Hàm đơn điệu và ứng dụng

Ứng dụng của hàm đơn điệu để giải các bài toán về dãy số .... Ứng dụng của hàm số đơn điệu để giải phương trình .... Ứng dụng hàm đơn điệu để giải hệ phương trình ..... Ứng dụng hàm đơn

Giáo viên hướng dẫn  

ThS. NGUYỄN QUỐC TUẤN  

HÀ NỘI, 2012

  Tôi xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 11 tháng 5 năm 2012

Sinh viên   

Trương Thị Hà

LỜI CAM ĐOAN

Trương Thị Hà

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

NỘI DUNG 4

Chương 1 Hàm đơn điệu 4

1.1. Các khái niệm hàm số một biến số 4

1.1.1. Các khái niệm hàm số 4 

1.1.2. Giới hạn và hàm số liên tục của hàm số một biến số 4 

1.2. Khái niệm hàm đơn điệu 8

1.3. Một số định lý về hàm đơn điệu 9 

Chương 2 Ứng dụng của hàm đơn điệu 14 

2.1. Ứng dụng của hàm đơn điệu để giải các bài toán về dãy số 14 

2.1.1. Phương pháp 14 

2.1.2. Ví dụ minh họa 14 

2.1.3. Bài tập vận dụng 23 

2.2. Ứng dụng của hàm số đơn điệu để giải phương trình  24 

2.2.1. Phương pháp 24 

2.2.2. Ví dụ minh họa 25 

2.2.3. Bài tập vận dụng 28 

2.3. Ứng dụng hàm đơn điệu để giải hệ phương trình 29 

2.3.1. Phương pháp 29 

2.3.2. Ví dụ minh họa 29 

2.3.3. Bài tập vận dụng 34 

2.4. Ứng dụng hàm đơn điệu để giải bất phương trình 34 

2.4.1. Phương pháp 34 

2.4.2. Ví dụ minh họa 35 

2.4.3. Bài tập vận dụng 40 

2.5. Ứng dụng hàm đơn điệu để giải hệ bất phương trình 41 

2.5.1. Phương pháp 41 

2.5.2. Ví dụ minh họa 41 

2.5.3. Bài tập vận dụng 43 

2.6. Ứng dụng hàm đơn điệu để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất 43 

2.6.1. Phương pháp 43 

2.6.2. Ví dụ minh họa 44 

2.6.3. Bài tập vận dụng 48 

2.7. Ứng dụng hàm đơn điệu để chứng minh bất đẳng thức thức 49 

2.7.1. Phương pháp 49 

2.7.2. Ví dụ minh họa 49 

2.7.3. Bài tập vận dụng 52 

2.8. Ứng dụng hàm đơn điệu để giải phương trình hàm 52 

2.8.1. Phương pháp 52 

2.8.2. Ví dụ minh họa 53 

2.8.3. Bài tập vận dụng 57 

Chương 3 Sáng tạo bài toán mới  58

MỞ ĐẦU

 Hàm đơn điệu là một lớp hàm cơ bản, quan trọng trong lý thuyết hàm 

số và có ứng dụng rất mạnh trong toán sơ cấp cũng như trong toán học hiện 

đại ngày nay. Nhờ có tính chất đơn điệu của hàm số mà chúng ta đã giải quyết 

được  rất  nhiều  vấn  đề  trong  toán  học.  Trong  toán  sơ  cấp,  các  bài  toán  liên 

quan  đến  hàm  đơn  điệu  xuất  hiện  nhiều  trong  các  kỳ  thi  học  sinh  giỏi  toán 

phổ  thông,  kỳ  thi  Olympic  học  sinh,  Olympic  sinh  viên,  các  kỳ  thi  đại  học, 

cao đẳng… Đó là các dạng bài toán về dãy số, phương trình, hệ phương trình, 

các bài toán về bất phương trình, hệ bất phương trình, bất đẳng thức, giá trị 

lớn nhất (GTLN), giá trị nhỏ nhất (GTNN) và phương trình hàm… 

  Hiện  nay,  đã  có  một  số  sách  chuyên  đề  viết  về  phương  pháp  giải  bài 

toán  sử  dụng  tính  đơn  điệu  của hàm  số  cho  từng  dạng  bài  toán  cụ  thể  (xem 

  Vì  những  lý  do trên cùng với  sự  góp  ý động viên  và  tận  tình giúp  đỡ 

trong  giải  toán  ở  phổ  thông,  ứng  dụng  trong  việc  giải  các  bài  toán  về  dãy  số, 

phương  trình,  hệ  phương  trình,  bất  phương  trình,  hệ  bất  phương  trình,  bất 

Chương 1 Hàm đơn điệu 

  Chương  này,  trình  bày  về  các  khái  niệm  hàm  số, khái  niệm  hàm  số 

đơn điệu và các tính chất của hàm đơn điệu. 

Chương 2 Ứng dụng của hàm đơn điệu

  Chương  này,  nghiên  cứu  các  ứng  dụng  của  hàm  đơn  điệu  để  giải  các 

  Cho  hàm  số  y f x   xác  định  trên  tập  hợp  D   Khi  đó  trong  mặt 

phẳng R ,  tập  hợp 2  G   gồm  các  điểm  có  tọa  độ x f x   với  x, ( ) D  được 

gọi là đồ thị của hàm số  f  

1.1.2 Giới hạn và hàm số liên tục của hàm số một biến số

 Khái niệm lân cận

  Cho  điểm  x0  thuộc  tập  D   nằm  trong  ,  khoảng x0,x0 ,  kí 

hiệu là V x 0 , với    được gọi là 0 - lân cận của x0. 

  Lân cận tại một điểm x  là tập hợp 0 U  chứa điểm  x  mà trong đó tồn 0

tại  một -  lân  cận  nào  đó  tại  điểm  x   nằm  trong  U ,  có  nghĩa  là,  tồn  tại 0

 0

V x U  

 Khái niệm giới hạn của hàm số

  Cho hàm số y f x  xác định trên tập hợp  D  R  lấy giá trị trên  R , 

  Ta nói hàm số  f  có giới hạn là    khi  xx0, nếu với 

 Khái niệm hàm số liên tục hàm số gián đoạn

  Cho  hàm  số  y f x   xác  định  trong  khoảng a b,   và  điểm  x0  thuộc 

khoảng  a b ,  hàm  số ,  y f x   được  gọi  là  liên  tục  tại  điểm  x0  nếu 

Cho hàm số y f x  xác định trên đoạn a b  Hàm số đó được gọi là , 

một hàm số liên tục trái tại điểm b  (hay liên tục phải tại điểm  a ) Nếu: 

  i)  Điểm  x   được gọi  là  điểm gián đoạn loại  một  nếu  f  gián đoạn tại 0

điểm x  nhưng tồn tại 0 f x 0  và  f x 0 , đặc biệt nếu có  

 Khái niệm đạo hàm

  Cho hàm số y f x  xác định trên a b  và điểm ,  x0 thuộc a b , cho , 

hàm của hàm số  f  tại  x0. 

 



  thì ta gọi giới hạn đó là đạo hàm bên trái của hàm số y f x  tại xx0.  

1.2 Khái niệm hàm đơn điệu

  Cho tập  D   và hàm số  f D : , ta nói hàm  f  là hàm đơn điệu 

tăng  (tương  ứng,  tăng  thực  sự)  hay  đồng  biến  trên  D   nếu  từ  điều  kiện 

 Một số tính chất của hàm đơn điệu

Định lý 1.1 (xem  1 ) Cho phương trình f x( )g x( ), với mọi xD

Giả sử trên miền D hàm f luôn đồng biến còn hàm g luôn nghịch biến Khi

đó, nếu phương trình ( ) f x g x( ) có nghiệm thì nghiệm đó là duy nhất

Chứng minh Giả sử  x x0 là một nghiệm của phương trình  ( )f x g x( ). Gọi  

g x g x g x  với mọi xD x2, D1. Nhưng vì  f x( )0 g x( )0  nên ta 

suy  ra  f x( )g x( )  với  mọi  xD1D2.  Tức  là  xx0  là  nghiệm  duy  nhất 

của phương trình  f x g x , với  xD.          

Định lý 1.2 (xem  16 ) Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên khoảng a b , 

a) Nếu f (x)  0 với mọi xa b,  thì hàm số đồng biến trên khoảng đó

b) Nếu f x 0 với mọi xa b,  thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó

Chứng minh Theo định nghĩa, ta có đạo hàm của hàm số  y f x  tại điểm 

0

x  bất kì,  x0a b,  là       

0

0 0

    sao  cho  g x   0  với  mọi  x   thuộc  D   mà 0 xx0 ,  hay  ta  có 

   với  mọi  x   thuộc  D , 0 xx0 ,  suy  ra  hàm  f   đồng 

biến trên khoảng x0,x0   Do x  bất kì thuộc khoảng 0 a b,  nên hàm 

f   đồng  biến trên khoảng  a b,   Vậy, nếu  f x0    với mọi 0 xa b,  thì 

hàm số đồng biến. 

b) Nếu  f x0  , suy ra 0    

0

0 0

    sao  cho  g x    với  mọi  x   thuộc  D   mà   0 0 xx0 ,  hay  ta  có 

biến trên khoảng x0,x0   Do x  bất kì thuộc khoảng 0 a b  nên hàm , 

f  nghịch biến trên khoảng  a b,   Vậy, nếu  f x0   với mọi 0 xa b,  thì 

hàm số nghịch biến.              

Định lý 1.3 (xem  16 ) Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm trên khoảng a b, 

Nếu f x( ) (hoặc 0 f x( ) ) và đẳng thức chỉ xảy ra tại một số hữu hạn 0

điểm trên khoảng đó thì hàm số đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng đó

Chứng minh Chứng minh tương tự như định lý 1.2.         

Định lý 1.4 (xem  8 ).  Cho   :f a b ,  là một hàm đơn điệu Điều kiện

cần và đủ để hàm f liên tục trên a b là tập giá trị của nó chính là đoạn với , 

hai đầu mút ( ) f a và ( ) f b

Chứng minh Ta xét trường hợp hàm  f  là hàm tăng (nếu hàm  f  là hàm giảm 

thì ta xét hàm  :g  f , khi đó, hàm  g  là hàm tăng).  

Điều kiện cần:  Giả  sử  hàm  f   liên  tục  trên a b,   ta  chứng  minh  f a b  ,   

Ngược  lại,  ta  lấy  f    a ,f b    theo  giả  thiết  hàm  f   liên  tục,  áp  dụng ,

định  lý  Bolzano  –  Cauchy  về  giá  trị  trung  gian,  suy  ra  tồn  tại ca b,   sao 

cho  f c . Do đó,   

Từ (1.1) và (1.2) ta suy ra  f a b ,   f    a , f b   

Điều kiện đủ: Giả sử  f  là hàm tăng và  f  a b,    f a   , f b  , ta chứng 

minh  f  liên tục trên a b  bằng phản chứng. Giả sử ngược lại, hàm  f  gián , 

đoạn  tại  x oa b, .  Nếu  ax0   b ta  đặt   

  Tương tự, với x0   hoặc a x0   thì ta cũng có b f  a b  không chứa ,  

các khoảng , f a   và  f b ,, điều này trái với giả thiết. Vậy,  f  liên 

Định lý 1.5 (xem  8 ) Giả sử f là hàm tăng thực sự và liên tục trên a b , 

Khi đó, hàm f có hàm ngược f1 xác định trên f a f b Hơn nữa, hàm ( ), ( )

ngược f1 cũng tăng thực sự và liên tục trên f a f b ( ), ( )

Chứng minh.  Theo giả thiết, hàm  f  tăng thực sự trên a b , áp dụng định lý , 

1.4  ta  có  f  a b,    = f a f b( ), ( ),  hay  với  mỗi  số  y ,  y f a   , f b    thì 

phương trình y f x( ) có nghiệm duy nhất  x  với  xa b,  (theo định lý 1.1).  

  Kí  hiệu,  ánh  xạ  f1  là  ánh  xạ  cho  tương  ứng  mỗi  phần  tử  y , 

Định lý 1.6 (xem  8 ) Cho tập hợp D  R có điểm tụ x và 0 x0 với mọi x

xD Nếu hàm f D  R tăng (tương ứng, giảm) ở trên D và f là hàm bị :

chặn trên (tương ứng, bị chặn dưới) trên D , tức là tồn tại một số thực M sao

cho f x  M (tương ứng, tồn tại một số thực m sao cho f x m ) với mọi

xD thì khi xx0 hàm f có giới hạn hữu hạn và

Chứng minh Giả sử  f  là hàm tăng trên  D , theo giả thiết hàm  f  bị chặn trên 

D nên tập hợp f x :xD bị chặn trên. Suy ra, tồn tại  sup  x  

Chương 2

Ứng dụng của hàm đơn điệu

2.1 Ứng dụng của hàm đơn điệu để giải các bài toán về dãy số

  Giả sử dãy  x n  được cho bởi công thức truy hồi x n  f x n1, khi đó 

ta  gọi  hàm  y f x( )  là  hàm  số  tương  ứng  của  dãy.  Dễ  thấy  rằng,  nếu  dãy 

Giả sử, dãy x na b, , n  và hàm f là hàm tăng trên đoạn

a b Chứng minh rằng: , 

a) Nếu x1x2 thì dãy  x n là dãy tăng;

b) Nếu x1x2 thì dãy  x n là dãy giảm;

c) Nếu hàm f bị chặn thì dãy  x n hội tụ

Chứng minh a) Nếu  x1x2 thì dãy  x n  là dãy tăng. Thật vậy, ta chứng minh 

bằng quy nạp toán học. 

  Với n   thì ta có 1 x1x2 (luôn đúng theo giả thiết). Giả sử, bất đẳng 

thức  (2.1)  đúng  với nk k( 1),  tức  là  x k  x k1.  Ta  phải  chứng  minh  bất 

  Với n 1 thì ta có x1x2 (luôn đúng theo giả thiết). Giả sử, bất đẳng 

thức  (2.2)  đúng  với nk, (k 1),  tức  là  x k x k1.  Ta  phải  chứng  minh  bất 

  Vậy,  x n  là dãy giảm. 

c)  Theo giả thiết  hàm  f   bị  chặn, nên  ta suy ra dãy  x n   bị  chặn. Hơn  nữa, 

theo ý a) và  b) ta có  x n  đơn điệu. Từ đó, ta suy ra  x n  hội tụ. 

Giả sử x na b, ,  n , hàm f là hàm giảm, bị chặn trên a b và , 

phương trình x f  f  x có nghiệm duy nhất trong đoạn a b,  Hãy xét

sự hội tụ và tính giới hạn (nếu có) của dãy

Chứng minh Ta chứng minh, nếu hàm f  là hàm giảm thì hàm hợp  f   là f

hàm tăng. Thật vậy, lấy hai số  x y bất kỳ thuộc đoạn a b, , do  f  là hàm 

giảm trên đoạn a b, , nên  f x  f y , suy ra  f f x    f f y   . 

  Khi  đó,  áp  dụng  bài  toán  2.1  cho  các  dãy x2n1  , x2n là  hai  dãy  con 

của dãy  x n , ta có hai dãy x2n1  , x2n  đều đơn điệu và bị chặn, nên chúng 

hội  tụ.  Giả  sử,  giới  hạn  của  hai  dãy  x2n1  , x2n   lần  lượt  là     và  , 

12

Chứng minh rằng, dãy trên hội tụ và tìm giới hạn của dãy

Chứng minh Do  x  , nên ta có 1 0

  Ta thấy, với n   thì theo (2.4) luôn có 2 x2  a. Giả sử bất đẳng thức 

(2.5)  đúng  với nk k,( 1),  tức  là  x k  a.  Ta  phải  chứng  minh  bất  đẳng 

thức  (2.5)  đúng  với nk ,  tức  là 1 x k1 a.  Thật  vậy,  theo  giả  thiết  quy 

nạp x k  a và theo bất đẳng thức Cauchy, ta có   

 

Bài toán 2.5 Cho dãy  x n được xác định bởi công thức truy hồi

3 1

x  x , với n  2

Xét sự hội tụ của dãy  x n  và tính giới hạn (nếu có)

Lời giải Theo giả thiết, ta có  3  3 3 9

Trường hợp 1. Giả sử x   , ta dễ thấy 1 1 x3x19 x1, theo bài toán 2.1. 

phần  b)  suy  ra  dãy x2n1  là  dãy  giảm.  Giả  sử dãy x2n1  có  giới  hạn hữu 

n x  

    ,  chuyển  qua  giới  hạn  biểu  thức  x2n1x2n19  ta 

có phương trình  9 vô nghiệm với   1, hay dãy x2n1 phân kì. Vậy, 

dãy  x n  phân kì. 

Trường hợp 2. Giả sử x 1 1, tương tự như trường hợp 1 ta chứng minh 

được  dãy x2n1  là  dãy  tăng  và  không  bị  chặn,  có  nghĩa  là  dãy x2n1  và 

 x n  phân kì. 

Trường hợp 3. Giả sử  1 x1 , ta dễ thấy 0 0x3 x19 x1  , theo 1

bài  toán  2.1  phần  a)  suy  ra  dãy  x2n1  là  dãy  tăng.  Mặt  khác,  ta  có 

y x y

y

      Với A0,0x1,y00. 

Chứng minh, dãy u n  hội tụ. 

2.2 Ứng dụng của hàm số đơn điệu để giải phương trình

x x

Bài toán 2.8 (xem  3 ) Giải phương trình:

Bài toán 2.9 (xem  1 ).  Chứng minh rằng phương trình sau có đúng một

Suy ra, hàm  f  đồng biến trên 1,   Ta lại có,  f     1 f 2  3 23  nên 0

phương trình  f x    có nghiệm  thuộc khoảng   0 1, 2 , từ đó  suy  ra phương 

Bài tập 2.6 (xem 3,12 ). Giải các phương trình sau 

a) log5xlog3xlog 3 15   

Đặt  f t( )2t 3t   xác  định  trên 3   có  đạo  hàm  f t( )2 ln 2t     với 3 0

mọi t  . Suy ra, hàm  f  đồng biến trên  R  Khi đó, phương trình 2.14  có 

  Phương  trình  (2.15)  tương  đương  với  phương  trình  2x x   Ta  lại 3

thấy,  hàm  2x    đồng  biến  và  thử  thấy x x    là  nghiệm,  suy  ra 1 x    là 1

Bài toán 2.12  (xem  12 ).  Chứng minh rằng, với mọi số a 0, hệ phương

trình sau có nghiệm duy nhất

Suy ra, hàm  f  đồng biến trên hai khoảng ,0 và 0,   Kết hợp với  f  

là  hàm  liên tục  trên    nên nó  đồng biến  trên  toàn    Do  đó,  phương  trình 

2

33

b) Để  hệ phương  trình  có  hai nghiệm  y y1, 2 trái dấu  thì phương trình  (2.21) 

phải có hai nghiệm x x  trái dấu, có nghĩa là  (0)1, 2 g  , suy ra 0 m 0. 

  Vậy, với m   thì hệ đã cho có hai nghiệm 0 y y1, 2 trái dấu. 

2.3.3 Bài tập vận dụng

Bài tập 2.8 (xem 12,17 ). Giải các hệ phương trình sau: 

Với x   thì ta có 2 f x  f  2   suy ra bất phương trình nghiệm đúng. 1

         (Đề Thi ĐH Dược Hà Nội-1999) 

Lời giải Điều kiện,  x    0

2 2

x

x x

a) Giải bất phương trình với m  2

b) Giải và biện luận bất phương trình (2.28)

Lời giải Tập xác định,  D 0, 

  Bất phương trình (2.28) tương đương với phương trình  

      x2(m 3 log2x x) 3mm.log2x0.        (2.29) 

Bài toán 2.18 (xem  12 ). Cho bất phương trình

2

2m x 2m  m lg(m m2) lg ( m1)x4 (2.32) a) Giải bất phương trình với m  3

b) Tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x  0,1

Lời giải Điều kiện,  

m m

m m

Bài tập 2.14 (xem  16 ). Cho bất phương trình 

  Xét  hàm  số  f t( )3t1t2  với t    Dễ  thấy,  hàm  f   hàm  đồng  biến 0

trên 0,     Do  đó,  phương  trình  (2.38)  trở  thành  f 2x1  f x( 1) 

4os

      (Đề thi Học Viện Quân Y – 1997)

Lời giải Điều kiện, x  0

log x   tương đương với 1 4 x   hay 2 x 16. 

  Giải  bất  phương  trình  (2.40).  Thay  x 16  vào  phương  trình  (2.40)  ta 

x c x



(Đề thi CĐ HÀNG HẢI I-khối A-2007)

Lời giải.Hàm số đã cho tương đương với hàm  

2

2 2 2

t   

      (Đề thi CĐ TÀI CHÍNH KẾ TOÁN-2006)

Lời giải Xét  hàm  ysinx1 cos x  trên  đoạn  0,,  ta  có  đạo  hàm 

2

y  x x  suy ra y 0 tương đương với

 , x 1,e3 ,  ta  có   

2

lnx 2 lnx y

x



  ,  x 1,e3 , suy ra y 0 tương đương với 

Bài tập 2.20 (xem  2 ). Cho các số thực không âm  ,x y  thay đổi và thỏa mãn 

Suy ra, hàm  f  giảm trên 0,   Khi đó, theo tính chất của hàm đơn điệu thì  

với ab0 suy ra  f a  f b , hay