Khai thác bài tập toán, phần phương pháp tọa độ trong không gian

Xuất phát từ sự say mê của bản thân, ham muốn học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu sâu hơn về HHKG, với mong muốn có được kiến thức vững hơn về HHKG để chuẩn bị cho việc giảng dạy sau khi ra trư

TRONG KHÔNG GIAN

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành : Phương pháp dạy học môn Toán

Người hướng dẫn khoa học

ThS Nguyễn Văn Hà

Hà NộI - 2010

Khoá luận tốt nghiệp

LỜI CẢM ƠN

Bản khóa luận tốt nghiệp này là bước đầu tiên em làm quen với việc nghiên cứu khoa học

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận tốt nghiệp em đã

nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của các thầy cô trong tổ phương pháp và các

bạn sinh viên trong khoa

Đặc biệt, em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Nguyễn Văn Hà, thầy

đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ, hướng dẫn em hoàn thành khóa luận

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giáo!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Lê Thị Liễu

Khoá luận tốt nghiệp

LỜI CAM ĐOAN

Em xin cam đoan toàn bộ kết quả trong khóa luận này là do em nghiên

cứu dưới sự hướng dẫn của các thầy cô trong tổ phương pháp, đặc biệt là thầy giáo Thạc sĩ Nguyễn Văn Hà

Và kết quả trong khóa luận này của em không trùng lập với bất kì kết quả nào khác

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Lê Thị Liễu

Khoá luận tốt nghiệp

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là một môn học khó, nó có tính hệ thống, chặt chẽ, logic, trừu tượng hoá cao Đặc biệt là phần hình học không gian (HHKG) Để giải một bài toán HHKG đòi hỏi học sinh phải có kiến thức thật chắc và vững Với một bài toán nói chung và bài toán HHKG nói riêng thì có nhiều cách giải khác nhau, có thể là phương pháp tổng hợp (PPTH), phương pháp vectơ, hay phương pháp tọa độ (PPTĐ) Trong đó có một phần lớn các bài toán HHKG có thể giải bằng PPTĐ

PPTĐ cho ta cách giải nhanh chóng, chính xác và tránh được các yếu tố trực quan, các suy diễn phức tạp của PPTH, và là phương tiện hiệu quả để giải các bài toán hình học

Vì vậy, trong rất nhiều năm gần đây PPTĐ được xem là nội dung trọng tâm của chương trình toán trung học phổ thông

Xuất phát từ sự say mê của bản thân, ham muốn học hỏi, tìm tòi, nghiên cứu sâu hơn về HHKG, với mong muốn có được kiến thức vững hơn

về HHKG để chuẩn bị cho việc giảng dạy sau khi ra trường, cùng với sự động

viên khích lệ của thầy giáo Nguyễn Văn Hà mà em đã chọn đề tài : “Khai

thác bài tập toán phần PPTĐ trong không gian”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu chủ yếu của đề tài là:

- Cho học sinh thấy được sự tương quan giữa HHKG và HHGT trong không gian

- Giúp cho học sinh có thêm phương pháp để giải bài toán HHKG

- Nghiên cứu sâu hơn về HHKG làm tài liệu tham khảo cho học sinh và giáo viên

Khoá luận tốt nghiệp

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu với nhiệm vụ:

- Nghiên cứu lý luận chung

+ Bài toán và bài tập toán học

+ Phương pháp tọa độ trong không gian

- Hệ thống hoá phương pháp giải các dạng bài tập dưới dạng cơ bản và nâng cao nhằm phục vụ cho việc giảng dạy: “PPTĐ ở lớp 12 THPT theo phân phối chương trình”

4 Phương pháp nghiên cứu

- Phương pháp nghiên cứu lý luận : Dựa vào những tài liệu sẵn có, những thành tựu của nhân loại trên những lĩnh vực khác nhau để vận dụng vào phương pháp dạy học môn Toán

- Phương pháp quan sát điều tra: Là phương pháp tri giác một hiện tượng nào đó để thu lượm những số liệu, tài liệu cụ thể đặc trưng cho quá trình diễn biến của hiện tượng

- Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Thực chất là đánh giá và khái quát kinh nghiệm, từ đó phát hiện ra những vấn đề cần nghiên cứu, hoặc khám phá những mối liên hệ có tính quy luật của hiện tượng giáo dục

- Phương pháp thực nghiệm giáo dục: Cho phép ta tạo nên những tác động giáo dục, từ đó xác định và đánh giá kết quả của những tác động đó

5 Cấu trúc khoá luận

Phần 1: Mở đầu

Phần 2: Nội dung, bao gồm 2 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận

Chương 2: ứng dụng dạy học

Khoá luận tốt nghiệp

PHẦN 2: NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN

A BÀI TOÁN VÀ BÀI TẬP TOÁN HỌC

1 Khái niệm

Theo G.POLYA: Bài toán là việc đặt ra sự cần thiết tìm kiếm một cách

có ý thức các phương tiện thích hợp để đạt đến một mục đích nhất định trông thấy rõ ràng, nhưng không thể đạt được ngay

Bài tập là bài toán trong đó có những yêu cầu đặt ra cho người học nhằm đạt được mục đích dạy học nào đó

2 Vai trò, ý nghĩa của bài tập toán học

a Củng cố các kiến thức cơ bản cho học sinh

Trong thực tế một bài toán chứa đựng nhiều kiến thức về khái niệm toán học và các kết luận toán học Khi giải một bài toán đòi hỏi ta phải phân tích dữ kiện của bài toán, huy động các kiến thức đã cho trong đề toán và các kiến thức đã biết khác có liên quan đến bài toán, tổng hợp lại để đề ra kiến

thức mới nữa…Cuối cùng, chúng ta đi đến được lời giải của bài toán

Như vậy khi giải một bài toán không những chỉ các kiến thức đã có trong bài toán mà cả một hệ thống các kiến thức liên quan tới bài toán cũng được củng cố qua lại nhiều hơn

b Rèn luyện và phát triển tư duy cho học sinh

Đặc điểm nổi bật của môn toán là một môn khoa học suy diễn, được

xây dựng bằng phương pháp tiên đề

Do vậy nên lời giải của bài toán là một hệ thống hữu hạn các thao tác

có thứ tự chặt chẽ để đi đến một mục đích rất rõ rệt

Khoá luận tốt nghiệp

Vì vậy khi giải một bài toán nó có tác dụng trực tiếp rèn luyện cho ta năng lực sử dụng các phép suy luận hợp logic: Suy luận có căn cứ đúng, suy luận tuân theo quy tắc suy diễn…

Chúng ta biết rằng không thể có một phương pháp chung nào để giải được mọi bài toán

Mỗi bài toán có một hình, một vẻ khác nhau, muốn tìm được lời giải của bài toán chúng ta phải biết phân tích, phải biết cách dự đoán kết quả, kiểm tra kết quả, biết cách liên hệ tới các vấn đề tương tự gần giống nhau, biết cách suy luận tổng hợp khái quát hoá…

Như vậy qua việc giải bài toán năng lực tư duy sáng tạo được rèn luyện và phát triển

c Rèn luyện kĩ năng vận dụng các kiến thức toán học cho học sinh

Một trong những yêu cầu của việc nắm vững các kiến thức của bất cứ của bộ môn khoa học nào là hiểu, nhớ và vận dụng các kiến thức của bộ môn khoa học đó vào việc giải quyết các nhiệm vụ đặt ra, tức là giải quyết được

các bài toán đặt ra trong lĩnh vực khoa học đó

Trong việc giảng dạy toán thì bài toán lại tham gia vào trong mọi tình huống của quá trình dạy học môn toán

Trong giảng dạy khái niệm toán học: Bài toán được sử dụng để tổ chức gây tình huống để dẫn dắt cho học sinh có thể đi đến định nghĩa khái niệm Bài toán được sử dụng đã nêu ra làm các ví dụ và phản ví dụ minh họa cho khái niệm Bài toán được sử dụng để luyện tập, củng cố vận dụng khái niệm

Trong giảng dạy định lý toán học: Bài toán có thể được sử dụng để tổ chức gây tình huống dẫn dắt học sinh phát hiện ra nội dung định lý toán học Bài toán có thể được sử dụng để cho học sinh tập vận dụng định lý, đặc biệt là

Khoá luận tốt nghiệp

việc tổ chức hướng dẫn học sinh chứng minh định lý chính là việc tổ chức hướng dẫn học sinh tập tìm ra lời giải của một chương nào đó của môn học

Trong luyện tập toán học : Bài toán là phương tiện chủ yếu trong các tiết luyện tập toán học Trong đó người giáo viên phải xây dựng được một hệ thống các bài tập có liên quan chặt chẽ với nhau để nhằm giúp học sinh củng

cố các kiến thức và hình thành một số kĩ năng cơ bản nào đó

d Bồi dưỡng phát triển nhân cách cho học sinh

Đặc biệt cơ bản trong tính cách của con người là: Mọi hoạt động đều có mục đích rất rõ ràng Khi giải một bài toán ta luôn có định hướng mục đích rất rõ rệt, vì vậy việc giải bài toán sẽ góp phần tích cực vào việc rèn luyện năng lực hoạt động của con người

Để giải một bài toán nhất là đối với các bài toán khó ta phải vượt qua rất nhiều khó khăn, phải kiên trì nhẫn lại và nhiều khi ta phải có quyết tâm rất lớn để giải bài toán đó

Nói theo cách của G.POLYA thì : “Khát vọng và quyết tâm giải được bài toán là nhân tố chủ yếu của quá trình giải mọi bài toán”

Do vậy ta thấy rằng : Hoạt động giải toán chính là nhân tố chủ yếu của quá trình hình thành và phát triển nhân cách của con người

3 Phân loại bài toán

a Phân loại theo hình thức bài toán:

- Bài toán chứng minh: Là bài toán mà kết luận của nó đã được đưa ra một cách rõ ràng trong đề bài toán

- Bài toán tìm tòi: Là bài toán trong đó kết luận của nó chưa sẵn sàng trong đề bài toán

b Phân loại theo phương pháp giải toán:

Khoá luận tốt nghiệp

- Bài toán có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của nó theo một angôrit nào đó hoặc mang tính chất angôrit nào đó

- Bài toán không có angôrit giải: Là bài toán mà phương pháp giải của

nó không theo một angôrit nào đó hoặc không mang tính chất angôrit nào đó

c Phân loại theo nội dung bài toán:

Bài toán số học

Bài toán đại số Bài toán hình học

d Phân loại theo ý nghĩa giải toán:

- Bài toán củng cố kỹ năng: Là bài toán nhằm củng cố trực tiếp ngay sau khi học hoặc một vài kiến thức hay kỹ năng nào đó

- Bài toán phát triển tư duy: Là bài toán nhằm củng cố một hệ thống các kiến thức cũng như kỹ năng nào đó hoặc đòi hỏi phải có một khả năng tư duy phân tích, tổng hợp hoặc vận dụng một cách sáng tạo

4 Phương pháp giải một bài toán

Phương pháp tìm lời giải của bài toán: Dựa theo 4 bước của G.POLYA

a Bước 1: Tìm hiểu đề

Trước khi giải một bài toán ta phải phân tích đề bài của bài toán, rồi tìm hiểu thấu đáo nội dung của bài toán bằng những câu hỏi sau :

- Những cái đã biết ? Cái gì chưa biết của bài toán ?

- Tìm những yếu tố cố định, những yếu tố không đổi, những yếu tố thay đổi biến thiên của bài toán

- Xác định các ẩn và giá trị hằng của bài toán

- Dữ kiện của bài toán có đủ để xác định cái chưa biết hay không ?

b Bước 2 : Xây dựng chương trình giải

Khoá luận tốt nghiệp

Chúng ta có thể tiến hành xây dựng chương trình giải theo phương pháp sau:

- Phương pháp đi xuôi:

Xuất phát từ các giả thiết của bài toán được lấy làm tiền đề Bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra các hệ quả logic của các tiền đề đó Tiếp tục chọn lọc trong đó để lấy ra các hệ quả gần gũi với kết luận của bài toán làm tiền đề mới Lại bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra hệ quả logic mới gần gũi hơn với kết luận… Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm ra các hệ quả logic trùng với kết luận của bài toán Khi ấy ta tìm được lời giải của bài toán

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

 



 X (trong đó A,C là giả thiết, còn X là kết luận )

- Phương pháp đi ngược:

Đó là quá trình xuất phát từ kết luận của bài toán Bằng suy luận hợp logic chúng ta đi ngược lên để tìm các tiền đề logic của kết luận này

Tiếp tục chọn lọc trong đó để lấy ra các tiền đề gần gũi với giả thiết của bài toán làm kết luận mới Lại bằng suy luận hợp logic chúng ta tìm ra tiền đề logic mới của các kết luận mới này… Cứ tiếp tục quá trình ấy chúng ta tìm ra các tiền đề logic trùng với giả thiết của bài toán Khi ấy ta tìm được lời giải của bài toán

Phương pháp này được mô tả theo sơ đồ sau:

 (trong đó A,B là giả thiết, còn X là kết luận)

c Bước 3 : Thực hiện chương trình giải

Khoá luận tốt nghiệp

Đây là quá trình tổng hợp lại của bước xây dựng chương trình giải, ta

dùng các phép suy luận hợp logic xuất phát từ giả thiết của bài toán, các mệnh

đề toán học đã biết ta suy dần ra tới kết luận của bài toán

d Bước 4 : Nhận xét lời giải và khai thác bài toán

Thử lại kết quả của bài toán, thử lại các lập luận trong lời giải đã tìm được của bài toán

Tìm các cách giải khác nếu có của bài toán

Nghiên cứu các bài toán có liên quan

Ví dụ 1: Phân tích quá trình tìm lời giải bài toán sau:

Chứng minh rằng nếu ΔABC thỏa mãn điều kiện 2B

sinA.sinC = cos

2thì ΔABC là tam giác cân

HD :

Để chứng minh một tam giác là tam giác cân có nhiều cách : Hoặc chứng minh 2 cạnh nào đó bằng nhau, hoặc chứng minh 2 góc nào đó bằng nhau

ở đây ta thấy giả thiết của bài toán cho biết đẳng thức liên hệ về góc, ta

sẽ chứng minh tam giác đó có hai góc nào đó bằng nhau

Hơn nữa ta thấy trong đẳng thức đã cho thì vai trò của góc A và C là như nhau Do đó ta sẽ chứng minh trong ΔABC có góc A = C

Biến đổi đẳng thức đã cho bằng cách làm mất sự có mặt của góc B bằng cách thay B = o

180 - (A+C)

Sau đó sử dụng công thức biến đổi lượng giác, ta có đẳng thức sau :

2BsinA.sinC = cos

2

2 A + C sinA.sinC = sin

2Û

Khoá luận tốt nghiệp

2sinA.sinC = 1 - cos(A+C)Û

cosA.cosC + sinA.sinC = 1 Û

cos(A - C) = 1

A = C

ÛÞVậy :ΔABC cân tại B

Ví dụ 2 : Phân tích tìm lời giải của bài toán sau :

Khoá luận tốt nghiệp

B PHƯƠNG PHáP TọA Độ TRONG KHÔNG GIAN ( Hình học12)

Khoá luận tốt nghiệp

- Chương 3 nhằm cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản về khái niệm

về tọa độ trong không gian và những ứng dụng của nó

+ Tọa độ vectơ và tọa độ điểm

+ Biểu thức tọa độ của các phép toán vectơ

+ Tích vô hướng của 2 vectơ

+ Phương trình mặt cầu

- Giới thiệu về phương trình mặt phẳng trong không gian

+ Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng

+ Phương trình tổng quát của mặt phẳng

+ Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc

+ Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

- Phương trình đường thẳng trong không gian

+ Phương trình tham số của đường thẳng

Khoá luận tốt nghiệp

+ Điều kiện để hai đường phẳng song song

+ Điều kiện để hai đường phẳng chéo nhau

+ Điều kiện để hai đường phẳng cắt nhau

b Về kĩ năng

- Xác định được các vectơ trong không gian

- Vận dụng được các tính chất để giải bài tập

- Chứng minh được hai mặt phẳng: song song, vuông góc

- Lập được các phương trình đường thẳng, mặt phẳng

- Xác định được vị trí tương đối

Khi học xong chương này, học sinh cần làm tốt các bài tập sách giáo khoa và

các bài kiểm tra trong chương

3 Phương pháp giải bài toán bằng tọa độ

PPTĐ trong không gian là phương pháp giải các bài toán HHKG mà ở

đó ta quy việc giải chúng về khảo sát nhiều phương trình (hệ phương trình)

Các bước giải bài toán HHKG bằng PPTĐ :

Bước 1: Chọn hệ tọa độ thích hợp

Bước 2: Chuyển ngôn ngữ hình học sang ngôn ngữ tọa độ

Bước 3: Giải bài toán bằng kiến thức PPTĐ

Khoá luận tốt nghiệp

Bước 4: Chuyển kết quả từ ngôn ngữ tọa độ sang ngôn ngữ hình học

CHƯƠNG 2 :ứng dụng dạy học

Nội dung chương trình

Chương 3 : Phương pháp tọa độ trong không gian (20 tiết)

Bài 1 : Hệ tọa độ trong không gian (5 tiết) Bài 2 : Phương trình mặt phẳng (5 tiết)

Khoá luận tốt nghiệp

Bài 3 : Phương trình đường thẳng trong không gian (8 tiết)

Ôn tập chương 3 (2 tiết)

A CáC KIếN THứC CƠ BảN

1 Tọa độ của vectơ và của điểm

Ta có : u = (x; y; z)  u = x.i + y.j + z.k   

M = (x; y; z)  OM = x.i + y.j + z.k   

Nếu A(a; b; c) và B(a‟; b‟; c‟) thì AB = (a' - a; b' - b; c' - c)

2 Tích vô hướng của hai vectơ: u

+ u, v, w  

cùng phương u, v w   0

- Diện tích tam giác: SABC = 1 AB, AC

2  

Khoá luận tốt nghiệp

- Thể tích khối hộp : VABCD.A'B'C'D' = AB,AD AA'  

- Thể tích tứ diện : VABCD = 1 AB, AC AD

+ Mỗi mặt phẳng đều có phương trình tổng quát dạng:

Ax + By + Cz +D = 0 (1) (với 2 2 2

A + B + C 0)

Nếu mp() có pt (1) thì n = (A; B; C)

là VTPT của mp()

+ Mp() không đi qua O, cắt Ox tại điểm (a; 0; 0), cắt Oy tại điểm (b; 0; 0),

cắt Oz tại điểm (0; 0; c) có phương trình : x + y + = 1z (abc 0)

Khoá luận tốt nghiệp

7 Vị trí tương đối giữa hai mặt phẳng

Cho 2mp   : Ax + By + Cz + D = 0 và  ' : A'x + B'y + C'z + D' 0

)

+ d, d‟ cùng nằm trong một mp u ,u' M M '   0 0 0+ dd'     u ,u' = u ,M M ' = 0   0 0

    

+

0 0

u,u' 0d//d'

í é ù

ï ê ú

ï ë ûï

Û ìï é

ù

ï ê ú

ïë ûïî

Khoá luận tốt nghiệp

) là:

0 (M,Δ)

Khoá luận tốt nghiệp

DạNG 1: CáC BàI TOáN LIÊN QUAN TớI vectơ

Giải

a) Ta có: M thuộc Ox nên M = (x; 0; 0)

Vì MA = MB nên MA = MB2 2 hay

Khoá luận tốt nghiệp

t = + lπ3

Khoá luận tốt nghiệp

b) u, v, wr r ur không đồng phẳng

c) u, v, wr r ur đồng phẳng

Bài 4

Cho tứ diện ABCD có A(2; 1; -1), B(3; 0; 1), C(2; -1; 3) và D thuộc

Oy Biết VABCD = 5 Tìm toạ độ đỉnh D

(Bài 25-Trang119-SBTNC hình học12)

G iải

Giả sử D = (0; y; 0) thuộc trục Oy

Ta có: AB 1; -1; 2 , AD -2; y - 1; 1 , AC 0; -2; 4uuur( ) uuur( ) uuur( )

uuur uuur uuur

Theo giả thiết VABCD = 5

Mặt khác, ta có: VABCD = 1 AB, AC AD

6    = 5

1-4y + 2 = 56

-4y + 2 = 30

y = -7, y = 8

ÛÛÞVậy có hai điểm D trên Oy thoả mãn : (0; -7; 0) và (0; 8; 0)

Bài 5

Cho A(0; 0; -3), B(2; 0; -1) và mp(P) : 3x - 8y + 7z - 1 = 0 Tìm tọa độ điểm C nằm trên mp(P) sao cho tam giác ABC đều

Khoá luận tốt nghiệp

(Bài 43-Trang125-SBTNC hình học12)

b) Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành (hbh)

c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC

d) Tính độ dài đường cao của tam giác ABC kẻ từ đỉnh A

Khoá luận tốt nghiệp

Vậy: 3 điểm A, B, C không thẳng hàng

BC = AB + AC nên tam giác ABC vuông tại A

Vậy: Diện tích tam giác ABC là :

Khoá luận tốt nghiệp

Giải

Ta có: AB 1; -3; 4 , AC -5; 5; 6 , BC -6; 8; 2uuur( ) uuur( ) uur( )

Gọi D là chân đường phân giác kẻ từ B, giả sử D(x; y; z)

Hay

2

x = 32(1 - x) = x + 4

-112(2 - y) = y - 7 y =

32(-1 - z) = z - 5

z = 1

íïïïï

Cho 4 điểm A(1; 1; 0), B(0; 2; 1), C(1; 0; 2), D(1; 1; 1)

a) Chứng minh 4 điểm không đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD

b) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC, của tứ diện ABCD

c) Tính diện tích các mặt của tứ diện

d) Tính độ dài các đường cao của khối tứ diện

e) Tính góc AB, CD (Bài 21-Trang118-SBTNC hình học12)

Giải

a) Ta có : AB = (-1; 1; 1), AC = (0; -1; 2), AD = (0; 0; 1)   

Khoá luận tốt nghiệp

AB,AC AD     1 0 AB, AC, AD   không đồng phẳng

ç

çè ø Gọi G‟ là trọng tâm của tứ diện ABCD 3

uur uur

d) Từ công thức:

V =1

3B.h  h =3V

B (B là diện tích đáy, h là chiều cao tương ứng)

Gọi : hA, hB, hC, hD là chiều cao hạ từ A, B, C, D thì :

hA =

BCD

13

Khoá luận tốt nghiệp

hB =

ACD

13

1S

a) Đi qua 3 điểm M(2; 0; -1), N(1; -2; 3), P(0; 1; 2)

b) Đi qua 2 điểm A(1; 1; -1), B(5; 2; 1) và song song với Oz

c) Đi qua điểm (3; 2; -1) và song song với mp có phương trình: x - 5y + z = 0 d) Đi qua 2 điểm A(0; 1; 1), B(-1; 0; 2) và vuông góc với mp: x - y + z + 1 =

Khoá luận tốt nghiệp

Vậy: Mp(MNP) có phương trình: 2(x - 2) + y + (z - 1) = 0

hay 2x + y + z - 3 = 0 b) Giả sử: Mp(P) đi qua A, B và song song với Oz, có VTPT n



c) Mp(P) cần tìm phải song song với mp : x - 5y + z = 0

Vậy: Mp(P) qua (3; 2; -1) có VTPT (1; -5; 1) có phương trình là :

Khoá luận tốt nghiệp

b) Đi qua điểm M(-2; 3; 1) và vuông góc với hai mặt phẳng có phương trình

là :( )a : 2x + y + 2z + 5 = 0, ( )a' : 3x + 2y + z -3 = 0

(Bài 36-Trang124-SBTNC hình học12)

Vậy phương trình của nó là : 3x - 2z - 2 = 0

b) Mặt phẳng ( ) ( )a , a có VTPT lần lượt là : ' n 2; 1; 2 , n 3; 2; 1uura( ) uura'( )

Mặt phẳng cần tìm vuông góc với ( ) ( )a , a nên có VTPT là : '

Giải

Mặt phẳng đi qua M(1; 2; 4) có phương trình :

a(x - 1) + b(y - 2) + c(z - 4) = 0 hay ax + by + cz = a + 2b + 4c (Với a + 2b + 4c 0)

Khoá luận tốt nghiệp

a = b = c pt(1) trở thành x + y + z = 0

a = b = -c pt(1) trở thành x + y - z + 1 = 0

a = c = -b pt(1) trở thành x - y + z - 3 = 0 -a = b = c pt(1) trở thành -x + y + z - 5 = 0

Bài 4

Viết phương trình mp đi qua điểm M‟(2; 1; -1) và qua giao tuyến của 2 mp: x - y + z - 4 = 0 và 3x - y + z - 1 = 0 (Bài 43-Trang125-SBTNC hình học12)

Giải

Gọi M(x; y; z) là điểm thuộc giao tuyến d của 2mp

Khi đó tọa độ của M là nghiệm của hệ: x - y + z = 4

3x - y + z = 1

íïïìïïî

-íïïï

Khoá luận tốt nghiệp

íïïï

Giải

Mặt phẳng (P) chứa Oz nên có dạng: Ax + By = 0

Khoá luận tốt nghiệp

Suy ra: VTPT của (P) là: n = A; B; 0uurP ( )

A = -3

éêêÞêêë

Vậy có 2 mp(P) là: 1x + y = 0; -3x +y = 0

3

Bài 2

Cho 3 điểm A(0; 1; 2), B(2; -2; 1), C(-2; 0; 1)

a) Viết phương trình mp đi qua 3 điểm A, B, C

b) Tìm điểm M thuộc mp: 2x + 2y + z - 3 = 0 sao cho MA = MB = MC

Vậy : Phương trình mp (ABC) là : 2(x - 0) + 4(y - 1) - 8(z - 2) = 0

Khoá luận tốt nghiệp

+ + 1

3 6 9 

Khoá luận tốt nghiệp

b) Mp đi qua H(2; 1; 1 ) cắt các trục tọa độ tại A, B, C

Khi đó: Tứ diện OABC có các cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc

H là trực tâm ABC OH(ABC)

Mp(ABC) đi qua H và có VTPT là OH = (2; 1; 1) 

có phương trình là : 2(x - 2) + (y - 1) + (z - 1) = 0

 4x + 2y + 7z - 15 = 0

+ Nếu (P) đi qua trung điểm I của CD :

Tọa độ trung điểm I là I = (1; 1; 1)

Khoá luận tốt nghiệp

DạNG 3: PHƯƠNG TRìNH ĐƯờNG THẳNG

Bài tập cơ bản

Bài 1

Viết phương trình tham số và chính tắc của đường thẳng :

a) Đi qua điểm A(2; 0; -1) và có VTCP u -1; 3; 5 

b) Đi qua A(2; 3; -1), B(1; 2; 4) (Bài 24-Trang102-SGKNC hình học12)

Khoá luận tốt nghiệp

a) Đi qua A(4; 3; 1) và song song với đường thẳng

x = 1 + 2t: y = -3t

b) Đi qua A(-2; 1; 0) và vuông góc với mp  : x + 2y - 2z + 1 = 0

c) Đi qua A(2; -1; 1) và vuông góc với 2 đường thẳng lần lượt có VTCP là :

u -1; 1; -2 , u' 1; -2; 0 

(Bài 59-Trang130-SBTNC hình học12)

Khoá luận tốt nghiệp

Viết phương trình hình chiếu vuông góc của đường thẳng d trên mỗi mp

Nhận xét: (1),(2) là phương trình tổng quát của 2mp     ,  cùng đi qua d

Vì phương trình ( 1) vắng ẩn z nên mp  đi qua d và song song với Oz Khi đó giao tuyến của   và (Oxy) chính là hình chiếu d1 cua d trên (Oxy) Vậy: Phương trình đường thẳng d là: 1

x - 1 y + 2

3x - 2y - 7 = 0 =

Khoá luận tốt nghiệp

Viết phương trình đường thẳng đi qua A(1; -1; 1) và cắt 2 đường thẳng

Đường thẳng d đi qua M(1; 0; 3) và có VTCP u(2; 1; -1)

Đường thẳng d‟ đi qua điểm M‟(0; -1; 2) và có VTCP u(1; -2; 1)

Đường thẳng  cần tìm là giao tuyến của 2mp (A,d) và (A‟,d‟)

Chú ý: u n' = 2 + 1 - 1 = 2ur ur ¹ 0 nên d cắt mp(A,d‟) hay d cắt 

Tương tự: u'.n = -3 - 8 - 2 = -13ur r ¹ 0 nên d‟ cắt mp(A,d) hay d‟ cắt 

Vậy:  là đường thẳng đi qua A và cắt d d‟

BàI TậP NÂNG CAO

Khoá luận tốt nghiệp

a) Tìm một VTCP của d và một điểm nằm trên d

b) Viết phương trình mp đi qua d và vuông góc với (P)

c) Viết phương trình hình chiếu vuông góc của d trên (P)

(Bài 27-Trang103-SGKNC hình học12)

Mp đi qua d và vuông góc với (P) có VTPT là n' = u , n = 2; 1; -3    

Phương trình mp đi qua M(0; 8; 3) có VTPT (2; 1; -3) có phương trình là :

2(x - 0) + 1(y - 8) - 3(z - 3) = 0 hay 2x + y - 3z + 1 = 0 c) Ta có VTCP của d là u 1; 4; 2 

,VTPT của (P) là n 1; 1; 1 

Nhận xét : u.n 0 Nên d và (P) không vuông góc

Khi đó hình chiếu của d trên mp(P) là đường thẳng d‟ có phương trình là

4x - y + 8 = 0 =