Độ đo Radon và định lí biểu diễn Riesz

Độ đo và phân tích Lebesgue là một trong những nội dung khá quan trong của giải tích

CHUYÊN NGÀNH : GIẢI TÍCH

An Giang, tháng 05 năm 2008

Quyển luận văn được hoàn thành là nhờ sự ủng hộ, động viên về mặt tinh thần của gia đình và bạn bè, sự giúp đỡ nhiệt tình của quý thầy cô trong bộ môn Toán khoa Sư Phạm của trường Các thầy cô đã chỉ dẫn cho tôi về hình thức trình bày quyển luận văn thế nào cho đúng và đẹp, cho tôi những lời khuyên khi tôi cảm thấy khó khăn Đặc biệt là cô Phạm Thị Thu Hường đã tận tình chỉ bảo, giải đáp những điều mà tôi thắc mắc và cho tôi những ý kiến quý báo từ nội dung đến hình thức trình bày quyển luận văn này

Xin chân thành cảm ơn

Tôi cũng xin cảm ơn tất cả các thầy cô đã giảng dạy cho tôi trong suốt thời gian học tập tại trường

Nguyễn Thị Anh Đào

LỜI NÓI ĐẦU

Độ đo và tích phân Lebesgue là một trong những nội dung khá quan trọng của giải tích Việc xây dựng độ đo xuất phát từ vấn đề: Trên đường thẳng, có những tập được gán một số không âm gọi là độ dài, chẳng hạn như

độ dài đoạn thẳng Nhưng cũng có những tập mà trực quan ta không biết được

độ dài của nó xác định như thế nào, chẳng hạn như tập những số hữu tỉ trong đoạn [0, 1] Người ta đã xây dựng lý thuyết độ đo để có thể đo được những tập như thế

Về tích phân Riemann, tích phân này có một số hạn chế Với tích phân này, nhiều vấn đề của giải tích đã không được giải quyết một cách thỏa đáng, chẳng hạn vấn đề qua giới hạn dưới dấu tích phân

Tuy nhiên những vấn đề kể trên đã được trình bày rõ trong một số giáo trình nên trong khuôn khổ của bản khoá luận này tôi không trình bày lại Bạn đọc quan tâm có thể tham khảo “ Hàm Thực & Giải Tích Hàm ” của Hoàng Tụy

Trong bản khóa luận tôi trình bày về một độ đo mới mà với độ đo này thì

độ đo của một tập Borel có thể được xấp xỉ bằng độ đo của các tập compact,

đó là độ đo Radon Đối với độ đo Radon ta có một tính chất khá thú vị, thể hiện ở định lý Lusin, ý nghĩa của định lý này là ta có thể xấp xỉ một hàm đo được bằng một hàm liên tục, điều này rất quan trọng trong việc tính tích phân của một hàm đo được Tôi cũng trình bày về mối quan hệ giữa một độ đo Radon trên một không gian mêtric có một dãy vét cạn compact với một phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm số thực liên tục có giá compact Một độ đo Radon sinh ra một phiếm hàm tuyến tính dương trên không gian các hàm số thực liên tục có giá compact, nhưng điều ngược lại có đúng không ? Điều này sẽ được khẳng định trong định lý biểu diễn Riesz Nội dung bản khoá luận gồm có 3 chương:

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về độ đo và tích phân Lebesgue gồm một số định nghĩa và định lý làm cơ sở cho các chương sau Do

đây không phải là nội dung chính nên một số kết quả không được chứng

minh

Chương 2: ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ

Đây là nội dung chính của bản luân văn Chương này nói về định nghĩa độ

đo Radon, một số tính chất của nó và trình bày chứng minh chi tiết định lý

biểu diễn Riesz

Chương 3: MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ

Đây là chương cuối, trình bày một áp dụng của định lý biểu diễn Riesz

Do nhiều nguyên nhân, một trong những nguyên nhân đó là lần đầu tiên tôi

làm một bài nghiên cứu khoa học và cũng hạn chế về thời gian, trình độ nên

những thiếu sót chắc chắn không thể tránh khỏi Rất mong nhận được ý kiến

đóng góp từ quý thầy cô và các bạn

An Giang, tháng 05 năm 2008 Sinh viên thực hiện

Nguyễn Thị Anh Đào

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

MỤC LỤC 3

CÁC KÝ HIỆU 4

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 5

1 ĐỘ ĐO 5

1.1 Đại số tập hợp 5

1.2 σ - Đại số tập hợp 5

1.3 Hàm tập hợp cộng tính 6

1.4 Độ đo có dấu 6

1.5 Độ đo dương 8

1.6 Không gian độ đo 9

1.7 Độ đo ngoài 9

2 TÍCH PHÂN LEBESGUE 12

2.1 Hàm số đo được 12

2.2 Tích phân Lebesgue 15

Chương 2 ĐỘ ĐO RADON VÀ ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ 24

1 ĐỘ ĐO RADON 24

1.1 Định nghĩa 24

1.2 Một số tính chất của độ đo Radon 25

2 ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ 32

2.1 Định lý biểu diễn Riesz 33

2.2 Bổ đề 35

Chương 3 MỘT ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ 41

1 Định nghĩa 41

2 Định lý 41

3 Định lý 42

KẾT LUẬN 44

PHỤ LỤC 45

TÀI LIỆU THAM KHẢO 46

Cho X là một tập hợp tùy ý khác rỗng, một lớp C các tập con của X thỏa

mãn các điều kiện sau được gọi là một đại số tập hợp :

Cho X là một tập khác rỗng Một họ F các tập con của X được gọi là σ -

đại số tập hợp nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

1.3 Hàm tập hợp cộng tính

1.3.1 Hàm tập hợp

Định nghĩa Ta gọi hàm tập hợp ( gọi tắt là hàm tập) là một ánh xạ xác định

trên một họ nào đó các tập hợp nhận giá trị trong không gian các số thực hoặc phức hoặc trong không gian các số thực mở rộng = ∪ −∞ +∞ { ; }

Riêng trong trường hợp cuối ta quy ước tập giá trị của ánh xạ chỉ chứa nhiều nhất một trong hai giá trị −∞ hoặc +∞

i i

1.4.1 Biến phân toàn phần của một hàm tập hợp

Định nghĩa Cho µ là một hàm tập xác định trên đại số C các tập con của X,

E∈ C Ta gọi biến phân toàn phần của µ trên E là số v(µ,E), được định

Ở đây cận trên được lấy theo tất cả các họ hữu hạn{E i i, 1, 2, ,= n}⊆ C

rời nhau từng đôi một, E i ⊆ E

1.4.2 Biến phân trên, biến phân dưới

Định nghĩa Giả sử µ là hàm tập cộng tính với giá trị thực Ta gọi biến phân trên µ+ và biến phân dưới µ− là những hàm tập được xác định lần lượt bởi các đẳng thức sau:

( ) 1( ( ) ( ) )

,2

( ) 1( ( ) ( ) )

,2

1.4.3 Định lý phân tích Jordan

Nếu µ là hàm tập hợp cộng tính ( tương ứng σ - cộng tính) bị chặn xác định trên một đại số C thì với mọi E ∈ C:

( )E ( )E ( )E

µ =µ+ −µ− , v(µ,E)=µ+( )E +µ−( )E , E∈ C

1.4.4 Độ đo có dấu

Định nghĩa Cho C là một đại số các tập con của X Hàm tậpµ xác định trên

C được gọi là một độ đo có dấu nếu nó là σ - cộng tính

∞

=

=U với A n∈ C, µ( )A n < +∞

1.5.4 Các tính chất cơ bản của độ đo dương

Giả sử µ là độ đo dương trên đại số C Khi đó:

( )A ( )B (A B\ )

3) Trước hết để ý rằng, bất cứ các tập B như thế nào ta cũng có thể chọn i

1.6 Không gian độ đo

Định nghĩa Cho X là một không gian mêtric, F là σ − đại số các tập con của

X, µ là một độ đo trên F thì bộ ba (X, F, µ) được gọi là không gian độ đo

a) *µ là σ - cộng tính dưới: ( )

1 1

A A , ∀{ }A i ⊆P(X)

b) µ*( )∅ = 0

c) µ*( )A ≥0, ∀ ⊆A X

1.7.2 Định lý Caratheodory

Cho µ* là một độ đo ngoài trên X và L là lớp tất cả các tập con A của X

sao cho µ*( )E =µ*(E∩A)+µ*(E A , với mọi\ ) E ⊆ X Khi ấy L là một

σ - đại số và hàm µ µ= */ L (thu hẹp của *µ trên L) là một độ đo trên L

Độ đo µ gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài *µ

Các tậpA⊆ X thoả điều kiện µ*( )E =µ*(E∩A)+µ*(E A\ ), với mọi

Định nghĩa Cho (X, F, µ) là một không gian độ đo, Y là một không gian

tách Hausdorff Ta nói rằng hàm :f X → là đo được ( theo độ đo Y µ) nếu

nó thoả mãn các điều kiện sau:

Định nghĩa Cho (X, F, µ) là một không gian độ đo Một hàm số f : X →

được gọi là hàm bậc thang trên X nếu nó chỉ nhận một số hữu hạn giá trị

x

α χ

=

∑

với αi∈ , A i ∈ F , i=1,……n, A i∩A j = ∅ với i≠ và j

1

n i i

=

2.1.4 Định lý ( Cấu trúc của hàm số đo được)

Mỗi hàm số f đo được trên X là giới hạn của một dãy hàm bậc thang đo được f n nhận giá trị trong hội tụ đến f

Nếu f x( )≥ với mọi x X0 ∈ thì có thể chọn các f n để cho f x n( )≥ 0;

™ Để chứng tỏ { f n } đơn điệu tăng , ta chú ý:

i

Vậy trong mọi trường hợp ta đều có: f x n( )≤ f n+1( )x

™ Ta hãy chứng minh rằng ( ) lim n( )

n

→∞

= Nếu f x( )< +∞ thì với n đủ lớn f(x) < n, cho nên tồn tại i để:

Nếu f x( )= +∞ thì , f x( )≥n ∀ , cho nên n f x n( )= → ∞ n

Vậy trong mọi trường hợp: f x n( )→ f x( )

¾ Bây giờ giả sử f (x) bất kỳ, ta đặt:

2.1.5 Hội tụ hầu khắp nơi

Định nghĩa Dãy hàm {f n } đo được trên X gọi là hội tụ hầu khắp nơi tới hàm

f nếu tồn tại tập con A ⊆ X và µ( )A = sao cho: 0 lim n( ) ( )

n f x f x

\

2.1.6 Hội tụ theo độ đo

Định nghĩa Cho f, f n , (n = 1, 2, …) là các hàm đo được trên A ∈ F Ta nói

rằng dãy hàm { }f n hội tụ theo độ đo µ đến f và ký hiệu f n ⎯⎯µ→ nếu với f

một tập đo được B ⊆ sao cho A µ(A B\ )< và dãy ε f n hội tụ đều trên tập B

Nói vắn tắt, mọi sự hội tụ trên một tập có độ đo hữu hạn có thể biến thành hội tụ đều sau khi bỏ đi một tập có độ đo nhỏ tuỳ ý

Chứng minh

Không giảm tính tổng quát ta có thể giả thiết các f x n( ) hữu hạn khắp nơi

và hội tụ khắp nơi trên A

Cho f x là giới hạn của dãy ( ) f x Đặt n( )

k n

2.2.1 Tích phân của hàm bậc thang đo được không âm

Định nghĩa Giả sử (X, F, µ) là một không gian độ đo và :f X → là hàm bậc thang đo được không âm Viết f dưới dạng:

1 i

n

i A i

2.2.2 Tích phân của hàm đo được không âm

Định nghĩa Giả sử :f X → + là hàm đo được không âm Ta gọi tích phân của f trên X mà ký hiệu bởi

X

fdµ

n X

với mọiα > và mọi f đo được không âm trên X 0

2.2.3 Tích phân của hàm đo được tuỳ ý

Định nghĩa Giả sử :f X → là hàm đo được tuỳ ý

Viết f = f+− f− vớif+ =max{ }f,0 , f− =max{−f,0 }

đó là các hàm đo được không âm

Nếu cả hai tích phân

=

= ∪U

Ta có:E i =(A E∩ i) (∪ B∩E i) và A, B rời nhau nên (A E∩ i) và (B∩E i)

¾ f là hàm đo được không âm

Khi đó tồn tại một dãy hàm bậc thang đo được không âm { }f n , f n f

¾ f đo được có dấu bất kỳ

2.2.6 Định lý ( Tính chất tuyến tính của tích phân)

a) Nếu f và g là các hàm đo được trên X thì :

( )

b) Nếu α∈ và f đo được trên X thì:

trên X Tuy nhiên đẳng thức trên là rõ ràng vì ( )f+ = f−, ( )−f − = f+ và do đó:

2.2.9 Định lý Lebesgue – Levi về hội tụ đơn điệu

Nếu { }f n là dãy tăng các hàm đo được không âm trên X hội tụ tới f thì:

Với mỗi n≥ đặt: 1 g n =inf{f f n, , n+1 } Khi đó { }g n là dãy tăng các hàm

đo được không âm và n n, lim n lim n

n

→∞

Áp dụng định lý Lebesgue – Levi cho dãy { }g n ta có:

(lim n) lim n lim n lim n

Giả sử { }f n là dãy các hàm đo được trên X thỏa mãn:

(i) f n bị chặn bởi một hàm không âm khả tích trên X:

Hoàn toàn tương tự, do: g− f n ≥ và 0 lim(g− f n)= −g limf n

Theo bổ đề Fatou ta lại có: lim( n) lim ( n)

Mặt khác vì f n ⎯⎯µ→ nên tồn tại dãy f { }n k j , sao cho: kj hkn

Định nghĩa Cho không gian mêtric X, C là đại số các tập con của X Độ đo µ

được gọi là độ đo xác suất nếu:

µ: C →[ ]0,1 và µ( )∅ =0, 1µ( )X =

1.1.2 Không gian xác suất

Định nghĩa Cho X là một không gian mêtric, F là σ − đại số các tập con

của X, µ là một độ đo xác suất trên F Khi đó bộ ba (X, F, µ) được gọi là không gian xác suất

1.1.3 Độ đo Borel

Định nghĩa Cho không gian mêtric X Độ đo µ xác định trên σ− đại số Borel

B(X) được gọi là độ đo Borel

1.1.4 Độ đo Radon

Định nghĩa

Cho không gian tôpô tách Hausdorff X

¾ Một độ đo Borel µ trên X được gọi là độ đo Radon nếu:

i) µ( )K < +∞ với mọi K compact, K ⊆ X

ii) µ( )B =sup{µ( )K : compact, K K ⊆B}, ∀B∈ B(X)

¾ Độ đo µ được gọi là chặt nếu:

( )X sup{ ( )K : compact, K K X}

1.1.5 Độ đo Borel chính quy

Định nghĩa Một độ đo Borel hữu hạn µ được gọi là chính quy nếu:

Chứng minh

( )⇒ µ là độ đo Radon nên theo định nghĩa:

( )B sup{ ( )K : compact, K K B}, B

K compact trong không gian X tách Hausdorff nên K đóng

Vậy µ là độ đo chính quy

Từ định nghĩa độ đo Radon, do X ∈ B(X) nên:

¾ Trước hết ta chứng minh U là σ − đại số:

ƒ Vì ∅ và X là hai tập vừa đóng vừa mở nên ∅ ∈ U , X ∈ U

ƒ VớiA∈ U thì A∈ B(X) và ∃ F đóng, F ⊆ A,∀ > thoả mãn ε 0

Do µ là độ đo hữu hạn nên tồn tại k ∈ N sao cho:

1

\

2

k n n

Áp dụng định lý 1.2.3 suy ra mọi độ đo hữu hạn trên không gian mêtric bất

n

k

nj n j

=

Ta thấy rằng Kεlà tập đóng và hoàn toàn bị chặn Do X là không gian đủ

nên Kε là tập compact Hơn nữa ta có:

Theo mệnh đề 1.2.4 µ là một độ đo xác suất trên không gian mêtric nên µ

là độ đo chính quy Do đó theo định lý 1.2.1 thì µ là độ đo Radon trên X

1.2.6 Họ có hướng tăng ( giảm )

Định nghĩa Một họ ( )B j j J∈ khác rỗng được gọi là họ có hướng tăng (giảm) nếu với bất kỳ j j1, 2∈ tồn tại J j3∈ sao cho: J

Trước hết ta chứng minh F là σ − đại số

ƒ Vì ∅ và X là hai tập vừa đóng vừa mở nên ∅ , X thuộc F

Vậy F là σ − đại số

Mặt khác do X là không gian tôpô chính quy nên với mỗi tập mở U ⊆ X

tồn tại các tập con mở V j ⊆ sao cho: U

Vậy F = B(X) hay µ là độ đo chính quy trên X

c) Giả sử ( )Uλ λ∈Λ là họ các tập con mở có hướng tăng của X

Đặt U Uλ

λ ∈Λ

Vì µ là độ đo Radon trên không gian tôpô Hausdorff nên với mỗi ε > 0

tồn tại một tập compact Kε ⊆ sao cho U µ(U K\ ε)< ε

Mặt khác Kε là tập compact nên tồn tại phủ mở Uλ phủ Kε suy ra tồn tại

Giả sử { }f là dãy hàm bậc thang đo được trên X hội tụ tới f Theo định n

lý Egorov, ∀ > , Aε 0 ∃ ∈ε B(X) sao cho ( \ )

4

µ < và f n hội tụ đều tới

f trên Aε Ta có f n cũng là hàm bậc thang đo được trên Aε nên có thể biểu diễn f n dưới dạng

2 ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN RIESZ

Cho một không gian mêtric X Ta ký hiệu các hàm liên tục φ: X→ có giá compact là Cc(X)

Khi đó Cc(X) là một không gian vectơ

Cho µ là độ đo Radon trên X Xét hàm số sau:

Khi đó Λ là phiếm hàm tuyến tính

Thật vậy: do tính chất tuyến tính của tích phân ta có:

Như vậy mỗi độ đo Radon µ trên X sinh ra một phiếm hàm tuyến tính trên

C c (X) Vậy với Λ là một phiếm hàm tuyến tính xác định dương trên C c (X),

liệu có tồn tại hay không một độ đo Radon µ trên X thoả mãn: Λ( )φ = ∫φ µ

X

d ?

Định lý sau đây sẽ trả lời cho điều này:

2.1 Định lý biểu diễn Riesz

Giả sử X là một không gian mêtric có một vét cạn compact Nếu Λ là một phiếm hàm tuyến tính dương trên C c (X) thì tồn tại duy nhất một độ đo Radon µ trên X sao cho: Λ( )φ = ∫φ µ

X

d (φ∈C c (X))

(Ta nói rằng X có một vét cạn Compact nghĩa là tồn tại một dãy các tập con

Compact ( )K n n≥1 sao cho: K n ⊆ intK n+1 với mọi n và U n

¾ Trước hết ta chứng minh tính duy nhất:

Giả sử µ1 và µ2 là hai độ đo Radon trên X thoả mãn

Thật vậy, ta cần chứng minh φn(x) là hàm liên tục và suppφn là tập compact trong X

1,

dist x K

n

< 0,

ε

≤+ < ε

Vậy φn( )x là hàm liên tục trên X K\ với dist x K( , ) 1

Chứng minh suppφn là tập compact trong X:

¾ Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại của µ

Trước hết ta đưa ra một số khái niệm:

Cho một tập con compact K của X Ta viết K pφ nghĩa là:

1

N n n

=

∑p

Chứng minh

Với mỗi x ∈ K, tồn tại một lân cận mở mà bao đóng của nó là một tập con compact của một trong các U n Tồn tại hữu hạn những lân cận như thế phủ K

Ta ký hiệu V n là hợp các tập đó nằm trong U n Khi đó ta được một phủ mở V 1 ,

V 2 , …, V N của K sao cho V n là một tập con compact của U n với mọi n Với mỗi x∈ X ta xác định hàm sau:

dist x X V x

N

k K

K

Bây giờ ta chứng minh sự tồn tại của độ đo Radon µ

Ta xác định hàm tập hợp µ* trên X như sau:

n

(E n), với E n ⊆ X , n≥ 1