ÔN TẬP CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ LỚP 8 Chuyên đề nêu các dạng bài tập cơ bản để ôn tập chương II đại số lớp 8; Đây là các bài tập phù hợp với đối tượng học sinh giỏi; Các bài tập giúp học sinh khắc sâu các kiến thức trọng tâm của chương và rèn cho học sinh kỹ năng tính toán, rút gọn, biến đổi các biểu thức đại số.
Trang 1ễN TẬP CHƯƠNG II PHÂN THỨC ĐẠI SỐ LỚP 8
Cao Quốc Cờng ( GV THCS Vĩnh Tờng- Vĩnh Phúc)
Khi học xong chơng II: Phân thức đại số (Toán lớp 8) Trong phần ôn tập chơng tôi có
hệ thống lại một số dạng bài tập cơ bản Trong bài viết này tôi muốn trao đổi với các bạn một số dạng bài tập nh vậy.
I Dạng 1: Rút gọn phân thức:
A/ Kiến thức cơ bản: Muốn rút gọn một phân thức ta có thể:
- Phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử (nếu cần) để tìm nhân tử chung
- Chia cả tử và mẫu cho nhân tử chung (nếu có)
B/ Bài tập:
Bài 1: Rút gọn phân thức sau: 5 244 233 422 3 6
Bài 2: Cho x y z+ + = 0 và xyz≠ 0 Rút gọn phân thức:
2 4 6
2010x y z
A
=
x +y − = +z x y − xy z− = + +x y z x y z+ − − xy= − xy
(do x y z+ + = 0) Tơng tự: y2 + −z2 x2 = − 2 ;yz z2 + −x2 y2 = − 2zx Thay vào A ta có:
A
−
II Dạng 2: Các phép tính về phân thức:
A/ Kiến thức cơ bản:
1/ Quy đồng mẫu của nhiều phân thức:
- Phân tích các mẫu thức thành nhân tử rồi tìm mẫu thức chung
- Tìm nhân tử phụ của mỗi mẫu thức
- Nhân cả tử và mẫu của mỗi phân thức với nhân tử phụ tơng ứng
* Chú ý: Để tìm mẫu thức chung thuận tiện ta có thể:
- áp dụng quy tắc đổi dấu đối với một phân thức
- Rút gọn phân thức trớc khi quy đồng
2/ Các phép tính về phân thức:
a; Muốn cộng hai phân thức cùng mẫu, ta cộng các tử thức với nhau và giữ nguyên mẫu Muốn cộng hai phân thức khác mẫu ta quy đồng mẫu thức rồi cộng các phân thức cùng mẫu vừa tìm đợc
b; Phép cộng các phân thức cũng có các tính chất giao hoán, kết hợp
c; Hai phân thức đợc gọi là đối nhau nếu tổng của chúng bằng 0
A A
−
− = và A A
−
d; Phép trừ: A C A C
− = + − ữ
.
Trang 2e; Phép nhân: . .
.
B D = B D f; Phép chia: A C: A D.
B D = B C Với C 0.
g;Phép nhân các phân thức đại số có tính chất giao hoán, kết hợp và phân phối đối với phép cộng
B/ Bài tập:
Bài 3: Quy đồng mẫu thức các phân thức sau:
a
−
− −
2
b
Lời giải: a/ áp dụng quy tắc đổi dấu ta có: 2 2 2 2
Phân tích các mẫu thức thành nhân tử: 3x− 6y= 3(x− 2 ; 2y) x2 − 8y2 = 2(x− 2y x) ( + 2y) MTC= 6(x− 2y x) ( + 2 ;y NTP) 1 = 2(x+ 2 ;y NTP) 2 = 3.
4
2 2 ( ) ( ) ( ( ) ( ) )
−
b/ * Rút gọn các phân thức ta có: ( )
2
3 2 3
1
;
x x
+
2
2
x x
+
5
3
3 2
1
x x
+
( ) ( ( ) ( ) )
x x
−
5
x
= =
P
Tìm các giá trị của x để P có giá trị bằng 1.
3
Lời giải: Ta có: P=(x 3) (1x 2) (+ x 4) (1x 3) (+ x 5) (1x 4) (+ x 6) (1x 5)
ĐKXĐ: x≠ 2;x≠ 3;x≠ 4;x≠ 5;x≠ 6.
P
− − − − − − − − = x16 −x12 =(x 6) (4x 2)
Để P= ⇔13 (x 6) (4x 2) = ⇔13 (x−6) (x− =2) 12⇔ x x( − =8) 0
0 8
x x
=
⇔ = (Thỏa mãn ĐKKXĐ) Vậy x = 0; hoặc x = 8 thì P có giá trị bằng 1.
3
III Dạng 3: Biến đổi các biểu thức hữu tỷ:
A/ Kiến thức cơ bản:
Trang 3* Một phân thức đại số hoặc một biểu thức biểu thị một dãy các phép toán: cộng, trừ, nhân, chia trên những phân thức gọi là một biểu thức hữu tỉ
*Khi giải toán liên quan đến giá trị của phân thức thì trớc tiên phải tìm điều kiện của biến
để giá trị tơng ứng của mẫu thức khác 0
B/ Bài tập:
Bài 5: Cho biểu thức:
2
3
A
a; Rút gọn biểu thức A b; Tìm x để A có giá trị bằng 670
c; Tìm x Z∈ để 2 Z
Lời giải: a; ĐKXĐ: 0; 1; 1
2
2
A
2
x
3
x
A= ⇔ − = ⇔ − =x ⇔ =x
(Thỏa mãn ĐKXĐ)
Vậy x = 2011 thì A có giá trị bằng 670
c; Ta có 2 2 : 1 6
x
−
− Để
1 1
A∈ ⇔ x ∈ ⇔ − ∈
− Ư(6)= ± ± ± ±{ 1; 2; 3; 6} .
Ta có bảng sau:
Vậy x∈ − −{ 5; 2; 2;3; 4;7} thì 2 Z.
Bài 6: Cho biểu thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P
Tìm các cặp số nguyên (x; y) để P có giá trị bằng 12
Hớng dẫn: ĐKXĐ: x≠ − 1;y≠ 1;x≠ −y MTC= +(x y) (1 +x y) ( − 1)
Quy đồng, thực hiện phép trừ và rút gọn ta đợc: P xy x y= + − Ta cần tìm các cặp số
nguyên (x; y) để P= 12 ⇔ xy x y+ − = 12 ⇔(y+ 1) (x− = 1) 11.
Ta có 4 cặp số nguyên (x; y) thỏa mãn đề bài là: (x y; ) (= 12;0 ; 2;10 ; 10; 2 ; 0; 12) ( ) (− − ) ( − ).
IV Dạng 4: Các bài toán có nội dung tổng hợp:
Bài 7: Tìm số hữu tỷ x để phân thức 210
1
A x
= + có giá trị là số nguyên tố.
Hớng dẫn: ĐKXĐ: ∀ ∈x R
Đặt 2
10
+ (Với y N∈ ) Ta có
2 10 y
x
y
−
= (*) vì x2 ≥ ⇒ < ≤ 0 0 y 10 vì y là số nguyên tố nên y∈{2;3;5;7} Thay các giá trị của y vào (*) ta đợc x∈ − −{ 2; 1;1; 2} .
Bài 8: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: 5 2 210 65
7
A
x
=
+
x
A
+
Trang 4Vậy Max A = 10 đạt đợc khi x = -1.
Bài 9: Cho x y z; ; > 0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A 3x yz2 3xy z2 3xyz2 xy xz yz
xyz
=
Hớng dẫn: Ta có:
A
= + ữ+ + ữ+ + ữ
áp dụng bất đẳng thức CôSi cho 2 số dơng của từng ngoặc ta đợcA≥ 6 3
Vậy Min A = 6 3 đạt đợc khi 1
3
x= = =y z .
Bài 10: Cho các số khác không a; b; c Tính giá trị của biểu thức:
2009 2010 2011 11
2011
Q x= +y +z + Biết x; y; z thỏa mãn điều kiện:x22 y22 z22 x22 y22 z22
+ +
Hớng dẫn: Từ giả thiết ta có:
0 0(*)
Từ (*) suy ra x = y = z = 0 Vậy ta có: 11
2011
Bài 11: Cho các số a b c; ; thỏa mãn: a b c+ + = 1; 2 2 2
1
a + + =b c và x y z
a = =b c.
Tính giá trị của biểu thức: Q=(xy yz zx a+ + ) ( 3 + +b3 c3)+ 2010.
Hớng dẫn: Đặt x y z k
a = = =b c ⇒ =x ka y kb z kc; = ; = ⇒ xy yz zx k ab bc ac+ + = 2( + + )(*)
Mặt khác vì : a b c+ + = 1 ( )2 2 2 2 ( )
(doa2 + + =b2 c2 1) nên suy ra ab bc ca+ + = 0(**) Từ (*) và (**) suy raxy yz zx+ + = 0.
Vậy Q= ì + + 0 (a3 b3 c3)+ 2010 2010 = .
Bài tập áp dụng:
Bài 1: Rút gọn các phân thức sau:
3 2
;
a
+ − − + + +
;
b
Bài 2: Thực hiện các phép tính:
A
Bài 3: Cho biểu thức:
2
:
P
= + + + + + ữ − − − + − ữ
a; Rút gọn P b; Tìm các giá trị của x để 1
3
c; Tìm x Z∈ để P có giá trị là số nguyên
Đáp số: Bài 1: a;x−2
+
2 3 1
(Thêm bớt 2x vào mẫu thức).2
Trang 5Bµi 2: A= 0
Bµi 3: ; 3
3
x
a P x
+
=
− b x; = −6 c x; ∈{0;1; 2; 4;5;6;9}