skkn rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác thpt nguyễn trãi

Còn đối với các phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức, sau khi biến đổi phương trình về dạng cơ bản, nhiều học sinh thấy khó khăn trong việc so sánh nghiệm của phương trình cơ bản n

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỒNG NAI TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

Người thực hiện : PHẠM THUÝ HẠNH

Lĩnh vực nghiên cứu : Phương pháp dạy học bộ môn: Toán

Năm học : 2013 – 2014

SƠ LƯỢC LÝ LỊCH KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG VỀ CÁ NHÂN

8 Nhiệm vụ được giao : giảng dạy môn Toán lớp 12A6, 11A2, 11A5, 11A8

9 Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi, Biên Hoà, Đồng Nai

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

- Trình độ chuyên môn cao nhất: Cử nhân Đại học Sư phạm TP.HCM

- Năm nhận bằng: 2006

- Chuyên ngành đào tạo: Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

- Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy Toán bậc THPT

- Số năm có kinh nghiệm: 6 năm

- Sáng kiến kinh nghiệm đã có trong 5 năm gần đây:

Phương trình mũ và logarit (năm 2013)

RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Phương trình lượng giác là một phần quan trọng trong chương trình môn Toán lớp 11 và có trong các đề thi tuyển sinh đại học, cao đẳng hằng năm Quá trình giải một phương trình lượng giác thường gồm các bước: biến đổi phương trình về dạng cơ bản, tìm nghiệm của phương trình cơ bản và

so sánh với điều kiện xác định (nếu có) rồi kết luận nghiệm của phương trình

Việc biến đổi phương trình lượng giác đòi hỏi học sinh không những nắm vững công thức lượng giác mà còn biết cách vận dụng linh hoạt các công thức đó Tuy nhiên, vì các công thức lượng giác được học ở lớp 10 nên phần nhiều học sinh lớp 11 thấy khó khăn khi tự củng cố các kiến thức

về công thức lượng giác Do đó, hoạt động củng cố về công thức lượng giác cho học sinh là rất cần thiết

Khi biến đổi phương trình lượng giác, một số học sinh dù đã học thuộc các công thức lượng giác nhưng vẫn lúng túng trong việc lựa chọn công thức lượng giác để áp dụng hoặc biết công thức lượng giác cần áp dụng nhưng không biết cách áp dụng công thức sao cho hợp lý Những khó khăn này phần nhiều là do học sinh chưa biết cách vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác Còn đối với các phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức, sau khi biến đổi phương trình về dạng cơ bản, nhiều học sinh thấy khó khăn trong việc so sánh nghiệm của phương trình cơ bản này với điều kiện xác định của phương trình

Học sinh thường gặp khó khăn ở ít nhất một trong các bước giải phương trình lượng giác Vì thế, tôi chọn đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác” để nêu ra một số kinh nghiệm đóng góp cho việc dạy và học về phương trình lượng giác trong chương trình Toán lớp 11 hiệu quả

hơn

II CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

Để giải được một phương trình lượng giác, học sinh cần nắm vững công thức nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản và biết cách biến đổi phương trình về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải như: dạng tích; dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác; dạng bậc nhất

đối với sin x và cos x ; dạng thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x

Các phương trình bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác được biến đổi về dạng cơ bản mà không cần áp dụng công thức lượng giác Còn hầu hết các phương trình lượng giác khác đòi hỏi học sinh phải áp dụng một hoặc nhiều công thức lượng giác để biến đổi phương trình về dạng cơ bản, hoặc dạng tích, dạng bậc nhất, bậc hai đối với một hàm số lượng giác

Chẳng hạn, học sinh áp dụng công thức cộng để biến đổi phương trình bậc

nhất đối với sin x và cos x về dạng cơ bản; áp dụng công thức hạ bậc để biến đổi phương trình thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x về dạng bậc nhất đối với sin 2x và cos 2x Vì vậy, việc rèn luyện kỹ năng giải phương

trình lượng giác chủ yếu là rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải Ngoài ra, nếu phương trình lượng giác chứa ẩn ở mẫu thức thì sau khi biến đổi phương trình về dạng cơ bản, phải so sánh nghiệm của phương trình lượng giác cơ bản này với điều kiện xác định để kết luận nghiệm của phương trình ban đầu

Học sinh cần một hệ thống bài tập vừa củng cố kiến thức về công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình (nếu có)

Nội dung đề tài “Rèn luyện kỹ năng giải phương trình lượng giác” nêu một số kinh nghiệm tích lũy trong quá trình dạy học phương trình lượng giác như sau:

1 Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức về công thức lượng giác và nêu các ví dụ về cách vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác

2 Các bài tập giúp học sinh vừa củng cố kiến thức về công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về các dạng đã biết cách giải, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình (nếu có)

III TỔ CHỨC THỰC HIỆN CÁC GIẢI PHÁP

1 Tổ chức hoạt động củng cố kiến thức về công thức lượng giác và nêu các ví dụ về cách vận dụng linh hoạt công thức lượng giác khi biến đổi phương trình lượng giác

Các công thức lượng giác :

1) Công thức cơ bản

2) Công thức cộng

3) Công thức nhân đôi, công thức hạ bậc

4) Công thức biến đổi tổng thành tích

5) Công thức biến đổi tích thành tổng

Mỗi công thức lượng giác có dạng A B= Khi vận dụng công thức dạng này vào biến đổi phương trình lượng giác, nếu có A thì đa số học sinh thường nhận biết ngay việc thay A bằng B, nhưng ngược lại, nếu có B thì không ít học sinh thấy khó nhận ra việc thay B bằng A

Hoạt động 1 và ví dụ 1 sau đây giúp cho học sinh củng cố và vận dụng

công thức lượng giác theo hai chiều A B= và B A= Lưu ý rằng vì có khá nhiều công thức lượng giác nên có thể hướng dẫn cho học sinh tự thực hiện hoạt động 1 ở nhà rồi kiểm tra các công thức học sinh đã viết được trên lớp

Hoạt động 1 Viết mỗi công thức lượng giác theo chiều ngược lại là từ

vế phải sang bằng vế trái, chẳng hạn, viết lại công thức cộng

sin a b+ =sin cosa b+cos sina b theo chiều ngược lại là :

sin cosa b+cos sina b=sin a b+

Ví dụ 1 Giải các phương trình sau

Áp dụng công thức cộng : sin(a b+ =) sin cosa b+cos sina b (*)

- Đối với phương trình (1a), áp dụng công thức (*) ta có:

sin sin cos cos sin

Hoạt động 2 và ví dụ 2 sau đây giúp cho học sinh nhận biết công thức lượng giác cần áp dụng và áp dụng một công thức lượng giác cho các góc khác nhau

Hoạt động 2 Viết lại các công thức nhân đôi và công thức hạ bậc khi thay góc x trong các công thức bởi một góc khác như 2x,

2

x ,

π −

, …, chẳng hạn, thay góc x trong công thức nhân đôi sin 2 x=2sin cosx x

Áp dụng các công thức nhân đôi biến đổi phương trình về dạng cơ bản

- Thay góc x trong công thức sin 2 x=2sin cosx x bởi góc

Các bài tập sau đây giúp học sinh vừa củng cố kiến thức về mỗi công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt các công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải như: dạng tích; dạng bậc nhất, bậc hai đối với một

hàm số lượng giác; dạng bậc nhất đối với sin x và cos x ; dạng thuần nhất bậc hai đối với sin x và cos x

Lưu ý các bước giải phương trình chứa ẩn ở mẫu thức: biến đổi phương trình về dạng cơ bản, tìm nghiệm của phương trình dạng cơ bản rồi so sánh với điều kiện xác định của phương trình, từ đó kết luận nghiệm của phương trình

a) Các bài tập áp dụng công thức cơ bản

Bài 1 Giải các phương trình :

a) cos3x+sin cos2x x=1 (1a)

b) 2sin2x+sin cosx x+3cos2x=2 (1b)

sin cosx x cos x 0

⇔ + = ⇔cos sinx( x+cosx) =0

Dùng công thức 12 tan2 1

cos x = x+ , với cosx≠0, biến đổi phương trình

về dạng bậc hai đối với tan x

Tìm điều kiện xác định, dùng công thức cot2 1 12

sin

x

x

+ = , với sinx ≠0,

biến đổi phương trình về dạng bậc hai đối với sin x , so sánh nghiệm với

điều kiện xác định của phương trình

Lời giải:

Điều kiện xác định: sinx≠0

Với điều kiện trên, ta có :

(1) ⇔sin2 x+sinx=0

⇔ sinx=0 (loại) hoặc sinx = −1

2 ,2

ii) Các bài tập áp dụng công thức cộng

Bài 4 Giải phương trình : 3 sin cos

Dùng các công thức sin(a b+ =) sin cosa b+cos sina b và

Dùng công thức sin cosa b−cos sina b=sin(a b− ) , biến đổi về dạng bậc

nhất đối với sin 2x và cos 2x

cos3 cos2x x−sin 3 sin 2x x =sin 5x+ 2 cosx

cos5x sin 5x 2 cosx

1 tan tan

−+ với điều kiện tan a và tan b

cùng tồn tại, tức là: cos cosa b≠0 2

− biến đổi phương trình về dạng bậc hai đối với tan x.

Với điều kiện trên, ta có : (7) tan 1 5tan 2 1

Vậy nghiệm của (7) làx=arctan 2+kπ , k∈Z

Bài 8 Giải phương trình:

⇔ = + ∈Z (không thỏa điều kiện cosx≠0)

Vậy phương trình (8) vô nghiệm

iii) Các bài tập áp dụng công thức nhân đôi, hạ bậc

Bài 9 Giải phương trình: 2sin cos cos 2cos2 1

  (9)Hướng dẫn:

Áp dụng các công thức nhân đôi 2sin cosa a=sin 2a

và 2cos2a− =1 cos 2a, biến đổi phương trình về dạng cơ bản

Lời giải:

(9) ⇔sin cosx x =cosπ −x



Với điều kiện trên, ta có :

(10)

2

2 tan 2 tan tan 3

1 tan 1 tan 1 tan

Vậy nghiệm của phương trình (10) là x =arctan 3+kπ , k∈Z.

Bài 11 Giải phương trình: cos2 6sin2 1 0

biến đổi phương trình về

dạng bậc hai đối với cos x

iv) Các bài tập áp dụng công thức biến đổi tổng thành tích

Bài 12 Giải phương trình: sin sin 3 sin 2

cos3 cos sin 2 sin 2

Bài 14 Giải phương trình: cos cos sin 2 3

x

x

ππ

2

5

26

vi) Các bài tập áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng

Bài 15 Giải phương trình: sin 3 cosx x+cos7 sin5x x=0.

vii) Các bài tập áp dụng nhiều công thức lượng giác

Bài 17 Giải phương trình: 2cos3 sin 2 cos

Áp dụng công thức cơ bản, công thức nhân đôi và công thức hạ bậc đưa

phương trình về dạng bậc hai đối với cos x

Bài 19 Giải phương trình: 2cos5 cos2x x−2cos3x+sin 4x=0.

Hướng dẫn:

Áp dụng công thức biến đổi tích thành tổng, tổng thành tích, công thức nhân đôi, đưa phương trình về dạng tích

Lời giải:

2cos5 cos2x x−2cos3x+sin 4x=0

cos7x cos3x 2cos3x sin 4x 0

⇔ + − + = ⇔ cos7x−cos3x+sin 4x=0 2sin 5 sin 2x x 2sin 2 cos 2x x 0

⇔ − + = ⇔sin 2 cos 2x( x−sin 5x) =0sin 2 0

sin 1

6

5sin

x

x

ππ

* Với điều kiện ,( )

2

cos4 cos

6cos sinsin

Điều kiện xác định: sinx≠ ⇔ ≠0 x l lπ, ∈Z

Với điều kiện trên, ta có:

(22) ⇔cos4x−cos2x=3sin 2x+sin2x

x= +π k kπ ∈Z.

- Cách 1: biểu diễn nghiệm và điều kiện trên đường tròn lượng giác.

Trên đường tròn lượng giác, họ

x l l≠ π ∈Z được biểu diễn bởi

hai điểm A(1;0) và A’(-1;0)

Do đó, nghiệm của phương trình

(22) là số đo radian của các góc

được biểu diễn bởi hai điểm B và

B’ Vì hai điểm B và B’ có khoảng

x = +π k kπ ∈Z Vậy nghiệm của (22) là: ,

Tìm điều kiện xác định, nhân hai vế với sin5x , áp dụng công thức nhân

đôi, công thức cộng đưa về phương trình cơ bản, so sánh nghiệm với điều kiện xác định của phương trình

Lời giải:

Điều kiện xác định: sin5 0 ,

5

x ≠ ⇔ ≠x lπ l∈Z

Với điều kiện trên, ta có: (23)⇔

(2cos 22 x− −1 2cos 22 x+cos sin 5x) x=sin cos5x x

32

π

B

A’

⇔ (cosx−1 sin5) x=sin cos5x x

cos sin 5x x sin cos5x x sin 5x

IV HIỆU QUẢ CỦA ĐỀ TÀI

Các hoạt động, ví dụ và bài tập nêu trong đề tài giúp học sinh vừa củng cố kiến thức về công thức lượng giác vừa rèn luyện kỹ năng vận dụng linh hoạt công thức lượng giác vào biến đổi phương trình lượng giác về dạng cơ bản hoặc các dạng đã biết cách giải, biết cách so sánh nghiệm với điều kiện xác định của các phương trình chứa ẩn ở mẫu Từ đó, học sinh tự tin hơn khi giải phương trình lượng giác, tránh được kiểu học công thức lượng giác cách máy móc, không đạt hiệu quả khi áp dụng vào biến đổi phương trình lượng giác

Người thực hiện

Phạm Thúy Hạnh

SỞ GD&ĐT ĐỒNG NAI CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Trường THPT Nguyễn Trãi Độc lập Tự do Hạnh phúc

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI

Năm học 2013 2014

Tên đề tài: RÈN LUYỆN KỸ NĂNG GIẢI PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

Họ và tên tác giả: PHẠM THÚY HẠNH Tổ Toán Tin học

Lĩnh vực:

1 Tính mới

 Có giải pháp hoàn toàn mới

 Có cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có

2 Hiệu quả

 Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao

 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển

khai, áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao

 Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng tại đơn vị có hiệu

quả cao

 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển

khai, áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao

3 Khả năng áp dụng

 Cung cấp các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách

 Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực

tiễn, dễ thực hiện và dễ đi vào cuộc sống

 Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng

áp dụng đạt hiệu quả trong phạm vi rộng

4 Xếp loại

XÁC NHẬN CỦA TỔ CHUYÊN MÔN THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

Tổ trưởng chuyên môn (Ký, ghi rõ họ tên và đóng dấu)

Trương Ngọc Dũng