Hàm liên tục trên không gian metric

Nó cung cấp kiến thức vàphương thức tư duy thiết yếu cho việc học tập các học phần khác.Những tính chất giải tích của hàm số như: tính liên tục, tính khả vi và tính khả tích có vai trò đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

======

VI THỊ ÁNH

HÀM LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN METRIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Chuyên ngành : Giải tích

HÀ NỘI – 2019

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN

======

VI THỊ ÁNH

HÀM LIÊN TỤC TRÊN KHÔNG GIAN METRIC

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

LỜI CẢM ƠN

Em xin được gửi lời cảm ơn tới các thầy cô giáo trường Đại học

Sư phạm Hà Nội 2, các thầy cô giáo khoa Toán đã giúp đỡ em trongquá trình học tập tại trường và tạo điều kiện cho em hoàn thành đềtài khóa luận tốt nghiệp

Đặc biệt em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy TrầnVăn Bằng, người thầy đã truyền thụ kiến thức, tận tình giúp đỡ,hướng dẫn em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiệnkhóa luận này

Trong quá trình nghiên cứu, do trình độ có hạn nên khôngtránh khỏi những thiếu sót và hạn chế Em kính mong nhận được sựđóng góp ý kiến của các thầy giáo, cô giáo và toàn thể bạn đọc đểkhóa luận được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn !

Em xin cam đoan dưới sự hướng dẫn của thầy giáo Trần VănBằng khóa luận của em được hoàn thành không trùng với bất kì đềtài nào khác.

Trong khi làm khóa luận này, em đã kế thừa thành quả khoahọc của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn

Hà Nội, ngày 6 /5/2019Sinh viên

Vi Thị Ánh

Mục lục

1.1 Những kiến thức mở đầu về không gian metric 4

1.1.1 Định nghĩa không gian metric 4

1.1.2 Ví dụ 4

1.2 Tập đóng và tập mở 10

1.3 Tập compact 12

1.4 Tập liên thông 15

2 Hàm liên tục trên không gian metric 16 2.1 Hàm liên tục 16

2.2 Tính liên tục và không gian tích 22

2.3 Tính liên tục và không gian compact 24

2.4 Tính liên tục và không gian liên thông 29

BẢNG KÍ HIỆU

x = (x1, · · · , xn) Phần tử của Rn

B(a, r) Hình cầu mở tâm a bán kính r

B(a, r) Hình cầu đóng tâm a bán kính r

LỜI NÓI ĐẦU

Giải tích toán học là một trong những môn học cơ bản của chươngtrình đào tạo cử nhân Sư phạm toán học Nó cung cấp kiến thức vàphương thức tư duy thiết yếu cho việc học tập các học phần khác.Những tính chất giải tích của hàm số như: tính liên tục, tính khả vi

và tính khả tích có vai trò đặc biệt quan trọng trong các ứng dụngthực tiễn

Tuy nhiên sinh viên Sư phạm Toán học nói chung chưa có nhiềuthời gian để khảo sát kĩ lưỡng, hệ thống các tính chất của hàm liên tụctrên không gian metric cũng như một số hướng ứng dụng của tính chấtnày Vì vậy tôi chọn đề tài “Hàm liên tục trong không gian metric”làm khóa luận tốt nghiệp nhằm hệ thống hóa các tính chất của hàmliên tục trên không gian metric, phân tích kĩ hơn các mối liên hệ củatính chất liên tục với các tính chất khác, cũng như quá trình khái quátkhái niệm quan trọng này

Đề tài gồm có hai chương:

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Chương 2: Hàm liên tục trên không gian metric

2.1 Hàm liên tục

2.2 Sự liên tục và không gian tích

2.3 Sự liên tục và không gian compact

2.4 Sự liên tục và không gian liên thông

Do trình độ có hạn nên khóa luận không tránh khỏi có những thiếusót Rất mong nhận được ý kiến đóng góp của các thày cô và các bạn

để khóa luận được hoàn thiện hơn

Hà Nội, ngày 6/5/2019Sinh viên

Vi Thị Ánh

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1.1 Định nghĩa không gian metric

Ta gọi là không gian metric một tập hợp X6= ∅ cùng với một ánh xạ

d từ tích Descartes X×X vào tập hợp số thực R thỏa mãn các tiên

Không gian metric được kí hiệu là M = (X, d)

1.1.2 Ví dụ

Ví dụ 1.1.1 Với hai phần tử bất kì x, y ∈ R ta đặt:

d(x, y) = |x − y|

Dựa vào các tính chất của giá trị tuyệt đối trong tập số thực R dễdàng kiểm tra hệ thức trên xác định một metric trên R Không giantương ứng được kí hiệu là R1 và gọi là metric thông thường trên R

Ví dụ 1.1.2 Cho X là một tập hợp khác rỗng Với mọi x, y ∈ X tađặt:

Với hai phần tử bất kì x, y ∈ X, nếu x = y thì y = x, do đód(x, y) = d(y, x) = 0; còn nếu x 6= y thì y 6= x, do đó d(x, y) =d(y, x) = 1.Vì vậy ∀x, y ∈ X, d(x, y) = d(y, x) Do đó, tiên đề 2) thỏamãn

Để kiểm tra 3), với các phần tử x, y, z ∈ X, ta xét các trường hợp:Trường hợp 1: Nếu z bằng ít nhất một trong hai phần tử x hoặc y,không mất tính tổng quát có thể giả sử x = z, thì do mệnh đề 1) tacó:

d(x, y) = d(z, y) ≤ d(x, z) + d(z, y)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh

Trường hợp 2: Nếu z khác cả x và y thì:

d(x, y) ≤ 1 < 2 = d(x, z) + d(z, y)

Do đó, tiên đề 3) thỏa mãn, vậy d là một metric

Ví dụ 1.1.3 Với hai vecto bất kì x = (x1, x2, , xk), y = (y1, y2, , yk)

thuộc không gian vecto thực k chiều Rk (k là số nguyên dương bấtkì), ta đặt:

d(x, y) =

vuut

k

X

j=1

(xj − yj)2

Dễ dàng thấy hệ thức đã cho thỏa mãn tiên đề 1), 2) về metric

Để kiểm tra tiên đề 3) về metric, trước hết ta chứng minh bất đẳngthức Cauchy - Bunhiacopski với 2k số thực aj, bj(j = 1, 2, , k) ta có:

X

j=1

b2 j

Do đó hệ thức đã cho thỏa mãn tiên đề 3) về metric

Vì vậy hệ thức đã cho xác định một metric trên không gian Rk

Ví dụ 1.1.4 : Ta kí hiệu l2 là tập tất cả các dãy số thực hoặc phức

x = (xn)∞n=1 sao cho chuỗi số dương

∞

X

n=1

|xn − yn|2

Hệ thức đã cho xác định một ánh xạ từ tích Descartes l2 × l2 vào tập

số thực R Thật vậy, với mọi n = 1, 2, ta có:

|xn − yn|2 = |x2n− 2.xn.yn+ yn2|

≤ |xn|2 + 2.|xn|.|yn| + |yn|2 ≤ 2.(|xn|2 + |yn|2)

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh

Do đó với mọi số p dương đều có:

nghĩa là chuỗi số trong vế phải của hệ thức đã cho hội tụ

Dễ dàng thấy hệ thức đã cho thỏa mãn các tiên đề 1) và 2) vềmetric

Với ba dãy bất kì x = (xn)∞n=1, y = (yn)∞n=1, z = (zn)∞n=1 thuộc l2 và

với số p nguyên dương tùy ý ta có:

= d(x, z) + d(z, y)

Do đó hệ thức thỏa mãn tiên đề 3) về metric

Vì vậy hệ thức đã cho xác định một metric trên l2

Định nghĩa 1.1 (Sự hội tụ của dãy trong không gian metric)

Cho m là một số nguyên, (X, d) là một không gian metric và cho(x(n))∞n=m là một dãy các điểm trong X Cho x là một điểm thuộc X

Chúng ta nói rằng (x(n))∞n=m hội tụ tới x đối với không gian metric d

khi và chỉ khi limn→∞d(x(n), x) tồn tại và có giá trị bằng 0

Ta cũng có thể định nghĩa như sau: (x(n))∞n=m hội tụ tới x đối với không

gian metric d khi và chỉ khi ∀ε > 0 ∃N ≥ m sao cho d(x(n), x) ≤ ε với

mọi n ≥ N

Chú ý: Chúng ta thường nói (x(n))∞n=m hội tụ tới x thay vì (x(n))∞n=m

hội tụ tới x đối với không gian metric Chúng ta thường viết x(n) → xkhi x → ∞

Ví dụ:

Xét không gian metric Euclidean dl2 Cho (x(n))∞n=1 được biểu diễn:

x(n) = (1/n, 1/n) trong R

Ví dụ, chúng ta có thể xét dãy (1, 1), (1/2, 1/2), (1/3, 1/3), Khi đódãy sẽ hội tụ tới (0, 0) đối với không gian metric Euclidean dl2 Thậtvậy:

lim

n→∞dl2(x(n), (0, 0)) = lim

n→∞

r1

n2 + 1

n2 = lim

n→∞

√2

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh

Cho không gian metric M = (X, d) và tập A ⊂ X

Điểm x ∈ A được gọi là điểm trong của tập hợp A nếu tồn tại mộthình cầu mở B(x, r) ⊂ A

Tập mở: Tập A gọi là tập mở trong không gian M , nếu mọi điểmthuộc A đều là điểm trong của A, hay nói cách khác, nếu điểm x ∈ A,thì tồn tại một lân cận của x bao hàm trong A

Tập đóng: Tập A gọi là tập đóng trong không gian M , nếu mọiđiểm không thuộc A đều là điểm ngoài của A, hay nói cách khác, nếuđiểm x /∈ A, thì tồn tại một lân cận của x không chứa điểm nào thuộctập A

Ví dụ 1.2.1 Xét tập số thực R với không gian metric d Tập (1, 2)không chứa hai điểm đầu mút 1, 2 được gọi là tập mở Tập [1, 2] chứahai điểm đầu mút 1, 2 được gọi là tập đóng Tập [1, 2) chứa điểm 1 vàkhông chứa điểm 2 tập đó là tập không mở cũng không đóng

Ví dụ 1.2.2 Trong một không gian metric:

1 Hình cầu mở là tập hợp mở

2 Hình cầu đóng là tập hợp đóng

Chứng minh

Cho không gian metric (X, d), x ∈ A và r > 0

1 Với điểm bất kì x ∈ B(a, r), ta có d(x, a) < r Đặtε = r − d(x, a)

(a) Cho E là một tập con của tập X Khi đó E là tập mở khi và chỉkhi E = int (E) Hay E là tập mở khi và chỉ khi ∀x ∈ E, ∃r > 0 saocho B(x, r) ⊆ E.

(b) Cho E là một tập con của tập X Khi đó E là tập đóng khi vàchỉ khi E chứa tất cả các điểm của nó Hay E là tập đóng khi và chỉkhi mọi dãy hội tụ (x(n))∞n=m trong E đều có giới hạn limn→∞xn cũng

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh

khi X|E = {x ∈ X : x /∈ E } là tập đóng

(f) Nếu E1, E2, , En là một họ hữu hạn các tập mở trong X, khi đó

E1T E2T T En cũng là tập mở Nếu F1, F2, , Fn là một họ hữuhạn các tập đóng trong X, khi đó F1S F2S S Fn cũng là tập đóng.(g) Nếu {Eα}α∈I là một họ các tập mở trong X (trong đó chỉ số I

có thể hữu hạn, đếm được hoặc không đếm được), khi đó chúng ta cóS

α∈IEα = {x ∈ X : x ∈ Eα với α ∈I} cũng là tập mở Nếu {Fα}α∈I

là một họ các tập đóng trong X, khi đó T

α∈IFα = {x ∈ X : x ∈ Fαvới ∀α ∈ I} cũng là tập mở

(h) Nếu E là một tập con bất kỳ trong X, khi đó int(E) là tập mởlớn nhất trong tất cả các tập mở trong E, hay int(E) là tập mở vàtập V mở bất kì: V ⊆ int (E) Tương tự E là tập nhỏ nhất trong tất

cả các tập đóng trong E; hay E là tập đóng và tập K đóng bất kỳ

K ⊃ E, K ⊃ E

Định nghĩa 1.2 Cho không gian metric M = (X, d).Tập K ⊂ X gọi

là tập compact trong không gian M , nếu mọi dãy vô hạn các phần

tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tử thuộc tập K Tập

K được gọi là tập compact tương đối trong không gian M , nếu mọidãy vô hạn các phần tử thuộc K đều chứa dãy con hội tụ tới phần tửthuộc X

Định nghĩa 1.3 Cho không gian metric M = (X, d), không gian M

là không gian compact nếu tập X là tập compact trong M

Ví dụ 1.3.1 Trong không gian metric R1 (tập số thực R với metricthông thường) đoạn bất kì là tập compact, khoảng bất kỳ là tậpcompact tương đối.

Định nghĩa 1.4 (Tập hoàn toàn bị chặn )

Cho không gian metric M = (X, d) Tập A ⊂ X gọi là tập hoàn toàn

bị chặn nếu với một số hữu hạn hình cầu S1, S2, , Sk (k là một số

dương nào đó) với bán kính ε sao cho

A ⊂ ∪kj=iSj

Khi đó ta cũng nói các hình cầu S1, S2, , Sk phủ tập A

Tiêu chuẩn compact Hausdoff: Không gian metric M = (X, d)

là không gian compact khi và chỉ khi M là không gian đầy và hoàntoàn bị chặn

Chứng minh Điều kiện cần Giả sử không gian metric M là khônggian metric đầy Thật vậy, lấy một dãy cơ bản bất kỳ (xn) ⊂ X Vì X

là tập compact, nên dãy (xn) chứa dãy con (xnk) hội tụ tới x0 ∈ X

Từ hệ thức::

d(xn, x0) ≤ d(xn, xnk) + d(xnk, x0) → 0 (n, k → ∞)

Suy ra dãy (xn) hội tụ tới x0 Do đó M là không gian đầy Tiếp theo

ta giả sử tập X không hoàn toàn bị chặn Khi đó tồn tại số ε0 > 0 sao

cho không thể phủ X bằng một số hữu hạn hình cầu bán kính ε0 Suy

ra lấy một điểm nào đó x1 ∈ X, tồn tại x2 ∈ X sao cho d(x1, x2) ≥ ε0,tồn tại x3 sao cho d(x1, x3) ≥ ε0, d(x2, x3) ≥ ε0 Quá trình đó có thể

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh

tiếp tục mãi mãi ta nhận được một dãy điểm (xn) ⊂ X sao cho:

d(xn, xm) ≥ ε0, ∀n, m, n 6= m

Hiển nhiên một dãy con như thế không chứa dãy con nào hội tụ Mâuthuẫn với tính chất compact của không gian M Vì thế nếu M làkhông gian compact thì M là không gian đầy và tập X hoàn toàn bịchặn

Điều kiện đủ

Giả sử không gian metric M = (X, d) là không gian metric đầy

và X là tập hoàn toàn bị chặn Lấy một dãy vô hạn vô hạn bất kỳ(xn) ⊂ X Theo giả thiết có thể phủ X bằng một số hữu hạn các hình

cầu bán kính 1,trong số đó có ít nhất một hình cầu chứa một bộ phận

vô hạn δ1 của dãy đã cho, ký hiệu hình cầu đó là S1, S1 ⊃ δ1; cũng cóthể phủ X bằng một số hữu hạn hình cầu bán kính 1

2, trong số đó có ítnhất một hình cầu chứa một bộ phận vô hạn δ2 ⊂ δ1, kí hiệu hình cầu

đó là S2, S2 ⊃ δ2, Quá trình đó có thể tiếp tục mãi mãi ta nhận đượcmột dãy các dãy con của dãy đã cho: (xn) ⊃ δ1 ⊃ δ2 ⊃ ⊃ δk ⊃ ,trong đó dãy con δk chứa trong hình cầu Sk với bán kính 1

k Trongmỗi dãy con δk ta chọn một phần tử, kí hiệu là xnk, k(k=1,2, ), cóthể lấy nk < nk+1 ta nhận được một dãy con xnk ⊂ xn Với k < l ta

1.4 Tập liên thông

Định nghĩa 1.5 Không gian topo X gọi là liên thông nếu nó khôngbiểu diễn được dưới dạng hợp của hai tập mở không rỗng không giaonhau(tức là không tồn tại hai tập mở A và B không rỗng của X saocho X = A ∪ B, A ∩ B = ∅

Ví dụ 1.4.1 R là tập liên thông

Ví dụ 1.4.2 Hội của [0,1) và (1,2] là không liên thông vì 1 khôngthuộc hội của hai tập này; cả hai khoảng đó là mở trong không giantopo chuẩn [0,1) ∪ (1,2]

Chương 2

Hàm liên tục trên không gian

metric

Định nghĩa 2.1 (Hàm liên tục) Cho (X, dX) và (Y, dY)là hai không

gian metric và cho f : X → Y là một hàm Nếu x0 ∈ X, chúng ta nóirằng f liên tục tại điểm x0 nếu với ∀ε > 0, tồn tại một số δ > 0 sao

cho dY(f (x), f (x0)) < ε khi dX(x, x0) < δ Chúng ta nói rằng f là liên

tục nếu nó liên tục tại mọi điểm x ∈ X

Chú ý:

(i) Nếu một số dương δ thỏa mãn điều kiện trên thì mọi số δ1 < δ

cũng thỏa mãn Điều này là hiển nhiên vì khi x ∈ X và dX(x, x0) < δ1

cũng đúng với x ∈ X và dX(x, x0) < δ Do đó, số δ ở trên không tồn

tại duy nhất

(ii) Trong định nghĩa liên tục, ta đã không hạn chế bất kì điều gì

về bản chất của các miền X của hàm số Có thể xảy ra x0 là điểm cô

lập của X tức là có một lân cận của x0 không chứa điểm nào khác

của X ngoài x0 Trong trường hợp này, hàm f liên tục tại x0 không

phân biệt nó được xác định như thế nào tại các điểm khác của X Tuynhiên x0 là điểm giới hạn của X và {xn} là dãy điểm trong X sao cho

xn → x0 thì f (xn) → f (x0)

Nhận xét 2.1 Hàm liên tục cũng được gọi là ánh xạ liên tục

Nếu f : X → Y là liên tục và K là tập con bất kì của tập X, khi đóhạn chế f |K : K → Y của f tới K cũng liên tục

Định lý 2.1 Cho f : (X, dX) → (Y, dY) là ánh xạ giữa các không

gian metric, x ∈ X Hàm f liên tục tại x khi và chỉ khi với mọi(xn) ⊂ X, lim

n→∞xn = x thỏa mãn lim

n→∞f (xn) = f (x)

Chứng minh Giả sử f liên tục tại X và (xn) ∈ X, lim

n→∞xn = x.Với ε > 0 tùy ý, ∃δ > 0 sao cho:

n→∞f (xn) = f (x) thì hàm f liên tục tại x Ta sẽ chứng minhphản chứng, tức là:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh

Do đó với mỗi n ∈ N, ∃xn ∈ X sao cho dX(xn, x) < 1

Vậy f liên tục tại x

Ví dụ 2.1.1 Cho (X, d) là một không gian metric và (E, d|E) là một

tập con của (X, d) Cho iE→X là một phép nhúng được xác định như

sau: ∀x ∈ E, iE→X(x) = x Khi đó iE→X liên tục

Ví dụ 2.1.2 Nếu f (x) liên tục trên X thì |f (x)| cũng liên tục trongmiền đó

Thật vậy:

Vì f (x) liên tục trên X nên ta có:

Với mọi ε > 0, ∃δ > 0, ∀x, x0 ∈ X : dX(x, x0) = |x − x0| < δ thỏa mãn

dY(f (x), f (x0)) = |f (x) − f (x0)| < ε

Khi đó ta cũng có : ||f (x)| − |f (x0)|| ≤ |f (x) − f (x0)| < ε

Vậy ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∀x ∈ X sao cho dX(x, x0) = |x − x0| < δ thỏa

x | = 1 = f (0) Hay f (x) liên tục tại x = 0.

Vậy f (x) liên tục trên R

Định lý 2.2 (Tính liên tục bảo toàn sự hội tụ.)

Cho (X, dX) và (Y, dY) là các không gian metric và f : X → Y là

một hàm, x0 ∈ X là một điểm trong X Khi đó các mệnh đề dưới đây

là tương đương:

Khóa luận tốt nghiệp Đại học Vi Thị Ánh

1)f là liên tục tại điểm x0

2) Với (x(n))∞n=1 là một dãy trong X hội tụ tới x0 đối với metric dX,

dãy (f (xn))∞n=1 hội tụ tới f (x0) đối với metric dY

3) Với mỗi tập mở V ⊂ Y chứa f (x0), tồn tại một tập mở U ⊂ X

chứa x0 sao cho f (U ) ⊆ V

Chứng minh Bây giờ ta sẽ chứng 1) ⇔ 2)

1) ⇒ 2) Hiển nhiên, nếu hàm f liên tục tại x0 theo 1) thì hàm f liên

tục tại điểm x0 theo 2)

Giả sử hàm f liên tục tại điểm x0 ∈ X theo 2) nhưng hàm f khôngliên tục tại điểm x0 theo 1), nghĩa là:

mâu thuẫn với giả thiết Mâu thuẫn đó chứng tỏ nếu hàm f liên tụctại x0 ∈ X theo 2) thì hàm f liên tục tại x0 theo 1) Bây giờ chúng

ta chứng minh 3 ⇒ 1) Lấy một điểm bất kỳ x0 ∈ X và V là một lâncận bất kỳ của điểm f (x0) trong (Y, dY) Vì V là tập mở trong (Y, dY)

nên int(V ) = V Theo giả thiết:

intf−1(V ) ⊂ f−1(V ) = f−1(V ) ⊂ intf−1(V )

Do đó f−1(V ) = intf−1(V )

Suy ra: f−1(V ) là một tâp mở trong (X, dX) và x0 ∈ f−1(V ) Do đó