cực đại xác định trên không gianBanach E Do đó,

kí hiệu là xhα

Ta sẽ chứng minh xhα → x0 ∈ S khi h

α, α → 0 Thật vậy từ (1.4), tacó

Do đó, kết hợp với (1.1), (1.3) và tính chất đơn điệu của Ahj, ta nhậnđược

Từ đây suy ra dãy {xhα} bị chặn Do đó, tồn tại một dãy con {xh

β} củadãy {xhα} hội tụ yếu, giả sử xh

Bây giờ, ta sẽ chứng minh rằng ¯x ∈ Sj, j = 2, , N Thật vậy, từ(1.4) và tính đơn điệu của Ahj, ta nhận được

hA2(x) , ¯x − xi ≤ 0 ∀x ∈ S1.Điều này tương đương với

hA2(¯x), ¯x − xi ≤ 0 ∀x ∈ S1.Giả sử ˜x là một phần tử thuộc S1∩ S2 Vì ˜x là không điểm của toán tửđơn điệu A2 và bất đẳng thức trên suy ra

0 = hA2(˜x), ˜x − ¯xi ≥ hA2(¯x), ˜x − ¯xi ≥ 0

Do đó, hA2(¯x), ˜x − ¯xi = 0 = hA2(˜x), ˜x − ¯xi Từ đây kết hợp với tính chấtngược đơn điệu mạnh của toán tử A2 suy ra A2(˜x) = A2(¯x) = 0, nghĩa

là ¯x ∈ S2

Đặt eSi = ∩ik=1Sk Suy ra eSi cũng là tập lồi đóng, và eSi 6= ∅ Giả sử ta

có ¯x ∈ eSi, ta cần chỉ ra rằng ¯x ∈ eSi+1 Từ (1.4) với ¯x ∈ eSi, ta có thể viết

hAi+1(x) , ¯x − xi ≤ 0 ∀x ∈ eSi.Suy ra ¯x ∈ eSi+1

1.2.2 Tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh

Để đánh giá tốc độ hội tụ của dãy {xhα(h)}, chúng ta giả sử rằng Jthỏa mãn điều kiện

hJ (x) − J (y) , x − yi ≥ mJkx − yk2, mJ > 0 (1.7)

và tồn tại một hằng số dương τ sao cho

kA1(y) − A01(x)∗(y − x)k ≤ τ kA1(y)k ∀x ∈ S, (1.8)

và y nằm trong lân cận của x ∈ S

Định lý 1.2.3 Giả sử những điều kiện sau được thỏa mãn:

i) A1 liên tục, khả vi Fréchet thỏa mãn (1.8) với x = x0;

ii) Tồn tại một điểm z ∈ E thỏa mãn

A01(x)∗z = J x0 − x∗
;iii) tham số α = α (h) được chọn bởi α ∼ hp, 0 < p < 1

Khi đó

xhα(h)− x0 = O (hγ) , γ = minn1 − p, µ1p

2o