Áp dụng phương pháp tách biến fourier để giải các phương trình vật lí toán

Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài: “áp dụng phương pháp tách biến Fourier đễ giải các phương trình vật lý toán” không cô sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác.. Nhưng p

Bộ giáo duc va dao tạo

Trường đại học sư phạm hà nội 2

Luận văn tốt nghiệp

Áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải

Mục lục

Chương 1: Phương trình dao động của dây 3

1 Thiết lập phương trình dao động của dây 3

2.1 Phương trình goa động tự do của sợ dây hữu hạn 4

2.3 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn 13 2.3.1 Xét phương trình đao động không thuần nhất của sợi dây 13

Chương 2: Phương trình dao động của màng 25

1 Thiết lập phương trình dao động của màng 25

2 Giải phương trình dao động tự do của màng chữ nhật 26

4 Giao động cưỡng bức của màng chữ nhật 32

3 Phương trình truyền nhiệt không thuần nhất 43

4 Phương trình truyền nhiệt trong thanh hữu hạn 45

K31D - Vật lý

4.2 Sự truyền nhiệt trong thanh hữu hạn - Điều kiện tổng quát 46

Lời cảm ơn

Bản khoá luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước sự bỡ ngỡ và gặp nhiều khó khăn khi mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em đã nhận được sự giúp đỡ, động viên của các thầy, cô giáo và của các bạn sinh viên trong khoa Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Phạm Thị Minh Hạnh đã giúp đỡ và hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khoá luận này

Em cũng xin chân thành cảm ơn Ban chủ nghiệm khoa Vật lý đã tạo

điều kiện cho em có cơ hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Dịu

K31D - Vật lý

Lời cam đoan

Khoá luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và

nghiên cứu Bên cạnh đó em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy, cô

giáo trong khoa Vật lý, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS Phạm Thị Minh Hạnh

Trong khi nghiên cứu hoàn thành bản khoá luận này em có tham khảo

một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài: “áp dụng phương pháp tách biến Fourier đễ giải các phương trình vật lý toán” không cô sự trùng

lặp với kết quả của các đề tài khác

Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Dịu

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, các bộ môn khoa học không thể tồn tại, phát triển

và vững mạnh nếu không dựa trên sự phát triển của các môn khoa học khác Thực tế đã chứng minh điều này một cách rõ ràng Một chuyên ngành vật lý mới “Vật lý lí thuyết” ra đời đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và

toán học Toán học là công cụ đắc lực để cho Vật lý nói chung và vật lý lí

thuyết nói riêng phát triển

Khi mới bước chân vào cổng giảng đường đại học, các bạn tân sinh

viên thắc mắc một điều: Tại sao khoa Vật lý lại học nhiều môn toán như vậy

Toán cao cấp A¡, A¿, Đại số tuyến tính hàm biến phức Câu trả lời đần được

hé mở khi các bạn nghiên cứu sâu về Vật lý Bộ môn phương pháp Toán — Lý

là một ví dụ sớm nhất Chúng ta phải dùng đến rất nhiều các công cụ toán học, phương trình toán để giải bài tập Vật lý Nhưng phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại rất phong phú đa dạng bao gồm một khối lượng rất lớn các kiến thức thuộc các ngành: Hàm thực, hàm biến phức, phương

trình vi phân, phép biến đổi tích phân, hàm biến phức, phương trình vi phân,

phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình vi phân đạo hàm riêng sẽ có nhiều cách khác nhau: Phương pháp đổi biến, phương pháp tách biến, phương pháp xấp xỉ Các phương trình mô tá sự biến thiến của trường theo thời gian, thường là các phương trình vi phân đạo hàm riêng trong đó chứa hàm biến, các đạo hàm riêng của

nó và các số biến số độc lập Từ cơ sở là các phương trình vật lý — toán cơ bản ứng với từng loại phương trình chúng ta xác định được các phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt Để tìm nghiệm của các phương trình này không đơn thuần chỉ là nắm được khái niệm của nó mà phải kết hợp phù hợp và nhuần nhuyễn các công cụ toán học, vận dụng nó một

cách linh hoạt Chính vi li do dé việc triển khai đề tài “ Một số ứng dụng của

K31D - Vật lý

phương pháp tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết trường lượng tử ” là rat cần thiết

Mỗi dạng bài nêu được

- Lý thuyết và phương pháp giải từng dạng

- Bài tập đặc trưng, lời giải và đáp số cụ thé của các bài tập đó

Đề tài này giúp cho em hiểu sâu hơn về bộ môn “phương pháp toán lý” nói chung và cách giải các phương trình dao động, phương trình truyền nhiệt nói riêng Bước đầu tạo cho em thói quen cũng như khả năng giải bài tập sử dụng phương pháp tách biến Fourier Từ đó các có cái nhìn hệ thống về lý thuyết cũng như bài tập môn phương pháp toán — lý

Qua đó có cái nhìn khái quát đơn về bức tranh vật lý muôn màu

2 Mục đích nghiên cứu

Xác định phương pháp giải các phương trình Vật lý — toán và hệ thống bài tập áp dụng phương pháp tách biến Fourier

3 Giả thiết khoa học

Sử dụng hợp lý phương pháp giải và hệ thống bài tập pháp biến

Về phương trình đạo hàm riêng mà cụ thể là phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt không những rèn luyện kỹ năng giải bài tập mà còn có tác dụng góp thêm một phương pháp nữa trong việc tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bậc 2

4 Đối tượng nghiên cứu

Các phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Thiết lập một số phương trình Vật lý — Toán

- áp dụng, phương pháp tách biến Fourier để giải một số bài toán

- Hệ thống các bài tập sử dụng phương pháp này

6 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu “Một số ứng dụng của phương pháp tác dụng hiệu dụng trong lý thuyết trường lượng tứ” nhằm rèn luyện kĩ năng giải phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt

K31D - Vật lý

Chương Í Phương trình dao động của dây

1 Thiết lập phương trình dao động của dây

Xét một sợi dây rất mảnh, có độ đài £, căng, gắn chặt ở hai nút Gia str

sợi dây rất đẻo, do đó lực căng T tại mỗi điểm của sợi day đều hướng theo đường tiếp tuyến với sợi dây tại điểm ấy Tại mỗi điểm T = Const

Tại trạng thái cân bằng sợi dây nằm

dọc theo trục ox Trong quá trình dao

động sợi dây dao động theo phương

vuông góc với trục Ox VỊ trí sợi dây

tại mọi thời điểm như nhau Lập

phương trình cho ham U(x,t)

Xét đoạn dây từ x¡ đến x¿, xác định các lực tác dụng 7, 7, (T¡ =T;),

ngoại lực (ví dụ trọng lực của sợi dây)

áp dụng phương trình định luật II Newton có

pla khối lượng của một đơn vị độ dài của sợi day do (7) = [ Poe ok

- T, sin @ (Xi) + T›sinø (x¿)= T[sin ø (x¿)-sin ø (Xị)]

K31D - Vật lý

= Ư; - đU; =—g(x,†) (8) là phương trình dao động của sợi dây

Với =-T-xa= b thứ nguyên [a] = “ là vận tốc truyền sóng

* Nếu g = 0 thì (8) là phương trình dao động tự do của sợi dây không

có ngoại lực

* Nếu ø «0 thì (8) là phương trình dao động cưỡng bức của sợi đây

2 Dao động tự do của sợi dây

2.1 Phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn

Xét một sợi dây có chiều dài £, khi ở trạng thái cân bằng thì 0 < x </ dọc theo trục ox Hai đầu nút gắn chặt trong quá trình đao động

Phương trình dao động U(x,

Điều kiện biến Ux = U,- ¿ =0 (11) t>0

Bài toán này chứa cả điều kiện biên lẫn điều kiện ban đầu nên gọi là bài

toán hỗn hợp đối với phương trình đao động của sợi đây

Giải bài toán này bằng phương pháp tách biến Fourier

Đầu tiên tìm nghiệm của phương trình (9) chỉ thoả mãn điều kiện với một hàm chỉ phụ thuộc t

Tuỳ theo dấu của 4, xét các trường hợp sau :

+ Â =-C”<0 nghiệm tổng quát của (13) là :

X(x) = C; e* + Cp e™ 3 Cy, Cp vì hằng số tuỳ ý

Từ điều kiện biên (11) ta có

| C,+C, =0 Ce" +C,e" =0

Hệ này có nghiệm là C¡ = C; = 0 Trường hợp này bài toán chỉ có nghiệm không

+ 4= 0 Nghiệm tổng quát của (13) là

X(x)=C¡+Czx

Từ điều kiện biên (1 1) ta có

C;=0 C,+C,l=0

E =0-> X(x)=0-—> lơ'i

SnGI=0 Khi đó Cl=kz >c=% (k= +1 £2 )

Từ nghiệm của hai phương trình trên ta có nghiệm riêng của 2 phương trình là :

U(X, 0) = (a,008 22 bs n Ty n

Với a, = A, By; by = Ax Dự (k= 1,2,3 )

ý nghĩa của nghiệm riêng

*U (x,Ð0 là nghiệm riêng và mô tả sóng đứng ( sóng dừng) Mỗi điểm x

của sợi dây thực hiện các dao động điêu hoà với tân sô øk = — va với biên

d6 J&+O sin A,.x

krax| a, krat b, _ kat U(x,t) = sin cos + =—sn Va +o

Những điểm cố định dao động trên với biên độ cực đại là bụng sóng

sn 1 tần sốøk = =ẽ k = I là tần số âm cơ bản k # l ứng với

các hoạ âm

* Nghiệm tổng quát của phương trình

Ucx.t) = YU,(%t) = - nao ‘ban |

Với điều kiện chuỗi hội tụ và tồn tại Ư”, Ư và hàm U(x,t) thoá mãn

điều kiện biên như mỗi một U, với các giá trị bất kì của a; va by

áp dụng điều kiện ban đầu đề tìm các hằng số

tương tự có bụ= mai Fle)sin“ (e)d)

2.2 Một số bài toán mỉnh hoa

Nghiệm của phương trình (17) cé dang X = A; e* + Ae"

Từ điều kiện biên có

Từ điêu kiện biên

Nghiệm tông quát của phương trình là U;, = Xx Ty

: +, sin kzat )sin mm

Ux, = (a, cos kaa Trong đó ay = CyAy; by = Dy Ax

Nghiệm của phương trình U = Su k

k=l

U,-aU.,=0 (a=const)

Diéu kién ban đầu U¿o=x: U¿s=/

Điều kiện biên U,-o=0; U,-¿ =0

Phuong trinh (18) @X =0 > X=A,x+ A,

Từ điều kiện biên X” „„ = A, =0 —> A,= A; =0

X.„=A+A,=0->X=U=0

Trường hợp 3: C = -4?<0 ->X + Â?X = 0 có nghiệm đạng

X= A¡icos 2x + Azsin 4x

Từ điều kiện biên: _ạ= X”,_ạ=0->X „=0

-o=A,=0->X =A,cosÃx

X' =A cos At =0->cos2t =0-»21{ Sk

> A=(2k +1) 20 x, = A,cos CATV 2 mm 2/

Phương trình (19) <>7” + 4”a”T =0có nghiệm dạng

—> T=B¡cos 2at+B; sin2at

Điều kiện ban đầu có U, „ => M,co 5 Ck ae =ƒ/@)=x

-_ + | 2) (2k +1)z (2k +1)z

2.3 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn

2.3.1 Xét phương trình dao động không thuần nhất của sợi dây

Ư- a” Ư, = - g(x,0 (2)

Với điều kiện ban đầu U_-o=fŒ&): 7 Uj-o=F@)

Điều kiện biên : U,-o=0 ; U,ä=0

Chọn các sóng đứng là U¿ = Tx(t) sin <

Phuong phap giai

Nghiệm của phương trình là U = > T(0s nex

Phương trình này lên được vô số nghiệm —> điều này là vô lý

Tính z\0=2 |dx0sn“ Xứ

0

Từ điều kién ban dau cho ham U(x,t) có

U = Fix) =¥ T(0)sin “7

nghiệm của bài toán

3 Một số bài toán minh hoạ

3.1 Bài toán 1

Tìm nghiệm của phương trình cn = cn +M,

ot Ox Thoả mãn các điều kiện ban đầu bằng 0

K31D - Vật lý

Ug.) = 0; Ugo=0

và các điêu kiệnbiên (0,t) =

U„„=0 Bài làm

Phương trình đã cho được viết dudi dang U; =U), +M,

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

U =U„ =VW(¿ + S2 Trong đó Vụ; là phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây

So là phương trình của dao động tự do của sợi dây

Từ điều kiện ban đầu và điều kiện của (24) suy ra điều kiện ban đầu và

điều kiện của (25) như sau

V._s=0;V,_„=0 điều kiện biên Điều kiện ban đầu Vio =Viyi Vio =9

+ Xét điều kiện ban đầu

e Trường hợp3: C =-/’<0 Nghiém dang

X =A, cosAx+ A, sin Ax

T = B, cos At+ B, sin At

*) Từ điều kiện biên

X, 9A, =0 X,_,= Asin A, =0-» 4, =k > 4= "= (k=+1;+2 )

K31D - Vật lý

“ca Nghiệm tông quát của (2b) " S⁄\X¿.Tk

“ “ ka kat

= = cos A Tp sin sin —

S= Jose = DG sin) sin

+ Tw diéu kién ban dau

Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0 còn mút kia chuyển động theo quy luat Ug, = Asin wt và các điều kiện ban đầu bằng 0

Bài làm

Bài toán dẫn tới việc giải phương trình:

- aˆ Ư; = 0 thoả mãn điều kiện bién U, =o = 0; U, = Asinat

và điều kiện ban đầu U,-g=0 ; Ư,-; = 0

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

U =U(x,t) = V(x,t) + S(xt) V(x,t) la phuong trinh dao dong cudng buc o biên cua day; S(x,t) 1a phương trình dao động tự do của dây

U,=V/+§— V,+§$~#(V.+8)=0

| VY = Veet §, V-ấV=0 (23

>| A zs.o (24)

Xác các điều kiện biên, điều kiện ban đầu của V, S

+ Điều kiện biên

+ Điều kiện ban đầu

U-o= Vào + S-o= 0 => Vi-0= -Si-0 = Vix)

V = Vx Vạ= V S$ =- Vx

*{s. wx ”|V,,=Vx |S,=-Vx t=0

Giải phương trình (29) VỶ„— a” VÏ„= 0

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng: V = X(x) T(t)

Giải phương trình (24) S7 - a'S”, =0

Với điều kiện ban dau S,-o= -Vx,-9= 0

Nghiệm của phương trình dạng X=A,e*+A,e”

Từ điều kiệnbiên: = Syn = XTy-p = 0 ->X,-s= Ai+ Aa=0

S.a = XT =0 > X,)=0= A, e* +A, 0

>A,= A=0>5 X=S=0 (*) Truéng hop 2: L=0 — X” =0 9 Cx +C,

Xo =G =0 X,=GI=0>G=0

(*®)Trường hợp 3: C=- 4? ->X”+ 4?X=0

Nghiệm phương trình dạng X = A¡cos 4x + A» sin 2x

Từ điều kiện biên X,-o= A¡ =0

[m, cos +N, sin Cat sin

Diéu bién ban dau S.o= Y° M,sin 2% F(x) =0-— M, =0

k=l

K31D - Vật lý

_ (0X, = 2Aøal(—1)“ _ kraf_._ krax

Luc can tac dung lén soi day — g(x,t) = - hU’t

Trong đĩ h là hệ số tỉ lệ U”/¿-ạ = F(%) : vận tốc ban đầu bài tốn dần đến giải phương trình Ư,- aˆ Ư =-h U, (33)

Xét trường hợp sau

* Trường hợp 1:C= 2? >0: X=T=0

K31D — Vat ly

Phương trình dic trung r° + hr + 77a’ =0

-hưg —h~ia =3 +€je 3 )

T, =Ce ? +C;e ? =e? _

Trong chương I về dao động của sợi dây, tôi đã trình bày việc thiết lập

phương trình dao động của sợi dây và xét dao động tự do của dây Trong đó phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn và dao động cưỡng bức của

K31D - Vật lý

sợi đây hữu hạn được trình bày chỉ tiết và có lời giải Mỗi đạng phương trình

đó có các ví dụ minh hoạ điển hình, phù hợp

Nội dung chương I đã nêu bật được cách giải của từng phương trình dao động của dây qua đó giúp bạn đọc có cách nhìn hệ thống và hướng giải các dạng phương trình khác tương tự

Chương 2:

Phương trình dao động của màng

1 Thiết lập phương trình dao động của màng

Giả sử, ta có một màng được kéo bằng lực căng T, đàn hồi, dao động nhỏ đến mức là độ tăng diện tích của màng trong quá trình dao động có thể bỏ qua Khi đó mật độ phân bố lực căng T là như nhau trong tất cả các tiết diện của màng

Giả sử khi nằm yên, màng ở trong mặt phẳng x,y còn dao động xảy ra sao cho mỗi điểm của màng đều lệch theo phương vuông góc với mặt phẳng

này kí hiệu độ lệch này là U, U là hàm của các toạ độ x.y và thời gian t

U=U(xy.)

là phương trình sóng hai chiều

U,— äˆ(U „+ U wy) = -gŒ.)

(Khối lượng của một đơn vị điện tích)

* Néu g(x,t) = 0: dao động tự do không có lực ngoài

* Nếu g(x,t) #0: đao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực

+ Điều kiện ban đầu

U,-p = f(x,y): độ lệch ban đầu của điểm (x,y) trên màng

Ư°¿-o=F(&x,y): vận tốc ban đầu

+ Điều kiện biên (có biên gắn chặt)

K31D - Vật lý

Ủ_,=0 U¡ là giá trị hàm u ở các điểm của chu tuyến L

2 Giải phương trình dao động tự do của màng chữ nhật

Xét màng hình chữ nhật lúc cân bằng nằm trên mặt phẳng xy chiếm

miền G {0 < x<l;0 < g < m}

Phương trình dao động

Ư—a(Ux+U»)=0

Thoả mãn điều kiện biên gắn chặt

C6 Uy=X YT 3Uy=X YT;Uy=XYT

Thay vào phương trình dao động tự do có

XYT - a’ (X YT+XY T)=0

Y+¿/Y =0

Nghiệm của các phương trình là

T=Acos {a+ Pat + Bsin J + wat

Day là nghiệm riêng của phương trình vi phân

* ý nghĩa vật lý

Mọi điểm (x,y) của màng đều giao động điều hoà với cùng một tần số

@xik2 VOi pha ban dau 1a Ur

kx kw sin——y

m

ta aa _ 2 2 ¡

Biên độ @ = G2 + By SIN

Moi điểm của màng đều cùng về vị trí ban đầu ở những thời điểm xác

định và đồng thời đạt được độ lệch cực đại của mình về phía này hay phía kia

Nói trên màng có sóng đứng với những điểm có định không dao động gọi là

kyax _ 0:

>

nút Tập hợp nut tạo thành đường nut Phương trình đường nút là sin

sin #Z” = 0, Điểm mà màng lệch cực đại so với trạng thái đứng yên là bụng

Tân sô âm cơ bản của màng ứng với |k, =1,k, =1

Nghiệm tổng quát của phương trình

U= U(x,y,Ð = > Die (x y,0)

k2

* Xác định âk1k2? brik từ điêu kiện ban dau

Tai t = 0 thay vào phương trình nghiệm tống quát

kyky=l m

Lm

my

> AIK = in| [fe y)sin 223 sin# 7% dy dx

Mat khac: Unw= F(x,y) nén

~ kx kwy O<x<l F(x,y) = » Oppo) 4.9 sin—“!—sin—?—— cm

*Trường hợp l: a=4?>0: -> Aie+A;e“

Điều kiện biên — U,j=0 -> X;-o=0= Ai+A¿

x pen ten [X= 4, =0

Diéu kién bién {0 X,_, = A, sin Al =0 '- > dl=kx 1-82

._ kZX

—>X\i = A¿ sin —

* Giải phương trình 2: Y”— CạY =0

- Trường hợp 1: C)= 7 >0 > Y - wY=0

Nghiệm tông quát dạng Y = Bie”' + Bye”

Điều kiện biên: Uy-=0_—› Yy-= 0= Bị + Bạ

Uy=0 — Yy-=0 = Bịce/?+ Bạe 2

- Trường hợp 3: C¿ = - w’<0 > Y=B, coswy + B;/y

Điều kiện biên: Y/„„o =B,=0; Y/⁄~¡= B;sinlz; =0

> ue a, => Y,, =B,sin kay

* Giải phương trình: 3: TỶ — aˆ (C¡ + Cạ) T=0

* sin Aas sin S73 :

Điều kiện biên: C_ạ= YM yy, sin A in OE = Awy(—x)~ y)

k=l k=l

> = a «KX kax k,ax KyAX _

Uceo= YY Meurer i i sin =0

kị=l k;=l Ị

K3I1D - Vật lý