Lý thuyết ánh xạ đa trị và tiếp cận đa trị vào bài toán tối ưu và bài toán điều khiển

1iép can da trị của định ký Eakas 20 $4.Chiing minh dinh ly Fakas $2 và áp dung vào cạp bài tốn doi ngau hương HIf: Tính điều khiển được của các hệ động lực i §1.Tính diệu khiển được củ

IRUONG DATHOC SU PHAM TRHCM

KHOA TOAN — TIN

fe if oS

LÝ THUYẾT ÁNH XA DA TRI

&

TIEP CAN DA TRI VAO BAL TOAN TOL UU

VÀ BÀI TOÁN ĐIẾU KHIỂN

Lý thuyết ánh xạ đa trị và

Tiếp cân đa trị vào bài toán tối ứu và điều khiển

Luận ván tốt nghiệp

Chuyên ngành Toán

S{' thực hiện - Hùi The Anh Khdéas 1998 — 2002

Neuiti luting dan : TS Trinh Cong Dieu

Phản hiện

[Luận văn được bảo vệ tại bộ miên Toán Ứng Dung

Khoa Toán - Tư, trường DHSP tp HCM

Ngày tháng nấm 2002

MUC LUC

OPO Oe Li Aan

[rang

Chuong I: Vinh lién tuc va tap bất biến 4

của ánh xạ đa trị

§5 Tap bat bién va vectd néng cha duh xa da tn 15

( hương II: Tiếp cận đa trị định lý Fakas 3)

và áp dung vào cạp bài toán doi ngau

§1.Tính diệu khiển được của bao hàm thức sai phân M

Past SA tot igluep Dar hoe

LOENOLDAU

ls thuyer anh va da ti la mot lý thuyết đa dude khao s4t va thu due nhieu ket

quái trong nhưng thạp mien gần đây, Nó cho mọi cách tiếp cần khác đối với nhưng

van đe (đứa 11 đa được khảo sát trước đây, đc từ đó rút ra những két luạn đã có

vi plat lien ra nhưng tính chảt mới, Troug phạm ví luận vấn: 7Ý THỊ YÊT (NH

XÃ ĐA TRỤ VÀ TIẾP CẬN ĐA TRỊ VÀO BÀI TOÁN TỔI ỨU VA DIEU KITTEN” tic gid

toi làn hiệu trọt cách Hiếp can da tm cda mor so van dé trong ly thuyet Qui

hoach myen tink (QHTT) và lý thuye dieu Khiểcn, Nói dung của luận vàn được

chia Thanh ft chiteng:

Chương : Tỉnh lien tục vụ tạp bat bieo cia doh xa da to

Chufgng HW: Tiep can da tn dink ly Fakas,

Chifong HE: Tink dicu khiển được của các họ đa tì,

(hương Í néu các đác trưng khác nhau của các khái niém liên tục Kẻ đến là

các khái niệm vectd riêng và tập bất biển của ánh xa da trị (có thể xem đây như

mot sử thở ròng khái niệm vectd riêng và không gian con bất biến của ảnh xa

tuyến tính cho ảnh xạ đa trị), Một vài kết quả vẻ sự tồn tại vectơ riêng của dn|i xã

chuyen vị và đối ngầu của quá trình lôi và lôm củng được khảo sát ở đoạn cuoi

Chương lÍ sẻ xem xét một cách tiếp cạn da trị định lý Fakas va sau đó là áp dụng của định lý này vào bài toáu QiTTT từ đó cho ta kết luận vẻ sự lỏn tại

oghiem cia cap bai todn QHTT doi ngau khong đòi xứng,

Chương cuỏi trình bày tính đạt được, điều khiển được cha cac hé bao hain thite

sai phan và hẹ đừng mà chủ yếu sẻ là xem xét hai văn để chính : khú nào hệ đạt

được, điệu khiển được ?

Đó là toàn bộ nội dung của luạn xản này Trong khí trình bày những van đẻ

não được trích đán sẻ có phí cụ thể nguồn góc và những vấn dé đó chỉ được nêu kết quả phản lớn không chứng tainh: luận văn chi néu và chứng mình nhưng kct

qua ma ching tôi tìn được Xin được kết thúc phẩn trở đầu bằng một vài ghi chú

thông nhĩ vẻ ký hiệu chúng:

+ Cac khat mem va thuat ng vẻ Chải tích lun chúng tôi đừng theo Phan Đức

Chinh [7]

Trang |

+ X* la khong gian hen hop cha khong gian dinh chuan Xo voi mor ENO uh

<\ \> ding de chi gid ri cha phidm hams tain

+ MP ba cde tap con khác ròng của khong gian dinh chuan No \ Cae non

dow cafe hate cna M Pla

M'=J†xeN :<v.v>>0.YxeMI P°ˆz({xeN:<x.x>>0,YveP|

ky luou MOP Bà các nón đồi cực am của MP xác định bởi:

Me ADP Ps PE Now chan va non lita cua tap M ky higu bOM) va ree(M)

WM= (x EN sayin per)

rec(€MI = [EM | trong đó øy(.) là lim tựa của tạp M Do ta ham so tir NỈ vào lap so tate img rong xúc clink bởi

[rong quá trình làm em có tham khảo một số tài liệu, xin gửi đến các tác giả

lới cảm ơn sâu sắc

Em xin chân thành cảm dn cdc thay có trong Khoa Toán - Tin học trường DHSP Tp.HCM đã tro điều kiện cho em hoàn thành luận van nay

TPHCM ngày 30 tháng † năm 3003

SVTH > Bi The Anh

Trang 2

| nam vân tội giết | 3a lụt

TÍNH LIÊN TỤC VÀ TAP BAT BIEN CUA ANH XA DA TRI

§1.SO SÁNH CÁC TÔPÔ

1.1.1.Khái niệm không gian tôpô:

(họ X là mọt tập hợp: Một họ “7 những tạp hợp con của X dude gor lA mot topo

iren X neu ho “7 thỏa các điệu kien:

Mot không gian tôpô là một bộ gồm tạp hdp X va mot topo tren Lap hợp ay ky

liệu (X 7) Khi d6 c4c phản tử của họ 7 được gọi là các tập: mở trong không gian

topo CX, 7)

1.1.2 Cơ sở và tiền cơ sở:

Mot họ con 2 của Z được gọi là cơ sở trong không gian tôps(X.Z7)khi và chỉ

khi mọi phẩn tử của Z7 là hợp có thể của các phản tử trong 2

Một họ con Ø của Z được gọi là tiền cơ sở trong không gian tôpô (X.7)khi và

chỉ khi mọi giao hưu hạn có thể của các phản tử trong ơ lập thành một cơ sở của

(X.F)

Dinh ly 1.1.1:

Ho “Z các tập cen của X là một cơ sở của một tôpô ndo dé trén X néu vai U

và V của Z2 và với mời xeL'V đẻu 3W e⁄Z : xeW và WcL'-.V,

Gia sử “7, và 7, là 2 tô pô trên cùng mọt tập hợp: nêu 2C Fy ta ndi topo 7, lA

yeu hon topo 7, hay topé FZ, min hon topo F,, Khi dé ta ky hiện “7< 7,

7, va 7, được gọi là tương đương (hay tudng dudng) topo neu:

:< 7; và “7;< “7¡ (Ký hiệu: “2; = ^!\)

Trang 3

(nả sử f: X=*Y là một ánh xa từ khóng giản tôpo (X 7) vào không gian topo Y

và x„eX, ta nói f liên tuc tại x¿ nếu với mọi lân cậnW của f{x„} tồn tại | lâu cận V

của x„ sao cho: í(VìCW

Ta nói F là ánh xa liên tục nêu £ liên tục tại mọi xeX Từ định oghia ta suy ra

cic ket qua sau

Định lý 1.1.3:

Chot(X Fy) (X.F,).¥ là các khong giản top và ánh xạ tf; X —+ Y

Gia su FS 7,

Néu £ (X.7,)—Y liên tục

thi í: (X,?;)+Y liên tục

Co (X 4) (X2) là các không gian tôpÕ

điều kiện cần và đủ để 7,<7, la

lx: (X.,)—> (X.;) liên tục

Trang 4

Luan vito tol nghiep Dar hoe

§2 ANH XA DA TRI

1.2.1.Các khái niệm:

Cho A.B là hai tạp hợp

|Phép tướng ứng F cho mọi phản tử của À ứng với mọt tập coa của B được gọi là

Qui ước: tit day vé sau ta viet “cho anh xa da wi FAB” thay cho F:A-B

( sả sử ta có ánh xa đa tn F: XY AcX, Ta dinh nghia:

+DomF = DiF) = {x : F(x) # O}

-FAd= Foo

aA

+lmF = R(F) = F(X) + là ánh xạ không tẩin thường nếu D(E) # +F là ánh xa chat nếu D(E) = X

1.2.2.Các khái niệm đặc biệt:

Giả sử (TL! là mọt tính chất của tập hợp (lỗi đóng, mở ) trong không gian có cau tric X va ánh xạ đa trí F: X—+Y Ta nói E là ánh xạ đa trị (T! nếu và chỉ nẻu grl là tập hợp có tỉnh chất (T) trong X‹Y (với cấu trúc tương ứng)

Trang 5

Luan vin tol aghiep Dai hoc

Ngoài ra, ta nói F là ánh xạ da tri gid i (T) néu và chỉ nếu :VxeX F(x là tập

Ciiả sử, tá có FP: XY 1a doh xa da tri va Ac X, tadinh nghia:

F(A) = {x Fixer Avo}

P(A) = {xs Foe A}

Ta có các tính chất cơ bản sau:

( ho các ánh xa đa trị:

F:X—¬Y ,G:X—Y và BcY B,cY( Viel) Thì ta có:

23(F=.G) (B)CE (Bì G (Bì

3F Gy (B) = F*(B) »G*(B)

1X F ~G) (B) > F’(B).>G'(B) 5)X\F'(B)=F (Y\B)

| tan vần tọt nghiep )at lộc

b được gọt là nửa liên tục trên tại xe XE) khi và chủ khi:

YW là lần cận của F(x¿!, 3 V là lân cận của x„sao cho:

vxeV:F(xìicW Định nghĩa 1.2.4:

(ho X.Y là các khóng gian tôpô

|: X—>Y là ánh xạ đa trị

Ì- được gọi là nửa liên tục đưới tại xạ€ Í3(E) khu và chỉ khi:

Wveelx„) W V là lân can của vụ 3 LÝ là lân cận của x¿ sao chớ:

Yael: Finn Veo Dac tiet, trong tru@ng hdp X Y 1a không gian metric tif dinh nghĩa trên ta có:

F Ja ntfa hén tuc du@i tai x.€ D(F) khi va chi khic

V yeel(Xa).VX,=>yta có day (y,): y,€ FO yo

Giả sử (x„Ilà một đây hội tụ về x„ klú đó ít nhất một phần tử của dây (x„) giả sử

là x, sao cho: x, e B(xo 1/) Lấy bất kỳ xy eF(x)~ B(ya l/) thi day (y,) 1a day cần tì

(='): Hiển nhiên

Định nghĩa 1.2.5:

[ là nửa liên tục trên ( dưới) nẻu F nửa liên tục trên ( đưới) tại mọi xeX

Ví dụ:

Cho ánh xạ đa ứrị F: R> R (R không gian các số thực với tôpô thông

thường ) được xác định bởi grEF như hình về:

Theo định nghĩa ta thấy:

+F nửa liên tục trên tại u nhưng

không nửa liên tục dưới tại điểm này

+F nửa liên tục dưới tại v nhưng

không nửa liên tục trên tại điểm này

+[F' nửa liên tục trên và đưổi tại w

Ï nan v 10 0t nghiep at lọc

§3 TOPO TRONG P(X)

(ho doh xịt đa trị b-N—Y (trong §4 04 §4 ta chi set nhufng anh va chat we doh

xã có don = NỊ, nhạn thay rằng có thể xem Í- như ia mot dnb xa (don trị từ X vào PLY! (tập các tập còn của Y), neu khong cé gi oham lần ta sẽ phì là

| X-+P,(Y! vì vạy nếu ta có thể xảy dung dude cau tnic topo ten PAY) thì việc

nghien cứu các tính chát liên tục cia cha anh xa da i bX Y sé wd thanh vice

nghien cứu sự liên tục của anh xa đơn trị :X —» PY) Trong phan nay cong vice

của chủng” ta sẻ là xây dựng cầu trúc tô trén PAY)

đát 4£ = (ly > Ge | Ta kiểm wa được rằng 4£ là một tiền cơ sở của P„(N) và ta

201 10pO sinh bởi 4@ là tôpô dưới Ký hiệu “7;

Vi dy: Cho khong gian topo (X.7) với “7 = (@ XỊ thì 2, = |@ P/X"|

1) Suy trực tiệp từ định nghĩa

i) Suy trực tiếp từ nhận xét[ F| = lựy

Ï ương tự ta có:

Trang 8

L uan vân tốt nghiệp Dai hoc

§4 ĐẶC TRỨNG CA CÁC KHÁI NIỆM LIÊN TỤC

Muc 2 ta da nêu các khái niệm liên tục, Trong mục này sẽ nêu các phát biểu

tương đương với định nghúa của khái nệm liên tục và sau đó là vài áp dụng nhỏ rong việc chứng mình các định lý cơ bản

Định lý 1.4.1:

Cho X.Y là các không gian topo và ảnh xạ đa trị:

F:X¬Y

Klii đồ các mệnh để sau tương đương:

1) ÄE là nửa liên tục trên

8) N€ụ G là mở trong Y thì Fˆ*(G) là mở trong X,

iii) Anh xa (doo wi) Fs X— (PAY), FZ, ) là liên tục

iv) Vai moi xeX môi đây (X¿ J„-¡C X và x„—> x và neu G 1a mot tap md trong Y với Í'(x)Œ € thì :

3 œ,: Vư >œ, thì F(x„)c G Chifng minh:

i) => Hi Ta sẽ cm F:X—( Pa(Y ), 2, ) là liên tục tại mọi xeX

Thật vậy giả sử LJI G, Hà một lân cận cuả F(x„)—= 3i, : F(x,! c| G, |

Ta cé F: X— (PAY), 24 ) liên tục cho nên:

với môi xeX mỏi đây (X„)„.¿C X và x„—>x thì:

Trang 10

[ uan vần tới ngiượp Par hoe

bey kh {X1 (hội thee topo (PY YY) Feo

Mat khác với C:mở trong Y' thỏa CGOE(x! thì :

[ <i] 1a mot lan can cia F(x) rong (PLY) FZ, ) (*)= day: Va>ay: Fixe [.G]

= F(x ic G

iw) = 1) Giả sử G md trong Y nhumg F(G) khong md trong X

Cho nén, 3x ,€ F'(G) sao cho:

edgy thes x ¢k°(G)vacl

\X > Ko

Theory), do Fix,ic G nen:

3u,.:Vœ >ơ, thì F(x,.)c €

hay x,E€F (GK!) Vậy E*(G1 là mở

ii) = iIVới mọi xạ bất kỳ, gọi G là một lân cận của F(x¿) trong Y, röràng

WEP (G), mat khdc ta lai cd:

F'(G) = V la tap mé trong X(do ii)

nen ØxeV: F(x)€ G

Vậy F nửa liên tục trên tại Xạ

Cho nén, F ofa hiên tục trên

Vậy định lý được chứng nùnh

Định lý 1.4.2:

(ho X.Y là các không gian tôpê và anh xa da tri:

F:X¬Y

Khi đó các điều sau tương đương:

i) F là nửa liên tục dưới

ii) Nếu G là mở trong Y thì F (G) là mở trong X

Hi} Anh xạ F : X— (PAY) ,) là liên tục

iv) Với mỗi xeX, môi dây (x„ Joe X và x„ > x và nếu C¡ là một tạp mở trone Y với [(x)-G # @ thì:

3 œ,: Vư >œ„thì F(x„)- G # @ Chimg minh định lý này hoàn toàn tương tự định lý 1.1,1

[ dạn vận tốt ngluepn Đại học

That vay aia si ye E '(G) nghúa là E(Xu}e G

("ào nên F(x„)~- Í„ Í= 1.2 n

= F(xg) -G,# 0 Vi= 1.2 0

Lavy € Hx) G, DoF 1 na lén tuc dưới nên:

với G, là lân cận của y, 3V, là lần cạn của xụ sao cho:

Ta cé F: X— ( Pol Y) F) lien tuc cho nên:

với môi xeX mỏi đây (X„)la.¡(C X và x„=>x thì:

F(x„)—> F(x) (hội tụ trong ( Pw(Y) Z,))(*)

Mặt khác với G mở trongY thỏa Cj F(x) # @ thì :

l„ là một lân cận của F(x) trong (P(Y) Z,)

(?)ì =: 3ơa:VWdœ >ơa: F(X„}€ la = F(Xu}› G #@,

iv) => 1) Giả sử G mỡ trong Y nhưng F (G):không mở trong X

( "ho nên 3œ„œ F(G) sao cho:

XX,),„, thỏa rác» SERS!

en Xo

Theo tv), do F(xo)> G # @ nên :

3ưœạ¿: Vd >de thì F(x„)~ G # ® hay x„eEF (GX!)

Vay F (G) la mở,

ii) = Ì) Với mọi xạ bất kỳ, gọi G là một lân cận của ye F(x¿) trong Y rorang

x ,€F (G), mat khac ta lai co:

F(G) = V là tập mở trong X (do ii)

nên WxeV : F(x)¬G#@,

Vậy F nửa liên tục đưới tại Xo

Cho nên E nửa liên tục đưới

Vậy định lý được chứng minh

Mot vai 4p dung:

‘Trang 12

1a có E atta lien tie tren

= F(YVWñ = NÚ: (G} lì mở trone X #G mở trong Y,

Thịt vậy, giả sử (x, ve grF thì ye YM(xi

đá lại có [y† FLx) là những tập đóng trong Y là không gian chinh qui

= 3 Gi,G, là các tạp mở trong Y thỏa :

iu thudn vai yo— y

Vay ta yee grb

hay | : dong 1a ánh xạ đồng

Định lý 1.4.5:

Neu FTA nửa liêu tục dưới thì cÍ: nửa lien tục đười,

re day cl la anh xa da tn xae dinh bah clin) = cl Pax)

Chifng minh:

Cua suG la md trong Y STACY ta co:

N GeOaekA) Geo (doG md)

Trang 13

[ nạp vn tôi nghưẹp Dai hoe

=(clF} (L7 =F (G}: mở

Vay theo nm) trong định Jý | 1.3 tà eé cH: nửa hien tục dui,

Eịnh lý 1.4.6:

¡t Neụ E:, G là nửa liên tục ren thì [ G nữa lieu tục wen

ñì Nếu E, C là nửa liên Hìc đưới Hà E G nữa liên tục đưới

Chifng minh:

iMiid si? A la md trong Y

ta coh GCA) = F}(Á} G'(A) là mở trong X

= E Œinửa liên tục trên,

i} wang a i)

Trang 11

{ tan ân tọt Iiplueln [đa học

$5 TAP BAT BIEN VA VECTO RIENG CUA ANH XA DA TRI

Nhuf mot id rong các khái niệm của ánh xạ tuyển tính, trong giải tích đa trị ngươi ta cung dinh nghia tap bat bien vecid meng va tri meng cha doh xa da tei, Trong đoạn nầy sẻ xem XI sự tôn tại veetd riéng của ánh xạ chuyển vị và ảnh xạ

doi ngau cua anh xa đa trị, Trước tien Ja mot vai qui ude

Ke wr day ta ghi X để chỉ không gian Banach va F dé chi doh xa da tri tit X

vào chính nó

+1 la bi chan néu đó là ánh xạ chạt thỏa:

llyll < œ(IIxIrl)VxeX,#y£fF(X)

+ là quá trình neu grF là nón

+l- là ảnh xạ lom nếu đỏ là ánh xạ chát thẻa:

E(ex ‹fWy)— đF(x) + fE(y9.vx.vN:vd.fÐ 0œ: f1

+ Aah xa chat F 1a dudi cong tinh neu:

F(x+y0C F(XxHE(y)

+ Anh xa chat F 1a thuan nhất dương nều:

fe FiO)

(ANd =AR(X) TREX TA > 0

+ Anh xạ chặt Í' là quạt nếu F là đưới cộng tính và thuần nhất đương

+F 1 Anh xa da wi Lipschitz trén tap Ac X néu va chi néu:

Ja > 0: F(x, )C F(x, b+ a@lix, — x, |B Vx,.x7 EA

khi F Ja anh xa da ti Lipschitz trén mot lận cận nào đó của Ö ta nói F là ánh xạ đa

trị Ï ipschitz địa phương tại 0 và œ gọi là hằng số L.ipsehitz địa phương của F tại 0,

Đặc biệt khi F là ánh xạ đa trị Lipschitz trên X ta nói vá tất F là ánh xạ đa trị

Lipschitz Ta ky hiéu:

+ :dé chi cac anh xa chat Lipschitz từ X vào X

+⁄£,: để chỉ các ánh xạ chát từ X vao X théa:

0el'(0) và Lipschitz địa phương tại Ö

+⁄6,: đẻ chỉ các ánh xạ thuần nhất đương thuộc vẻ 4,

+ứy :chí làng số L schitz địa phương của F tai 0

1.5.1.Tập bất biến và vectơ riêng:

Định nghĩa 1.5.1: |1

Cho anh va da trike XX Mc X ta nói:

i) M là tạp bái biến đối với F nếu F(M)= M Hơn nữa, nếu F(M)=M tà nói

VE 1a tap bạt đọng đói với E,

i) M 1a tap hat bien suy rong doi vai F néu F(xì: M # Ô với môi xe

Trang 15

[.uaii vận tốt nghiệp Đại học

Nhận xét:Neu M bất biến với [- thì M“ dơnE là tập bất biển suy rộng đối với F

dẻ cho tiện thay vì nói “*M là tập bất biến (bất biến suy rộng)đối với F”ta nói

“M bat bién (bat bién suy rongjvdi F” hay “M bất biển (bất biến suy rộng)

Dinh nghĩa 1.5.2: | I |

Cho F và xeX Ta nói x là vectơ riêng của F nếu x # 0 và có 2.eR sao:

Ax € F(x)

7 dude goi 1A tri riêng của F tng vdi vectd riéng x

Nhận xét: Trong trường hợp F là ánh xạ tuyển tính thì định nghia trên trùng với

dinh oghia trị riêng và vectơ riêng thông thường

Trị riêng của vectơ riêng trong ánh xạ đa trị không nhất thiết phải duy nhất

né có thể có nhiều và âm hoặc đương Ví dụ: cho ánh xạ đa trị F:R->R xác định bởi l-(x) = (x.z ) nhận thấy rằng trị riêng của vectơ riêng x =- l là những 2 >- l

Sau đây là một vài tính chất của tập bất biến:

i) Néu M bất biến suy rộng thì coaM bất biến suy rộng

ii) Nếu M bất biến thì conM bất biến

Ï nạn văn tot nghiệp Đại học

Vay conM bal bien suy rong

")C “hứng trình tướng tự,

Từ 23 mệnh de trên ta có hẹ qua sau:

Hệ qua 1.5.1:

Cho F là quá trình lôi

Nêu M bắt biển suy ròng thì con(coM) cùng hất biến suy rộng

Ménh dé 1.5.3:

Cho F là ánh xa lỏm nửa liên tục dưới

Neu M bất biên thì cơM bất biến

i)Ldy x eM vậy 3x„ eM:x„ — x.Vì E là nửa liên tục dưới nêu:

vdi moi vy € F(x) cd y,, € F(x,,) sao cho:

[ ti vận bọt ¿lieu liaa học eye de

Nhan xét: dev mingneul € Lhay be Lhthib 1a ofa lien tục dưới [3o đó từ

dink I tren ta se rút ra được tinh de 1.1.1 wong [LE] ma chi can dicu kien cua F là nif tien tục đưới,

Ménh dé 1.5.5: | I |

("ho E là ánh xa đa trị thuận nhất dưỡng từ X vào X nếu Xạ là vectd tiếng ứng

với trí rieng không âm thì K = {2x„: 2 2 0Ị là nón lôi đóng bất biển suy rộng với

§

1.5.2.Đối ngẫu và chuyển vị của ánh xạ đa trị:

Vẻ khái nệm ánh xạ đời ngắu và chuyển vị của ánh xạ đa trị đã được dé cap

trong [1] o6 the xem day như là một sư mở rong của khái niệm toán từ tuyến tỉnh

liên hợp của toán tử tuyến tinh và trong phản nay ta xem xét các tính chất vẻ tap

bất bịch của ảnh xạ đối ngáu và chuyển vị, Ta sẽ dùng các ký hiệu như trong {l]:

+[` để chỉ ảnh xạ chuyến vị của E,

tÏ'” đe chỉ ảnh xạ đối ngâu của F

Nhung trước tien ta sẽ nhấc lại các khái mẹ chuycn vị và đối ngâu của ánh

xa đã tít (các khá! tiệm này được trích địt từ [ |1

Chuyển vị của ánh xạ F là quả trình lỗi E” từ X” vào X” xác định bởi:

y'eF(x)© (y, x )elWgrF)

Neu grF ba non thi:

va khi d6 1°" 14 nh xa déng én X° vdi pd yeu’,

Cho Fe) doi ngau (hay lién hop) cia F la anh xa F* ty X° vao X° wie dinh

hang so Lipschitz địa phương tại 0 của Cg(x”,,) theo [2| ta có F”(x'! là tập lồi khác

O.compic yeu’ va: