LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LỚP 9

Trong chương trình Toán lớp 8 các bài toán rút gọn biểu thức các em đã được làm quen nhiều, song bài toán về rút gọn biểu thức có chứa dấu căn trong chương trình lớp 9 rất phong phú, đa dạng và phức tạp, nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo, yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy. Chính vì vậy dạng toán này thường xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và nó cũng là cơ sở để giải các bài toán tiếp theo như dạng giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức... Trong khi đó nội dung và thời lượng giảng dạy về phần rút gọn biểu thức chứa dấu căn lại không nhiều, nhưng lượng bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập phong phú và đa dạng. Vì vậy muốn học sinh giải được các dạng toán cơ bản của chương I Đại số lớp 9, trong quá trình giảng dạy chúng tôi đã phân chia các bài toán cơ bản của chương I thành hệ thống các dạng bài tập cho học sinh đại trà, học sinh giỏi để học sinh nhận diện ra phương pháp giải, tăng cường luyện tập, thực hành, rèn luyện kĩ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và các môn học khác . Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho HS chiếm thời gian chủ yếu của phần kiến thức này. Đây là quá trình chuyển từ tính toán trên tập số sang tính toán trên chữ. Do đó chương I Đại số lớp 9 còn giúp tổng kết việc tính toán và biến đổi đồng nhất ở cấp THCS.

PHÒNG GD&ĐT VĨNH TƯỜNG TRƯỜNG THCS NG V XUÂN

CHUYÊN ĐỀ

LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP

CƠ BẢN CHƯƠNG I ĐẠI SỐ LỚP 9

Người thực hiện: Nguyễn Thị Kim Xuyên

Đơn vị: Trường THCS Nguyễn Viết Xuân

Ngũ Kiên, ngày 25 tháng 11 năm 20

Chuyên đề LUYỆN KĨ NĂNG GIẢI CÁC BÀI TẬP CƠ BẢN

Trong chương I Đại số lớp 9, học sinh được chuyển kĩ năng tính toán trên tập số sang tính toán biểu thức chữ trên tập số thực R cùng các bài tập với biểu thức hữu tỷ Việc vận dụng kiến thức cũ tiếp cận kiến thức mới giải quyết bài toán cần biến đổi tổng hợp liên quan nhiều kiến thức, kỹ năng nhất định làm cho học sinh gặp khó khăn lúng túng trong quá trình học bộ môn, nhất là kỹ năng giải các bài tập cơ bản của chương

Vì thế đặt ra cho giáo viên trong quá trình giảng dạy cần phải làm thế nào để

HS nắm vững kiến thức cơ bản của chương, có kỹ năng vận dụng giải các bài tập

cơ bản của chương Muốn vậy, giáo viên cần nghiên cứu kỹ chương trình, có định hướng chia nhỏ yêu cầu bài tập và phân dạng bài tập HS cần được học theo chuyên đề về các dạng bài tập đó nhằm khắc sâu kiến thức, phương pháp và kĩ năng giải bài tập cho HS Yêu cầu các bài tập đưa ra phải đi từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp và phù hợp với trình độ nhận thức của HS giúp các em thông hiểu, vận dụng và hứng thú tích cực trong học tập

Vì vậy tôi muốn đưa ra hệ thống bài tập cơ bản của chương I Đại số lớp 9 để giúp chúng ta có hệ thống các bài tập khắc sâu kiến thức cho học sinh đồng thời luyện kỹ năng giải các dạng bài tập cơ bản của chương cho các em

Trong chương trình Toán lớp 8 các bài toán rút gọn biểu thức các em đã được làm quen nhiều, song bài toán về rút gọn biểu thức có chứa dấu căn trong chương trình lớp 9 rất phong phú, đa dạng và phức tạp, nó đòi hỏi phải vận dụng nhiều kiến thức một cách linh hoạt, sáng tạo, độc đáo, yêu cầu học sinh phải có óc quan sát nhạy bén, giúp học sinh phát triển tư duy Chính vì vậy dạng toán này thường xuyên có mặt trong các kì thi học sinh giỏi lớp 9, cũng như trong các kì thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT và nó cũng là cơ sở để giải các bài toán tiếp theo như dạng giải phương trình, giải bất phương trình, chứng minh bất đẳng thức

Trong khi đó nội dung và thời lượng giảng dạy về phần rút gọn biểu thức chứa dấu căn lại không nhiều, nhưng lượng bài tập trong sách giáo khoa và sách bài tập phong phú và đa dạng Vì vậy muốn học sinh giải được các dạng toán cơ bản của chương I Đại số lớp 9, trong quá trình giảng dạy chúng tôi đã phân chia các bài toán cơ bản của chương I thành hệ thống các dạng bài tập cho học sinh đại trà, học sinh giỏi để học sinh nhận diện ra phương pháp giải, tăng cường luyện tập,

thực hành, rèn luyện kĩ năng tính toán và vận dụng các kiến thức toán học vào đời sống và các môn học khác

Có thể nói rằng, hình thành và rèn luyện kỹ năng giải bài tập cho HS chiếm thời gian chủ yếu của phần kiến thức này Đây là quá trình chuyển từ tính toán trên tập số sang tính toán trên chữ Do đó chương I Đại số lớp 9 còn giúp tổng kết việc tính toán và biến đổi đồng nhất ở cấp THCS

2 Mục đích nghiên cứu

- Chọn ra một số dạng bài tập cơ bản của chương I Đại số lớp 9, nhằm giúp cho giáo viên có một tài liệu để giảng dạy và rèn kĩ năng giải toán cho học sinh lớp

9 và đặc biệt là phục vụ cho việc dạy ôn thi vào lớp 10 THPT và thi HSG lớp 9

- Giúp cho học sinh nhận diện ra phương pháp giải và rèn kĩ năng vận dụng kiến thức vào giải dạng bài tập đó Học tốt các dạng toán giúp HS sau khi học xong chương I, có thể làm tốt được bài toán rút gọn tổng hợp tất cả các dạng có thể có,

từ đó giúp các em tự tin hơn trong khi giải toán cũng như trong thi cử

3 Đối tượng nghiên cứu

- Các bài tập cơ bản của chương I đại số lớp 9 và luyện kĩ năng giải các dạng bài tập đó

số bài toán mà các em còn lúng túng trong việc tìm lời giải

- Ý tưởng của đề tài phong phú và đa dạng, phạm vi nghiên cứu rộng nên chúng tôi chỉ nghiên cứu một số dạng toán cơ bản, thiết thực đồng thời đưa ra phương pháp và rèn kĩ năng cho HS

5 Phương pháp nghiên cứu

- Tham dự các lớp tập huấn

- Hệ thống các dạng bài tập và tìm tài liệu

- Nghiên cứu qua thực hành giải bài tập của HS

- Phương pháp thực nghiệm, thực tế giảng dạy

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

PHẦN II: NỘI DUNG Chương I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TRẠNG CỦA VẤN ĐỀ

1.Cơ sở lý luận

- Xuất phát từ vai trò quan trọng của các dạng toán cơ bản trong chương I

Đại số 9 đã thắp lên cho tôi một ý tưởng : Xây dựng chuyên đề “Luyện kỹ năng giải các bài tập cơ bản chương I Đại số lớp 9” Công việc đầu tiên là xây dựng ý

tưởng về cách viết chuyên đề, làm sao thật thiết thực, bổ ích với tất cả GV Toán và

HS lớp 9 Nội dung chuyên đề bám sát chương trình nhưng không giản đơn và tương tự như những chuyên đề đã có Mỗi dạng toán viết ra phải cô đọng về lí thuyết, phong phú hấp dẫn về những ví dụ cụ thể và hay hơn nữa là những lưu ý mang đậm dấu ấn của kinh nghiệm giải toán, kinh nghiệm giảng dạy Với hi vọng nội dung chuyên đề mang lại hiệu quả cao trong các tiết lên lớp và đề cương ôn thi vào THPT

3 Thực trạng của nghiên cứu vấn đề

- Như chung ta đã biết, những năm mà đề thi vào lớp 10 THPT có bài tập rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai thì năm đó làn điểm Toán chung trên toàn tỉnh Vĩnh Phúc không được cao Nguyên nhân cơ bản là do kĩ năng biến đổi biểu thức của HS chưa tốt, mặc dù dạng toán này đề bài yêu cầu chỉ ở mức đại trà, không quá khó Qua tiến hành khảo sát học sinh khối 9 trường THCS Nguyễn Viết Xuân đối với bộ môn Toán 9 trong 02 năm học( 2011- 2012; 2012-2013) với 3 đối tượng học sinh: Khá, TB, yếu, kết quả như sau:

- Như vậy tỉ lệ học sinh học trung bình và khá môn Toán còn thấp, đặc biệt

là giải bài toán rút gọn của các em còn hạn chế, do đó việc đưa ra hệ thống bài tập

và phương pháp giải, rèn kĩ năng giải cho từng dạng bài tập là vô cùng quan trọng

và cấp thiết trong quá trình giảng dạy ở trường THCS Nguyễn Viết Xuân

4 Những giải pháp mới của đề tài

- Đề tài đưa ra những giải pháp mới như sau:

+ Sắp xếp các bài toán theo mức độ, những dạng toán cơ bản

+ Xây dựng các phương pháp giải cơ bản của các dạng và đưa ra kĩ năng giải bài tập cho từng dạng

+ Đối với học sinh yếu cần củng cố: Phương pháp phân tích đa thức thành nhân

tử, tìm được điều kiện cho biểu thức có nghĩa, rèn cho HS thực hiện tốt việc tính giá trị biểu thức trên R

+ Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kĩ năng, phối hợp nhiều phương pháp, chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành Tìm tòi những lời giải hay khai thác bài toán.

+ Đối với HS khá, giỏi: Phát triển tư duy, giới thiệu thêm các dạng toán nâng cao

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP THỰC NGHIỆM

Qua thực tế giảng dạy nhằm đáp ứng yêu cầu đổi mới phương pháp dạy học, nâng cao chất lượng môn toán ở trường THCS, chúng tôi đã tìm hiểu, nghiên cứu

và đi đến thống nhất thực hiện chuyên đề này như sau

I.Nội dung và mức độ yêu cầu của chương

- Phối hợp kỹ năng khai phương với kỹ năng cộng trừ nhân chia các số ( tính theo thứ tự thực hiện phép tính và tính hợp lý có sử dụng tính chất của phép khai phương)

b Kỹ năng biến đổi biểu thức

* Có thể kể các kỹ năng về biến đổi biểu thức (các ví dụ và bài tập chú ý đến biểu thức chứa chữ) như :

- Các kỹ năng biến đổi riêng lẻ tương ứng với các công thức nêu ở phần 4)

- Phối hợp các kỹ năng đó (và cả những kỹ năng có trong những lớp trước) để

có kỹ năng mới về biến đổi biểu thức chứa căn thức bậc hai, rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

- Điều quan trọng nhất khi rèn luyện các kỹ năng biến đổi biểu thức là tính mục đích của các phép biến đổi Điều này, SGK chú ý thông qua các ứng dụng sau khi hình thành ban đầu kỹ năng về biến đổi biểu thức Các ứng dụng này còn nhằm phong phú thêm cách thức rèn kỹ năng( để so sánh số, giải toán tìm x thoả mãn điều kiện nào đó.)

Ngoài hai kỹ năng nêu ở trên ta còn thấy có những kỹ năng được hình thành

và củng cố trong phần này như :

A = ( với B > 0)

2

) (

B A

B A C B

B A

B A C B A

II Nội dung cụ thể

1 Dạng I: Tìm điều kiện để biểu thức có nghĩa

Đây là vấn đề khó và phức tạp đối với HS, bởi vì tìm ĐKXĐ thường gắn với việc giải hệ bất phương trình và phương trình mà đến cấp THPT mới được học Phần lớn các bài tập trong sách có liên quan đến biểu thức chữ đều cho trước ĐK của các chữ Nhưng thực tế đối với một đề thi vào THPT nếu có bài toán về dạng rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai thì công việc đầu tiên là HS phải tự tìm ĐKXĐ Do vậy, yêu cầu xem xét ĐKXĐ của biểu thức chỉ dừng ở mức độ để cho

HS hiểu

a) Phương pháp

Với bài toán rút gọn:

+ Nếu bài toán có phần yêu cầu tìm ĐK để biểu thức có nghĩa thì chúng ta phải trình bày cụ thể theo các bước, nếu bài toán yêu cầu ngay rút gọn thì chúng ta chỉ ghi kết quả của ĐKXĐ không nhất thiết phải trình bày cụ thể

+ Đôi khi bài toán tác giả cho sẵn điều kiện thì chúng ta lưu ý điều kiện đó

là điều kiện của toàn bài, nhiều bài toán chúng ta phải đặt thêm điều kiện khi giải

- Điều kiện tồn tại (ĐKXĐ) của A là A ≥ 0 Nếu biểu thức có dạng m

A ta giải bất phương trình A > 0 Nghĩa là mẫu của các phân thức khác 0

Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa.

Tìm điều kiện của x để biểu thức có nghĩa

2 Dạng II: Phân tích đa thức thành phân tử

Đây là khâu trung gian cho bài toán “ Rút gọn biểu thức chứa căn thức ”

x ) = (3 - x) (4 + x )

c) Bài tập

(Giả thiết các biểu thức đều có nghĩa)

Bài tập1: Phân tích đa thức sau thành nhân tử

Bài tập 4: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:

Định lí: Với hai số không âm a và b ta có: a > b ⇔ a > b

Chú ý: Khi so sánh cần linh hoạt, đó là: Sử dụng thêm các tính chất như:

+Áp dụng bất đẳng thức cơ bản (Côsi, Bunhia , giá trị tuyệt đối…)

+Dùng phép biến đổi tương đương

Lại có 61 < 64 = 8 (2)

Từ (1) và (2) suy ra 10 + 17 + 1 > 61

Thêm một bài toán cơ bản về so sánh hai số bằng cách đưa về bình phương hai số

và giúp ta tiếp cận với bất đẳng thức cơ bản, nhưng một điều quan trọng tôi muốn nhấn mạnh rằng thông qua bài toán giúp HS tránh nhầm lẫn khi thực hiện phép tính căn bậc hai của một tổng, một hiệu lại sử dụng tương tự như quy tắc khai phương một tích

d) 3 12 và 2 16 e)

2

17 2

1

và 19 3

Bài tập 3: Sắp xếp theo thứ tự tăng dần ;

- Đối với căn thức có dạng m p n± ta có thể viết biểu thức dưới căn thành bình phương của một nhị thức bằng cách phân tích p n về dạnh 2ab với a2 + b2 = m.Chẳng hạn đối với căn thức 11 6 2− ta thấy 6 2 2.3 2 = và 32 + ( )2

b) sử dụng hằng đẳng thức A2 = A có nghĩa là A2 =A nếuA≥ 0, A2 = −A nếu

A < 0 Bởi vì đây là những biểu thức số nên học sinh rất dễ nhận ra giá trị của biểu thức âm hay không âm để tiế tục biến đổi Nhưng không phải bài toán nào cũng đơn giản như ví dụ 10, có khi chúng ta phải biến đổi để đưa về tương tự ví dụ 10,

M + N M− N =M −N là một biểu thức không chứa dấu căn Điều này

giúp cho việc tính toán được thuận tiện hơn

Ví dụ 13: Tính giá trị của biểu thức: A = 9 + 17 − 9 − 17 − 2

9 3

1 5

b)

3

1 1 5 75 2 3

1 5

2

3 27 2

d)  + − − 8 − 75

1 3

1 3 5 0 18

e) ( 15 + 2 3)2 + 12 5

Bài tập 3: Thực hiện phép tính:

a) ( 6 + 2 )( 3 − 2 ) b) ( 3 + 1)2 − 2 3 + 4

Bài tập 4: Thực hiện phép tính sau:

a)

3 4 7

1 3

4 7

1

−

+ +

1 2

1 1 2 5

1 2

1 3 1

d)

5

1 5 2

1 5 2 5

2

+

− +

−

2 3

2 2

3

3 :

2 3 2 3

1 2

2 2 3

3 2

+

+ + +

Bài tập 5: Thực hiện các phép tính sau đây:

a)

2

1 6 2

3 6

2

3 1

2

3 2 6

2

1 2

− + +

− +

3 6

12 2

6

4 1 6

c)

5 3

1 3 3

15 2

3

3 1 3

4 2

1

3 2

1 2

1

1

+ + + +

+ +

Bài tập 6: Tính giá trị của các biểu thức

B = 7 4 3 − − 7 4 3 +

C = 4 + 7 − 4 − 7

=

x x

a a b

ab

a D

2 2

Lưu ý: Biểu thức A được cho dưới dạng tổng của hai căn thức hai biểu thức lấy

căn có tổng không đổi (bằng 2) Vì vậy, nếu ta bình phương biểu thức A ta sẽ xuất hiện hạng tử là hai căn thức Đến đây ta có thể vận dụng bất đẳng thức Côsi:

2 ab a b≤ + (với a, b không âm)

Ví dụ 16: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Vậy : max A = 26 khi và chỉ khi x = 6 và y = 4

Min A = - 26 khi và chỉ khi x = - 6 và y = - 4

Bài 15: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức B = x− + 5 23 −x

Bài 16: Cho x + y =15, tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

C = x− + 4 y− 3

6 Dạng VI: Giải phương trình ( phương trình vô tỉ )

Học sinh đã làm quen với việc giải phương trình chứa căn bậc hai và thấy rằng các phương pháp thường được sử dụng, bao gồm:

- Phương pháp biến đổi tương đương (Trong đó có các sử dụng các phép biến đổi trên căn thức như đưa thừa số vào trong, ra ngoài dấu căn…)

- Phương pháp đặt ẩn phụ

- Chuyển về phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối quen thuộc ở lớp 8

- Áp dụng bất đẳng thức để giải phương trình (Nâng cao)

Kiến thức về phần giải phương trình rất rộng, nếu là kiến thức nâng cao cũng khá phức tạp Ở đây để giúp các em khắc sâu kiến thức cơ bản, ở phần này sẽ trình bày một vài ví dụ ở mức đơn giản, cụ thể các phương pháp trên

a) Phương pháp

* Phương pháp biến đổi tương đương

Ta sử dụng các phép biến đổi cơ bản sau

( ) ( ) ( ) ( )

f x = g x ⇔ f x =g x với điều kiện f(x) ≥ 0 và g(x) ≥ 0

( ) ( ) g x( ) 0( ) 2( )

f x g x



Ví dụ18: Giải phương trình: 3 + 2x− = 3 x (1)

ĐKXĐ: 2x – 3 ≥ 0 ⇔ 3 2 x≥ (2)

(1) ⇔ 2x− = − 3 x 3 (3)

Ta phải có x− ≥ 3 0 ⇔ x≥ 3 (4)

Với điều kiện (4) thì (3) ⇔2x – 3 = (x - 3)2 (5)

⇔x2 – 8x + 12 = 0 ⇔ (x - 2)(x - 6) = 0 ⇔ x1 =2;x2 =6 Giá trị x1 = 2 không thỏa mãn (4), loại x2 = 6 thỏa mãn (2) và (4), là nghiệm của phương trình Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 6 Lưu ý: - Nếu không đặt điều kiện x− ≥ 3 0 ở (3), ta sẽ sai lầm khi nhận x = 2 là nghiệm của (1) Chú ý rằng từ (3) suy ra được (5) nhưng từ (5) chỉ suy ra được (3) với điều kiện x− ≥ 3 0 - Có thể bình phương hai vế của (1) với điều kiện x ≥ 0 (điều kiện này đã có ở 2x – 3 ≥ 0), nhưng lời giải không ngắn gọn bằng cách tách riêng căn thức ở mỗi vế * Phương pháp đặt ẩn phụ (Nâng cao) - Phương pháp đặt ẩn phụ là việc sử dụng ẩn phụ để chuyển phương trình ban đầu thành phương trình đa thức với một, hoặc hai… ẩn phụ - Nếu bài toán chứa f x( ) ta đặt t = f x( ) , điều kiện t≥ 0, khi đó f(x) = t2 - Ngoài ra tùy thuộc vào đề bài toán mà ta biến đổi rồi đặt ẩn phụ, chú ý điều kiện cho biểu thức có nghĩa Sau khi tìm được giá trị của biến phải đối chiếu với điều kiện để kết luận nghiệm * Phương pháp đưa về phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối. - Phương pháp là: Khi gặp phương trình mà biểu thức trong căn có thể viết được dưới dạng bình phương của một biểu thức thì sử dụng hằng đẳng thức : A2 = A để làm mất dấu căn đưa về phương trình đơn giản *Phương pháp dùng bất đẳng thức Sử dụng điều kiện xảy ra dấu “=” ở bất đẳng thức không chặt Ví dụ 19: Giải phương trình: 4 1 2 1 4 + − = − x x x x (`*)

Giải: ĐK:

4

1

>

x ;Sử dụng bất đẳng thức: + ≥ 2

a

b b

a

với a, b > 0, dấu “=” xảy ra

khi và chỉ khi a=b Ta có: 4 1 2

1

x x

x

Do đó (*) ⇔ x= 4x− 1

Giải ra: x= 2 ± 3 thoả mãn điều kiện

Vậy (*) có hai nghiệm x= 2 ± 3

Ví dụ 20: Giải phương trình:

2 2

3x + x+ + x + x+ = − x−x (**)

Nhận xét:+Ở phương trình này ta không nên bình phương hai vế

+ Xét các biểu thức trong căn và ngoài căn

* Phương pháp đưa về dạng : A 2 (x) + B 2 (x) = 0 hoặc A(x).B(x)=0

Ở phương pháp này ta sử dụng A2(x) + B2(x) = 0 ⇔A(x) = B(x) = 0 ;

Hoặc A(x).B(x)=0 khi A(x)=0 hoặc B(x)=0

Ví dụ 21: Giải phương trình: x2 + 4x+ 5 = 2 2x+ 3

Nhận xét: + Sử dụng các phương pháp trên đều khó giải

+ Biến đổi đưa về dạng A2 + B2 = 0