Nhóm tự do và định lí nielsen schreier

Đa ra các phép dựng nhóm thừa nhận các hệ thức không tầm thờng trong một tập sinh nào đó của nó và chứng tỏ rằng chúng là nhóm tự do trong phạm trù các nhóm Định lý 2.2 ; Định nghĩa 2.3.

Lời nói đầu

Cấu trúc tự do là một trong những cấu trúc đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu cấu trúc đại số nói chung Đặc biệt, nhóm tự do và nửa nhóm tự do là những cấu trúc có nhiều ứng dụng trong toán học và tin học Tuy nhiên trong các tài liệu lu hành các kiến thức về nhóm tự do và nửa nhóm

tự do chỉ đợc trình bày rải rác Vì vậy, chúng tôi đã hệ thống hoá các kiến thức

đó và trình bày trong khoá luận "Nhóm tự do và Định lý Nielsen - Schreier"

này

Khoá luận đợc trình bày thành 4 phần

Đ 1 Xây dựng khái niệm nửa nhóm tự do và hệ thức xác định (Định nghĩa 1.1) Nêu điều kiện cần và đủ để nửa nhóm là một nửa nhóm tự do (Định lý 1.5;

Định lý 1.6) Điều kiện để nửa nhóm con của một nửa nhóm tự do là một nửa nhóm tự do (Hệ quả 1.7; Mệnh đề 1.8)

Đ 2 Đa ra các phép dựng nhóm thừa nhận các hệ thức không tầm thờng trong một tập sinh nào đó của nó và chứng tỏ rằng chúng là nhóm tự do trong phạm trù các nhóm (Định lý 2.2 ; Định nghĩa 2.3) Từ đó xét các tính chất quan trọng của nhóm tự do (Hệ quả 2.5; Hệ quả 2.7; Định lý 2.8) và sự mô tả Dick của một nhóm

Đ 3 Nghiên cứu nhóm con của nhóm tự do và Định lý Nielsen - Schreier Với kết quả đáng quan tâm trong việc chứng tỏ mọi nhóm con của nhóm tự do là một nhóm tự do (Định lý3.2) và mô tả tập sinh của chúng (Định

trong quá trình hoàn thành khoá luận Chúng tôi cũng xin cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Đại số và các bạn sinh viên, giúp đỡ chúng tôi hoàn thành khoá luận này

Vì thời gian có hạn nên khoá luận chắc chắn còn nhiều thiếu sót rất mong nhận đợc sự đóng góp ý kiến của bạn đọc để khoá luận này đợc hoàn thiện hơn

dãy (x) độ dài 1, thì theo định nghĩa tích trong Jx ta đợc:

4

x , 3 1

x = x4 x1x2 Giả sử các hệ thức đó là uλ = vλ (λ ∈ Λ), trong đó đốivới mỗi λ thuộc tập chỉ số Λ thì uλ và vλ là các phần tử thuộc Jx

Giả sử ρ0 = {(uλ, vλ) λ ∈ Λ} và ρ là tơng đẳng trên Jx sinh bởi quan

hệ ρ0, ϕ là đồng cấu tự nhiên từ Jx lên Jx/ρ và ϕ (uλ) = ϕ(vλ) với λ∈Λ

Ta gọi J x

định

uλ = vλ (λ∈Λ) (thực ra nó sinh bởi tập ϕ (X))

1.2 Μệnh đề Giả sử J x là nửa nhóm tự do trên tập X Giả sử S là một nửa

với ϕ0 trên X, thì đối với các phần tử tuỳ ý x1, x2, , xn ∈ X ta có:

ϕ(x1x2…xn) = ϕ0(x1). ϕ0(x2) … ϕ0(xn)

đồng cấu và trùng với ϕ0 trên X.

1.3 Định lý Giả sử J x là nửa nhóm tự do trên tập X , ρ0 là một quan hệ bất

từ J x lên Jx

ρ

vào S sao cho θ oρd = ϕ

Chứng minh Trớc hết ta chứng tỏ rằng nếu w và w' là các phần tử thuộc

Jx mà wρw' thì ϕ(w) = ϕ(w') Thật vậy, vì ρ là tơng đẳng sinh bởi ρ0 nên wρw' khi và chỉ khi ta có thể đi từ w tới w' bằng một dãy hữu hạn ρ0 - bắc cầu Do

đó chỉ cần chứng tỏ rằng ϕ(w) = ϕ(w') nếu ta có thể đi từ w tới w' bằng một ρ0

- bắc cầu Nhng điều cuối cùng đó có nghĩa là w = w1uw2 và w' = w1vw2, trong đó w1, w2 ∈ Jx và (u,v) ∈ ρ0 Trong mỗi trờng hợp, theo giả thiết ta có

ϕ(u) = ϕ(v) và do đó ϕ(w) = ϕ(w1).ϕ(u) ϕ(w2)

= ϕ(w1) ϕ(v) ϕ(w2) = ϕ(w1vw2) = ϕ(w')Bây giờ ta định nghĩa ánh xạ θ từ Jx

ρ vào S bằng cách đặt θ (ρd(w))= ϕ(w),

với mỗi w ∈Jx ở trên ta đã chứng tỏ rằng ρd(w) =ρd(w') (w,w' ∈ Jx) tức là

wρw' kéo theo ϕ(w) = ϕ(w') Từ đó suy ra tính đơn trị của θ Còn miền xác

định của θ là toàn bộ tập Jx

dạng ρd(w) với w nào đó thuộc Jx Vì đẳng thức θoρd = ϕ bây giờ hiển nhiên,

ρ0 = {(xx', 1)x ∈ X}∪ {(xx', 1) x ∈ X}

Giả sử ρ là tơng đẳng trên J1 sinh bởi ρ0 Khi đó đặt Gx = J1ρ

xạ từ X ∪ X' vào G thu đợc từ ϕ1 nh sau:

ϕ1(x) = ϕ0(x) và ϕ0(x') = ϕ1(x) -1 đối với mọi x ∈ X Khi đó theo Mệnh

đề 1.2, ϕ0 có thể mở rộng tới đồng cấu ϕ từ J1 = JX ∪X' vào G.

Khi đó với mỗi x ∈ X ta có ϕ(xx') = ϕ(x) ϕ(x') = ϕ(x) ϕ(x)-1 = 1 = ϕ(1)

và tơng tự có ϕ(x'x) = ϕ(1) Do đó ϕ(u) = ϕ(v) đối với mỗi (u, v) ∈ ρ0 áp dụng Định lý 1.3 ta có kết luận rằng tồn tại đồng cấu θ từ nhóm J1ρ = Gx vào

G sao cho θoρd = ϕ Vậy ta đã chứng tỏ rằng ánh xạ ϕ tuỳ ý từ X vào G có

thể mở rộng thành đồng cấu θ từ nhóm Gx vào G Tính chất đó giải thích cho thuật ngữ "Nhóm tự do trên X" đối với Gx.

cặp (x1x2, 1) Nếu nh trên, ρ là tơng đẳng trên nửa nhóm J sinh bởi quan hệ 1x

ρ0 thì C =

1 x

J

ρ Nửa nhóm C thực ra sinh bởi lớp p = x1 ρd và q = x2 ρd thoả mãn đẳng thức pq = 1 và ta sẽ dùng ký hiệu C = C(p,q)

1.5 Định lý Nửa nhóm S là một nửa nhóm tự do trên tập X khi và chỉ khi mỗi

phần tử thuộc S có thể biểu diễn duy nhất dới dạng tích các phần tử thuộc X.

phần tử thuộc S biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng tích của các phần tử thuộc X Đảo lại, giả thiết rằng mỗi phần tử thuộc S biểu diễn một cách duy nhất dới dạng tích của các phần tử thuộc một tập con X của nó Khi đó theo

từ nửa nhóm Jx lên S Còn ϕ là ánh xạ một - một và do đó là đẳng cấu thì thực chất là cách phát biểu chính xác của điều kiện nói rằng mỗi phần tử thuộc S biểu diễn đợc một cách duy nhất dới dạng tích của các phần tử thuộc X Định

lý 1.5 đợc chứng minh

Nếu S là một nửa nhóm tự do trên X thì ta định nghĩa độ dài của phần tử

w = x1x2…xn (xi ∈ X) thuộc S là số n phần tử của X tham gia trong cách viết

đó Ký hiệu w= n

1.6 Định lý S là một nửa nhóm tử do khi và chỉ khi thoả mãn các điều kiện

sau đây:

1 S thoả mãn luật giản ớc trái và phải

2 S không chứa đơn vị hai phía

3 Nếu ax = by đối với a, b, x, y ∈ S thì a = b hoặc một trong các phần

tử a, b là ớc bên trái của phần tử kia.

4 Mỗi phần tử thuộc S chỉ có một số hữu hạn ớc bên trái.

Chứng minh Theo Định lý 1.5 ta suy ra ngay điều kiện cần của định lý

Giả thiết rằng các điều kiện của Định lý 1.6 đợc thoả mãn Ký hiệu X

minh rằng S là nửa nhóm tự do trên X

Trớc hết X ≠φ và sinh ra S Thật vậy, giả sử a là một phần tử tuỳ ý thuộc

S Nếu a không có ớc thì a ∈ X Nếu a có ớc thì a = bc trong đó b, c ∈ X hoặc a

= xyz, Hoặc quá trình đó sẽ kết thúc và ta thu đ… ợc biểu diễn của a dới dạng tích các phần tử thuộc X hoặc với mọi số tự nhiên n lớn tuỳ ý tồn tại các phần

tử a1, a2, , a… n ∈ S sao cho a = a1 a2… an Nếu a = a1 a2 a… n thì a1, a1 a2, , a… 1 a2…an -1 là các ớc bên trái của a Chúng đều khác nhau cả vì nếu x

= xy trong S thì xy = xy2 và nếu giản ớc bên trái (theo 1) ta đợc y = y2 Nhng một lũy đẳng tuỳ ý trong một nửa nhóm thoả mãn luật giản ớc phải là đơn vị của nửa nhóm đó Theo điều kiện 2) trong S không có lũy đẳng Vậy a1, a1a2, , a… 1a2 a… n -1 là các ớc bên trái khác nhau của phần tử a Nhng n có thể chọn lớn tuỳ ý, trái với điều kiện 4) Vậy X sinh ra S

Giả thiết rằng x1x2x3…xr = x1' x2' x3' x… S' trong đó xi, xj' thuộc X Giả sử x2…xi = x và x2' x… s' = x' Thế thì x1x = x1'x' Do đó theo điều kiện 3): x1 = x1' hoặc một trong các phần tử x1, x1' có ớc Khả năng cuối không thể xẩy ra do

định nghĩa của X Nh vậy x1 = x1' và theo điều kiện 1) thì x = x' Bây giờ tơng

tự ta thu đợc x2 = x2' và tiếp tục quá trình đó từng bớc một cuối cùng đi tới r =

do J{a, b}, nhng T không phải là nửa nhóm tự do vì ab ∈ T ∩ Tb, ba ∈ T ∩ bT nên T ∩Tb ≠φ, T ∩ bT ≠φ nhng b ∉ T (xem Mệnh đề 1.8)

1.7 Hệ quả Nửa nhóm con T của nửa nhóm tự do là một nửa nhóm tự do khi

và chỉ khi từ đẳng thức ax = by (a, b, x, y ∈ T) suy ra hoặc a = b hoặc từ một trong các phần tử a, b là ớc của phần tử kia trong T

Hệ quả này đợc suy ra trực tiếp từ Định lý 1.6 Cả Định lý 1.6 và Hệ quả 1.7 đều không đợc đối xứng Kết quả sau đây của Suytxenbecje cho ta một đặc trng đối xứng của các nửa nhóm con của một nửa nhóm tự do

1.8 Mệnh đề Nửa nhóm con T của một nửa nhóm tự do S là một nửa nhóm tự

Chứng minh Giả thiết rằng T là một nửa nhóm tự do và giả sử aw và wb

thuộc T đối với các phần tử a, b ∈ T và w ∈ S nào đó Thế thì a (wb) = (aw) b ∈ T,

do đó theo hệ quả trên hoặc a = aw, hoặc a = (aw)u, hoặc av = aw, trong đó

cần cuả hệ quả

Đảo lại, giả thiết rằng với mọi w ∈ S từ các điều kiện Tw ∩ T ≠ φ và

wT ∩ T ≠ φ suy ra w ∈ T Giả sử ax = by đối với các phần tử a, b, x, y ∈ T

u, v ∈ S Giả thiết rằng a = bu Thế thì ax = bux = by và nếu giản ớc bên trái ta

đợc ux = y ∈ T, do đó ux ∈ uT ∩ T và bu ∈ Tu ∩ T Từ đó theo giả thiết ta có

do

Đ 2. Nhóm tự do Sự mô tả Dick

Các phần tử của một tập sinh M của mọi nhóm G cho trớc có thể liên hệ với nhau bằng các hệ thức trong G, chẳng hạn xx-1 = e, x-1x = e với mọi x ∈ M, trong đó e là đơn vị của G Những hệ thức đó xảy ra trong mọi nhóm tuỳ ý nên

đợc gọi là những hệ thức tầm thờng Tuy nhiên, tồn tại những nhóm thừa nhận các hệ thức khác không tầm thờng trong một tập sinh nào đó của nó Mục đích của tiết này là đa ra phép dựng các nhóm nh vậy và chứng tỏ rằng chúng là nhóm tự do trong phạm trù các nhóm

2.1 Định nghĩa và ký hiệu Giả sử I là một tập hợp các chỉ số nào đó Nhóm

X = {xi  i ∈ I} và X-1 = { 1 }

i

x i I− ∈

Ngời ta nói rằng hai từ u và v tơng đơng (ký hiệu u ~ v), nếu v có thể nhận đợc từ u qua một số hữu hạn lần đặt vào hoặc rút gọn các từ dạng x xiε i−ε

với ε = ± 1 Rõ ràng ~ là quan hệ tơng đơng Ký hiệu lớp tơng đơng chứa từ u

là [u]

2.2 Định lý Giả sử X = {x ii ∈ I} Trên tập hợp các từ tơng đơng F (X) trong bảng chữ cái X xác định phép nhân bằng cách đặt [u] [v] = [uv] Định nghĩa này không phụ thuộc vào cách chọn ngẫu nhiên các đại diện của lớp đó.Tập hợp F (X) là một nhóm đối với phép nhân xác định nh trên

Chứng minh Trớc hết, ta nhận xét rằng mọi lớp các từ tơng đơng chứa

rút gọn đợc, nhận đợc từ u sau khi gạch bỏ các từ con x xiε i−ε Hàm ρ có các tính chất sau:

+ ρ(x xiε i−ε.u) ≡ρ(u) với ε = ± 1 (4)

+ ρ(u x xiε i−ε.v) ≡ρ(uv) với ε = ± 1 (5)

Các tính chất (1), (2), (3) suy ra trực tiếp từ định nghĩa Tính chất (4)

đ-ợc suy ra từ (3); tính chất (5) đđ-ợc suy ra từ (3) và (4), còn tính chất (6) đđ-ợc suy

ra từ các tính chất (3), (4), (5) bằng cách quy nạp theo độ dài của từ u

Bây giờ giả sử u ~ v, trong đó u và v là các từ không rút gọn đợc Từ

định nghĩa suy ra tồn tại dãy từ u1 ≡ u, u2, ,u… m ≡ v, trong đó mỗi từ nhận đợc

từ một từ khác trong dãy bằng cách gắn vào hay gạch bỏ các từ con dạng

i i

x xε −ε với ε = ± 1 Do tính chất không rút gọn đợc của u và v, ta có u ≡ v

Tích [u].[v] không phụ thuộc vào cách chọn ngẫu nhiên các đại diện u

và v đợc suy ra từ lập luận trên và từ tính chất (6) Phép nhân có tính kết hợp

đợc suy ra từ định nghĩa Lớp chứa từ rỗng là đơn vị và nghịch đảo của [u] là [u-1] Định lý 2.2 đợc chứng minh

2.3 Định nghĩa Nhóm F(X) xây dựng trong Định lý 2.2 đợc gọi là nhóm tự

do với tập sinh X, còn lực lợng của X đợc gọi là hạng của F(X).

ii) Từ đây về sau, đối với cách viết phần tử của nhóm tự do ta sẽ dùng

đại diện của lớp đó, nghĩa là ta sẽ viết u = v thay cho [u] = [v], uv = w thay cho [u].[v]

Theo lập luận trong chứng minh Định lý 2.2, ta cũng có thể nói về cách viết của các từ không rút gọn đợc thuộc các lớp đó, nếu hiểu ngầm cách viết không rút gọn đợc ρ(u) của mọi đại diện u của nó

2.5 Hệ quả Mọi nhóm tự do hạng ≥ 2 đều không phải là nhóm Aben

Chứng minh Suy ra trực tiếp từ cách xây dựng nhóm tự do.

2.6 Định lý Giả sử nhóm G sinh bởi tập

Chứng minh Vì G = <M> và F(X) = <X> nên ϕ là toàn cấu ⇒ Im(ϕ) =

w ≠ e Nếu w bắt đầu với luỹ thừa b, thì có thể thay w bởi phần tử wa: = a-1wa và xét phần tử vừa nhận đợc, nếu wa ≠ e thì w ≠ e Bởi vậy, ta có thể giả thiết từ w

có dạng w = a b cα1 α2 αr trong đó c = a hoặc c = b; ∀αi ≠ 0 Giả sử Zi là dòng trên của ma trận a b cα1 α2 αr Nếu:

cũng tăng Đối với i = 1, 2 điều đó có thể thử trực tiếp Với i tiếp theo ta chứng minh quy nạp

xi + 2≥ m αi + 1 xi + 1 - xi≥ 2xi + 1- xi≥xi + 1+1

Định lý đợc chứng minh

2.9 Sự mô tả Dick Hệ thức xác định.

lý 2.6 đợc gọi là hệ thức của nhóm G- trong bảng chữ cái X

Nếu tập hợp H' các hệ thức thoả mãn điều kiện: ớc chuẩn tối tiểu của G

hợp các từ trong H' đã đủ xác định nhóm G Chúng ta sẽ gọi cặp

tả Dick cuả nhóm G (Dick là tác giả của phép dựng nổi tiếng này) Ta sẽ dùng

ký hiệu G ; (X//H') Rõ ràng, một nhóm có thể thừa nhận nhiều sự mô tả Dick khác nhau và lợi ích của sự mô tả phụ thuộc vào từng bài toán cụ thể mà chúng ta đang quan tâm

2.10 Một số ví dụ về sự mô tả Dick.

áp dụng Định lý 2.6, Hệ quả 2.7 và Nhận xét 2.8, ta có các kết quả sau a) Ê (2) x Ê (2) ; (x, yx2, y2, x-1y-1 xy) trong đó Ê là tập hợp các số phức và Ê (2) = {α ∈ Êα2 = 1} là nhóm nhân các căn bậc hai của đơn vị

F ; G H , trong đó H là hoán tập của G, H = [G, G] và H là ớc chuẩn tối tiểu của G sinh bởi H' = {x xi−1 −j1xj = [xi, xj] 1 ≤ i < j ≤ n}

Đ 3 Nhóm con của nhóm tự do

Định lý Nielsen - Schreier

Trong tiết này, chúng tôi sẽ chứng tỏ rằng: nhóm con bất kỳ của nhóm

tự do là nhóm tự do và trình bày phơng pháp tìm hệ sinh của các nhóm con đó dựa trên ý tởng của J Nielsen và Schreier

3.1 Hàm chọn Giả sử H là nhóm con của G tuỳ ý Chúng ta cố định trong

mỗi lớp ghép phải của G theo H một đại diện Đối với nhóm con H, ta chọn

đại diện là 1 Hàm, lấy trên lớp ghép bất kỳ giá trị hằng - đại diện của lớp

của hàm chọn đó

u u, uv uv= = , trong đó uv ∈ G, còn u là đại diện cố định của lớp ghép phải Hu Hàm chọn cho phép xây dựng đợc các phần tử sinh của nhóm con H

từ các phần tử sinh của nhóm G đã cho

3.2 Định lý Giả sử M là tập sinh của nhóm G, H là nhóm con của G, u a u

là hàm chọn đại diện phải của G theo H, S là tập đại diện đợc chọn Khi đó H

sx− s ∈ S, x ∈ M>.

Chúng ta chứng tỏ rằng mọi phần tử thuộc H có thể viết đợc dới dạng tích của

sx− và các nghịch đảo của chúng Ký hiệu u1 = 1, ui + 1 = x xε11 εrr Khi đó

3.3 Tập Schreier Tập hợp tất cả các phần tử của một nhóm tự do, đại diện

bởi các từ không rút gọn đợc gọi là tập Schreier, nếu thoả mãn điều kiện

Nếu một từ chứa trong tập Schreier thì mọi đoạn ban đầu của từ ấy cũng thuộc tập Schreier

3.4 Định lý Nielsen - Schreier Giả sử X là một bảng chữ cái, H là một nhóm

con tuỳ ý của nhóm tự do F = F (X) Tồn tại ít nhất một hệ Schreier các phần

tử đại diện của F theo H

diện đã chọn, còn x chạy khắp X.

Chứng minh a) Trớc hết, chúng ta chứng tỏ rằng tồn tại hệ Schreier các

đại diện phải Gọi độ dài của từ đại diện trong lớp ghép phải của F theo H là

độ dài của lớp ghép đó Xây dựng hệ Schreier bằng phơng pháp quy nạp theo

sx 1

sx− với s ∈ S, x ∈ X (2) là hệ sinh tự do của H Theo Định lý 3.2 nó là hệ

không liên hệ với nhau bởi những hệ thức tầm thờng

Trớc hết, mỗi từ (2) không rút gọn đợc Thật vậy, sự rút gọn có thể đợc bắt đầu chỉ chỗ tiếp giáp với chữ x Nhng nếu s ≡ s1 x-1 thì

sx− = s1s1−1 = 1, còn nếu 1

sx− ≡ x-1 s2−1 thì s1 = s2 và sx 1

sx− = 1

Hơn nữa, giả sử u, v là các phần tử khác đơn vị có dạng (2) hay nghịch

đảo của chúng Từ phép chứng minh Định lý 3.2 chúng ta thấy rằng:

u =sxε sxε−1, v = tyδ tyδ−1, trong đó s, t ∈ S; x, y ∈ X, ε = ± 1 Do tính không rút gọn đợc của các từ u và v, quá trình rút gọn tích uv chỉ có thể bắt

đầu từ chỗ tiếp nối Nó tắt dần, không thể đi từ xε đến yδ từ trái sang phải Thật

cũng không thể đồng thời xảy ra với xε, yδ vì uv ≠ 1

Bây giờ, giả sử đã cho một từ không rút gọn đợc (khác từ rỗng) có dạng (2) Cần chứng tỏ rằng, nếu xét chúng nh một từ trong bảng chữ cái X và tiến hành các cách rút gọn, thì từ còn lại sẽ khác từ rỗng Nhng thực ra do sự rút gọn đã chỉ ra có thể bắt đầu tại điểm tiếp nối của từ dạng (2) và chấm dứt, nên không thể đi tới phần lõi x của chúng Định lý Nielsen - Schereier đợc chứng minh

3.5 Hệ quả Nhóm con bất kỳ của một nhóm tự do là một nhóm tự do.