Về một số định lý điểm bất động cho một vài lớp ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trị trong không gian đều

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH- - - - F -NGUYỄN THỊ THU HÀ VỀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT VÀI LỚP ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN ĐỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngàn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-NGUYỄN THỊ THU HÀ

VỀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT VÀI LỚP ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ

TRÊN KHÔNG GIAN ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Nghệ An - 2017

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

- - - - F

-NGUYỄN THỊ THU HÀ

VỀ MỘT SỐ ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO MỘT VÀI LỚP ÁNH XẠ ĐƠN TRỊ VÀ ÁNH XẠ ĐA TRỊ

TRÊN KHÔNG GIAN ĐỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH

Mã số: 60 46 01 02

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS KIỀU PHƯƠNG CHI

Nghệ An - 2017

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được thực hiện tại đại học Vinh dưới sự hướng dẫn của thầygiáo, PGS TS Kiều Phương Chi Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầygiáo PGS TS Kiều Phương Chi, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, chỉbảo tôi trong quá trình học tập và thực hiện luận văn Nhân dịp này tôi xinchân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường đại học Vinh, Phòng đào tạo Sauđại học trường đại học Vinh, Ban lãnh đạo Viện Sư phạm Tự nhiên - Trườngđại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt thời gian học tập

và thực hiện luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn các thầy, cô giáo trong tổGiải tích thuộc Viện Sư phạm Tự nhiên - đại học Vinh, đã giảng dạy, giúp

đỡ tôi trong quá trình học tập Cuối cùng, tôi xin cảm ơn bố mẹ, anh chị em,những người thân cũng như bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học

23 Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình họctập và nghiên cứu Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránhkhỏi những hạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiếnđóng góp của các thầy, cô giáo và bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

2 Một số định lý điểm bất động cho các lớp ánh xạ đơn trị và

2.1 Sự tồn tại điểm bất động của một số lớp ánh xạ đơn trị co suy rộngtrong không gian đều 202.2 Định lý điểm bất động đối với các ánh xạ đa trị Φ− co trên khônggian đều 32Kết luận 38Tài liệu tham khảo 40

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Không gian đều được xây dựng bởi A Weil vào năm 1938 Không gian đều

là lớp không gian tôpô quan trọng, nó là lớp không gian tôpô tổng quát củanhiều lớp không gian quen thuộc như không gian mêtric, không gian véctơtôpô Những kết quả quan trọng trên lớp không gian đều được nghiên cứubởi J Kelly, N Bourbaki , A L Robertson (xem [10]) Điều thú vị là tôpôcủa không gian đều được sinh bởi họ các giả mêtric, đây là cơ sở quan trọng

để người ta xây dựng nhiều tính chất tương tự như không gian mêtric cho lớpkhông gian đều

Nguyên lý điểm bất động của Banach đối với các ánh xạ co trên khônggian mêtric đầy đủ là một kết quả quan trọng của toán học Sau khi đượcBanach chứng minh, nguyên lý ánh xạ co trở thành một trong những vấn đềthu hút được rất nhiều nhà toán học quan tâm nghiên cứu Các định lý điểmbất động đối với ánh xạ co được nghiên cứu phong phú cho nhiều kiểu ánh

xạ, trên nhiều loại không gian khác nhau Các định lý điểm bất động có nhiềuứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực của toán học như Giải tích, Phươngtrình vi tích phân

Một vấn đề tự nhiên sau khi xuất hiện lớp không gian đều là nghiên cứunguyên lý ánh xạ co Banach cho lớp không gian này Các nghiên cứu này trởnên có ý nghĩa khi các áp dụng của nó trải rộng trên nhiều lớp không gianquan trọng, đặc biệt như lớp không gian lồi địa phương và dĩ nhiên là khônggian mêtric Người đầu tiên nghiên cứu vấn đề trên là I A Rus với các kết

quả trên không gian lồi địa phương Hướng nghiên cứu này được một số nhàtoán học nghiên cứu và đạt được nhiều kết quả quan trọng vào thập niên 80

và 90 của thế kỷ trước Những người thu được nhiều kết quả tốt nhất tronghướng nghiên cứu này là V.G Angelov, J Matkowski, (xem [4, 5, 6]) Đặcbiệt các định lý điểm bất động cho các lớp ánh xạ co trên không gian đều

đã cho nhiều ứng dụng trong nhiều vấn đề của phương trình vi tích phân,phương trình hàm

So với các định lý về sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ đơn trị việcthiết lập các định lý điểm bất động đối với ánh xạ đa trị khó khăn hơn vềmặt kỹ thuật Sau khi thiết lập một số định lý điểm bất động của ánh xạ đơntrị trong không gian đều, Angelov đã đề xuất một số định lý điểm bất độngcủa ánh xạ đa trị trong không gian đều và tìm được nhiều ứng dụng trongchứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân đa trị

Các vấn đề nghiên cứu về các định lý điểm bất động cho các lớp ánh xạ cosuy rộng trên các không gian đều và ứng dụng là thú vị và tương đối mới mẻ

ở trong nước Với mục đích tìm hiểu về không gian đều, một vài kết quả banđầu về định lý điểm bất động cho một số lớp ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trịtrên không gian đều, chúng tôi lựa chọn đề tài sau cho luận văn của mình là:

Về một số định lý điểm bất động cho một vài lớp ánh xạ đơn trị và ánh xạ đatrị trên không gian đều

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là tìm hiểu về không gian đều, một vài kết quả banđầu về định lí điểm bất động cho một số lớp ánh xạ đơn trị và ánh xạ đa trịtrên không gian đều Từ đó,trình bày một cách có hệ thống và chứng minhchi tiết các kết quả về các vấn đề nói trên, đồng thời đưa ra một vài ví dụminh họa

3 đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu về một số định lí điểm bất động cho một số lớp ánh xạ đơn trị

và ánh xạ đa trị ( ánh xạ Φ-co, ánh xạ (Ψ, Π)-co ) trên không gian đều

4 Những đóng góp của đề tài

- Hệ thống và trình bày rõ ràng, chi tiết về không gian đều, mêtric dorff, và sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ đa trị; một số định lí điểm bấtđộng cho một số lớp ánh xạ đơn trị và đa trị trên không gian đều

Haus Chứng minh chi tiết các kết quả trình bày lại trong luận văn nhưng trongcác tài liệu tham khảo không trình bày chứng minh hay chứng minh còn vắntắt

- Đưa ra một số ví dụ minh họa cho một số kết quả nói trên

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Đọc hiểu một số tài liệu liên quan đến không gian đều, ánh xạ đơn trị, ánh

xạ đa trị, một số định lí điểm bất động cho một số lớp ánh xạ đơn trị và đatrị trên không gian đều

- Trình bày một cách có hệ thống các kết quả về các vấn đề nói trên

- Đưa ra một số ví dụ minh họa cho một số kết quả trình bày trong luận văn

- Chứng minh chi tiết các mệnh đề, tính chất và các định lý trình bày trongluận văn mà trong các tài liệu tham khảo không chứng minh hoặc chứng minhcòn vắn tắt

6 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý thuyết: Đọc tài liệu, suy diễn logic, tương tựhóa

7 Cấu trúc luận văn

Nội dung luận văn được chia thành 2 chương:

Chương 1 Không gian đều và điểm bất động của ánh xạ đa trị.Trong chương này, chúng tôi trình bày các kiến thức cơ sở cần dùng chotoàn luận văn như không gian đều, mêtric Hausdorff, và sự tồn tại điểm bất

động của ánh xạ đa trị

Chương 2 Một số định lý điểm bất động cho các lớp ánh xạ đơntrị và đa trị trên không gian đều

Chương này trình bày một số định lí điểm bất động của Angelov cho ánh

xạ đơn trị và ánh xạ đa trị co phi tuyến trên không gian đều

Nghệ An,tháng 7 năm 2017

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hà

CHƯƠNG 1KHÔNG GIAN ĐỀU VÀ SỰ TỒN TẠI ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA

1) ∅, X ∈ τ ;

2) Nếu U1, U2 ∈ τ thì U1 ∩ U2 ∈ τ ;

3) Với mọi họ {Uα}α∈I ⊂ τ đều có ∪α∈IUα ∈ τ

Khi đó (X, τ ) là một không gian tôpô, mỗi U ∈ τ được gọi là tập mở, tập

A được gọi là đóng nếu X \ A là mở

Cho (X, τ ) là một không gian tôpô, x ∈ X Mỗi tập hợp V được gọi là lâncận của X nếu tồn tại tập mở U sao cho x ∈ U ⊂ V Ta gọi Vx là họ tất cảcác lân cận của x Khi đó, Vx có tính chất sau:

N1) V ∈ Vx ⇒ x ∈ V ;

N2) V ∈ Vx và V ⊂ U ⇒ U ∈ Vx;

N3) U, V ∈ Vx ⇒ U ∩ V ∈ Vx;

N4) V ∈ Vx ⇒ ∃W ⊆ V sao cho x ∈ W và V ∈ Vy, với mọi y ∈ W

Họ Wx ⊂ Vx được gọi là cơ sở các lân cận của điểm x nếu với mọi V ∈ Vxtồn tại W ∈ Wx sao cho W ⊂ V

Định lý sau khẳng định rằng nếu mỗi x ∈ X có họ con Ux thoả mãn cácđiều kiện trên thì trên X tồn tại tôpô tương thích với Ux, tức là Ux là họ cáclân cận tại x

1.1.2 Định lý Giả sử X 6= ∅ và với mỗi x ∈ X có các tập con Ux tươngứng thoả mãn N1, N2, N3 và N4 Khi đó họ tất cả các tập con D ⊆ X sao cho

D ∈ Ux với x nào đó lập nên một tôpô τ trên X Đối với tôpô τ , mỗi U ∈ Ux

là lân cận của x

1.1.3 Định nghĩa Không gian véctơ tôpô là một không gian véctơ cùng vớimột tôpô trên đó sao cho các phép toán cộng và nhân vô hướng là liên tục.Tập con U trong không gian véctơ X được gọi là cân nếu αU ⊂ U với mọi

α ∈K và |α| < 1; tập U được gọi là hút nếu với mọi x ∈ X tồn tại δ > 0 saocho αx ∈ U với mọi |α| < δ

Trong không gian véctơ tôpô luôn tồn tại cơ sở lân cận U tại 0 gồm cáctập cân, hút và với mọi U ∈ U tồn tại V ∈ U sao cho V + V ⊂ U

1.1.4 Định nghĩa Cho X 6= ∅, hàm d : X × X → R được gọi là một mêtrictrên X nếu thoả mãn các điều kiện sau

1) d(x, y)> 0 với mọi x, y ∈ X, d(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y;

2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;

3) d(x, y)6 d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y, z ∈ X

Khi đó (X, d) là một không gian mêtric

Tập U trong không gian mêtric được gọi là mở nếu với mọi a ∈ U tồn tại

r > 0 sao cho

B(a, r) := {x ∈ X : d(x, a) < r} ⊂ U

Ta đã biết

τ = {U ⊂ X : U mở}

là một tôpô trên X

1.2 Không gian đều

Mục này trình bày khái niệm, ví dụ và tính chất cơ bản của không gianđều Những kết quả của mục này cơ bản được trình bày từ [1], [10]

1.2.1 Định nghĩa Cho X là tập hợp không trống

1) Mỗi tập hợp con U = {(x, y) : x, y ∈ X} ⊂ X × X được gọi là một quan

hệ (quan hệ hai ngôi) trên X

2) Với mỗi quan hệ U trên X,

U−1 = {(x, y) ∈ X × X : (y, x) ⊂ U }được gọi là quan hệ nghịch đảo của U

3) Quan hệ hợp thành của hai quan hệ U , V được xác định bởi

U ◦ V = {(x, z) : ∃y ∈ X, (x, y) ∈ U, (y, z) ∈ V }

Ta viết U2 thay cho U ◦ U

4) Quan hệ ∆(X) = {(x, x) : x ∈ X} được gọi là đường chéo

Với mỗi quan hệ U và tập hợp A ⊂ X, đặt U [A] = {y : (x, y) ∈

U với x nào đó thuộc A} Ta viết U [x] thay cho U [{x}]

1.2.2 Định nghĩa Họ U các tập con của X × X được gọi là một cái đềuhay cấu trúc đều trên X, nếu thoả mãn các điều kiện sau:

1) ∆(X) ⊂ U với mọi U ⊂ U ;

2) Nếu U ∈ U thì U−1 ⊂ U ;

3) Nếu U ∈ U thì tồn tại V ∈ U sao cho V ◦ V ⊂ U ;

4) Nếu U, V ∈ U thì U ∩ V ∈ U ;

5) Nếu U ∈ U và U ⊂ V ⊂ X × X thì V ∈ U

Cặp (X, U ) được gọi là một không gian đều

Các tính chất 4) và 5) là các tính chất của lọc Trong thực hành người

ta có thể thay 4) và 5) bởi các tính chất của một cơ sở lọc, tức là với mỗi

U, V ∈ U tồn tại W ∈ U sao cho W ⊆ U ∩ V Một cơ sở của cấu trúc đềutrên X là một cơ sở lọc trong X × X thoả mãn các điều kiện 1), 2) trongđịnh nghĩa trên và với mọi U ∈ U tồn tại V ∈ U sao cho V ⊂ U−1

Tập con A ∈ U được gọi là đối xứng nếu A = A−1 Rõ ràng các tập códạng A ∩ A−1 luôn đối xứng Do đó, mỗi cấu trúc đều luôn có một cơ sở đốixứng

Mỗi U ∈ U được gọi là một vùng lân cận đối xứng của không gian đều X.Nếu Y ⊂ X, thì trên Y có cấu trúc đều cảm sinh

là cái đều trên X

Chứng minh Ta kiểm tra các điều kiện của cấu trúc đều đối với U

Vì d(x, x) = 0 với mọi x ∈ X nên ∆(X) ⊂ Un với mọi n Với mọi Un ∈ U

từ d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X suy ra Un−1 ∈ U Với mọi U = Un ∈ U ,xét

Suy ra

d(x, y) 6 d(x, z) + d(z, y) < 1

2n +

12n =

1

n.Vậy (x, y) ∈ U , hay V ◦ V ⊂ U Nếu U, V ∈ U thì U = Um và V = Un Ta cóthể giả thiết m > n, do đó

U ∩ V = Um ∈ U Vậy U là cấu trúc đều trên X, hay mọi không gian mêtric là không gianđều

1.2.4 Ví dụ Mọi không gian véctơ tôpô là không gian đều

Chứng minh Gọi V là cơ sở lân cận cân tại 0 của không gian véctơ tôpô X.Với mỗi V ∈ V, đặt UV = {(x, y) ∈ X × X : x − y ∈ V } và

U = {UV}V ∈V

Ta chứng minh U là cấu trúc đều trên X Thật vậy, với mọi (x, x) ∈ ∆(X),vì

0 = x − x ∈ UVvới mọi V ∈ V nên ∆(X) ∈ UV

Với mọi UV ∈ U , từ tính cân của V suy ra được UV−1 ∈ U Với mỗi U = UV ∈

U Chọn W ∈ U sao cho W + W ⊂ V Khi đó, với mọi (x, y) ⊂ UW ◦ UW, tồntại z ∈ X sao cho (x, z) ∈ UW và (z, y) ∈ UW Ta có x − z ∈ W và z − y ∈ W Suy ra

x − y = x − z + z − y ∈ W + W ⊂ V,hay (x, y) ∈ UV = U Vậy UW ◦ UW ⊂ V Tương tự như trên ta kiểm tra được

U là cơ sở lọc Vậy mọi không gian véctơ tôpô là không gian đều

Tiếp theo ta trình bày cách xây dựng tôpô trên không gian đều Giả sử(X, U ) là không gian đều Với mỗi A ∈ U , ta gọi

Với mọi V = UA(x) và V ⊆ U Đặt B = {(x, y) : x ∈ X, y ∈ U } Khi

đó A ⊂ B, do đó từ tính chất của cấu trúc đều suy ra B ∈ U Rõ ràng

U = UB(x) ∈ U Vậy tiên đề N2) được chứng minh

Tiếp theo, ta chứng minh N3) Với mọi U = UA(x), V = UB(x) ta có

A ∩ B ∈ U Khi đó

W = UA∩B(x) = {y ∈ X : (x, y) ∈ A ∩ B}

⊂ {y ∈ X : (x, y) ∈ A} ∩ {y ∈ X : (x, y) ∈ B} = U ∩ V.Cuối cùng, ta kiểm tra N4) Với mỗi U = UA(x) ta lấy B ∈ U sao cho

B ◦ B ⊂ A Khi đó V = VB(x) Rõ ràng V ⊂ U Ta còn phải chỉ ra V làlân cận của y với mọi y ∈ V Nếu y ∈ UB(x) thì với mọi z ∈ UB(y) ta có(x, y) ∈ B và (y, z) ∈ B Suy ra (x, z) ∈ B ◦ B ⊂ A Suy ra UA(x) là lân cậncủa z Định lý được chứng minh

Theo Định lý 1.1.2, họ

τ = {UA(x) : x ∈ X, A ∈ U }

là một tôpô trên X và được gọi là tôpô của không gian đều (tôpô sinh bởicấu trúc đều) Nếu X là không gian mêtric hoặc là không gian véctơ tôpô thìtôpô sinh bởi cấu trúc đều trùng với tôpô xuất phát

1.2.6 Mệnh đề Mỗi cấu trúc đều luôn có một cơ sở đối xứng các tập đóngtrong X × X với tôpô tích.

Chứng minh Với mỗi A ∈ U Đặt B = A ∩ A−1 Khi đó B là đối xứng và

B ◦ B ◦ B ⊂ A Ta chứng minh B ⊂ A Thật vậy, với mọi (x0, y0) ∈ B tồntại (x, y) ∈ B sao cho (x, x0) ∈ B và (y, y0) ∈ B Khi đó, từ tính đối xứng và

1) d(x, y)> 0 với mọi x, y ∈ X; nếu x = y thì d(x, y) = 0

2) d(x, y) = d(y, x) với mọi x, y ∈ X;

3) d(x, y)6 d(x, z) + d(z, y) với mọi x, y ∈ X

Rõ ràng mọi mêtric là giả mêtric, ngược lại là không đúng Chẳng hạntrong R xét d(x, y) = |x2 − y2| Khi đó d là giả mêtric nhưng không phải làmêtric

Cho X 6= ∅ và {dα}α∈I là một họ các giả mêtric trên X Với mỗi α ∈ I,đặt

Vε(α) = {(x, y) ∈ X × X : dα(x, y) < ε},trong đó ε > 0 được chọn trước Đặt

U = {U ⊂ X × X : U là giao hữu hạn các tập có dạng Vε(α)}

Ta có mệnh đề sau

1.2.8 Mệnh đề Họ U là cơ sở của một cấu trúc đều trên X

Chứng minh Từ dα(x, x) = 0 với mọi x ∈ X và α ∈ I, suy ra ∆(X) ⊂ Uvới mọi U ∈ U Từ tính đối xứng của các dα suy ra nếu (x, y) ∈ Vε(α) thì(y, x) ∈ Vε(α) Do đó U−1 ∈ U với mọi U ∈ U Khi đó

dαi(x, z) < εi

2 và dαi(z, y) < εi

2với mọi i = 1, , n Ta có

dαi(x, y) 6 dαi(x, z) + dαi(z, y) < εi

2 +

εi

2 = εivới mọi i = 1, , n Suy ra (x, y) ∈ Vεi(αi) với mọi i = 1, , n, tức là

Trong thực tế, mỗi cấu trúc đều luôn được sinh ra bởi một họ các giảmêtric trên X Kết quả này này được chứng minh bởi N Bourbaki được trìnhbày trong [10].

1.2.9 Định lý Cấu trúc đều trên X được sinh ra bởi một họ các giả mêtrictrên X

1.2.10 Nhận xét Đối với không gian lồi địa phương X, tôpô của nó đượcsinh bởi một họ các nửa chuẩn {pα}α∈I (xem [1]) Khi đó, họ các nửa chuẩn

sẽ cảm sinh ra các giả mêtric

dα(x, y) = pα(x − y)với mọi x, y ∈ X

1.2.11 Mệnh đề Cho X là không gian đều với cấu trúc đều sinh bởi họ cácgiả mêtric P = {d}α∈I Khi đó

1) X là không gian Hausdorff khi và chỉ khi nếu dα(x, y) = 0 với mọi αthì x = y

2) Dãy {xn} hội tụ tới x ∈ X khi và chỉ khi với mọi α ∈ I, dα(xn, x) → 0khi n → ∞

Chứng minh 1) Giả sử X là T2 không gian và dα(x, y) = 0 với mọi α ∈ I.Khi đó, nếu x 6= y thì tồn tại các lân cận mở U, V lần lượt của x, y sao cho

U ∩ V = ∅ Theo Mệnh đề 1.2.8, ta có thể chọn

U = {z ∈ X : dα(x, z) < ε} và V = {z ∈ X : dα(y, z) < ε}

Suy ra dα(x, y) > ε Mâu thuẫn với dα(x, y) = 0 với mọi α Ngược lại, giả sử

dα(x, y) = 0 với mọi α thì x = y Khi đó, nếu với mọi x 6= y tồn tại α0 ∈ Isao cho ε = dα0(x, y) > 0 Ta có

U = {z ∈ X : dα0(z, x) < ε

2}

V = {z ∈ X : dα0(z, y) < ε

2}

là các lân cận rời nhau của x và y Suy ra X là không gian Hausdorff

2) Giả sử {xn} hội tụ tới x Khi đó, với mỗi α ∈ I và với mọi ε > 0 vì

Uε = {y ∈ X : dα(y, x) < ε}

là lân cận của x nên tồn tại n0 sao cho xn ∈ Uε với mọi n > n0 Suy ra

dα(xn, x) < ε với mọi n > n0 Vì vậy, dα(xn, x) → 0 khi n → ∞

Phần ngược lại là hiển nhiên

Ta cần thêm một số khái niệm dùng cho chương sau của luận văn

1.2.12 Định nghĩa Cho X là không gian đều với cấu trúc đều sinh bởi họcác giả mêtric P = {d}α∈I

1) Tập con M được gọi là bị chặn nếu với mọi α ∈ I thì

1.3 Mêtric Hausdorff và điểm bất động của ánh xạ đa trị

Mục này giới thiệu về mêtric Hausdorff và sự tồn tại điểm bất động củaánh xạ co đa trị Cho (X, d) là không gian mêtric Gọi Pcl,bd(X) là họ tất cảcác tập đóng, bị chặn và khác rỗng của (X, d) ; Pcl(X) là họ tất cả các tập

đóng và khác rỗng của (X, d) Tập đóng ở đây hiểu theo nghĩa đóng theo tô

pô τd Với mỗi A, B ∈ Pcl,bd(X) và x ∈ X, ta đặt

d(x, A) = inf{d(x, a) : a ∈ A}, ρ(A, B) = sup{d(a, B) : a ∈ A}

và

ρ(B, A) = sup{d(b, A) : b ∈ B}

Khi đó

H(A, B) = max{ρ(A, B), ρ(B, A)} (1.1)

là mêtric trên Pcl,bd(X) và còn gọi là mêtric Hausdorff trên Pcl,bd(X) sinhbởi mêtric d

1.3.1 Định nghĩa ([3]) Cho (X, d) là không gian mêtric và T : X → Pcl(X)

là ánh xạ đa trị Khi đó, T được gọi là ánh xạ đa trị Lipschitz nếu tồn tạihằng số λ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có

H(T (x), T (y)) 6 λd(x, y)

Hằng số λ gọi là hằng số Lipschitz của T

Đặc biệt, nếu λ < 1 thì T được gọi là ánh xạ co đa trị với hằng số λ.Định lý sau được thiết lập bởi Nadler là kết quả mở đầu cho sự tồn tạiđiểm bất động của ánh xạ co đa trị trên không gian mêtric

1.3.2 Định lý ([3]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và ánh xạ đa trị

T : X → Pcl(X) thỏa mãn: với mọi x, y ∈ X,

trong đó k ∈ (0, 1) Khi đó T có một điểm bất động và Fix(T ) là tập đóng củaX

Cho X là không gian đều, Hausdorff, đầy đủ dãy, với cấu trúc đều sinhbởi họ các giả mêtric P = {ρα}α∈I Ký hiệu CB(X) là họ các tập khác rỗng,đóng và bị chặn của X Với mỗi M ∈ CB(X) và ε > 0 ta ký hiệu

Nε(M, α) = {x ∈ X : ρα(x, y) < ε, với y ∈ M }

Khi đó, CB(X) là không gian đều xác định bởi họ các giả mêtric

HP = {Hα(L, M ) : α ∈ I}, L, M ∈ CB(X),trong đó

Hơn nữa, từ hàm giả khoảng cách liên tục và L là tập compact nên tồn tại