Lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị

Phương pháp điểm bất động là một trong các phương pháp quan trọng và hữu hiệu nhất để chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của các lớp phương trình phi tuyến khác nhau

MỤC LỤC Lời mở đầu

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Không gian metric 3

1.2 Không gian định chuẩn, không gian Banach Không gian tôpô 6

1.3 Tập hợp lồi 8

1.3.1 Định nghĩa và tính chất .8

1.3.2 Bao lồi và bao đóng 9

1.4 Ánh xạ đa trị 10

Chương 2 Điểm bất động của ánh xạ đa trị 2.1 Định lý Caristi .14

2.2 Định lý Nadler 18

2.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng 23

2.3.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer 23

2.3.2 Bổ đề phân hoạch đơn vị 31

2.3.3 Định lý Kakutani 33

2.3.4 Điểm bất động trong không gian định chuẩn 37 Kết luận

Tài liệu tham khảo

LỜI MỞ ĐẦU

Nhiều hiện tượng trong thực tế dẫn đến việc nghiên cứu sự tồn tại, duy nhất và xây dựng xấp xỉ cho phương trình phi tuyến Phương pháp điểm bất động là một trong các phương pháp quan trọng và hữu hiệu nhất để chứng minh sự tồn tại và nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của các lớp phương trình phi tuyến khác nhau Lý thuyết điểm bất động ra đời từ những năm 1920, được hoàn thành và phát triển cho tới ngày nay để có thể áp dụng cho ngày càng nhiều lớp phương trình

Cùng với sự phát triển của khoa học và do nhu cầu phát triển nội tại của toán học, các ánh xạ đa trị đã được đưa vào nghiên cứu từ những năm 1950 Chúng là công cụ hữu hiệu để mô tả nhiều hiện tượng của tự nhiên, xã hội, kinh tế, Từ đó, nảy sinh ra yêu cầu phát triển các phương pháp nghiên cứu với ánh xạ đa trị, trong đó có phương pháp điểm bất động

Ngày nay, lý thuyết điểm bất động cho các ánh xạ đa trị đã thu được nhiều kết quả có giá trị Tuy nhiên đây vẫn là hướng nghiên cứu đang được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu và hứa hẹn đạt tới những kết quả thú

vị về lý thuyết cũng như ứng dụng

Với những lý do đó em đã chọn đề tài:

“Lý thuyết điểm bất động của ánh xạ đa trị”

Mục đích của khoá luận này là trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh xạ đa trị , nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng của nó

Nội dung khoá luận gồm 2 chương

Chương 1: Nhắc lại một số kiến thức của giải tích hàm về một số không gian,

tập hợp và một số định nghĩa về ánh xạ dùng cho chương 2

Chương 2: Chương này giới thiệu một số định lý về điểm bất động của ánh

xạ đa trị , định lý điểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co, nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng của nó

Bản khoá luận này được hoàn thành tại trường đại học sư phạm Hà Nội

2 dưới sự hướng dẫn của thầy Phùng Đức Thắng Em xin bày tỏ lòng biết ơn

sự chỉ bảo, giúp đỡ tận tình của thầy trong quá trình em hoàn thành khoá luận này

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, dạy bảo của các thầy cô khoa toán trường đại học sư phạm Hà Nội 2 trong suốt thời gian em học tập tại trường

Hà Nội, tháng 5 năm 2012 Sinh viên

Ngô Ngọc Huyền

ii) Với mọi ,x y : d x y , d y x , 

iii) Với mọi , ,x y z  : d x y , d x z , d z y , 

Ánh xạ d gọi là metric trên 

Mỗi phần tử của  gọi là một điểm của  ; d x y gọi là khoảng cách từ  , điểm x tới điểm y

Định nghĩa 1.1.4

Cho không gian metric ,d,    Điểm x   gọi là điểm trong của  nếu tồn tại một lân cận của x bao hàm trong 

Định nghĩa 1.1.5

Cho không gian metric ,d,     là tập đóng trong  nếu với

mọi điểm x   thì tồn tại một lân cận của x giao  bằng rỗng

Định lý 1.1.1

Trong không gian metric bất kỳ mọi hình cầu đóng là tập đóng

Định lý 1.1.2

Trong không gian metric bất kỳ thì

a Giao của một họ tuỳ ý những tập hợp đóng là một tập hợp đóng

b Hợp của một họ hữu hạn các tập đóng là một tập hợp đóng

Định lý 1.1.3

Cho không gian metric , d Tập    và   Tập  đóng 

trong  khi và chỉ khi mọi dãy điểm  x n A hội tụ tới điểm x thì x  

Định nghĩa 1.1.6

Cho dãy  x n trong không gian metric , d Ta nói dãy  x n hội tụ

tới điểm x   nếu   0, n0 *: nn0 thì d x x n,  

Từ định nghĩa ta có điều kiện sau

a Để tập hợp  là bị chặn, điều kiện cần và đủ là tồn tại một hình cầu

x R0, 

 chứa 

b Hợp của một số hữu hạn những tập hợp bị chặn là một tập hợp bị chặn

1.2 KHÔNG GIAN ĐỊNH CHUẨN, KHÔNG GIAN BANACH

KHÔNG GIAN TÔPÔ

Định nghĩa 1.2.1

Giả sử  là một trường số thực hoặc trường số phức Tập hợp

 cùng với hai ánh xạ (gọi là phép cộng và phép nhân vô hướng)

Phép cộng xác định trên    và lấy giá trị trong 

3) Tồn tại một phần tử 0 của  sao cho   x :x0 x

4) Với mỗi x   , tồn tại phần tử x sao cho: xx 0

5)     , x y,  :xyxy

6)    x ,  ,  :x xx

7)    x ,  ,  :x  x

8)   x :1.xx

Định nghĩa 1.2.2 (Định nghĩa không gian định chuẩn)

Cho  là không gian tuyến tính trên trường 

+) Không gian định chuẩn là , trong đó:

 là một không gian tuyến tính

là một chuẩn trong 

Khi đó x   thì x gọi là chuẩn của vectơ x

Định nghĩa 1.2.3 (Định nghĩa không gian Banach)

Nếu không gian định chuẩn  là một không gian metric đầy đủ và khoảng cách d x y ,  xy thì  được gọi là không gian định chuẩn đầy

đủ hay gọi là không gian Banach

Định nghĩa 1.2.4 (Định nghĩa không gian tôpô)

iii) Hợp của một họ tuỳ ý các tập thuộc là một tập thuộc 

Các tập thuộc  được gọi là các tập mở Phần bù của một tập mở trong

 gọi là một tập đóng

Tập  được trang bị một tôpô  được gọi là một không gian tôpô và được ký hiệu bởi , hoặc đơn giản là 

1.3 TẬP HỢP LỒI

1.3.1 Định nghĩa và tính chất

Định nghĩa 1.3.1

Giả sử X là một không gian tuyến tính, là tập các số thực Tập

AX được gọi là lồi nếu: x x1, 2A,  :0 thì 1

Khi đó A chứa tất cả các tổ hợp lồi của x x1, 2, ,x m

1.3.2 Bao lồi và bao đóng

Ta thấy phương trình (P) luôn có n nghiệm phức Ứng với mỗi bộ số

a a0, , ,1 a n ta có một tập nghiệm, ký hiệu sol(P) , tương ứng Ta thiết lập tương ứng :

Ta thấy F không phải là ánh xạ theo nghĩa thông thường

Xét phương trình (P) trên tập số thực Ta cũng thiết lập tương ứng

Định nghĩa 1.4.1

Cho , Y là hai không gian tôpô Ký hiệu 2Y được hiểu là tập các tập

hợp con của tập hợp Y Tương ứng F X: 2Y được gọi là ánh xạ đa trị DomFx : F x   được gọi là miền hữu hiệu 

ImFyY:  x X y, F x   được gọi là ảnh

graphF x y, X Y: yF x   được gọi là đồ thị

Nhận xét 1.4.1

Với mỗi xDomF, nếu F x  chỉ gồm duy nhất một phần tử thì F là

ánh xạ đơn trị (ánh xạ theo nghĩa thông thường)

F F

CHƯƠNG 2

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ

Trong chương này em sẽ trình bày một số định lý điểm bất động cho ánh

xạ đa trị trong không gian metric đủ X,, có thể xem như khái quát nguyên

Chứng minh

Với mỗi x ta định nghĩa tập A x yX :x y,  f x  f y  

Khi x cố định thì f y x y,  là hàm nửa liên tục dưới theo ,y cho nên

 

A x là tập đóng

Hiển nhiên xA x  và cũng dễ thấy nếu yA x  thì A y  A x 

Vì khi ấy với mỗi zA y  ta có y z,  f y  f z cho nên

Lấyx0X tuỳ ý, sau đó x1A x 0 sao cho f x 1 v x 0 1 / 2

x n1A x n sao cho  1  

12

Cho nên x n k ,x ndiamA x n10 khi n  , chứng tỏ dãy  x n là

dãy cơ bản trong không gian metric đủ X , cho nên x n  x X

Do x nA x m với m  nên cho n   ta được n xA x m với mọi m, có nghĩa là

Nếu hình dung P x  là tập các điểm mà từ x có thể di chuyển tới được

và f x  là một hàm thế năng mà ta muốn tìm giá trị thấp nhất, thì giả thiết

(1) có nghĩa là: từ bất cứ vị trí x nào cũng có thể chuyển tới một vị trí y ứng với một thế năng giảm đi ít nhất một lượng bằng số đo khoảng cách từ x đến

y Khi ấy, tập A x xây dựng trong chứng minh trên bao gồm các vị trí y  

thấp hơn x mà có thể chuyển đến được từ x

(“thấp hơn” theo nghĩa f y  f x x y, )

Thật ra, chứng minh trên không chỉ xác nhận sự tồn tại một điểm

không còn có thể di chuyển hạ thấp thế năng hơn nữa

Ta biết rằng nếu X không compac thì một hàm nửa liên tục dưới f x 

có thể không có điểm cực tiểu trên X , nghĩa là không có điểm x nào với tính

chất y  f y  f x  Định lý Caristi cho thấy tuy vậy vẫn có một điểm x *

xấp xỉ cực tiểu theo nghĩa: mọi điểm xx*đều có

   *  *

,

f x  f x  x x

Điều đó được khẳng định tường minh hơn trong định lý sau đây

Hệ quả 2.1 (nguyên lý - biến phân Ekeland)

Trong một không gian metric đủ X, cho một hàm nửa liên tục dưới

Chỉ cần chứng minh cho  1,vì không gian X với metric x y, /

cũng là không gian metric đủ Đặt P x yX :y u,  f u  f y   Nếu mệnh đề không đúng, tức là không có điểm x thoả mãn (3) , (4) thì ta có *

(1), cho nên theo định lý Caristi phải có một điểm *  *

x P x Như vậy x *

thoả mãn (4) và theo nhận xét ở trên, x* cũng chính là điểm có tính chất (3) (điều này mâu thuẫn)

Vậy mệnh đề luôn đúng hay định lý được chứng minh

Đây là định lý về điểm bất động của ánh xạ đa trị có tính chất co, định lý

đã mở rộng nguyên lý Banach cho các ánh xạ đa trị co

Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức sau

Định nghĩa 2.2.1 (Định nghĩa ánh xạ co)

Cho hai không gian metric M1X d, 1, M2 Y d, 2 Ánh xạ A từ

không gian M1 vào không gian M2 gọi là ánh xạ co, nếu tồn tại số ,

Ta đi chứng minh tính duy nhất

Thật vậy, giả sử tồn tại điểm y*X cũng là điểm bất động của ánh xạ A , thì

Đặt yAx  asinx , ta nhận được ánh xạ A ánh xạ không gian đầy 1

vào chính nó Hơn nữa

Suy ra A là ánh xạ co (do a 1) Theo nguyên lý Banach về ánh xạ co, ánh

xạ A có điểm bất động duy nhất x , nghĩa là phương trình (1) có nghiệm duy *

nhất x*

Dễ dàng kiểm tra được nghiệm duy nhất đó là x*

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x,  a  1,1

Định nghĩa 2.2.2 (Định nghĩa ánh xạ đa trị co)

Cho không gian metric X,

Một ánh xạ đa trị P từ một tập V X vào chính X gọi là co nếu có một

Do đó theo định lý Caristi, phải có một điểm *  *

2.3 Nguyên lý điểm bất động Brouwer và suy rộng

2.3.1 Nguyên lý điểm bất động Brouwer

Nguyên lý điểm bất động Brouwer là định lý trung tâm của lý thuyết

điểm bất động, đó cũng là một trong những nguyên lý cơ bản nhất của giải tích phi tuyến Nguyên lý này được Brouwer chứng minh năm 1921 dựa vào một công cụ tôpô là lý thuyết bậc của ánh xạ liên tục Tuy nhiên cách chứng minh này là quá khó đối với những người chưa biết lý thuyết này, nên nhiều người đã tìm cách chứng minh sơ cấp hơn Ở đây em nêu lên cách chứng minh của Knaster, Kuratowki, và Mazurkierwicz, dựa trên một kết quả về toán học tổ hợp của Sperner Trước tiên ta hãy nhắc lại một vài định nghĩa sau

Định nghĩa 2.3.1

Cho X là một không gian tuyến tính, tập hợp S trong X được gọi là,

một n_đơn hình nếu Sco u u 0, , ,1 u n với u u0, , ,1 u nX và các véctơ

1 0, 2 0, , n 0

u u u u u u độc lập tuyến tính Các điểm u được gọi là đỉnh, bao i

lồi của k  đỉnh được gọi là k _diện của S 1

Phép tam giác phân một đơn hình S là một phép phân chia S thành

các n_đơn hình con S i (i0,1, , )m sao cho hợp của chúng bằng S và hai

đơn hình con nếu giao nhau thì giao phải là một diện chung của hai đơn hình

đó

Đối với một phép tam giác phân ,S Sperner đưa ra một phép gán cho

mỗi đỉnh của các đơn hình con một trong các số 0,1, , n theo quy tắc sau

đây: nếu co u u 0, , ,1 u n là diện nhỏ nhất của S chứa , v thì v được gán cho

một trong các số i i1, , ,2 i (Như vậy đỉnh k u phải được gán số i ) i

Ta gọi đó là phép gán số Sperner

Ví dụ 2.3.1

Trong tam giác u u u0 1 2 ba đỉnh lần lượt được gán số 0,1,2 các đỉnh của đơn hình con nằm trên cạnh u u i k được gán số i hoặc k ; các đỉnh thuộc

phần trong của tam giác được gán số 0 hoặc 1 hoặc 2

Sau khi gán số, đơn hình con nào có các đỉnh được gán đủ các số 0,1, ,n thì được gọi là đơn hình “tốt”

Trong đơn hình của ví dụ trên có 5 đơn hình tốt

Đơn hình là đoạn u u0 1, đỉnh u0 được gán số 0, đỉnh u1 được gán số

1,các đỉnh còn lại của các đơn hình con nhận các số 0 hoặc 1 (hình vẽ)

Gọi k là số đỉnh (của các đơn hình con) nhận giá trị 0 (nếu các đỉnh

chung được tính 2 lần) Ta có k là số lẻ vì chỉ có một đỉnh nhận số 0 ở đầu

mút, còn các đỉnh nhận số 0 thuộc phần trong thì được tính 2 lần

Gọi h là đỉnh nhận số 0 mà đỉnh còn lại (của đơn hình con chứa đỉnh

đó) cũng nhận số 0

Số đơn hình tốt bằng k là số lẻ Vậy bổ đề đúng với h n 1

b) Giả sử bổ đề đúng với nm Ta sẽ chứng minh bổ đề đúng với nm 1

Gọi k là các m _diện (diện m chiều), mà các đỉnh được gán các số

0,1, , m (gọi tắt là diện tốt) của các m1_đơn hình con Khi đó

1 2

kk k , với k1 là số diện tốt nằm trên biên của đơn hình gốc S và k2 là số

các diện tốt thuộc phần trong của S Vì biên của S chứa các diện tốt chính là

m_diện cou u0, , ,1 u n của S cũng là một m _đơn hình, nên theo giả thiết

quy nạp k1 là số lẻ Số k2 là số chẵn vì mỗi diện tốt thuộc phần trong là chung

cho hai đơn hình con nên được tính hai lần Vậy k lẻ

Gọi h là số các diện tốt mà đỉnh còn lại không được gán số m1 Vậy

đỉnh đó sẽ được gán một trong các số 0,1, , m Vì vậy m1_đơn hình con

chứa diện đó phải chứa 2 diện tốt Do đó h là số chẵn Vì các số m1_đơn

hình tốt bằng k  nên k h  phải là số lẻ h

Bổ đề được chứng minh

Bổ đề 2.3.1 (Knaster – Kuratowski – Mazurkiewicz)

Cho đơn hình S co u u 0, , ,1 u n trong R và các tập hợp đóng n

0, , ,1 n

F F F trong S thoả mãn điều kiện sau

với mọi tập hợp con I0,1, ,n Ta có: co i:  i

Lấy một đỉnh v bất kỳ ( của một đơn hình con) trong phép tam giác phân

đó, gọi co u i i : I là diện nhỏ nhất của S chứa v Khi đó theo điều kiện

i I



 Vậy tồn tại m để choI vF m Ta sẽ gán cho v số m đó và

ký hiệu là v m.Vậy với mỗi h0,1, ,n ta đều có v hF h Đặc biệt, các đỉnh

i

u của S đều phải thuộc F i i, 0,1, ,n Cách gán này cũng thoả mãn điều kiện Sperner Vì vậy theo bổ đề Sperner, phải có ít nhất một đơn hình con là tốt (được gán các số từ 0 đến n), ta có kí hiệu đó là 1  1 1 1

0, , ,1 n

co v v v

nhận xét ở trên ta có v1i  với F i i 0,1, ,n

Ta thực hiện trong S phép tam giác phân bước hai, tức là tiếp tục chia

nhỏ các đơn hình con đã có ở bước một sao cho các điều kiện của tam giác

phân (trên S ) vẫn được bảo đảm Các đỉnh mới xuất hiện vẫn được gán số

theo cách đã nêu trong bước một, kết quả ta tìm được một đơn hình tôt mới,

v hội tụ đến

0 0

v F do F đóng Dãy 0  1

ij m