Luận văn sư phạm Một vài đặc trưng của tính lồi liên quan đến lý thuyết điểm bất động

KHÔNG GIAN NH CHU N, KHÔNG GIAN BANACH, KHÔNG GIAN TÔPÔ... Không gian Banach X,... Ch ng minh... Ch ng minh.

L I NịI U

Trong khi gi i các bài toán khác nhau c a toán h c, khoa h c k thu t

d n đ n vi c nghiên c u v n đ :

Cho X là m t không gian nào đó và :T A là ánh x X đi t t p

AX vào chính nó Xét ph ng trình phi tuy n Txx x, A, d i đi u

ki n c th hãy kh ng đ nh s t n t i nghi m c a ph ng trình này i m

x thA a mãn ph ng trình Tx x đ c g i là đi m b t đ ng c a ánh x

T trên t p h p A

Vi c gi i quy t bài toán trên đã d n đ n s ra đ i c a m t h ng nghiên

c u m i trong toán h c, dó là lý thuy t đi m b t đ ng

Lý thuy t đi m b t đ ng là m t trong nh ng ki n th c quan tr ng c a

gi i tích hàm phi tuy n và cho t i nay có th kh ng đ nh r ng lý thuy t

đi m b t đ ng đ đ c phát tri n h t s c sâu r ng tr thành công c không

th thi u đ c đ gi i quy t nh ng bài toán th c t đ t ra S phát tri n c a

l nh v c này g n li n v i các tên tu i c a các nhà khoa h c nh : Banach,

Browder, Lifschitz, Goebel, Kirk,…

Nh ng k t qu kinh đi n đ ng th i c ng là k t qu đ u tiên c a lý thuy t

đi m b t đ ng nh nguyên lý ánh x co, nguyên lý đi m b t đ ng Browder

đã đ c áp d ng vào ngành toán h c hi n đ i nh : ph ng trình vi phân,

ph ng trình tích phân, gi i tích hàm, …

V i các lý do đó em đã ch n đ tài “ M t vƠi đ c tr ng c a tính l i

liên quan đ n lý thuy t đi m b t đ ng ” M c đích c a khóa lu n này là

trình bày m t s k t qu t ng quan do Browder và kirk tìm ra

N i dung khoa lu n (g m 3 ch ng):

Ch ng 1 M t s ki n th c c s

Ch ng 2 Không gian Banach l i đ u

Ch ng 3 M t s đ nh lý liên quan đ n tính l i c a lý thuy t đi m b t đ ng

Qua đây em xin đ c bày t long bi t n sâu s c đ n th y Phùng c

Th ng đã t n tình h ng d n em hoàn thành khoa lu n em xin chân thành

c m n s giúp đ ch b o t n tình c a các th y cô trong t gi i tích c a

tr ng HSP Hà N i 2

Xuân Hòa, ngày ….tháng 05 n m 2013

Sinh viên

HƠ c Tâm

Ch ng 1 KI N TH C C S

Ch ng này có m c đích xác đ nh m t s ký hi u, nh c l i m t s lý

thuy t c a gi i tích hàm v không gian t p h p đ c s d ng ch ng sau

1.1 KHÔNG GIAN NH CHU N, KHÔNG GIAN BANACH,

KHÔNG GIAN TÔPÔ

2 x yxy v i m i K, x y,  X

3   xxx v i m i , K, x X

4   x  x v i m i , K, x X

5 1.x x v i m i x X

nh ngh a 1.2.2 ( nh ngh a không gian đ nh chu n)

Ta g i không gian đ nh chu n ( hay không gian tuy n tính đ nh

chu n) là không gian tuy n tính X cùng v i m t ánh x đi t X vào

Kí hi u không gian đ nh chu n là X, 

nh ngh a 1.2.3 ( nh ngh a không gian Banach)

N u không gian đ nh chu n X là không gian metric đ y đ ( kho ng

cách d x y ,   ) thì x y Xđ c g i là không gian đ nh chu n đ y đ

hay g i là không gian Banach

nh ngh a 1.2.4 ( nh ngh a không gian Tôpô)

M t h các t p con  2X c a t p h p Xđ c g i là m t Tôpô trong

X n u th a mãn các đi u ki n sau :

1.2 KHÔNG GIAN HILBERT, KHÔNG GIAN PH N X

nh ngh a 1.3.1 Ta g i tích vô h ng trong không gian tuy n tính trên

ii) H trang b tích vô h ng ,yx v i ,x y ; H

iii)H đ v i chu n x  x x, v i x H

nh ngh a 1.3.3 ( nh ngh a không gian ph n x )

Không gian tuy n tính đ nh chu n X đ c g i là không gian ph n x

n u phép nhúng chu n t c H t không gian Xvào không gian liên h p

M nh đ 1.4.2 Gi s t p Ai l i, X i , i1,2, ,m Khi đó

1A1 2A2 mAm

    là t p l i

M nh đ 1.4.3 Gi s ,YX là các không gian tuy n tính, T: X Y

là toán t tuy n tính Khi đó

i i i

Ch ng 2 KHÔNG GIAN BANACH L I U

1.1 KHÔNG GIAN L I U

Trong giáo trình gi i tích hàm, ta đã bi t không gian Hilbelt là tr ng

h p riêng c a không gian Banach v i hai tính ch t quan tr ng :

M i không gian Hilbert đ u ph n xa

M i t p h p l i đóng trong không gian Hilbert đ u ch a m t đi m g n

nh t đ i v i m t đi m cho tr c b t kì c a không gian

Trong s các không gian Banach, có m t l p đ c bi t ch a không gian

Hilbert mà v n gi đ c tính ch t trên đó là các không gian Banach l i

đ u do Clarkson đ xu t n m 1936

n n m 1965 Browder và Gohde đã đ c l p ch ng minh đ c m t s

đ nh lý quan tr ng v s t n t i đi m b t đ ng cho ánh x không giãn

trong l p không gian này ó là lý do chúng tôi dung m c đích này đ

gi i thi u nh ng khái ni m c a không gian l i đ u c n s d ng ch ng

kho ng cách này ch ph thu c vào ,x y ch không ph thu c vào v

trí c a chúng (tính đ u) Khái ni n này đ c Clackson đ xu t n m

D ki m tra đ c r ng không gian C a b , là không l i đ u

ti n ki m trình bày ta ki m v i không gian C 0,1

Do đó m không gian Hilbert là l i đ u

Không gian Banach X,  đ c g i là l i ch t ( Strictly convex)

ho c tròn (rotund) n u x  mà y x 1, y  ta luôn có 1

12

V y n u X l i ch t thì biên c a hình c u đ n v g m toàn nh ng

đi m c c biên

Chú ý :

T các đ nh ngh a 2.1.1 và 2.1.2 suy ra không gian l i đ u là tr ng

h p riêng c a không gian l i ch t

ch ng minh tính ph n x c a không gian l i đ u ta c n s d ng b

nh lý 2.1.1 M t không gian l i đ u là không gian ph n x

Ch ng minh Cho Xlà l i đ u, ta c n ch ng minh **

x x   

** *

14o

   

** ** *

4o

x x x x  

** ** *

4o

xx

V y X là ph n x và m t trong hai tính ch t quan tr ng th hai c a

không gian l i đ u đã đ c ch ng minh

Bây gi chúng ta s ch ng minh tính ch t quan tr ng th hai c a

không gian l i đ u

nh lý 2.1.2 Cho C là m t t p h p l i đóng trong không gian l i đ u

X Khi đó v i m i x X t n t i duy nh t m t đi m y C là đi m g n

nh t đ n X trong C

Ch ng minh

a T n t i

t f z  x z z C, 

D dàng ki m tra đ c f là phi n ham l i trên C , h n n a f liên t c

có th gi thi t C b ch n vì n u c n có th thay C b ng giao c a C v i

m i   các t p h p m0 c d i z C f z ,   là l i ( do f l i) và

đóng

( do f liên t c) và vì v y c ng đóng y u i u đó ch ng t f liên t c

d i y u (trong tôpô y u trên C ) Do X ph n x ( theo đ nh lý 2.1.1) và

C l i đóng b ch n trên nên C compact y u ( nh lý Kabutani) Do f

n a liên t c d i y u nên f đ t c c ti u trên C

x y  y  (6) 

Do X l i nên c ng l i ch t (theo nh ngh a 2.1.1) và ta có

N u X là không gian Banach mà v i m i t p h p l i đóng c a

nó đ u t n t i duy nh t m t đi m g n nh t đ n m t đi m cho tr c

Chú ý

M i không gian Banach không nh t thi t có tính ch t đi m b t đ ng

đ i v i ánh x không giãn (ví d XR, Tx  là ánh x không x 1,

giãn nh ng X không có tính ch t đi m b t đ ng)

M i t p h p l i đóng, b ch n trong không gian Banach không nh t

thi t có tính ch t đi m b t đ ng đ i v i ánh x không giãn

Hi n nhiên

* o

x  C

V y T không có đi m b t đ ng trong C o

V n đ đ t ra là : c n đ t đi u kiên gì trên không gian Banach X đ

cho m i t p h p l i đóng, b ch n trong nó đ u có tính ch t đi m b t

đ ng đ i v i ánh x không giãn

Hi n nhiên câu h i này ch ch có ngh a khi X là không gian vô h n

chi u, vì n u X h u h n chi u thì m i t p h p đóng b ch n đ u

compact và m i ánh x không giãn đ u liên t c, nên ta có ngay câu tr l i

kh ng đ nh, theo nguyên lý đi m b t đ ng Browder:

M i t p h p l i, compact trong không gian * đ u có tính ch t

đi m b t đ ng đ i v i ánh x liên t c

Câu tr l i t ng quát cho câu h i trên Browder và Gohdel đ c l p

đ a ra n m 1965 Tr c khi phát bi u và đ a ra đ nh lý ta c n m t đ nh

ngh a và m t m nh đ quan tr ng sau đây

nh ngh a 2.2.3 Cho X là không gian Banach, D X ánh x

  đ c g i là n a đóng trên D n u v i m i dãy  xn  sao X

cho n u xn  (y u) và x Sxn  m nh khi n   thì x Dy  và

Sx y

M nh đ 2.2.1 Cho X là không gian Banach l i đ u, MX là m t

t p h p l i đóng, b ch n và T : M là ánh x X không giãn Khi đó

ánh x I T là n a đóng trên X ( đây I là ánh x đ ng nh t trên X)

nh lý 2.2.1 (Browder Gohde) Cho X là không gian Banach l i đ u,

không giãn Khi đó t p h p các đi m b t đ ng c a T , kí hi u là Fix T  

11

Vì v y

N u x*  1 xi* 0,i1, 2,  x*  0

N u x* 1, xi*=const 0,  i 1, 2  x* l2

C hai tr ng h p trên đ u g p mâu thu n

Do đó T không có đi m b t đ ng trong B

T ví d trên ta rút ra k t lu n sau : Dù l là không gian Hilbert t c là 2

có nhi u tính ch t t t, nh ng h s Lipschitz b ng 1 (v i    tùy ý) 0

thì hình c u đ n v đóng c ng không có tính ch t đi m b t đ ng đ i v i ánh

x lo i này

M t khác n u T K:  (v i K K là m t t p h p nào đó trong không

gian Banach X ) là ánh x không giãn thì ta luôn có

T x T yn  n k x y , x y, K n,  * (5)

Nh v y, n u T không giãn thì v i k và 1 *

.n

 

Do đó l p các ánh x k-Lipschitz đ u v i k là l p trung gian gi a 1

l p các ánh x không giãn và l p các ánh x Lipschitz

Ta bi t r ng n u không gian Banach X có m t s tính ch t t t nào đó

(ch ng h n l i đ u) và K là t p h p l i, đóng, b ch n trong X ,

:

T K  là ánh x không giãn thì K T có đi m b t đ ng trong K

i v i ánh x Lipschitz, t p h p K nh trên có th không có tính ch t

đi m b t đ ng nh ví d đã ch ra

Ch ng 3 M T S NH Lụ LIểN QUAN N

Các đ nh lý đi m b t đ ng cho các ánh x Lipschitz đ ng đ u nh ng

đ u có h n ch c a không gian Banach o X  1 i u ki n này đã đ c

th o lu n; đ c bi t ng i ta đã ch ra r ng đi u ki n đ i v i không gian

Banach t ng đ ng v i đi u ki n đ c đ oa ra b i E.A.Lifschitz cho m t

không gian metric b t k Tính n đ nh c a đi u ki n này c ng đ c xem

xét đ i v i kho ng cách Banach – Mazur và các không gian hàm Lebesgue

Nh ng ánh x này là m t l p trung gian gi a các l p ánh x không

giãn và l p các ánh x Lipschitz v i h ng s Lipschitz l p h n m t Ta bi t

r ng l p ánh x th hai này có th không có đi m b t đ ng ngay c đ i v i

không gian Hilbert và h ng s Lipschitz g n 1 bao nhiêu tùy ý H n n a ta

đã nh n đ c các đ nh lý đi m b t đ ng cho các ánh x Lipschitz đ ng đ u

b i Goebel và Kirk; Goebel, Kirk và Thele; Lifschitz…

Trong các k t qu h nh n đ c, có hai k t qu mang ý ngh a hình h c

khác nhau v hình th c đ c đ t ra trong bài toán Trong lu n v n này, m i

liên h gi a hai đi u kiên đ c khám phá Ta s ch ra r ng trong các không

gian Banach, các đi u ki n này t ng đ ng v m t đ nh tính, m c dù

không t ng đ ng v m t đ nh l ng

H n n a, tính n đ nh c a các đi u ki n này đã đ c bàn lu n; đ c bi t

ta ch ra r ng trong các không gian Banach X vào m t không gian hàm

Lebegue – Bochner Lp,X t ng ng v i 1 p   và  là đ đo b t

k

Các ánh x Lipschitz đ ng đ u đ c nghiên c u b i Goebel và Kirk,

và sau đó b i Goebel, Kirk và Thele [9] theo m t n a nhóm t ng quát h n

H đã phát hi n ra quan h gi a modol l i c a X và các đi m b t đ ng c a

nh lý 3.1.1 (Goebel, Kirk) Cho C là m t t p h p l i đóng, b ch n

trong không gian Banach X v i o X  1 Khi đó m i ánh x k 

Lipschitz đ u t C vào C đ u có đi m b t đ ng n u ko v i o là

a ph ng trình

nh ngh a 3.1.1 Cho A là m t n a nhóm, X là m t không gian Banach

và U là m t t p con khác r ng trong X Khi đó cho m t h ánh x

M t n a nhóm S đ c g i là kh ngh ch trái n u b t kì hai ideal ph i c a

S đ u có giao khác r ng Khi đó S, và m t đ nh h ng v i quan h hai

ngôi đ c đ nh ngh a b i

a b a   b bS

nh ngh a 3.1.2 Cho m t n a nhóm Lipschitz trên U đ c g i là m t

k Lipschitz đ u n u k k,    Angh a là t n t i m t k sao cho 0

Khi đó v i T  ta g i là chu n Lipschitz c a T đ i v i U và kí hi u

x y

          

x y

    

Khi đó ch c n ch n    X  ta s có

 1

Sau đây ta s xét thêm m t s tính ch t c a modul l i c a không gian

Banach s đ c s d ng sau này

 

  (7) 6) Chú ý r ng t (4): cho   ta có 2 X2 1 X 2   0

Vì b t đ ng th c ng c l i đ t đ c khi   nên ta có o

 2 1

2

o X

Khi phát tri n k t qu này Lifschitz đã đ x ng m t k t qu mang

tính tôpô h n và xem xét các ánh x Lipschitz đ ng đ u trong không gian

metric Thay vì dung modul l i, Lifschitz đã k t h p m i không gian metric

M p v i m t h ng s ,   M đ c xác đ nh nh sau

kh c ta có  M  1đ i v i không gian metric M p,  b t k

Lifschitz đã ch ng minh đ c r ng n u M p,  là không gian metric

đ y đ và b ch n n u ánh x :T M M là m t ánh x k - Lipschitz đ ng

đ u v i ko M , thì T có m t đi m b t đ ng trong M so sánh k t

qu này v i k t qu c a Goebel-Kirk-Thele trong không gian Banach,

ng i ta đ nh ngh a o X là infimum c a  C , trong đó C ch y trên t t

c các t p l i, đóng, b ch n, không r ng c a c a không gian Banach X

Khi đó đ nh lý Lifschitz đ c suy ra

nh lý 3.1.3 (Lifschitz) Gi s X là không gian Banach v i o X  1

N u K là m t t p l i đóng không r ng trong X và T K:  là m t ánh K

x k - Lipschitz đ ng đ u v i ko X , thì T có m t đi m b t đ ng

trong K

Lifschitz đã ch ng minh r ng o H  2 , trong đó H đ ch không

gian Hilbert; Goebel; Kirk và Thele ch ra r ng 5

2

  là nghi m c a

ph ng trình

m t b đ sau

B đ 3.2.2 (Lifschitz) Gi s X là m t không gian tuy n tính đ nh chu n

Khi đó

th c c a k rõ rang h n k t qu c a Goebel-Kirk-Thele, đ nh lý ti p theo

cho th y r ng trong các không gian Banach nh t đ nh là t ng t ng v m t

đ nh tính

nh lý 3.2.3 Gi s X là không gian Banach Khi đó o X  n u và 1

Các đi u ki n trong đ nh lý 3.2.3 là n đ nh theo m t ngh a nào đó

Nh c l i r ng, đ i v i các không gian Banach đ ng c u X và Y, h s

kho ng cách Banach – Mazur t X vào Y, đ c ký hi u là d X Y , , xác

Ch ng minh Không m t tính t ng quát gi s U là m t đ ng c u t X

lên Y sao cho

1

1

U  và d X ,Y U  

Ch n các ph n t y y1, 2Y có chu n b ng m t sao cho





nh lý đ c ch ng minh

nh lý 3.2.4 cho phép chúng ta m r ng m t vài công trình m i c a

Bynum Ông đã ch ra r ng n u X là tròn đ u, thì t n t i   sao cho n u 1

Y là không gian Banach v i d X Y ,  , thì các t p l i, đóng, b ch n

trong Y đ u có đi m b t đ ng đ i v i ánh x không giãn Sau đây là h qu

t c kh c c a đ nh lý 3.1.2 và đ nh lý 3.2.4

H qu 3.2.5 Cho X là m t không gian Banach v i o X 1 Khi đó

t n t i h ng s  1,  sao cho n u 1 Y là m t không gian Banach v i

tìm th y m t tham luaanjveef các không gian hàm Lebesgue – Bochener

trong [4] ho c [8] N u  là đ đo đ m đ c trên t p h p nào đó, thì

 , 

p

L  X là không gian các dãy p 

l X nh lý sau đây s bi u di n đ c

tr ng l i c a không gian Banach X và đ c tr ng l i c a không gian hàm

Lebesgue – Bochener t ng ng cách ch ng minh c a Day [6] r ng

 , 

p

L  X n u và ch n u 1   p

 t đ đo Khi đó

H n n a ta gi thi t thêm r ng  là đ đo liên t c trên t p h p các s

t nhiên M c dù gi thi t này h n ch , nh ng khi đ nh lý đã đ c ki m

nghi m đ i v i đ đo đ m đ c, thì đ nh lý c ng d dàng đ c suy ra đ i