Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng

Các nhà toán học đã mở rộng kết quả này dựa trên lớp các không gian tổng quát như: định lý điểm bất động Schauder 1930 trong không gian định chuẩn, định lý Tikhonov 1935 trong không gian

LỜI CẢM ƠN

Bản khóa luận này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo tận

tình, chu đáo của TS Nguyễn Văn Hùng Qua đây, em xin gửi lời cảm

ơn sâu sắc đến thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy trong suốt quá trình

em hoàn thành bản khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ, chỉ bảo của các thầy, cô trong khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội 2 đã tạo điều kiện thuận lợi cho

em trong suốt quá trình em học tập tại trường

Do điều kiện thời gian và khả năng bản thân có hạn nên những vấn

đề trình bày trong đề tài không thể tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy,

em rất mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy, cô và các bạn để khóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 10 tháng 5 năm 2014

Sinh viên

Bùi Thị Thảo

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận này là những nghiên cứu của em dưới sự hướng dẫn tận

tình của thầy Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân em

Bên cạnh đó em cũng được sự quan tâm, tạo điều kiện của các thầy, cô trong khoa Toán - Trường ĐHSP Hà Nội 2 Trong quá trình nghiên cứu khóa luận em có tham khảo tài liệu của một số tác giả đã nêu trong mục tài liệu tham khảo

Vì vậy, em xin khẳng định nội dung đề tài: “Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng” không có sự trùng lặp với các đề tài khác

Sinh viên

Bùi Thị Thảo

MỤC LỤC

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

4 Cấu trúc của khóa luận 2

PHẦN 2 NỘI DUNG CHÍNH 3

Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Không gian metric 3

1.2 Tôpô trong không gian metric 5

1.3 Ánh xạ liên tục 6

1.4 Không gian metric đầy đủ 7

1.5 Tập hợp compact 7

1.6 Không gian định chuẩn 9

1.7 Tính lồi 13

1.8 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều 17

Chương 2: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 20

2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach 20

2.2 Định lí điểm bất động Brouwer 23

2.3 Định lí điểm bất động Schauder 29

Chương 3: MỘT SỐ ÁP DỤNG CỦA ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 32

3.1 Áp dụng giải gần đúng phương trình và hệ phương trình phi tuyến 32

3.2 Áp dụng đối với phương trình vi phân thường 48

Phần 3 KẾT LUẬN 57

Phần 4 TÀI LIỆU THAM KHẢO 58

PHẦN 1 MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết điểm bất động là một phần quan trọng của giải tích hàm phi tuyến trong giải tích hàm - một môn toán học vừa mang tính lý thuyết vừa mang tính ứng dụng rộng rãi Ngay từ đầu thế kỉ 20, các nhà toán học trên thế giới đã quan tâm đến vấn đề này và cho tới ngày nay có thể khẳng định rằng, lý thuyết điểm bất động đã được phát triển hết sức sâu rộng, trở thành công cụ không thể thiếu để được giải quyết nhiều bài toán khác nhau do thực tế đặt ra Sự phát triển của lĩnh vực này gắn liền với tên tuổi của các nhà toán học lớn trên thế giới như: Banach, Brouwer, Schauder, KyFan, Goebel, …

Sự ra đời của Nguyên lý điểm bất động Brouwer (1912) và Nguyên

lý ánh xạ co Banach (1922) đã hình thành hai hướng chính của lý thuyết điểm bất động: sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ liên tục và sự tồn tại điểm bất động dạng co Các nhà toán học đã mở rộng kết quả này dựa trên lớp các không gian tổng quát như: định lý điểm bất động Schauder (1930) trong không gian định chuẩn, định lý Tikhonov (1935) trong không gian lồi địa phương, sau đó mở rộng đến ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, mở đầu là kết quả của Kakutani (1941), tiêu biểu là KyFan (1952) Những kết quả kinh điển và đầu tiên của lý thuyết điểm bất động có nhiều ứng dụng trong các nghành toán học hiện đại như: chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân, phương trình và hệ phương trình phi tuyến, phương trình tích phân, Giải tích hàm, Giải tích số, Với các lí do đó, em đã chọn đề tài là:

“Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng”

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học và thực hiện

khóa luận tốt nghiệp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu một số định lí điểm bất động trong không gian Banach

và không gian định chuẩn hữu hạn chiều

Nghiên cứu việc áp dụng các định lý điểm bất động trong việc giải bài tập về chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình vi phân, giải gần đúng phương trình và hệ phương trình phi tuyến

4 Cấu trúc của khóa luận

Ngoài phần mở đầu và kết luận, phần nội dung chính của khóa luận gồm 3 chương:

Chương 1: Nêu một số kiến thức lí thuyết cơ bản cần dùng trong chương 2 và chương 3 như: không gian metric, không gian định chuẩn, không gian metric đầy đủ, Tôpô trong không gian metric, ánh xạ liên tục, tập hợp compact, tính lồi, không gian định chuẩn hữu hạn chiều

Chương 2: Nêu nguyên lí ánh xạ co Banach, định lí điểm bất động Brouwer, định lí điểm bất động Schauder, chứng minh định lí và các ví

dụ áp dụng

Chương 3: Ứng dụng các định lí điểm bất động trong việc giải phương trình vi phân thường, phương trình và hệ phương trình phi tuyến thông qua bài toán tổng quát và ví dụ cụ thể

PHẦN 2 NỘI DUNG CHÍNH Chương 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Không gian metric

Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi là không gian metric một tập hợp X   cùng

với một ánh xạ d từ tích Descartes X X vào tập hợp số thực thỏa

mãn các tiên đề sau đây:

(i) x y, X d x y  , 0,d x y ,   0 x y (tiên đề đồng nhất); (ii) x y, X d x y  , d y x , (tiên đề đối xứng); (iii) (x y z, , X d x y) ( , )d x z( , )d z y( , ) (tiên đề tam giác)

Ánh xạ d gọi là metric trên X , số d x y( , ) gọi là khoảng cách giữa hai phần tử x và y Các phần tử của X gọi là các điểm; các tiên đề (i), (ii), (iii) gọi là hệ tiên đề metric

Ví dụ 1.1.1: Ta kí hiệu là tập tất cả các dãy số thực hoặc phức

Thật vậy, với mọi n1,2,3, ta có:

Do đó với mọi số p dương đều có:

nghĩa là chuỗi số trong vế phải của hệ thức (1.1) hội tụ

Dễ dàng thấy hệ thức (1.1) thỏa mãn các tiên đề (i), (ii) về metric Với ba dãy bất kì x(x n n)1,y(y n n)1,z( )z n n1 thuộc và với số

Do đó hệ thức (1.1) thỏa mãn tiên đề (iii) về metric

Định nghĩa 1.1.2: Cho không gian metric M ( , )X d , dãy điểm(x n) X, điểm x0X Dãy điểm ( )x n được gọi là hội tụ tới điểm trong không gian M khi n , nếu

gian M

Ví dụ 1.1.2: Sự hội tụ của một dãy điểm ( ) trong không gian là sự

hội tụ của dãy số thực đã biết trong giải tích toán học

1.2 Tôpô trong không gian metric

Định nghĩa 1.2.1: Cho không gian metric M ( , ),X d aX, số thực

S a r cũng được gọi là một – lân cận của điểm và mọi tập con của

bao hàm một – lân cận nào đó của điểm gọi là một lân cận của

Xét một tập A bất kì trong không gian metric X và một điểm

(ii) Bất cứ lân cận nào của x cũng có những điểm của A lẫn những

điểm không thuộc A thì x được gọi là một điểm biên của tập A

Định nghĩa 1.2.3: Cho không gian metric M X d,  và tập AX

Tập A gọi là tập mở trong không gian , A nếu mọi điểm thuộc A đều là

điểm trong của A hay nói cách khác, nếu điểm xA, thì tồn tại một

điểm lân cận của A bao hàm trong A

Tập A gọi là tập đóng trong không gian M nếu mọi điểm không thuộc A đều là điểm ngoài của , A hay nói cách khác, nếu điểm xA,

thì tồn tại một điểm lân cận của điểm x không chứa điểm nào thuộc tập

Định lý 1.2.1: Cho không gian M X d, , tập AX và A  Tập đóng trong không gian khi và chỉ khi mọi dãy điểm  x n A hội tụ tới điểm thì xA

Chứng minh: Điều kiện cần: Giả sử tập A  đóng trong không gian

và dãy điểm  x n  A hội tụ tới , nhưng xA Khi đó tồn tại lân cận

   , n

S x r x   điều này mâu thuẫn với tính chất của điểm , vì vậy

xA

Điều kiện đủ: Giả sử tập A thỏa mãn điều kiện: mọi dãy điểm

 x n A hội tụ tới , thì  Lấy một điểm tùy ý zA, giả sử với

Cho hai không gian metric M1( ,X d1),M2 ( ,X d2), ánh xạ f từ

không gian M1 lên không gian M2

Định nghĩa 1.3.1: Ánh xạ f gọi là liên tục tại x0X , nếu

 

    sao cho  x X d x x: 1( , 0) thì d2( ( ), (f x f x0))

Định nghĩa 1.3.2: Ánh xạ f gọi là liên tục trên tập AX , nếu ánh xạ

f liên tục tại mọi điểm  A Khi A X thì ánh xạ f gọi là liên tục

Định nghĩa 1.3.3: Ánh xạ f được gọi là liên tục đều trên tập AX nếu:     0,  0 sao cho x x, 'A:d x x1( , ') thì d2( ( ), ( '))f x f x 

1.4 Không gian metric đầy đủ

Định nghĩa 1.4.1 Cho không gian metric M ( , )X d Dãy điểm

(x n) X gọi là dãy điểm cơ bản (dãy Cauchy) trong M nếu:

Dễ thấy mọi dãy điểm (x n) X hội tụ trong M đều là dãy cơ bản

Định nghĩa 1.4.2 Không gian metric M ( , )X d gọi là không gian đầy

đủ nếu mọi dãy cơ bản trong không gian này đều hội tụ

Ví dụ 1.4.1: (i) Không gian n

với khoảng cách Euclid là không gian metric đầy đủ

(ii) Không gian  a b, các hàm liên tục trên đoạn  a b, với

K gọi là tập compact tương đối trong không gian M, nếu mọi dãy vô hạn phần tử của tập K đều chứa một dãy con hội tụ (tới một phần tử thuộc X )

Định nghĩa 1.5.2 Cho không gian metric M ( , )X d Không gian M

gọi là không gian compact, nếu X là tập compact trong M

Định lý 1.5.1 ( Hausdorff) Một tập compact thì đóng và hoàn toàn bị

chặn Ngược lại, một tập đóng và hoàn toàn bị chặn trong không gian metric đủ thì compact

Định lý 1.5.2 ( Heine – Borel) Một tập M là tập compact khi và chỉ khi

mọi tập mở  G phủ lên M M:   G , tồn tại một họ con hữu hạn:





Chú ý: Giao một số hữu hạn tập mở là tập mở Hợp một họ bất kì tập mở

là tập mở Do đó, không gian metric có cấu trúc mới: cấu trúc Tôpô

Định lý 1.5.3 (Định lý về ánh xạ liên tục trên compact) Cho 2 không

gian metric M1( ,X d1),M2 ( ,X d2), và ánh xạ f ánh xạ M1 vào

2

M Nếu ánh xạ f liên tục trên tập compact K X thì

1) f liên tục đều trên K

2) f K tập compack trong không gian ( ) M2

Chứng minh: 1) Giả sử ánh xạ f không liên tục đều trên tập compact

Vì ánh xạ f không liên tục trên tập compact K nên ánh xạ f liên

Mâu thuẫn đó chứng tỏ ánh xạ f liên tục đều trên tập compact K

2) Lấy một dãy bất kì (y n) f K( ) Tồn tại dãy (x n) sao cho

(y n) f x( n), (n1,2, ) Do K là tập compact, nên dãy (x n) chứa dãy con ( ' )

k

n

x hội tụ tới điểm x0K Vì ánh xạ f liên tục trên tập compact

K , nên f liên tục tại điểm Do đó

0 ( 0) lim  

k

n k

1.6 Không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.6.1 Ta gọi không gian định chuẩn ( hay không gian tuyến

tính định chuẩn) là không gian tuyến tính X trên trường ( thực hoặc phức) cùng với một ánh xạ từ tập X vào tập số thực , kí hiệu là và đọc là chuẩn , thoả mãn các tiên đề sau đây:

(i) ( u X) u 0, u   0 x  ( kí hiệu phần tử không là );

(ii) ( u X) (  ) u  u ;

(iii) (u v, X) u v u  v

Số x được gọi là chuẩn của vecto Ta cũng kí hiệu không gian định chuẩn là

Định lý 1.6.1 Cho không gian định chuẩn X Đối với hai vectơ bất kì

   u v v w 

d u v( , )d v( , w)

Nhờ định lý 1.6.1, mọi không gian định chuẩn đều có thể trở thành không gian metric với metric (1.6.1) Do đó mọi khái niệm, mệnh đề đã đúng trong không gian metric đều đúng trong không gian định chuẩn

Định nghĩa 1.6.2 Dãy điểm (u n) trong không gian định chuẩn gọi là một dãy Cauchy (dãy cơ bản) nếu:

Vậy sự hội tụ u x n( )u x( ) khi n  là đều trên [ ]

Từ các điều kiện trên ta có : u a b ,  liên tục Chứng tỏ

(u n( )), ' 1,2, x n  hội tụ, nghĩa là (u n')u khi n  trong

Khi đó dãy ban đầu hội tụ đến trong

Hệ quả 1.6.3 Giả sử

1 1

 với u nX trên trường , n1,2, khi đó dãy

(u n),n1,2, là một dãy Cauchy trong X

Định nghĩa 1.6.4 (Tính liên tục) Cho X Y, là các không gian định chuẩn trên trường , khi đó:

Toán tử A M: X Y được gọi là liên tục theo dãy điểm nếu với mỗi dãy (u n)M n, 1,2 sao cho

Toán tử A được gọi là liên tục nếu u v, M và mọi  0 cho

trước, có một số  0, sao cho u  v  thì AuAv , hoặc với

Hơn nữa, nếu có thể chọn  0 trong trường hợp này sao cho kết quả

trên không phụ thuộc u M vào thì khi đó toán tử A được gọi là liên

tục đều trên M

Ví dụ 1.6.2 Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên trường

Toán tử A M:  X Y được gọi là liên tục Lipschitz nếu có một số

sao cho

AuAv L uv ,u v, M (1.6.4) Mỗi toán tử liên tục Lipschitz là liên tục đều

Thật vậy, từ điều kiện (1.6.4) suy ra:

AvAu  Với mọi thỏa mãn

Mệnh đề 1.7.1 Giả sử A  X,I là các tập lồi, với I là tập các chỉ

Định nghĩa 1.7.3 Cho M là một tập con của không gian tuyến tính X

trên trường , khi đó ta định nghĩa:

Span M : không gian con tuyến tính nhỏ nhất chứa M

coM : Tập lồi nhỏ nhất của x chứa M

Cho là một không gian định chuẩn trên trường Khi đó:

M : Tập đóng nhỏ nhất của X chứa M (bao đóng của M )

coM : Tập lồi đóng nhỏ nhất của X chứa M

int M : Tập mở lớn nhất của X chứa M

Điểm u được gọi là điểm trong, điểm biên hay điểm ngoài của M nếu:

uintM u, M, tương ứng

Mệnh đề 1.7.2 Cho : f M  là một hàm liên tục trên compact khác rỗng M của không gian định chuẩn Khi đó, f đạt giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất trên M

Mệnh đề 1.7.3 Cho X và Y là các không gian định chuẩn trên cùng trường , và cho A M: X Y là toán tử tuyến tính liên tục trên tập compact khác rỗng M của , khi đó là liên tục đều trên M

Định nghĩa 1.7.4 (Toán tử compact) Cho , X Y là các không gian định

chuẩn trên trường Toán tử A M: X Y được gọi là compact nếu: (i) A liên tục

(ii) A biến các tập bị chặn thành các tập compact tương đối Hay là: Nếu  U n ,n1,2, là dãy bị chặn trong thì có một dãy con  U n' , ' 1,2, n  của  U n sao cho dãy Au n' hội tụ trong

Trước hết, ta có toán tử A M: X là liên tục Thật vậy, nếu thì hàm số u: a b,  liên tục, và u y( )   r, y  a b, Suy ra hàm Au a b: ,  cũng liên tục tại u v, M , khi đó

u v maxu   y v y 

 

Au Av F x y u y F x y v y dy b a 

Theo (1.7.4) suy ra: A M: X liên tục

Ta chứng minh A compact Giả sử tập M bị chặn ta suy ra A M là tập  

compact tương đối, bởi các giả thiết của định lý Arze là Ascoli thỏa mãn,

Do đó ( )A M compact tương đối Vậy toán tử A M: X compact

Mệnh đề 1.7.4 ( Định lí xấp xỉ đối với các toán tử compact)

Cho A M:  X Y là một toán tử compact, ở đây là các

không gian Banach trên trường , và là tập con bị chặn, khác rỗng

của Khi đó, với mọi n1,2, có một dãy toán tử liên tục A n:M Y

1.8 Không gian định chuẩn hữu hạn chiều

Định nghĩa 1.8.1 Cho X là không gian định chuẩn N - chiều trên

trường , N1,2, ,n Một cơ sở e1, ,e n của X ta hiểu là tập hợp các phần tử e1,,e N của X sao cho với u X đều có thể biểu diễn được dưới dạng:

Mệnh đề 1.8.3 Hai chuẩn bất kì trên không gian định chuẩn hữu hạn

chiều luôn tương đương

Mệnh đề 1.8.4 Cho  u n là một dãy trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều , dim X  0, khi đó u n u trong X khi n , nếu và chỉ nếu dãy các thành phần tương ứng (với một cơ sở cố định) hội tụ đến các

tọa độ tương ứng của u trong X.

Hệ quả 1.8.4 Mỗi không gian định chuẩn hữu hạn chiều là một không

gian Banach

Hệ quả 1.8.5 Cho M là một tập con của không gian định chuẩn hữu hạn chiều X , khi đó:

(i) M là compact tương đối nếu và chỉ nếu nó bị chặn

(ii) M là compact nếu và chỉ nếu nó bị chặn và đóng

Định nghĩa 1.8.5 Cho N 1,2, , các điểm u0, ,u N trong không gian tuyến tính trên trường Được gọi là có vị trí tổng quát nếu

Định nghĩa 1.8.6 Cho N 1,2, và cho là không gian tuyến tính trong trường , cho N - đơn hình ta hiểu là tập S co u 0, ,u N ở đây

đươc gọi là các N 1- mặt của S đối diện với các đỉnh u0, ,u N Vậy,

k - mặt của S ta hiểu là bao lồi của k 1 đỉnh khác nhau của S

Định nghĩa 1.8.7 Cho M là tập khác rỗng trong Ta định nghĩa đường kính của tập M bởi:

,

u v M

Sup diamM u v

  được gọi là khoảng cách từ điểm đến tập

Ví dụ 1.7.5 Cho Sco u u 0, , ,1 u N là một N – đơn hình trong không gian định chuẩn trên trường , N 1,2, khi đó có điều sau là đúng: (i) Tập S lồi, compact

Tổng quát phép chia nhỏ bởi trọng tâm của N- đơn hình với

trọng tâm b là tập hợp tất cả các N- đơn hình co b v , , ,1 v N1 ở đây

Mệnh đề 1.8.9 Cho M là một tập khác rỗng, lồi, compact của không gian định chuẩn hữu hạn chiều X Khi đó M đồng phôi với các N – đơn hình S trong X, N 1,2,

Định nghĩa 1.8.9 Cho toán tử tuyến tính liên tục X X X Y, , là các không gian định chuẩn trên trường Ta định nghĩa chuẩn của toán tử A:

(i) A liên tục

(ii) Có một số c 0 sao cho Au c u với u X

Chương 2: CÁC ĐỊNH LÝ VỀ ĐIỂM BẤT ĐỘNG

2.1 Nguyên lý ánh xạ co Banach

Định nghĩa 2.1.1 (Định nghĩa ánh xạ Lipschitz) Cho X d là một , 

không gian metric Một ánh xạ : T X X được gọi là Lipschitz nếu tồn tại số k không âm sao cho với mọi x y, X ,

d Tx Ty , kd x y , (2.1.1)

Số k nhỏ nhất thỏa mãn (2.1.1) được gọi là hệ số Lipschitz của ánh

xạ , kí hiệu là k T 

Định nghĩa 2.1.1 ( Định nghĩa ánh xạ co)

Giả sử X và Y là 2 không gian metric tùy ý, ánh xạ: f : X Y được gọi là ánh xạ co nếu tồn tại một số 0,1) sao cho x x1, 2X ta đều có

 ( ), (1 2) ( ,1 2)

d f x f x d x x Hiển nhiên một ánh xạ co là liên tục đều

Định lý 2.1.1 (Nguyên lý ánh xạ co Banach) Giả sử X là một không gian metric đầy đủ và : f X X là một ánh xạ co của X vào chính nó Khi đó tồn tại một và chỉ một điểm x X sao cho ( ) f x x

Chứng minh: Lấy một điểm bất kì x0X Đặt

Vì 0  1 nên lim 0 lim ( ,  ) 0,

n      

n n p

Điều đó chứng tỏ rằng  x là một dãy Cauchy trong không gian metric n

đầy đủ ,X vậy tồn tại giới hạn hữu hạn

Định lý được chứng minh

Ví dụ 2.1.1 Cho     a b , hàm số x t khả vi trên đoạn    a b ,thỏa mãn các điều kiện:

x t  a b, ,0x t'    k 1, t  0,1 ,k cố định

Khi đó phương trình x t t có duy nhất 1 nghiệm t0 a b,

Thật vậy, ta có  a b, là một tập con đóng của với metric

d u v ,  u v u v, ,  a b,

Do đó  a b cùng với metric của , lập thành một không gian metric đầy Theo định lý giá trị trung bình, với mỗi u v,  a b, , có một điểm w a b, sao cho

x u x v  x uv k uv

Do đó theo nguyên lí ánh xạ co Banach, tồn tại duy nhất t0 a b,

sao cho x t 0 t0

Nhận xét: Nguyên lý ánh xạ co Banach không những chỉ ra sự tồn tại

điểm bất động của ánh xạ co trong không gian metric đầy đủ mà còn chỉ

ra tính duy nhất của điểm bất động này Vì vậy, nguyên lý này có thể

ứng dụng để chứng minh sự tồn tại và duy nhất của lời giải một bài toán

Với metric xác định trong định lí 1.6.1 ta có cách phát biểu khác

của nguyên lí ánh xạ co Banach trong không gian định chuẩn như sau:

Định lý 2.1.2 (Nguyên lý ánh xạ co trong không gian định chuẩn)

(i) Tồn tại và duy nhất ngiệm của phương trình uAu (2.1.4)

(ii) Với mỗi u0M đã cho dãy  u n tạo bởi

Bây giờ, với n1,2, và m1,2, từ BĐT tam giác ta có:

Vì k0,1 nên k n 0 khi n  Vậy dãy  u n là dãy Cauchy, do

là không gian Banach nên dãy  u n hội tụ tới một phần tử uX hay

u n u khi n 

Tiếp theo ta chỉ ra rằng giới hạn u là nghiệm của phương trình

(2.1.4) Từ u nM và u1  Au0 cùng với A M M suy ra u1M Tương tự bằng quy nạp ta được u n1 Au n và u nM, n 0,1,

2.2.1 Định nghĩa 2.2.1 Cho là không gian tuyến tính định chuẩn ta xét

điểm a a0, 1, , a n1, a n sao cho các vetcto a0a1, ,a n a0 độc lập tuyến tính (khi đó ta cũng nói các điểm a a0, 1, ,a n1, a n độc lập

affin ) Bao lồi của tập a a0, 1, ,a n1, a n tức tập gồm tất cả các điểm

Phép tam giác phân một đơn hình là phép phân chia thành các

đơn hình con sao cho hợp của chúng bằng và hai đơn hình con nếu giao nhau thì phải là một diện chung của hai đơn hình đó

2.2.2 Bổ đề Sperner

Cho S co u u 0, , ,1 u N là một - đơn hình, 1 Một phép tam giác phân của là một tập hữu hạn

(2.2.1) Các đơn hình sao cho:

(a)

1

J j j

Với mỗi số 0,1, , N đặt tương ứng với mỗi đỉnh v của các đơn

hình S trong (2.2.1) Giả sử rằng nếu j

S gọi là được đánh dấu nếu nó mang chỉ số 0 Khi đó có 2 khả năng sau :

(i) S được đánh dấu chính xác j N1 mặt (nghĩa là, là một đơn hình Sperner)

(ii) S không được đánh dấu chính xác hoặc đánh dấu 2 lần j N1

mặt (nghĩa là, S là không là một đơn hình Sperner) j

Nhưng từ việc đánh dấu 0 – mặt xảy ra 2 lần: trong và trên biên, nến số của việc đánh dấu 0 – mặt là lẻ khi đó số các đơn hình Sperner là lẻ Bước 2: Nếu N2 thì S là một 2 – đơn hình Một 1 – mặt (đoạn j

thẳng) của S gọi là đánh dấu nếu nó mang các chỉ số 0,1 khi đó các kết j

quả (i) và (ii) đúng với N 2

Ta có, một 1 - mặt được đánh dấu 2 lần ở phía trong Một mặt được đánh dấu trên biên là tập con của co u u 1, 2 Theo bước 1 số 1 - mặt được đánh dấu trên co u u 1, 2 là lẻ Từ đó số 1 – đơn hình Sperner cũng

2.2.3 Bổ đề Knaster, Kuratowski, Mazurkirwicz (Bổ đề KKM)

Bổ đề 2.2.3 (Bổ đề KKM) Cho S co u u 0, , ,1 u N là một N – đơn hình trong không gian định chuẩn hữu hạn chiều X, N = 0,1,…, giả sử

đã cho các tập đóng C0, ,C N trong X sao cho

Chứng minh:

Nếu N = 0 thì S gồm một điểm riêng lẻ và kết quả của của bổ đề là

hiển nhiên đúng

Bây giờ ta xét với N

Bước1: Bây giờ ta xét một phép tam giác phân S0, ,S J của S Cho

Từ (2.2.3) suy ra có một tập sao cho Liên kết số với

các đỉnh v Từ bổ đề Sperner ta thấy có một đơn hình Sperner S mà các j đỉnh mang các số 0,1, , N Vì vậy, các đỉnh V0, ,V N của S thỏa mãn j

điều kiện:

V kC k,  k 0,1, ,N

Bước 2: Bây giờ ta xét một dãy các phép tam giác phân giác của

đơn hình S sao cho các đương kính của các đơn hình trong phép tam giác

phân gần đúng không Lấy ví dụ, có thể chọn một dãy các phép chia nhỏ

bởi trọng tâm của S

Theo bước 1 các điểm ( )

, 0,1, ,

n k k

Cho S là một đơn hình chiều trong không gian định chuẩn hữu

hạn chiều và cho toán tử

Nếu N = 2, thì Sc o u u 0, ,1 u2 hay S là một tam giác, khi đó, với

mọi ta đều có thể biểu diễn

uα0 u u0 α1 u u1 α2 u u2 với 0  0, 1, 2 1 và

  0  1 2 1 (2.2.5) Suy ra uu0 1 u u1 u02 u u2 u0 và

0 u  1 1 u 2 u

Từ tính chất độc lập tuyến tính của u1u u0, 2 u0 ta có các tọa độ

trọng tâm 0     u ,1 u ,2 u của điểm u xác định duy nhất bởi u và

liên tục, phụ thuộc vào u

Đặt C j uS:j u , j1,2,