Hàm lồi liên hợp

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả cần thiết cho chương saunhư: Không gian Banach, ánh xạ tuyến tính, Định lý Hahn-Banach, song đốingẫu và tính trực giao.. Không gian Banac

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

LỜI CẢM ƠN

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS Trần Văn Bằng

-Người thầy đã trực tiếp tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành bàikhóa luận của mình Đồng thời em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong

tổ Giải tích và các thầy cô trong khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm HàNội 2, Ban chủ nhiệm khoa Toán đã tạo điều kiện cho em hoàn thành tốt bàikhóa luận này

Trong khuôn khổ có hạn của một bài khóa luận, do điều kiện thời gian,

do trình độ có hạn và cũng là lần đầu tiên nghiên cứu khoa học cho nênkhông tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót nhất định Vì vậy, em kính mongnhận được những góp ý của các thầy cô và các bạn

Em xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Văn Hải

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là kết quả nghiên cứu của bản thân em dưới sự hướng dẫn

tận tình của TS Trần Văn Bằng.

Trong khi nghiên cứu hoàn thành đề tài nghiên cứu này em đã tham khảomột số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Em xin khẳng định kết quả của đề tài “Hàm lồi liên hợp” không có sự

trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Văn Hải

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Không gian Banach 3

1.2 Ánh xạ tuyến tính 6

1.3 Định lý Hahn-Banach 8

1.4 Song đối ngẫu và tính trực giao 17

Chương 2 Hàm lồi liên hợp 20

2.1 Khái niệm cơ bản 20

2.2 Một số kết quả về hàm lồi liên hợp 22

2.3 Một số ví dụ 28

Kết luận 39

Tài liệu tham khảo 40

MỞ ĐẦU

Giải tích lồi đóng vai trò quan trọng trong việc nghiên cứu lý thuyết cácbài toán cực trị và các ngành Toán học ứng dụng có sử dụng công cụ giảitích và không gian tuyến tính Sau các kết quả đầu tiên của H.Minkowski(1910) về tập lồi và hàm lồi, lý thuyết giải tích lồi đã thu hút sự quan tâmnghiên cứu của nhiều nhà toán học

Hàm lồi liên hợp là một trong những kết quả nền tảng của giải tích lồi

Nó là cơ sở để đạt được nhiều kết quả quan trọng khác Trong chương trìnhđại học chúng ta đã được học về hàm lồi liên hợp nhưng chưa đầy đủ Vì thếtìm hiểu sâu về hàm lồi liên hợp và các kết quả của nó là thực sự cần thiết

và hữu ích, giúp hiểu sâu hơn về nhiều vấn đề trong giải tích lồi

Với mong muốn được tìm hiểu sâu hơn về hàm lồi liên hợp và các kết

quả của nó, em đã mạnh dạn chọn đề tài : "hàm lồi liên hợp" Nghiên cứu

đề tài này giúp chúng ta hiểu sâu hơn về hàm lồi liên hợp Nội dung đề cậptrong luận văn được trình bày một cách chặt chẽ về mặt Toán học, các địnhnghĩa và kết luận nêu ra có kèm theo ví dụ minh họa

Nội dung của bài nghiên cứu gồm hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị.

Chương này trình bày một số khái niệm và kết quả cần thiết cho chương saunhư: Không gian Banach, ánh xạ tuyến tính, Định lý Hahn-Banach, song đốingẫu và tính trực giao

Chương 2: Hàm lồi liên hợp.

Chương này giới thiệu về hàm lồi, hàm nửa liên tục dưới, hàm liên hợp vàmột số kết quả quan trọng về hàm lồi liên hợp

Do là lần đầu thực tập nghiên cứu, thời gian có hạn và năng lực bản thâncòn hạn chế nên chắc chắn bài nghiên cứu này khó tránh khỏi những thiếusót Em rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của thầy cô và bạn đọc để

đề tài này hoàn chỉnh và đạt kết quả cao hơn

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian Banach

Trong phần này chúng ta sẽ định nghĩa chuẩn cho các không gian tuyếntính để nó trở thành không gian tuyến tính định chuẩn Đầu tiên ta đề cậpkhái niệm chuẩn

Định nghĩa 1.1 Cho X là một không gian tuyến tính trên trường K, chuẩn

trên X là hàm số

k.k : X → R+

x7→ kxk ,thỏa mãn các điều kiện

là một chuẩn trên X , gọi là một không gian tuyến tính định chuẩn (hay gọitắt là không gian định chuẩn).

Giả sử (X , k.k) là một không gian định chuẩn Dễ dàng chứng minh đượchàm

ρ : X × X → R+xác định bởi ρ (x, y) = kx − yk là một metric trên X , gọi là metric sinh bởichuẩn Như vậy, không gian tuyến tính định chuẩn là một không gian metric.Giả sử (xn) là một dãy các phần tử của X và x0 ∈ X Khi đó ta định nghĩa:

lim

n→∞xn= x0 ⇔ lim

n→∞kxn− x0k = 0

Định nghĩa 1.3 Không gian tuyến tính định chuẩn (X , k.k) đầy đủ với

metric sinh bởi chuẩn gọi là không gian Banach

Ta cũng có thể định nghĩa không gian Banach như sau

Định nghĩa 1.4 Không gian định chuẩn X được gọi là không gian Banach,

nếu mọi dãy cơ bản trong X đều hội tụ

Trong đó, dãy cơ bản được định nghĩa như sau :

Định nghĩa 1.5 Dãy điểm (xn) trong không gian định chuẩn X gọi là đãy

trong đó x = (x1, x2, , xn) ∈ Kn.

Ví dụ 2 Trường số hữu tỷ Q là không gian tuyến tính định chuẩn với chuẩn

kxk = |x| , nhưng không phải là không gian Banach

Ví dụ 3 Tập hợp tất cả các hàm bị chặn trên không gian tôpô T : B(T ) là

không gian Banach với chuẩn

x(t) = lim

n→∞xn(t) với mọi t ∈ T

Như vậy, ta có hàm số x xác định trên T Cho m → ∞ trong (1.1) ta được

|xn(t) − x(t)| ≤ ε ∀n ≥ n0, ∀t ∈ T (1.2)Như vậy, với mọi n ≥ n0, x − xn là hàm số bị chặn trên T Kéo theo x =

Định nghĩa 1.6 Một ánh xạ A : X → Y gọi là một ánh xạ tuyến tính hay

toán tử tuyến tínhnếu

1) A(x1+ x2) = A(x1) + A(x2) với mọi x1, x2 ∈ X;

2) A(λ x) = λ A(x) với mọi x ∈ X , λ ∈ K

Khi Y = K thì toán tử tuyến tính còn được gọi là phiếm hàm tuyến tính.

Định nghĩa 1.7 Ánh xạ A : X → Y được gọi là tuyến tính liên tục nếu A

tuyến tính và liên tục theo các tô pô sinh bởi chuẩn trên X và Y

Có thể thấy A liên tục tại x0 ∈ X khi và chỉ khi với mỗi dãy (xn) hội tụ

về x0 trong X thì dãy (Axn) hội tụ về (Ax0) trong Y

Định lý 1.2.1 Một toán tử tuyến tính A từ X vào Y là liên tục khi và chỉ khi

nó bị chặn

Định lý 1.2.2 Cho X và Y là hai không gian tuyến tính định chuẩn, A : X →

Y là một toán tử tuyến tính Nếu A liên tục tại x0 ∈ X thì A liên tục trên X

Hệ quả 1.1 Toán tử tuyến tính A bị chặn (liên tục) nếu tập các giá trị của

nó trên một mặt cầu (tùy ý) bị chặn (Mặt cầu tâm x0, bán kính α, ký hiệu làS(x0, α), là tập các x sao cho kx − x0k = α)

Giả sử toán tử tuyến tính A : X → Y là song ánh Khi đó nó có toán tửnghịch đảo A−1 : Y → X Có thể thấy A−1 cũng là toán tử tuyến tính và toán

tử A có nghịch đảo khi và chỉ khi KerA = 0, tức là phương trình Ax = 0 chỉ

Với hai không gian tuyến tính X và Y trên cùng một trường K, ký hiệu

L (X ,Y ) là tập hợp các toán tử tuyến tính từ X vào Y Tức là

L(X ,Y ) =A : X → Y |A tuyến tính Trên L (X,Y ) ta trang bị hai phép toán cộng và nhân vô hướng xác định nhưsau: Với mọi A, B ∈ L (X,Y ) , λ ∈ K,

(A + B) (x) = Ax + Bx ∀x ∈ X;

(λ A) (x) = λ (Ax) ∀x ∈ X

Khi đó L (X,Y ) cùng với hai phép toán trên là một không gian tuyến tính.Đặc biệt, nếu Y = K thì L (X, K) gọi là không gian các phiếm hàm tuyếntính trên X và gọi là không gian liên hợp đại số của X , ký hiệu là X0 Khônggian liên hợp đại số của X0 gọi là không gian liên hợp đại số thứ hai của X ,

ký hiệu là X00 Hiển nhiên X0 và X00 là các không gian tuyến tính trên K

Định nghĩa 1.8 Ta ký hiệu E∗ là không gian đối ngẫu của E, nghĩa làkhông gian của tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E; chuẩn (đốingẫu) trên E∗ được định nghĩa bởi :

Khi không có sự nhầm lẫn ta viết k f k thay cho k f kE∗

Với f ∈ E∗ và x ∈ E, ta thường viết < f , x > thay cho f (x); ta gọi < , >

là tích vô hướng của cặp đối ngẫu E∗, E Ta biết E∗ là không gian Banach,nghĩa là E∗ là không gian đủ (ngay cả khi E không là không gian đủ); điềunày được suy ra từ việc R là không gian đủ

E thành một phiếm hàm tuyến tính xác định trên toàn bộ E

Cho P là một tập hợp có quan hệ sắp thứ tự (bộ phận) ≤ Ta nói một tập hợpcon Q ⊂ P là sắp thứ tự toàn phần nếu với bất kỳ cặp (a, b) trong Q hoặc

a≤ b hoặc b ≤ a (hoặc cả hai) Cho Q ⊂ P là một tập hợp con của P; ta nói

c∈ P là một cận trên của Q nếu a ≤ c với mọi a ∈ Q Ta nói m ∈ P là mộtphần tử cực đại của P nếu không có phần tử x ∈ P sao cho m ≤ x, trừ x = m.Chú ý rằng một phần tử cực đại của P không cần là một cận trên của P Tanói P là quy nạp nếu mọi tập hợp con sắp thứ tự toàn phần Q trong P đều cómột cận trên

Bổ đề 1.1 (Zorn) Mọi tập hợp sắp thứ tự khác rỗng , quy nạp đều có một

phần tử cực đại.

Chú ý 1 Bổ đề Zorn có nhiều ứng dụng quan trọng trong giải tích, nó

là công cụ cơ bản trong việc chứng minh một số khẳng định về sự tồn tạidường như hiển nhiên như "mọi không gian vector đều có một cơ sở " và

"trên không gian vector bất kỳ có các phiếm hàm tuyến tính không tầmthường" Đặc biệt bổ đề này là một công cụ hữu ích để chứng minh Định lýHahn-Banach sau đây:

Định lý 1.1 (Hahn-Banach, Helly, Dạng giải tích) Cho p : E → R là một

D(h) không gian con tuyến tính của E

Trên P ta định nghĩa quan hệ thứ tự

h1 ≤ h2 ⇔ (D(h1) ⊂ D(h2)và h2 thác triển h1)

Rõ ràng P khác rỗng vì g ∈ P Chúng ta sẽ chỉ ra P là quy nạp Thật vậy, cho

Q⊂ P là tập con sắp thứ tự toàn phần; ta viết Q là Q = (hi)i∈I và đặt

D(h) =[

i∈I

D(hi), h(x) = hi(x) nếu x ∈ D(hi) với một i nào đó

Dễ dàng thấy rằng h hoàn toàn xác định, h ∈ P và h là một cận trên của Q.Theo Bổ đề Zorn, có một phần tử cực đại f trong P Ta sẽ chứng tỏ rằngD( f ) = E là xong

Giả sử ngược lại rằng D( f ) 6= E Lấy x0 ∈ D( f ); đặt D(h) = D( f ) + Rx/ 0,

và với mỗi x ∈ D( f ), đặt h(x0+ tx0) = f (x) + tα (t ∈ R), trong đó hằng số

α ∈ R được chọn sao cho h ∈ P Ta phải đảm bảo rằng:

Một số α như vậy tồn tại, vì

f(y) − p(y − x0) ≤ p(x + x0) − f (x) ∀x ∈ D( f ), ∀y ∈ D( f );

Thật vậy, từ (1.6) ta suy ra:

f(x) + f (y) ≤ p(x + y) ≤ p(x + x0) + p(y − x0)

Vậy f ≤ h nhưng điều này là không thể vì f là cực đại và h 6= f

Bây giờ chúng ta mô tả một số ứng dụng đơn giản của Định lý 1.1 trongtrường hợp E là không gian vector định chuẩn với chuẩn k.k

Hệ quả 1.2 Cho G ⊂ E là không gian con tuyến tính Nếu g : G → R là

phiếm hàm tuyến tính liên tục, thì tồn tại f ∈ E∗ thác triển g và thỏa mãn

k f kE∗ = kgkG∗

Hệ quả 1.3 Với mọi x0 ∈ E tồn tại f0 ∈ E∗ thỏa mãn

k f0k = kx0k và < f0, x0 >= kx0k2

Chứng minh.

Sử dụng Hệ quả 1.2 với G = Rx0 và g(tx0) = t kx0k2 Suy ra kgkG∗ = kx0k

Chú ý 2. Phần tử f0 được cho bởi Hệ quả 1.3 nói chung là không duy nhất.Tuy nhiên nếu E∗ là không gian lồi ngặt–chẳng hạn nếu E là không gianHilbert hoặc nếu E = Lp(Ω) với 1 < p < ∞ thì f0 là duy nhất Tổng quát,chúng ta dặt , với mỗi x0 ∈ E,

F(x0) =

n

f0 ∈ E∗; k f0k = kx0k và < f0, x0 >= kx0k2o.Ánh xạ (đa trị ) x0 → F(x0) được gọi là ánh xạ đối ngẫu từ E vào E∗

Hệ quả 1.4 Với mọi x ∈ E ta có

và R.C.James đã khẳng định điều ngược lại : Nếu E là không gian Banachsao cho với mỗi f ∈ E∗ " sup " trong (1.4) đều đạt được thì E phản xạ

Dạng hình học của Định lý Hahn-Banach: Tách các tập lồi.

Chúng ta bắt đầu với một số vấn đề sơ bộ về siêu phẳng Dưới đây, E kýhiệu là không gian vector định chuẩn

Định nghĩa 1.9 Một siêu phẳng afin là một tập hợp con H của E có dạng

H = {x ∈ E; f (x) = α} ,

trong đó f là một phiếm hàm tuyến tính không đồng nhất bằng không

và α ∈ R là một hằng số đã cho Ta viết H = [ f = α] và nói rằng f = α làphương trình của H

Mệnh đề 1.1 Siêu phẳng H = [ f = α] là đóng nếu và chỉ nếu f liên tục.

Chứng minh Rõ ràng nếu f liên tục thì H đóng Ngược lại, ta giả sử Hđóng Phần bù Hc của H là mở và khác rồng (vì f không đồng nhất bằngkhông) Lấy x0 ∈ Hc, suy ra f (x0) 6= α, giả sử, f (x0) < α Cố định r > 0sao cho B(x0, r) ⊂ Hc, trong đó

B(x0, r) = {x ∈ E; kx − x0k < r} Chúng ta chứng minh rằng

f(x) < α, ∀x ∈ B(x0, r) (1.11)Thật vậy, giả sử ngược lại rằng f (x1) > α với một x1∈ B(x0, r) Khi đó đoạnthẳng

Về mặt hình học, thuật ngữ tách có nghĩa là A nằm trong một nửa khônggian xác định bởi H, và B nằm trong nửa không gian kia Cuối cùng chúng

ta nhắc lại rằng một tập hợp con A ⊂ E là lồi nếu

tx+ (1 − t)y ∈ A, ∀x, y ∈ A, ∀t ∈ [0, 1]

Định lý 1.2 (Hahn-Banach, dạng hình học thứ nhất)

Cho A ⊂ E và B ⊂ E là hai tập hợp con, lồi, khác rỗng thỏa mãn A ∩ B 6=

φ Giả sử một trong hai tập là mở Khi đó tồn tại một siêu phẳng đóng tách

Avà B

Chứng minh Định lý 1.2 dựa trên hai bổ đề dưới đây

Bổ đề 1.2 Cho C ⊂ E là một tập hợp con, lồi, mở với O ∈ C Với mỗi x ∈ E

đặt

p(x) = in fα > 0; α−1x∈ C (1.12)

(p được gọi là cỡ của C hay phiếm hàm Minkowski của C).

Khi đó p thỏa mãn (1.5), (1.6) và có các tính chất sau:

Tồn tại một hằng số M sao cho 0 ≤ p(x) ≤ M kxk ∀x ∈ E, (1.13)

C = {x ∈ E; p(x) < 1} (1.14)Chứng minh Bổ đề 1.2 Rõ ràng (1.5) đúng

Chứng minh (1.13) Lấy r > 0 sao cho B(0, r) ≤ C; rõ ràng ta có

p(x) ≤ 1

r kxk , ∀x ∈ E

Chứng minh (1.14) Trước tiên, giả sử x ∈ C, vì C là mở nên suy ra (1+ε)x ∈

C với mọi ε > 0 đủ nhỏ và do đó p(x) ≤ 1+ε1 < 1 Ngược lại, nếu p(x) < 1 thìtồn tại α ∈ (0, 1) sao cho α−1x∈ C, và do đó x = α(α−1x) + (1 − α)0 ∈ C.Chứng minh (1.6) Lấy x, y ∈ E và ε > 0 Sử dụng (1.5) và (1.14) ta thuđược p(x)+εx ∈ C và p(y)+εy ∈ C Do đó p(x)+εtx + p(y)+ε(1−t)y ∈ C với mọi t ∈ [0, 1].Chọn giá trị t = p(x)+p(y)+2εp(x)+ε , ta thấy rằng p(x)+p(y)+2εx+y ∈ C Sử dụng (1.5)

và (1.14) một lần nữa ta suy ra p(x + y) < p(x) + p(y) + 2ε, ∀ε > 0

Bổ đề 1.3 Cho C ≤ E là một tập hợp lồi, mở, khác rỗng và x0 ∈ E với

x0 ∈ C Khi đó, tồn tại f ∈ E/ ∗ thỏa mãn f (x) < f (x0) ∀x ∈ C Đặc biệt,

siêu phẳng [ f = f (x0)] tách x0 và C.

Chứng minh Bổ đề 1.3 Sau một phép tịnh tiến chúng ta luôn có thể giả

sử rằng 0 ∈ C Do đó ta có hàm cỡ p của C (xem Bổ đề 1.2) Xét không giancon tuyến tính G = Rx0 và phiếm hàm tuyến tính g : G → R xác định bởi

g(tx0) = t, t ∈ R

Rõ ràng

g(x) 6= p(x) ∀x ∈ G(Xét hai trường hợp t > 0 và t ≤ 0) Từ định lý 1.1 suy ra tồn tại một phiếmhàm tuyến tính f trên E thác triển g và thỏa mãn

Định lý 1.3 (Dạng hình học thứ hai, Hahn-Banach) Cho A ⊂ E và B ⊂ E

là hai tập hợp con lồi, khác rỗng thỏa mãn A ∩ B 6= φ Giả sử A đóng và B compact Khi đó tồn tại một siêu phẳng đóng tách ngặt A và B.

Chứng minh Đặt C = A − B, suy ra C lồi, đóng, và 0 /∈ C Do đó, tồntại r > 0 sao cho B(0, r) ∩C = φ Theo Định lý 1.2 có một siêu phẳng đóngtách B(O, r) và C Do đó, tồn tại f ∈ E∗, f 6≡ 0, sao cho

Chú ý 4 Giả sử A ⊂ E và B ⊂ E là hai tập hợp lồi, khác rỗng thỏa mãn

A∩ B = φ Nếu ta không thêm giả thiết thì nhìn chung ta không thể tách A

và B bởi một siêu phẳng đóng Ta có thể lấy một ví dụ như vậy trong trườnghợp cả A và B đều đóng Tuy nhiên, nếu E hữu hạn chiều thì ta luôn táchđược hai tập lồi khác rỗng bất kỳ A và B thỏa mãn A ∩ B = φ

Hệ quả 1.5 Cho F ⊂ E là một không gian con tuyến tính thỏa mãn F 6= E.

Khi đó tồn tại f ∈ E∗, f 6≡ 0, thỏa mãn

h f , xi = 0 ∀x ∈ F

Chứng minh Lấy x0 ∈ E với x0 ∈ F Sử dụng định lý 1.3 với A = F và/

B= x0, ta có siêu phẳng đóng [ f = α] tách ngặt F và x0 Do đó, ta có

h f , xi < α < h f , x0i ∀x ∈ F

suy ra h f , xi = 0 ∀x ∈ F vì λ h f , xi < α với mọi λ ∈ R.

Chú ý 5. Hệ quả 1.5 thường được sử dụng để chứng minh một không giancon tuyến tính F ⊂ E là trù mật Khi đó ta chỉ cần chứng minh rằng mọiphiếm hàm tuyến tính liên tục trên E mà triệt tiêu trên F thì phải triệt tiêutrên E

1.4 Song đối ngẫu và tính trực giao

Cho E là không gian vector định chuẩn và E∗ là không gian đối ngẫuvới chuẩn

Một đơn ánh chính tắc J : E → E∗∗ được xác định như sau : Với x ∈ E, ánh

xạ f 7→ h f , xi là một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên E∗; do đó nó là mộtphần tử của E∗∗, ta ký hiệu là Jx Ta có

hJx, f iE∗∗, E∗ = h f , xiE∗, E ∀x ∈ E, ∀ f ∈ E∗

Rõ ràng J là tuyến tính và J là một phép đẳng cự, nghĩa là kJxkE∗∗ = kxkE;thật vậy, ta có

Có thể J không là toàn ánh từ E vào E∗∗ Tuy nhiên, thuận tiện khi sử dụng

J để đồng nhất E với một không gian con của E∗∗ Nếu J là toàn ánh thì ta

nói E là phản xạ, và E∗∗ được đồng nhất với E