Luận văn lý thuyết điểm bất động và ứng dụng vào giải một số bài toán sơ cấp

Cụ thể, trong các chứng minh của các định lý này thường xâydựng các dãy lặp hội tụ tới điểm bất động của ánh xạ.. Điều này cho phép ta đưa racác ứng dụng của các định lý điểm bất động và

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố.

Người cam đoan

Nguyễn Thị Thu Hương

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Nguyễn Văn Lương.Trong quá trình làm luận văn, Thầy không những là người hướng dẫn về mặt khoahọc mà Thầy còn luôn động viên, khích lệ tác giả khắc phục những khó khăn đểhoàn thành luận văn này Tác giả xin cảm ơn và bày tỏ sự kính trọng, lòng biết ơnsâu sắc đến Thầy

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đến các thầy cô đã giảng dạy lớp K12cao học Phương pháp toán sơ cấp, trường Đại học Hồng Đức Tại đây tác giả nhậnđược nhiều sự chỉ dẫn, góp ý quý báu là môi trường thuận lợi để tác giả hoàn thànhluận văn của mình

Tác giả xin chân thành cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng quản lý đào tạo,Phòng quản lý sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Bộ môn Giải tích vàPPGD Toán của khoa KHTN trường ĐH Hồng Đức đã tạo mọi điều kiện tốt nhất

để tác giả hoàn thành đúng thời hạn luận văn của mình

Xin cảm ơn bạn bè và người thân luôn động viên giúp đỡ

Thanh Hóa, tháng 5 năm 2021

Tác giả

Nguyễn Thị Thu Hương

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3

1.1 Dãy số 3

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản và ví dụ 3

1.1.2 Sự hội tụ của dãy số 5

1.2 Hàm số 10

Chương 2 Một số định lý điểm bất động 13

2.1 Định lý ánh xạ co Banach và hệ quả 13

2.2 Định lý điểm bất động Presic và mở rộng 21

Chương 3 Ứng dụng giải một số bài toán sơ cấp 30

3.1 Các bài toán về giới hạn dãy số 30

3.1.1 Dãy truy hồi dạng xn+1= f (xn) 30

3.1.2 Dãy truy hồi dạng xn+k = f (xn, xn+1, ··· ,xn +k−1) 43

3.1.3 Cặp dãy truy hồi dạng xn+1 = f (xn, yn) và yn+1= f (yn, xn) 47

3.2 Một số bài toán về hệ phương trình 50

Kết luận 55

Tài liệu tham khảo 56

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề cổ điển của toán học vớinhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực của toán học cũng như các ngành khoa họckhác Hiện nay lý thuyết điểm bất động vẫn còn nhận được sự quan tâm của nhiềunhà toán học trên thế giới Việc mở rộng các định lý điểm bất động cho phép mởrộng phạm vi ứng dụng của chúng Nguyên lý ánh xạ co được phát biểu cụ thểnăm 1922 trong luận án của Banach đã trở thành kết quả quan trọng với nhiềuứng dụng Kết quả này sau đó được nhiều nhà toán học mở rộng theo nhiều hướngkhác nhau Các kết quả mở rộng nổi bật có thể kể đến là các định lý điểm bất độngcủa Edelstein, Kannan, Presic, Perov, Bhaskar - Lakshmikantham, Các định lýđiểm bất động quan trọng không chỉ ở chỗ chúng chỉ ra sự tồn tại điểm bất độngcủa ánh xạ thoả mãn các điều kiện cụ thể nào đó mà còn chỉ ra phương pháp lặptìm điểm bất động Cụ thể, trong các chứng minh của các định lý này thường xâydựng các dãy lặp hội tụ tới điểm bất động của ánh xạ Điều này cho phép ta đưa racác ứng dụng của các định lý điểm bất động vào nghiêm cứu sự hội tụ của dãy số

và tìm giới hạn của các dãy số Ngoài ra sự tồn tại duy nhất điểm bất động cũngcho phép ta áp dụng các kết quả của lý thuyết điểm bất động vào giải các phươngtrình, hệ phương trình Để tìm hiểu một số định lý điểm bất động cũng như ứngdụng của chúng vào giải một số bài toán sơ cấp, chúng tôi lựa chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng vào giải một số bài toán sơ cấp.

2 Mục tiêu nghiên cứu

Tìm hiểu một số định lý điểm bất động cơ bản và áp dụng của chúng vào giảimột số bài toán sơ cấp bao gồm các bài toán về sự tồn tại giới hạn của dãy số truyhồi và giải hệ phương trình đối xứng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

• Đối tương nghiên cứu: Dãy số, hệ phương trình, các định lý điểm bất động.

• Phạm vi nghiên cứu: Sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ trên tập số thực,

các phép lặp, giới hạn của dãy số, nghiệm của hệ phương trình

4 Phương pháp nghiên cứu

• Phân tích tổng hợp tài liệu, hệ thống hoá.

• Phân tích, đánh giá và phát triển các kết quả liên quan

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

• Tìm hiểu, trình bày một số kiến thức cơ bản về dãy số thực

• Trình bày phát biểu, chứng minh và các ví dụ minh hoạ một số định lý điểm

bất động

• Tìm tòi, đưa ra một số ứng dụng sơ cấp của một số định lý điểm bất động

6 Cấu trúc của luận văn

Ngoài Lời cảm ơn, Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, phần nội dung củaluận văn được chia thành ba chương

Chương 1: Trình bày một số kiến thức cơ bản về dãy số, hàm số.

Chương 2: Trình bày phát biểu, chứng minh và ví dụ minh hoạ của một số

định lý điểm bất động cơ bản như: Định lý điểm bất động Banach, Presic,

Chương 3: Trình bày một số ứng dụng của các định lý điểm bất động vào giải

một số bài toán về giới hạn và hệ phương trình

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Dãy số

Trong phần này chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả liên quan tới dãy

số Nội dung trình bày trong phần này có thể tìm thấy ở trong các tài liệu về Giảitích hoặc Toán cao cấp

1.1.1 Một số khái niệm cơ bản và ví dụ

Khái niệm dãy số thực thường được định nghĩa như sau

Định nghĩa 1.1.1 Một dãy số là một ánh xạ u từ tập số tự nhiên N vào tập các số

thực R

n7→ u(n) = un

và thường được kí hiệu là {un}n ≥0hoặc {un}∞n=0hoặc đơn giản là {un}

Ví dụ (i) Dãy cộng: Một dãy {un} trong R được gọi là dãy cộng (hoặc cấp sốcộng) khi và chỉ khi tồn tại r ∈ R sao cho:

un+1= un+ r, ∀n ∈ N

Khi đó ta có un= u0+ rn với mọi n ∈ N

(ii) Dãy nhân: Một dãy {un} trong R được gọi là dãy nhân (hoặc, cấp số nhân)khi và chỉ khi tồn tại r ∈ R sao cho:

un+1 = run, ∀n ∈ N

Khi đó ta có un= u0rnvới mọi n ∈ N.

Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi mọi ánh xạ tăng nghiêm ngặt σ : N −→ N là một hàm

trích Với một dãy {un} cho trước, một dãy {uσ (n)} với σ(n) là một hàm trích được

gọi là một dãy con của {un}

Định nghĩa 1.1.3 Cho {un} là một dãy thực Ta nói

(i) {un} tăng khi và chỉ khi un≤ un+1 với mọi n ∈ N

(ii) {un} giảm khi và chỉ khi un+1≤ unvới mọi n ∈ N

(iii) {un} tăng nghiêm ngặt khi và chỉ khi un< un+1 với mọi n ∈ N

(iv) {un} giảm nghiêm ngặt khi và chỉ khi un+1< unvới mọi n ∈ N

(v) {un} đơn điệu khi và chỉ khi dãy tăng hoặc giảm.

(vi) {un} đơn điệu nghiêm ngặt khi và chỉ khi nó tăng nghiêm ngặt hoặc giảm

iii) Các dãy {(−1)n}, {cos(nπ/3)}, {n1/n} là các dãy không đơn điệu

Định nghĩa 1.1.4 Cho {un} là một dãy thực Ta nói rằng

(i) dãy {un} bị chặn trên nếu tồn tại số thực M sao cho un≤ M với mọi n

(ii) dãy {un} bị chặn dưới nếu tồn tại số thực m sao cho un ≥ m với mọi n

(iii) dãy {un} bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên và vừa bị chặn dưới.

1.1.2 Sự hội tụ của dãy số

Định nghĩa 1.1.5 Số l được gọi là giới hạn của dãy số {un} nếu với mỗi số ε > 0,nhỏ tùy ý, đều tồn tại số tự nhiên T sao cho với mọi n > T ta đều có

| un− l |< ε

Ta kí hiệu: lim

n →∞un= l hoặc un→ l khi n → ∞, hoặc nếu không có sự nhầm lẫn, tacũng kí hiệu là un→ l Nếu dãy uncó giới hạn là l, ta sẽ bảo unhội tụ về l Nếu unkhông hội tụ ta bảo nó phân kỳ

Chú ý rằng dãy {un} hội tụ đến l khi và chỉ khi dãy {un− l} hội tụ đến 0

Mệnh đề 1.1.6 Giới hạn của một dãy số (nếu có) là duy nhất.

2

Nhận xét Nếu hai dãy số trùng nhau kể từ một thứ tự nào đó trở đi, thì chúng cóbản chất như nhau, nghĩa là sự hội tụ của dãy này kéo theo sự hội tụ của dãy kia.Nói cách khác ta không làm thay đổi bản chất của một dãy số (hội tụ, phân kỳ) khi

ta thay đổi các phần tử của nó đến một thứ tự cho trước

Định nghĩa 1.1.7 Cho {un} là một dãy thực

(i) Ta nói {un} tiến tới +∞ (hoặc nhận +∞ làm giới hạn) khi và chỉ khi với mọi

A> 0, tồn tại N ∈ N sao cho un≥ A với mọi n ≥ N Khi đó ta kí hiệu: un → +∞khi n → ∞ hay limn

→∞un= +∞

(ii) Ta nói {un} tiến tới −∞ (hoặc nhận −∞ làm giới hạn) khi và chỉ khi với mọi

B< 0, tồn tại n ∈ N sao cho un< B với mọi n ≥ N Khi đó ta kí hiệu: un → −∞khi n → ∞ hay lim

n →∞un= −∞

Nhận xét Tất cả các dãy thực có giới hạn +∞ hoặc −∞ đều phân kỳ

Mệnh đề 1.1.8.

(i) Mọi dãy hội tụ đều bị chặn.

(ii) Mọi dãy thực tiến tới +∞ đều bị chặn dưới.

(iii) Mọi dãy thực tiến tới −∞ đều bị chặn trên.

Nhận xét Tồn tại các dãy bị chặn nhưng không hội tụ Nếu một dãy thực tiến tới+∞, thì nó không bị chặn trên, nhưng điều ngược lại không đúng Mọi dãy không

bị chặn thì phân kỳ

Mệnh đề 1.1.9 Cho {un} là một dãy thực hội tụ có giới hạn là l và a,b ∈ R.

i) Nếu a < l thì tồn tại N1 ∈ N sao cho:

Ngược lại, ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1.10 Cho {un} là một dãy thực hội tụ, l là giới hạn của nó và a,b ∈ R.

(i) Nếu tồn tại N1∈ N sao cho un≥ a với mọi n ≥ N1, thì l ≥ a.

(ii) Nếu tồn tại N2∈ N sao cho un≤ b với mọi n ≥ N2, thì l ≤ b.

(iii) Nếu tồn tại N ∈ N sao cho a ≤ un≤ b với mọi n ≥ N, thì a ≤ l ≤ b.

Từ hai mệnh đề trên, ta có kết quả quan trọng sau

Mệnh đề 1.1.11 (Nguyên lý kẹp) Cho {un}, {vn} và {wn} là ba dãy thực sao cho

tồn tại N ∈ N thoả mãn un≤ vn≤ wn với mọi n ≥ N và các dãy {un} và {wn} có

cùng giới hạn là l Khi đó, {vn} cũng hội tụ đến l.

Mệnh đề 1.1.12 Cho hai dãy thực {un} và {vn} Giả sử un→ +∞ khi n → ∞ và

tồn tại N ∈ N sao cho un≤ vn với mọi n ≥ N Khi đó, vn→ +∞ khi n → ∞.

Mệnh đề 1.1.13 Cho λ,l,l′ ∈ R và các dãy {un}, {vn} Khi đó,

(i) Nếu un→ l khi n → ∞, thì |un| → |l| khi n → ∞.

(ii) Nếu un→ l và vn→ l′ khi n → ∞ , thì un+ vn→ l + l′ khi n → ∞.

(iii) Nếu un→ l khi n → ∞, thì λ un→ λ l khi n → ∞.

(iv) Nếu un→ 0 khi n → ∞ và {vn} bị chặn thì unvn→ 0 khi n → ∞.

(v) Nếu un→ l và vn→ l′ khi n → ∞, thì unvn→ ll′ khi n → ∞.

(vi) Nếu un→ l, vn→ l′ khi n → ∞ và un

n+ 1

phân kỳ vì dãy này có hai dãy con



(−1)2n 2n

2n+ 1

và

(−1)2n+12n+ 1

2n+ 2

hội tụ đến những giới hạn khác nhau.Mệnh đề sau đây rất đơn giản nhưng thường có ích

Mệnh đề 1.1.15 Cho {un} là một dãy số thực và l ∈ R Để {un} hội tụ đến l, điều

kiện cần và đủ là {u2n} và {u2n+1} đều hội tụ đến l.

Định lý 1.1.16 (i) Mọi dãy thực tăng và bị chặn trên thì hội tụ.

(ii) Mọi dãy thực giảm và bị chặn dưới thì hội tụ.

Mệnh đề 1.1.17 1) Mọi dãy thực tăng và không bị chặn trên thì tiến tới +∞.

2) Mọi dãy thực giảm và không bị chặn dưới thì tiến tới −∞.

Nhận xét i) Nếu {un} tăng thì chỉ có hai khả năng:

• {un} hội tụ, hoặc

• un → +∞ khi n → ∞

ii) Nếu {un} tăng và hội tụ đến l, thì l = sup{un : n∈ N} và đặc biệt un ≤ l, vớimọi n ∈ N

iii) Nếu {un} tăng thì hiển nhiên bị chặn dưới bởi u0

iv) Ta cũng có thể có các nhận xét tương tự với dãy giảm

Định lý 1.1.18 (Định lý Bolzano - Weierstrass) Mọi dãy số bị chặn đều có một

dãy con hội tụ.

Cho {un} là một dãy số bị chặn, ta định nghĩa hai dãy thực {vn} và {wn} nhưsau: với n ∈ N, 

Khi đó, {vn} tăng, bị chặn trên, còn {wn} giảm và bị chặn dưới Do đó,

(i) {vn} hội tụ đến một số thực được gọi là giới hạn dưới của dãy bị chặn {un} và

kí hiệu là lim inf

n →∞ un.(ii) {wn} hội tụ đến một số thực gọi là giới hạn trên của dãy bị chặn {un} và kíhiệu là lim sup

n →∞ un và tồn tại một dãy con của{un} hội tụ tới limsup

n →∞

un

(iii) Với hai dãy số {an},{bn}, ta có

lim inf

n →∞ (an+ bn) ≥ liminfn

→∞ an+ lim inf

n →∞ bnvà

Tiếp theo chúng tôi trình bày khái niệm dãy Cauchy và tiêu chuẩn Cauchy về

sự hội tụ của dãy số

Định nghĩa 1.1.19 Một dãy {an} được gọi là dãy Cauchy nếu với mọi ε > 0 tồn

tại N ∈ N sao cho |un− um| < ε với mọi m,n ≥ N

Ví dụ 1.1.20 Cho {an} là một dãy hội tụ tới L Khi đó, với ε > 0, tồn tại N ∈ N

Như vậy {an} là dãy Cauchy.

Bổ đề 1.1.21 Mọi dãy Cauchy đều bị chặn.

Định lý 1.1.22 (Tiêu chuẩn Cauchy) Điều kiện cần và đủ để để dãy số {an} hội

tụ là nó là dãy Cauchy, tức là, với mọi ε > 0 nhỏ tùy ý, tồn tại số tự nhiên N sao cho

|an− am| < ε ∀n,m > N

Chứng minh. Điều kiện cần được chứng minh trong Ví dụ 1.1.20

Bây giờ ta chứng minh điều kiện đủ Theo Bổ đề 1.1.21 thì dãy {an} bị chặn.Theo Bổ đề Bolzano-Weirstrass, từ {an} ta rút ra được dãy con {amn} hội tụ

Mặt khác theo giả thiết, tồn tại số tự nhiên N2 sao cho với mọi n > N2 ta có

Mệnh đề 1.2.2 Hàm số f liên tục tại c khi và chỉ khi với mọi dãy số {xn} hội tụ

tới c thì dãy { f (xn)} hội tụ tới f (c).

Mệnh đề 1.2.3 Nếu f và g là hai hàm số liên tục tại x0, thì ( f + g)(x) = f (x) +

g(x), ( f g)(x) = f (x).g(x) là hai hàm liên tục tại x0 và f

g(x) = f(x)

g(x) cũng là hàm liên tục tại x0với điều kiện g(x0) 6= 0.

Mệnh đề 1.2.4 Nếu f là hàm liên tục tại x0 và g là hàm liên tục tại f (x0) thì ( f ◦ g)(x) = g( f (x)) là hàm liên tục tại x

Trước khi xét một số tính chất của hàm liên tục ta đưa ra khái niệm hàm bịchặn.

Định nghĩa 1.2.5 Hàm số f : I → R được gọi là hàm bị chặn nếu tồn tại số thực

M> 0 sao cho | f (x)| ≤ M với mọi x ∈ I (ở đây I là tập con của R)

Ví dụ hàm số f (x) = x trên R và hàm f (x) = 1

x trên (0,1) là những hàm không

bị chặn Nhưng ngược lại, mỗi hàm liên tục trên khoảng đóng (cụ thể là đoạn thẳng[a, b]) đều là những hàm bị chặn

Định nghĩa 1.2.6 Hàm số f : I → R được gọi là bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới)

nếu tồn tại số thực M sao cho f (x) ≤ M (hoặc f (x) ≥ M) với mọi x ∈ I

Định nghĩa 1.2.7 Giả sử f là hàm bị chặn trên (hoặc bị chặn dưới) trong tập hợp

I Số thực M nhỏ nhất ( hoặc lớn nhất) thỏa mãn f (x) ≤ M (hoặc f (x) ≥ M) với

mọi x ∈ I gọi là số chặn trên (hoặc số chặn dưới) của hàm số f và được kí hiệu là

Định lý 1.2.9 (Định lí giá trị trung gian) Nếu f là một hàm số liên tục trên [a,b]

và nếu f (a) < y < f (b) ( hoặc f (b) < y < f (a), thì tồn tại một số c ∈ [a,b] sao cho f (c) = y.

Định nghĩa 1.2.10 Đạo hàm của một hàm số f : [a,b] → R tại điểm x thuộc (a,b)

được định nghĩa bởi

f′(x) = lim

h →0

f(x + h) − f (x)

nếu giới hạn tồn tại

Định nghĩa 1.2.11 Cho hàm sô y = f (x) xác định trên một tập K nào đó (K là

khoảng hoặc đoạn hoặc nửa đoạn) Ta nói

(i) f đồng biến trên K nếu với mọi x1, x2∈ K, x1< x2, thì f (x1) < f (x2)

(ii) f nghịch biến trên K nếu với mọi x1, x2∈ K, x1< x2, thì f (x1) > f (x2)

Mệnh đề 1.2.12 Cho hàm số y = f (x) có đạo hàm trên K Khi đó

(i) Nếu f′(x) ≥ 0 với mọi x ∈ K và f′(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm, thì f đồng

biến trên K.

(ii) Nếu f′(x) ≤ 0 với mọi x ∈ K và f′(x) = 0 chỉ tại hữu hạn điểm, thì f nghịch

biến trên K.

(iii) Nếu f′(x) = 0 với mọi x ∈ K, thì f là hàm hằng trên K.

Định lý 1.2.13 (Định lí Rolle) Nếu hàm số f : [a,b] → R liên tục trên đoạn [a,b]

và có đạo hàm trên (a,b) sao cho f (a) = f (b), thì tồn tại một điểm c ∈ (a,b) với

f′(c) = 0

Định lý 1.2.14 (Định lí giá trị trung bình Lagrange) Cho f : [a,b] → R là một

hàm liên tục trên đoạn [a,b] và khả vi trên (a,b) Khi đó tồn tại c ∈ (a,b) sao cho

Chương 2

Một số định lý điểm bất động

Trong chương này chúng tôi trình bày một số định lý điểm bất động Mặc dù cáckết quả này đã được chứng minh trong không gian metric tổng quát, tuy nhiên vớimục đích áp dụng các kết quả này vào giải một số bài toán sơ cấp nên chúng tôiphát biểu và chứng minh các kết quả này trên tập hợp các số thực

2.1 Định lý ánh xạ co Banach và hệ quả

Trước tiên chúng tôi phát biểu và chứng minh định lý ánh xạ co Banach, một trongnhững định lý điểm bất động quan trọng có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vựccủa toán học và các khoa học khác Như đã nói ở trên, chúng tôi chỉ phát biểu vàchứng minh kết quả này trên tập hợp các số thực

Định nghĩa 2.1.1 Cho A là một tập con khác rỗng của R và f : A → R Một số

thực a ∈ A được gọi là điểm bất động của f nếu f (a) = a.

Tập tất cả các điểm bất động của f được kí hiệu bởi Fix( f ), tức là

Hàm số g : R → R xác định bởi g(x) = x có vô số điểm bất động với Fix(g) =

f1= f và fn= f ( fn−1) với n ≥ 2 Ta có các kết quả sau:

(i) Nếu a ∈ Fix( f ), thì a ∈ Fix( fn) với mọi n

(ii) Nếu Fix( fn

) = {a} với mọi n ≥ 2, thì Fix( f ) = {a}

Mệnh đề 2.1.2 [4] Nếu f : A → A là hàm tăng và Fix( f ) = {a}, thì Fix( fn

) = {a}

với mọi n.

Định nghĩa 2.1.3 Cho D ⊂ R và f : D → D là một hàm số Hàm số f được gọi là

ánh xạ conếu tồn tại số thực k ∈ [0,1) sao cho

| f (x) − f (y)| ≤ k|x − y|, ∀x,y ∈ D (2.1)Trong trường hợp này, k được gọi là hằng số co của f

Sau đây là một số ví dụ về ánh xạ co

Ví dụ.Cho k là một số thực thuộc [0,1) và f : R → R xác định bởi f (x) = kx vớimọi x ∈ X Dễ thấy f là ánh xạ co với hằng số co k

Hàm số f thảo mãn các điều kiện của định lý Lagrange trên đoạn i ⊂ [0,∞) bất

kỳ, nên với mọi x,y ∈ [0,∞), tồn tại z nằm giữa x và y sao cho

Ta có kết quả quen thuộc sau

Mệnh đề 2.1.4 Giả sử f : D ⊂ R → D là ánh xạ co Khi đó, f liên tục trên D.

Chứng minh. Giả sử x ∈ D bất kỳ và {xn} là một dãy số trong D hội tụ tới x Gọi

klà hằng số co của f Khi đó, với mọi n, ta có

D là một ánh xạ co với hằng số co k Khi đó, f có điểm bất động duy nhất trong

D, tức là tồn tại duy nhất x ∈ D sao cho f (x) = x Hơn nữa, mọi dãy số {xn} xác

định bởi

xn+1= f (xn), ∀n ≥ 0

đều hội tụ về x Ngoài ra, Fix( f ) = Fix( fn

) = { ¯x} với mọi n ≥ 1.

Chứng minh. Lấy x0 bất kỳ thuộc D và xét dãy số {xn} xác định bởi

x= 3+

√21

8 điểm bất độngcủa f

Định lý sau là hệ quả của Định lý điểm bất động của Banach trong trường hợpcủa không gian metric tổng quát Ở đây chúng tôi phát biểu kết quả trên tập hợp

số thực và trình bày chứng minh trong trường hợp này

Định lý 2.1.6 Cho E là tập con đóng của R và f : E2→ E Giả sử tồn tại k ∈ [0,1)

sao cho

| f (x,y) − f (u,v)| ≤ 2k[|x − u| + |y − v|], ∀x,y,u,v ∈ E (2.2)

Khi đó, f tồn tại duy nhất x ∈ E sao cho f (x,x) = x Ngoài ra, với mọi x0, y0∈ E,

Lấy giới hạn khi n → ∞, ta được |x − f (x,y)| ≤ 0 Từ đó suy ra x = f (x,y) Tương

tự ta cũng chứng minh được y = f (y,x) Sử dụng (2.2) một lần nữa ta được

|x − y| = | f (x,y) − f (y,x)| ≤ k|x − y|

Vì k ∈ [0,1), nên bất đẳng thức cuối cùng suy ra x = y Định lý được chứng minh.Đinh lý trên cũng là trường hợp đặc biệt của kết quả chính trong bài báo [6],trong đó các tác giả xét trong không gian metric thứ tự bộ phận

Nhận xét 2.1.7 Để chứng minh sự tồn tại x ∈ E với f (x,x) = x trong Định lý

2.1.6, ta có thể xét dãy lặp dạng

xn+1 = f (xn, xn), n≥ 0với x0∈ E nào đó Thật vậy, với mọi n ta có

Tuy nhiên việc xét hai dãy {xn} và {yn} như trong chứng minh của Định lý2.1.6 dẫn ứng dụng trong việc xét sự hội tụ của hai dãy số

Ví dụ Cho hai dãy số thực không âm xác định bởi

x+ 1 +py+ 2 − (u + 1 +√v+ 2)

≤ 13

Như vậy điều kiện (2.2) thoả mãn với k = 2/3 < 1 Do đó theo chứng minh củaĐịnh lý 2.1.6, {xn} và {yn} hội tụ tới x thoả mãn x = f (x,x) Hay

x= 13



x+ 1 +√

x+ 2.Giải ra ta được

x= 5+

√41

Định lý 2.1.6 có thể mở rộng cho ánh xạ từ Ek vào E với k là một số nguyêndương

Định lý 2.1.8 Cho E là tập con đóng của R, k là một số nguyên dương và f :

Ek→ E Giả sử tồn tại các số thực không âm α1, ··· ,αkvới α = α1+ ··· + αk< 1

n} đều là dãy Cauchy trong E và do đó hội tụtới xi trong E Lập luận tương tự như trong Định lý 2.1.6 ta suy ra được xi= x vớimọi i = 1,··· ,k Kết luận còn lại cũng dễ dàng chứng minh.

2.2 Định lý điểm bất động Presic và mở rộng

Trong phần này chúng tôi trình bày định lý điểm bất động của Presic và một số mởrộng Các kết quả trình bày ở phần này có thể tham khảo thêm ở [4, 8, 7] Trướchết, chúng tôi trình bày một số khái niệm và kết quả bổ trợ

Định nghĩa 2.2.1 Cho E là tập con của tập số thực và f : Ek

→ E là một hàm số

kbiến Khi đó x ∈ E được gọi là điểm bất động của f , nếu

f(x, x, ··· ,x) = x

Nếu k = 1, thì ta có định nghĩa điểm bất động thông thường

Bổ đề 2.2.2 Cho k là một số nguyên dương và α1, α2, ··· ,αklà các số thực không

Chứng minh. Nếu αi = 0 với mọi i, thì ∆n= 0 với mọi n Không giảm tổng quát,giả sử α1> 0 Khi đó, xét đa thức

g(x) = α1+ α2x+ ··· + αkxk−1− xk, x∈ R

Khi đó, g liên tục Mặt khác, g(0) = α1> 0, g(1) = α1+ α2+ ··· + αk− 1 < 0.Nên tồn tại θ ∈ (0,1) sao cho g(θ) = 0 Tức là,

θk = α1+ α2θ+ ··· + αkθk−1.Đặt

L= max ∆1

θ ,∆2

θ2, ··· ,∆θkk

.Khi đó, (2.5) đúng với n = 1,2,··· ,k Giả sử (2.5) đúng với k giá trị liên tiếp của

Từ đó ta có điều phải chứng minh

Sau đây là định lý điểm bất động Presic được phát biểu và chứng minh trên tập

số thực

Định lý 2.2.3 Cho E là tập con đóng của R, k là một số nguyên dương và f :

Ek → E là một ánh xạ Giả sử tồn tại α1, α2, ··· ,αk ∈ [0,∞) với α = ∑ki=1αi < 1

(iii) với y0, ··· ,yn −1∈ E, dãy {yn} xác định bởi

+| f (x,x,y,··· ,y) − f (x,y,··· ,y)|

+| f (x,y,··· ,y) − f (y,y,··· ,y)|

Sử dụng (2.6), ta được

|F(x) − F(y)| ≤ [α1|x − x| + α2|x − x| + ··· + αk|x − y|]

+[α1|x − x| + α2|x − x| + ··· + αk −1|x − y| + αk|x − y|]+ ···

Như vậy F là ánh xạ co trên E với hằng số co α Do đó, áp dụng định lý ánh xạ

co Banach, F có điểm bất động duy nhất ¯x ∈ E Tức là, tồn tại duy nhất ¯x ∈ E saocho

¯

x= F( ¯x) = f ( ¯x, ¯x··· , ¯x)hay ¯x là điểm bất động của f

Ngoài ra, với x0∈ E bất kỳ, dãy số {xn} xác định bởi

xn+1= F(xn) = f (xn, xn, ··· ,xn), ∀n ≥ 0

Do đó,

|yn+1− ¯x| ≤ [α1Lθn−k+2+ α2Lθn−k+3+ ··· + αk −1Lθn+ αk|yn− ¯x|]

+[α1Lθn−k+3+ α2Lθn−k+4+ ··· + αk −2Lθn+ αk−1|yn− ¯x| + αk.0]+ ··· + [α1|yn− ¯x| + 0]

= α1Lθn−k+2+ (α1+ α2)Lθn−k+3+ ··· + (α1+ α2+ ··· + αk −1)Lθn+(α1+ α2+ ··· + αk)|yn− ¯x|

Nhận xét 2.2.4 Trong Định lý 2.2.3, nếu k = 1, thì ta sẽ thu được Định lý điểm

bất động Banach Trong trường hợp này, điều kiện (2.6) trở thành điều kiện (2.1)

và hai dãy {xn} và {yn} trong Định lý 2.2.3 trùng nhau Định lý 2.2.3 cũng mởrộng 2.1.6

4 +x1+ x2

4

≤ 1

4|x0− x1| +1

4|x1− x0|

Do đó f thoả mãn điều kiện (2.6) với k = 2, α1 = α2= 1/4 Dễ thấy f có điểmbất động duy nhất ¯x = 0 Trong trường hợp này, các dãy {xn} và {yn} trong Định

lý 2.2.3 xác định bởi

xn+1= −xn

2 , n≥ 0và

yn= −1

4yn−1−1

4yn−2, n ≥ 2với x0∈ R và y0, y1 ∈ R bất kỳ Theo Định lý 2.2.3, cả hai dãy {xn} và {yn} đềuhội tụ và hội tụ tới ¯x = 0

Định lý 2.2.3 có thể mở rộng bằng cách thay điều kiện (2.6) bằng một điềukiện tổng quát hơn Kết quả mở rộng sau đây là của Ciric và Presic Chúng tôiphát biểu và chứng minh kết quả này trên tập số thực

Định lý 2.2.5 Cho E là tập con đóng của R, k là một số nguyên dương và f :

Ek→ E Giả sử tồn tại λ ∈ (0,1) sao cho

đúng với mọi u,v ∈ E, u 6= v, thì f có điểm bất động duy nhất.

Chứng minh. Với x1, x2, ··· ,xk tuỳ ý thuộc E, xét dãy số

xn+k = f (xn, xn+1, ··· ,xn +k−1), n≥ 1Đặt αn= |xn− xn+1| Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp rằng với mọi n: