HUONG DAN ON TAP CHUONG II DAI SO 11 năm 2012 2013

Lý thuyết: * Số phần tử của tập hợp hữu hạn A.. Hốn vị: * Kết quả của sự sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một hốn vị của tập hợp A * Số các hốn vị của A.. Phép

HƯỚNG DẪN ƠN TẬP CHƯƠNG II ĐẠI SỐ 11 NĂM HỌC 2012 – 2013

A Lý thuyết:

* Số phần tử của tập hợp hữu hạn A Kí hiệu: n(A) hoặc A

a) VD: Aa,b,c Ta nĩi: n(A) = 3 hoặc A = 3

1 Quy tắc cộng: Giả sử A và B là các tập khơng giao nhau Khi đĩ: n(A B) n(A) n(B)  

2 Quy tắc nhân: Giả sử A và B là hai tập hữu hạn bất kì Khi đĩ: n(A x B) = n(A).n(B)

Với A x B là tập hợp tất cả các cặp cĩ thứ tự (a, b), trong đĩ a A , b B

3 Hốn vị: * Kết quả của sự sắp xếp n phần tử của A theo một thứ tự nào đĩ được gọi là một hốn vị của tập hợp A

* Số các hốn vị của A Ký hiệu: P Viết: n P 1.2.3 (n 1).n n!n    (đọc là: n giai thừa)

4 Chỉnh hợp: * Kết quả của việc lấy k phần tử của A (1 k n  ) và xếp theo một thứ tự nào đĩ

được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử

* Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử Ký hiệu: A Viết: kn k

n

n!

A (n k)!





* Quy ước: a) 1! = 1 b) 0! = 1 Khi đĩ: Ann Pn n!

5 Tổ hợp: * Một tập con gồm k phần tử của A (1 k n  ) được gọi là một tổ hợp chập k của n

phần tử Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng

* Số các tổ hợp chập k của n phần tử Ký hiệu: C Viết: nk k

n

n!

C k!(n k)!





* Tính chất: a) Ckn Cn kn

 ( 0 k n  ) b) Ck 1n 1 Ckn 1 Ckn

    (1 k n  )

6 Nhị thức Niu-tơn:

a) Cơng thức nhị thức Niu-tơn: (a b)n C a0 nn C a b C a b0 n 1n  0 n kn  k C a.b0n n 1 C bn nn

b) C0n C C1n   nn 2n c) C0n  C ( 1) C1n    k kn  ( 1) C  n nn 0

c) Số hạng tổng quát trong khai triển là: C a bk n k kn 

* Nếu số hạng thứ 7 (chẳng hạn) thì k = 6 (theo cơng thức tổng quát)

Chú ý: a) C a ( b)k n kn  k C a ( 1) bk n kn  k k

b) C : gọi là hệ số của số hạng thứ 1; 0n 1

n

C : gọi là hệ số của số hạng thứ 2; …

7 Phép thử và biến cố:

a) Khơng gian mẫu: Tập hợp mọi kết quả cĩ thể xảy ra của một phép thử Ký hiệu: 

b) Biến cố: Mỗi tập con A của 

* Tập  được gọi là biến cố khơng thể * Tập  được gọi là biến cố chắc chắn

c) Biến cố A\ A được gọi là biến cố đối của A

* A và B đối nhau  A = B * Nếu A B  thì A và B được gọi là hai biến cố xung khắc

8 Xác suất của biến cố:

Xác suất của biến cố A Ký hiệu: P(A) Viết: P(A) n(A) số phần tử của tập A

n( ) số phần tử của không gian mẫu



Chú ý: a) P(A) 0, A  b) P( ) 1  c) P( ) 0 

d) P(AB) P(A) P(B) 

B Bài tập mẫu:

1 Phép cộng và phép nhân

Bài 1: Trong một lớp cĩ 18 bạn nam, 12 bạn nữ Hỏi cĩ bao nhiêu cách chọn một bạn phụ trách

quỹ lớp

Giải: a) + Cĩ 18 cách chọn bạn nam + Cĩ 12 cách chọn bạn nữ

Vậy: Cĩ 18 + 12 (cách chọn)

Bài 2: Trong một hộp chứa 6 quả cầu trắng được đánh số từ 1 đến 6 và 3 quả cầu đen được đánh

số từ 7 đến 9 Hỏi có bao nhiêu cách chọn một trong các quả cầu ấy?

Giải: + Có 6 cách chọn quả cầu trắng + Có 3 cách chọn quả cầu đen

Vậy: Có 6 + 3 = 9 (cách chọn)

Bài 3: Bạn Hoàng có hai áo màu khác nhau và 3 quần kiểu khác nhau Hỏi Hoàng có bao nhiêu

cách chọn một bộ quần áo?

Giải: + Có 2 cách chọn áo + Có 3 cách chọn quần

Vậy: Có 2.3 = 6 (cách chọn)

Bài 4: Trên giá sách có 10 quyển sách tiếng Việt khác nhau, 8 quyển tiếng Anh khác nhau và 6

quyển tiếng Pháp khác nhau Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 quyển sách khác nhau?

Giải: + Có 10 cách chọn quyển sách tiếng Việt + Có 8 cách chọn quyển sách tiếng Anh

+ Có 6 cách chọn quyển sách tiếng Pháp

Vậy: Có 10.8.6 = 480 (cách chọn)

Bài 5: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) Một chữ số b) 3 chữ số c) 3 chữ số khác nhau

d) 3 chữ số chẵn khác nhau e) 3 chữ số lẻ f) 3 chữ số khác nhau lẻ g) 4 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi số 3 h) 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5

Giải: a) Có 6 cách chọn Vậy: Có 6 số

b) Gọi số có hai chữ số có dạng: abc

+ a: có 6 cách chọn + b: có 6 cách chọn + c: có 6 cách chọn

Vậy: Có 6.6.6 = 216 (số)

c) Gọi số có hai chữ số khác nhau có dạng: abc

+ a: có 6 cách chọn + b: có 5 cách chọn (vì khác a) + c: có 4 cách chọn (vì c khác a, b)

Vậy: Có 6.5.4 = 120 (số)

d) Gọi số có 3 chữ số chẵn khác nhau có dạng: abc

+ c: có 3 cách chọn (vì c =  2,4,6 ) + a: có 5 cách chọn (vì a khác c)

+ b: có 4 cách chọn (vì b khác a, c)

Vậy: Có 3.5.4 = 60 (số)

* Cách khác: Có 120 – 60 = 60 (số) (vì số lẻ có 3 chữ số khác nhau bằng 60 (số))

e) Gọi số có 3 chữ số lẻ có dạng: abc

+ c: có 3 cách chọn (vì c =  1,3,5 ) + a: có 6 cách chọn + b: có 6 cách chọn

Vậy: Có 3.6.6 = 108 (số)

f) Gọi số có 3 chữ số khác nhau lẻ có dạng: abc

+ c: có 3 cách chọn (vì c = 1,3,5 ) + a: có 5 cách chọn (vì khác c)

+ b: có 4 cách chọn (vì b khác a, c)

Vậy: Có 3.5.4 = 120 (số)

* Cách khác: Có 120 – 60 = 60 (số) (vì số chẵn có 3 chữ số khác nhau bằng 60 (số))

g) Gọi số có 4 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi số 3 có dạng: abcd

+ a = 3: có 1 cách chọn + b: có 5 cách chọn + c: có 4 cách chọn (vì c khác a) + d: có 3 cách chọn (vì d khác b, c)

Vậy: Có 1.5.4.3 = 60 (số)

h) Gọi số có 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5 có dạng: abcd

+ d = 5: có 1 cách chọn + a: có 5 cách chọn (vì a khác 5)

+ b: có 4 cách chọn (vì b khác a, d) + c: có 3 cách chọn (vì c khác a, b, d)

Vậy: Có 1.5.4.3 = 60 (số)

Bài 6: Với các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) Bốn chữ số b) Bốn chữ số khác nhau c) Bốn chữ số khác nhau lẻ

d) 4 chữ số chẵn khác nhau e) 5 chữ số chẵn f) 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5

Giải: Gọi A0,1,2,3,4,5,6,7

a) Gọi số có 4 chữ số có dạng: abcd

+ a 0: có 7 cách chọn + b: có 8 cách chọn + c: có 8 cách chọn + d: có 8 cách chọn Vậy: Có 7.8.8.8 = 3584 (số)

b) Gọi số có 4 chữ số khác nhau có dạng: abcd

+ a: có 7 cách chọn (vì a khác 0) + b: có 7 cách chọn (vì b khác a)

+ c: có 6 cách chọn (vì c khác a, b) + d: có 5 cách chọn (vì d khác a, b, c)

Vậy: Có 7.7.6.5 = 1470 (số)

c) Gọi số có 4 chữ số khác nhau lẻ có dạng: abcd

+d: có 4 cách chọn (vì d1,3,5,7 ) + a: có 6 cách chọn (vì a khác d và 0)

+ b: có 6 cách chọn (vì b khác a, d) + c: có 5 cách chọn (vì c khác a, b, d)

Vậy: Có 4.6.6.5 = 720 (số)

d) * Cách 1: Gọi số có 4 chữ số chẵn khác nhau có dạng: abcd với d = 0;2,4,6

TH1: + d = 0: có 1 cách chọn + a: có 7 cách chọn (vì a khác d)

+ b: có 6 cách chọn (vì b khác a, d) + c: có 5 cách chọn (vì c khác a, b, d)

Vậy: Có 1.7.6.5 = 210 (số)

TH2: + d 0: có 3 cách chọn + a: có 6 cách chọn (vì a khác d và 0)

+ b: có 6 cách chọn (vì b khác a, d) + c: có 5 cách chọn (vì c khác a, b, d)

Vậy: Có 3.6.6.5 = 540 (số)

Vậy: Tổng cộng có 210 + 540 = 750 (số)

* Cách 2: Có 1470 – 720 = 750 (số)

e) Gọi số có 5 chữ số chẵn có dạng: abcde với e =  0;2,4,6

+ e: có 4 cách chọn + a: có 7 cách chọn (vì a khác 0)

+ b, c, d: có 83 cách chọn

Vậy: Có 4.7.83 = 14336 (số)

f) Gọi số có 3 chữ số khác nhau chia hết cho 5 có dạng: abc với c =  0;5 

TH1: + c = 0: có 1 cách chọn + a: có 7 cách chọn

+ b: có 6 cách chọn (c khác a, c)

Vậy: Có 1.7.6 = 42 (số)

TH2: + c = 5: có 1 cách chọn + a: có 6 cách chọn (vì a khác 0, c)

+ b: có 6 cách chọn

Vậy: Có 1.6.6 = 36 (số)

Vậy: Có tất cả 42 + 36 = 78 (số)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Một người có 7 áo và 5 cà vạt Hỏi có bao nhiêu cách chọn:

a) Một trong các đồ vật nói trên ĐS: 12

b) Một chiếc áo và một chiếc cà vạt ĐS: 35

Bài 2: Có 3 kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vuông, tròn, elip) và 4 kiểu dây (kim loại, da, vải và nhựa) Hỏi có bao nhiêu cách chọn một chiếc đồng hồ gồm một mặt và một dây ĐS: 12

Bài 3: Một cô gái có 8 chiếc áo khác nhau, 6 quần tây khác nhau và 3 đôi giày khác nhau để mặc

khi đi làm Nếy mỗi ngày cô ấy mặc một kiểu (áo, quần, giày) khác nhau đến cơ quan thì trong

bao lâu cô ấy mới thay đổi hết kiểu? ĐS: 144 (ngày)

Bài 4: Từ các chữ số 1, 2, 5, 6, 7, 8 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) Một chữ số b) 4 chữ số c) 4 chữ số khác nhau

d) 4 chữ số chẵn khác nhau e) 4 chữ số khác nhau lẻ f) 4 chữ số lẻ

g) 5 chữ số khác nhau và bắt đầu bởi số 2 h) 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5

ĐS: a) 6 b) 1296 c) 360 d) 180 e) 180

f) 375 g) 120 h) 120

Bài 5: Có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) 5 chữ số b) 5 chữ số khác nhau c) 5 chữ số khác nhau lẻ

d) 5 chữ số chẵn khác nhau e) 6 chữ số chẵn f) 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5

ĐS: a) 90000 b) 27216 c) 13440 d) 13776 e) 450000 f) 952

2 Hoán vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp:

Bài 1: Từ các số 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) 7 chữ số khác nhau b) 4 chữ số khác nhau c) 4 chữ số lẻ khác nhau d) 4 chữ số chẵn khác nhau

Giải: a) Số có 7 chữ số khác nhau: có 7! = 5040 (số)

b) Số có 4 chữ số khác nhau: có A47 840 (số)

c) Gọi số có 4 chữ số lẻ khác nhau có dạng: abcd với d1;3;5

+ d: có 3 cách chọn + 3 vị trí a, b, c: có A36 120 cách chọn

Vậy: Có 3.120 = 360 (số)

d) Gọi số có 4 chữ số chẵn khác nhau có dạng: abcd với d2;4;6;8 + d: có 4 cách chọn + 3 vị trí a, b, c: có A36 120 cách chọn

Vậy: Có 4.120 = 480 (số)

Bài 2: Từ các chữ số 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8 Hỏi có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) 7 chữ số khác nhau b) 5 chữ số khác nhau c) 4 chữ số chẵn khác nhau

Giải: a) Gọi số có 7 chữ số khác nhau có dạng: a a a a a a a1 2 3 4 5 6 7

+ a1: có 6 cách chọn (vì a khác 0) + 6 Vị trí a2, a3, a4, a5, a6, a7: có 6! = 720 cách chọn Vậy: Có 6.720 = 4320 (số)

b) Gọi số có 5 chữ số khác nhau có dạng: a a a a a1 2 3 4 5

+ a1: có 6 cách chọn + 4 vị trí a2, a3, a4, a5: có A46 360 cách chọn

Vậy: Có 6.360 = 2160 (số)

c) * Cách 1: Gọi số có 4 chữ số chẵn khác nhau có dạng: a a a a với 1 2 3 4 a4  0;2;4;8

TH1: + a4 = 0: có 1 cách chọn + 3 vị trí a1, a3, a4: có A36 120 cách chọn

Vậy: Có 1.120 = 120 (số)

TH2: + a4 0: có 3 cách chọn + a1: có 5 cách chọn (vì a 1 khác a4 và 0)

+ 2 vị trí a3, a4: có A25 20 cách chọn

Vậy: Có 3.5.20 = 300 (số)

Vậy: Có tất cả 120 + 300 = 420 (số)

* Cách 2: Gọi số có 4 chữ số khác nhau có dạng: a a a a 1 2 3 4

+ a1: có 6 cách chọn (vì a khác 0) + 3 vị trí a2, a3, a4: có A36 120 cách chọn

Vậy: Có 6.120 = 720 (số)

Gọi số có 4 chữ số lẻ khác nhau có dạng: a a a a với 1 2 3 4 a4 1;5;7

+ a4: có 3 cách chọn + a1: có 5 cách chọn (vì a khác a 4 và 0)

+ 2 vị trí a2, a3: có A25 20 cách chọn

Vậy: Có 3.5.20 = 300 (số)

Vậy: Số có 4 chữ số chẵn khác nhau có 720 – 300 = 420 (số)

Bài 3: Một lớp học có 25 học sinh Họ muốn chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó và 1 thủ quỹ

mà không cho kiêm nhiệm Hỏi có bao nhiêu cách chọn ?

Giải: Có A325 13800 (cách)

Bài 4: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 10 người khác vào mười ghế kê thành một dãy?

Giải: Có 10! = 3628800 (cách)

Bài 5: Một công ty gồm 10 kỹ sư, 25 công nhân Để lập một ban quản lý cần chọn 1 kỹ sư làm tổ

trưởng, 1 công nhân làm tổ phó, 3 công nhân làm tổ viên Hỏi có bao nhiêu cách lập tổ quản lý?

Giải: + Chọn 1 kỹ sư làm tổ trưởng: có A110 10 (cách )

+ Chọn 1 công nhân làm tổ phó: có A125 25(cách)

+ Chọn 3 công nhân làm tổ viên: có C324 2024(cách)

Vậy: Có 10.25.2024 = 506000 (cách)

Bài 6: Một lớp học có 30 học sinh Họ muốn chọn ra một lớp trưởng, một lớp phó học tập và 5 tổ

trưởng Hỏi có bao nhiêu cách chọn như trên?

Giải: * Cách 1: + Chọn 1 lớp trưởng và 1 lớp phó học tập: có A230 870 (cách)

+ Chọn 5 tổ trưởng: có C528 98280 (cách)

Vậy: Có 870.98280 = 85503600 (cách)

* Cách 2: + Chọn 1 lớp trưởng: có A130 30 (cách)

+ Chọn 1 lớp phó học tập: có A129 29(cách)

+ Chọn 5 tổ trưởng: có C528 98280 (cách)

Vậy: Có 30.29.98280 = 85503600 (cách)

Bài 7: Một cái hộp chứa 7 quả cầu trắng và 3 quả cầu đỏ Hỏi có bao nhiêu cách lấy ra 4 quả cầu:

a) Tùy ý b) Có 2 quả cầu trắng và 2 quả cầu đỏ c) Có nhiều nhất là 2 quả cầu đỏ d) Có ít nhất là 1 quả cầu đỏ

Giải: a) Lấy 4 quả cầu tùy ý: có C104 210(cách)

b) + Lấy 2 quả cầu trắng: có C27 21 (cách) + Lấy 2 quả cầu đỏ: có C23 3 (cách) Vậy: Có 21.3 = 63 (cách)

Trình bày khác: Lấy 2 quả cầu trắng và 2 quả cầu đỏ: có C C27 23 63 (cách)

c) * Lấy 2 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng: có C C23 27 63 (cách)

* Lấy 1 quả cầu đỏ và 3 quả cầu trắng: có C C13 37 105 (cách)

* Lấy 0 quả cầu đỏ và 4 quả cầu trắng: có C C30 47 35(cách)

Vậy: Có 63 + 105 + 35 = 203 (cách)

d) * Lấy 1 quả cầu đỏ và 3 quả cầu trắng: có C C13 37 105 (cách)

* Lấy 2 quả cầu đỏ và 2 quả cầu trắng: có C C23 27 63 (cách)

* Lấy 3 quả cầu đỏ và 1 quả cầu trắng: có C C33 17 7 (cách)

Vậy: Có 105 + 63 + 7 = 175 (cách)

Bài 8: Một hội đồng quản trị của một công ty gồm có 11 người gồm 7 nam và 4 nữ Người ta

muốn lập ban thường trực gồm có 3 người Hỏi rằng có bao nhiêu cách thành lập, biết rằng: a) Chọn nam, nữ tùy ý b) Phải chọn có đúng một nam

c) Phải chọn có ít nhất một nữ d) Phải chọn có nhiều nhất 2 nữ

Giải: a) Chọn 3 người nam, nữ tùy ý: có C113 165 (cách)

b) Chọn có đúng 1nam và 2 nữ: có C C17 24 42(cách)

c) * Chọn 1 nữ và 2 nam: có C C14 27 84(cách)

* Chọn 2 nữ và 1nam: có C C24 17 42(cách)

* Chọn 3 nữ và 0 nam: có C C34 07 4(cách)

Vậy: Có 84 + 42 + 4 = 130 (cách)

d) * Chọn 2 nữ và 1 nam: có C C24 17 42 (cách)

* Chọn 1 nữ và 2 nam: có C C14 27 84(cách)

* Chọn 0 nữ và 3 nam: cĩ C C04 37 35(cách)

Vậy: Cĩ 42 + 84 + 35 = 161 (cách)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Từ các số 1, 2, 4, 5, 6, 7, 9 Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) 7 chữ số khác nhau b) 6 chữ số khác nhau c) 6 chữ số lẻ khác nhau d) 6 chữ số chẵn khác nhau e) 5 chữ số khác nhau chia hết cho 5

ĐS: a) 5040 b) 5040 c) 2880 d) 2160 e) 360

Bài 2: Từ các số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 Hỏi cĩ thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm:

a) 8 chữ số khác nhau b) 4 chữ số khác nhau c) 4 chữ số chẵn khác nhau d) 4 chữ số lẻ khác nhau e) 4 chữ số khác nhau chia hết cho 5

ĐS: a) 35280 b) 1470 c) 750 d) 720 e) 390

Bài 3: Cĩ bao nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi cho 5 người khách vào 5 ghế xếp thành một dãy?

ĐS: 120 Bài 4: Mười người muốn chụp ảnh chung Họ muốn chụp nhiều ảnh khác nhau bằng cách đổi chỗ

đứng lẫn nhau Cho rằng mỗi lần đổi chỗ và chụp ảnh mất một phút Hỏi cần bao lâu để cĩ thể

chụp tất cả các ảnh khác nhau? ĐS: 3628800 phút = 60480 giờ

Bài 5: Một nhĩm người thành lập cơng ty Họ muốn chọn một ban điều hành gồm một giám đốc, một phĩ giám đốc và một thủ quỹ Cĩ 10 người hội đủ điều kiện được chọn ĐS: 720

Bài 6: Một lớp học gồm 42 học sinh trong đĩ cĩ 25 học sinh nam và 17 học sinh nữ Cĩ bao

nhiêu cách để chọn ra:

a) Một lớp trưởng, một lớp phĩ và một thủ quỹ ĐS: 68880

b) Một lớp trưởng, lớp phĩ, 4 tổ trưởng ĐS: 157373580

c) Một tổ gồm 5 người trong đĩ cĩ 3 nam và 2 nữ ĐS: 312800

d) Một nhĩm gồm 6 người trong đĩ cĩ đúng 1 nữ ĐS: 903210

e) Một nhĩm người gồm 5 người trong đĩ cĩ nhiều nhất 2 nam ĐS: 269688

f) Một nhĩm người gồm 4 người trong đĩ cĩ ít nhất 1 nam ĐS: 109550

3 Giải phương trình: Hốn vị - Chỉnh hợp – Tổ hợp

Giải các phương trình sau:

x 1 3 x 1

A 14P C b) C3x 1  C2x 1 2A2x 2

3 c) 2C2x 1 3A2x 30

x 1 3 x 1

(x 1)! 14.3!. (x 1)!

 2!(x + 1)! = 14.3!(x – 1)!  2!(x + 1)x (x – 1)! = 14.3.2!(x – 1)!  x2 + x – 42 = 0

  





x 6

x 7(loại) Vậy: Nghiệm của PT là: x = 6

b) ĐK: x 4 , x  Ta cĩ: C3x 1  C2x 1 2A2x 2

(x 1)! (x 1)! 2 (x 2)!. 3!(x 4)! 2!(x 3)! 3 (x 4)!

(x 2)! x 1 x 1 2 (x 2)!.

(x 4)! 6 2(x 3) 3 (x 4)! 



 (x – 1)(x – 3) – 3(x – 1) = 4(x – 3)  x2 – 11x + 18 = 0   





x 9

x 2(loại) c) ĐK: x 2 , x  Ta cĩ: 2C2x 1 3A2x 30    

2!(x 1)! (x 2)!

 (x + 1)x + 3x(x – 1) = 30  2x2 – x – 15 = 0  x = 3; x =  5/ 2 (loại)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN

Giải các phương trình sau:

x 1 x 1

A C 14(x 1) b) 3A2n  A22n 42 0 c)  

n 1 n 1

d) P Ax 2x 72 6(A 2x 2P ) e) x A3x 5A2x 21x f) C4x 1  C3x 1  5A2x 2 0

4

ĐS: a) x = 4 b) n = 6 c) n = 5 d) x = 3 hoặc x = 4 e) x = 4 f) x = 11

4 Nhị thức Niu-tơn

Bài 1: Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu-tơn:

a) (a – 3b)5 b) (2x + 3y)7 c) (3 – x)5 d) (2x – 1)6

Giải: a) (a – 3b)5 = C (1a)05 5 (-3b)0 + C (1a)15 4(-3b)1 + C (1a)25 3(-3b)2 + C (1a)35 2(-3b)3

+ C (1a)45 1(-3b)4 + C (1a)55 0(-3b)5

= a5 – 15a4b + 90a3b2 – 270a2b3 + 405ab4 – 243b5

b) (2x + 3y)7 = C (2x)07 7(3y)0 + C (2x)17 6(3y)1 + C (2x)27 5(3y)2 + C (2x)37 4(3y)3 + C (2x)47 3(3y)4

+ C (2x)57 2(3y)5 + C (2x)67 1(3y)6 + C (2x)77 0(3y)7

= 128x7 + 1344x6y + 6048x5y2 + 15120x4y3 + 22680x3y4 + 20412x2y5 + 10206xy6 + 2187y7

c) (3 – x)5 = C 305 5(–x)0 + C 315 4(–x)1 + C 325 3(–x)2 + C 335 2(–x)3 + C 345 1(–x)4 + C 355 0(–x)5

= 243 – 405x + 270x2 – 90x3 + 15x4 – x5

d) (2x – 1)6 = C (2x)06 6(-1)0 + C (2x)16 5(-1)1 + C (2x)26 4(-1)2 + C (2x)36 3(-1)3 + C (2x)46 2(-1)4

+ C (2x)56 1(-1)5 + C (2x)66 0(-1)6

= 64x6 – 192x5 + 240x4 – 160x3 + 60x2 – 12x + 1

Bài 2: Tìm hệ số x2 trong khai triển của biểu thức

8

2

3 x x



Giải: Số hạng tổng quát trong khai triển là:

k

k 8 k

3

C x

x



  = C x ( 3x )8k 8 k 2 k

 = C x ( 3) xk 8 k8  k 2k

 = C ( 3) x8k k 8 3k

 Ứng với số hạng chứa x2, ta có: 8 – 3k = 2  – 3k = – 6  k = 2

Vậy: Hệ số x2 trong khai triển là: C ( 3)28  2= 252

Bài 3: Tìm số hạng thứ 5 trong khai triển

10

3

1 2x x



Giải: Số hạng tổng quát trong khai triển có dạng:

k

k 10 k

1

C x

x

  

Vậy: Số hạng thứ 5 là:

4

4 6

1

C x

x

 

 

  = C x 104 6 112 156

x x

Bài 4: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:

a)

9

2

1 x

x



  b)

15 3

2

3 2x x



Giải: a) Số hạng tổng quát trong khai triển là:

9 k

1

x



Ứng với số hạng không chứa x, ta có: – 18 + 3k = 0  k = 6

Vậy: Số hạng không chứa x là: C69 84

b) Số hạng tổng quát trong khai triển là:

k

3

x



= C (2) x15k 15 k 45 3k 3 xk 2k C (2) x15k 15 k 45 5k 3k

 Ứng với số hạng khơng chứa x, ta cĩ: 45 – 5k = 0  k = 9

Vậy: Số hạng khơng chứa x là: C 2 3159 6 9 6304858560

Bài 5: Tính tổng các hệ số trong khai triển của các biểu thức sau:

a) (3x + y)6 b) (2x + 3)7 c) (5x – 6)21 d) (4 – 3y)12

Giải: a) Tổng các hệ số là: (3.1 + 1)6 = 4096 b) Tổng các hệ số là: (2.1 + 3)7 = 78125 c) Tổng các hệ số là: (5.1 – 6)21 = –1 d) Tổng các hệ số là: (4 – 3.1)12 = 1

Bài 6: Trong khai triển   

n

2

1 x

x cĩ tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28 Tìm hệ số của số hạng chứa x3

Giải: Tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28, ta cĩ: ( 1) C0 0n  ( 1) C1 1n  ( 1) C2 2n 28

 C0n  C1n C2n 28    

0!n! 1!(n 1)! 2!(n 2)! 



 n(n 1)

2

 n2 – 3n – 54 = 0   





n 6(loại)

n 9 (vì n 2 ,  n )  Khai triển của biểu thức là:  

9

2

1 x x

Số hạng tổng quát trong khai triển là:



k

k 9 k

1

C x

x =



k 9 k 2 k 9



k 9 k k 2k 9



k k 9 3k 9

C ( 1) x Ứng với số hạng chứa x3, ta cĩ: 9 – 3k = 3  – 3k = – 6  k = 2

Vậy: Hệ số x3 trong khai triển là: C ( 1) = – 8439  3

Bài 7: Biết hệ số của x3 trong khai triển của (1 – 4x)n là –1280 Tìm n

Giải: Số hạng tổng quát trong khai triển là: 

C 1 ( 4x) C ( 4) x YCĐB k = 3 Mà: Hệ số của x3 là –1280, ta cĩ: C ( 4)3n  3 1280  C3n 20



3!(n 3)!  n(n – 1)(n – 2) = 120  n

3 – 3n2

+ 2n – 120 = 0  n = 6

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1: Viết khai triển theo cơng thức nhị thức Niu-tơn:

a) (a + 2b)5 b) (3x – 2y)6 c) (3x – y)7 d) (3x + 1)8 e) (2 – 3x)6

ĐS: a) a 5 + 10a 4 b + 40a 3 b 2 + 80a 2 b 3 + 80ab 4 + 32b 5

b) 729x 6 – 2916x 5 y + 4860x 4 y 2 – 4320x 3 y 3 + 2160x 2 y 4 – 576xy 5 + 64y 6

c) 2187x 7 – 5103x 6 y + 5103x 5 y 2 – 2835x 4 y 3 + 945x 3 y 4 – 189x 2 y 5 + 21xy 6 – y 7

d) 6561x 8 + 17496x 7 + 20412x 6 + 13608x 5 + 5670x 4 + 1512x 3 + 252x 2 + 24x + 1

e) 64 – 576x + 2160x 2 – 4320x 3 + 4860x 4 – 2916x 5 + 729x 6

Bài 2: Tìm hệ số của x7 trong khai triển (1 – x)12 ĐS: 792

Bài 3: Cho khai triển   

5 3

2

2 3x

x Tìm số hạng chứa x10 ĐS: – 810x 10

Bài 4: Trong khai triển   

n 2

2

1 x

x cĩ tổng các hệ số của 3 số hạng đấu là 11

a) Tìm số hạng thứ 2 b) Tìm số hạng cuối c) Tìm hệ số của số hạng chứa x-4

ĐS: a) 4x 4 b) 1 8

x c) 4 Bài 5: Tính tổng các hệ số trong khai triển của các biểu thức sau:

a) (6x – 1)8 b) (4x + 3y)7 c) (7x – 6)32 d) (5 – 6x)25 e) (3x – 4)17

ĐS: a) 390625 b) 823543 c) 1 d) –1 e) –1

Bài 6: Tìm hệ số của x3 trong khai triển của biểu thức:   

6

2

2 x

x ĐS: 12

Bài 7: Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1 – 3x)n là 90 Tính n ĐS: n = 5

Bài 8: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển sau:

a)   

8

3 1

x

x ĐS: 28 b)



10 3

2

1 2x

x ĐS: 3360 c)



9 2

4

1 2x

x ĐS: 5040

5 Phép thử và biến cố - Xáx suất

Bài 1: Gieo một đồng tiền 2 lần a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố: A: “Kết quả gieo hai lần là như nhau”

B: “Có ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”

C: “Lần thứ hai mới xuất hiện mặt sấp” D: “Lần đầu xuất hiện mặt sấp”

Giải: a) Không gian mẫu là:  SS,NN,SN,NS

b) A = SS,NN B =  SS,SN,NS C =  NS D =  SS,SN

Bài 2: Một hộp chứa 4 cái thẻ được đánh số 1, 2, 3, 4 Lấy ngẫu nhiên 2 thẻ

a) Mô tả không gian mẫu

b) Xác định các biến cố sau: A: “Tổng các số trên hai thẻ là số chẵn”

B: “Tích các số trên hai thẻ là số chẵn”

Giải: a) Không gian mẫu là:  (1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)

b) A = (1,3),(2,4) B =  (1,2),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4) =  \ (1,3) 

Bài 3: Gieo một con súc sắc hai lần

a) Mô tả không gian mẫu

b) Phát biểu các biến cố sau dưới dạng mệnh đề :

A = (6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6) B =  (2,6),(6,2),(3,5),(5,3),(4,4)

C = (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)

Giải: a) Không gian mẫu là:

(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6),

(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6),

(5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),

 

(6,4),(6,5),(6,6)

Hoặc  (i, j) | i, j;1 i, j 6  

b) A: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt 6 chấm” B: “Tổng số chấm trong hai lần gieo là 8” C: “Kết quả của hai lần gieo là như nhau”

Bài 4: Gieo một con súc sắc hai lần a) Xác định không gian mẫu

b) Tính xác suất của các biến cố sau:

A: “Số chấm ở hai lần gieo là bằng nhau” B: “Tổng số chấm không nhỏ hơn 10” C: “Tổng số chấm chia hết cho 3” D: “Mặt 5 chấm xuất hiện ở lần gieo đầu”

Giải: a)  (i, j) | i, j;1 i, j 6    n( ) 36 

b) A = (1,1),(2,2),(3,3),(4,4),(5,5),(6,6)  n(A) = 6 P(A) =  n( ) 36 6n(A)  6 1



B = (4,6),(6,4),(5,5),(5,6),(6,5),(6,6)  n(B) = 6 P(B) =  n( ) 36 6n(B)  6 1



C = (1,2),(2,1),(1,5),(5,1),(2,4),(4,2),(3,3),(3,6),(6,3),(4,5),(5,4),(6,6)  n(C) = 12

 P(C) = n(C) 12 1

n( ) 36 3  

D = (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6)  n(D) = 6 P(D) =  n(D) 6 1

n( ) 36 6  

Bài 5: Gieo một đồng tiền ba lần và quan sát sự xuất hiện mặt sấp (S), mặt ngửa (N)

a) Xác định không gian mẫu

b) Tính xác suất của các biến cố sau:

A: “Lần gieo đầu xuất hiện mặt sấp” B: “Ba lần xuất hiện các mặt như nhau”

C: “Đúng hai lần xuất hiện mặt sấp” D: “Ít nhất một lần xuất hiện mặt sấp”

b) A = SSS,SSN,SNS,SNN  n(A) = 4 P(A) =  n(A) 4 1n( ) 8 2 



B = SSS,NNN  P(B) =  n( ) 8 4n(B) 2 1 

 C = SSN,SNS,NSS  P(C) =  n( ) 8n(C) 3



D = SSS,SSN,SNS,NSN,NSS,SNN,NNS  n(D) = 7 P(D) =  n(D) 7n( ) 8



Bài 6: Lấy ngẫu nhiên một thẻ từ một hộp chứa 20 thẻ được đánh số từ 1 đến 20 Tìm xác suất để

thẻ được lấy ghi số: a) Chẵn b) Chia hết cho 3 c) Lẻ và chia hết cho 3

Giải: Không gian mẫu là: 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20  n(  )= 20 a) A = 2,4,6,8,10,12,14,16,18,20  P(A) =  n(A) 10 1

n( ) 20 2   b) B = 3,6,9,12,15,18  P(B) =  n(B) 6 3

n( ) 20 10   c) C = 3,9,15  P(C) =  n(C) 3

n( ) 20 

Bài 7: Một tổ có 7 nam và 3 nữ Chọn ngẫu nhiên 2 người Tìm xác suất sao cho trong 2 người

đó: a) Cả hai đều là nữ b) Không có nữ nào

c) Ít nhất một người là nữ d) Có đúng một người là nữ

Giải: * Số cách chọn 2 người là: C102 45 Vậy: n( ) 45 

a) A: “Cả 2 đều là nữ”  n(A) = C = 3 P(A) = 23 n(A)n( ) 45 15 3  1

 b) B: “Không có nữ nào”  n(B) = C27 21 P(B) = n(B) 21 7

n( ) 45 15   c) C: “Ít nhất một người là nữ”  n(C) = C C13 17 C C32 07 24 P(C) = n(C) 24 8

n( ) 45 15   d) D: “Có đúng một người là nữ”  n(D) = C C13 17 21 P(C) = n(D) 21 7

n( ) 45 15  

Bài 8: Một bình đựng 8 viên bi xanh và 4 viên bi đỏ, các viên bi này chỉ khác nhau về màu Lấy

ngẫu nhiên 3 viên bi Tính xác suất để được: a) 3 viên bi xanh b) 3 viên bi đỏ c) 3 viên bi cùng màu d) 3 viên bi khác màu e) Ít nhất 2 viên bi xanh

Giải: * Số cách lấy 3 viên bi là: C312 220 Vậy: n( ) 220 

a) A: “3 viên bi xanh” n(A) = C38 56 P(A) = n(A) 56 14

n( ) 220 55   b) B: “3 viên bi đỏ”  n(B) = C34  4 P(A) = n(B) 4 1

n( ) 220 55   c) C: “3 viên bi cùng màu”  n(C) = C C38 34 60 P(C) = n(C) 60 3

n( ) 220 11  