Tìm hệ sinh thuần nhất tối tiểu của môđun hữu hạn sinh trên vành đa thức bằng phần mềm apcocoa

Dựa trên cơ sở đó, tôi chọn: "Tìm hệ sinh thuần nhất tối tiểu của môđun hữuhạn sinh trên vành đa thức bằng phần mềm ApCoCoA" làm đề tài cho Luận vănvới hi vọng sẽ thành công xây dựng đượ

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

TS TRẦN NGUYỄN KHÁNH LINH

Huế, tháng 10/2019

Mở đầu

Cho K là một trường và P = K[x1, , xn], n ≥ 1 là vành đa thức trên K.Xét M là P-môđun hữu hạn sinh bởi các phần tử thuần nhất Lúc đó, mọi hệsinh tối tiểu của M đều có số phần tử là như nhau

Cơ sở Gr¨obner đóng một vai trò rất quan trọng trong việc tìm hệ sinh thuầnnhất tối tiểu Lý thuyết về cơ sở Gr¨obner được Bruno Buchberger, Giáo sư Toánhọc Máy tính tại Đại học Johannes Kepler (Áo), đưa ra trong luận án tiến sĩ năm

1965 và được phát triển trong suốt sự nghiệp của ông Thuật toán Buchberger,cho đến nay, vẫn luôn là giải pháp hữu hiệu trong việc tính toán cơ sở Gr¨obner.Việc tính toán bằng cách thủ công đối với các thuật toán phức tạp tốn rấtnhiều công sức và dễ có sai sót Đại số máy tính (Computer Algebra) ra đời đãgiải quyết vấn đề này Một hệ thống đại số máy tính (Computer Algebra System)

là phần mềm toán học có khả năng tính toán các biểu thức toán học theo cáchthức tương tự như cách tính toán truyền thống của các nhà toán học và các nhàkhoa học

Có nhiều phần mềm cho phép người dùng thao tác với các biểu thức toánhọc như: CoCoA, ApCoCoA, Macaulay, Maxima, Magma, Maple, Mathematica

và SageMath, Trong đó, ApCoCoA, một phần mềm miễn phí, được đánh giá

là khá đơn giản, dễ sử dụng và đặc biệt được tích hợp sẵn các câu lệnh rất hữuích đối với Đại số giao hoán

Dựa trên cơ sở đó, tôi chọn: "Tìm hệ sinh thuần nhất tối tiểu của môđun hữuhạn sinh trên vành đa thức bằng phần mềm ApCoCoA" làm đề tài cho Luận vănvới hi vọng sẽ thành công xây dựng được một chương trình hỗ trợ việc tìm hệsinh thuần nhất tối tiểu của một môđun hữu hạn sinh trên vành đa thức mộtcách nhanh chóng và chính xác

1

Một số kiến thức chuẩn bị

Xuyên suốt chương này, ta luôn giả thiết tất cả vị nhóm và vành đều có tínhgiao hoán

Cho R là một vành, P = R[x1, , xn] là vành đa thức n biến trên R

Định nghĩa 1.1.1 Cho n ≥ 1 Khi đó:

a) Một đa thức t ∈ P có dạng t = xα1

1 · · · xα n

n sao cho (α1, , αn) ∈ Nn được gọi

là một từ hay tích lũy thừa Tập gồm tất cả các từ của P được kí hiệu là

Tn hoặc T(x1, , xn) Lúc đó, mọi đa thức f ∈ P đều có thể biểu diễn mộtcách duy nhất dưới dạng:

a) Nếu r ≥ 1 và M = Pr là P-môđun tự do hữu hạn sinh với cơ sở chính tắc{e1, , er} trong đó ei = (0, , 0, 1, 0, , 0) với 1 tại vị trí thứ i thì một

Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh thuần nhất tối tiểu

từ của M là phần tử có dạng tei sao cho t ∈ Tn và 1 ≤ i ≤ r Tập gồm tất

cả các từ của M được kí hiệu là Tnhe1, , eri hoặc T(x1, , xn)he1, , eri.Lúc đó, mọi phần tử m ∈ M đều có thể biểu diễn một cách duy nhất dướidạng:

trong đó f1, , fr ∈ P, cα,i ∈ R với hữu hạn cα,i khác 0

b) Với mỗi α ∈ Nn, i ∈ {1, , r}, phần tử cα,i ∈ R được gọi là hệ số của từ

tαei trong m

c) Tập hợp {tαei | cα,i 6= 0} được gọi là giá của m và được kí hiệu là Supp(m)

Định nghĩa 1.2.1 Cho (Γ , ◦) là một vị nhóm Khi đó:

a) Một tập con khác rỗng ∆ ⊆ Γ được gọi là iđêan đơn của Γ nếu ∆ ◦ Γ ⊆ Γ.b) Tập con B của iđêan đơn ∆ ⊆ Γ được gọi là hệ sinh của ∆ (hay ∆ đượcsinh bởi B) nếu ∆ là iđêan đơn nhỏ nhất của Γ chứa B Trong trường hợpnày, ta có ∆ = {β ◦ γ | β ∈ B , γ ∈ Γ } Nếu B = {β1, β2, }, ta viết

Hệ quả 1.2.2 [2, Corollary 1.3.6.] (Bổ đề Dickson)

Cho n ≥ 1 và t1, t2, là các từ trong Tn Khi đó, tồn tại N > 0 sao cho

từ ti là bội của một trong số các từ t1, , tN với mọi i > N, hay iđêan đơn(t1, t2, ) ⊆ Tn được sinh bởi {t1, , tN} Đặc biệt, với R là vành tùy ý, iđêan(t1, t2, ) ⊆ R[x1, , xn] là hữu hạn sinh

Định nghĩa 1.2.3 Một P-môđun con M ⊆ Pr được gọi là môđun đơn thứcnếu nó có hệ sinh gồm các phần tử của Tnhe1, , eri Một môđun con đơn thứccũng được gọi là iđêan đơn thức của P

Ví dụ 2 I = (x4 + 2x2y, x2y − 3xz, xz) = (x4, x2y, xz) là iđêan đơn thức củaR[x, y, z] Tuy nhiên, J = (x4 + 2x2y, x2y − 3xz) không là iđêan đơn thức củaR[x, y, z] vì các phần tử trong hệ sinh của nó không thuộc Tn

Mệnh đề 1.2.4 [2, Proposition 1.3.11.] Cho M ⊆ Pr là một môđun con đơnthức Khi đó:

a) Mọi hệ sinh G = {t1, , ts} của M đều bao gồm các từ và với mỗi từ t ∈ M,tồn tại một từ ti ∈ G sao cho t là bội của ti.

b) Trong tập hợp gồm tất cả các hệ sinh của M, tồn tại duy nhất một phần tửtối tiểu tương ứng với quan hệ bao hàm Ta gọi phần tử đó là hệ sinh đơnthức tối tiểu của M

Cho (Γ , ◦) là một vị nhóm Sau đây là một số thứ tự từ quan trọng trên Tn.Định nghĩa 1.3.1 Cho t1, t2 ∈ Tn, ta có t1 ≥Lex t2 khi và chỉ khi thành phầnkhác 0 đầu tiên của log(t1) − log(t2) là dương hoặc t1 = t2 Đây là một thứ tự từtrên Tn được gọi là thứ tự từ điển, kí hiệu: Lex

Ví dụ 3 Dùng thứ tự từ σ = Lex để so sánh các từ sau:

a) Với n = 2, x1x32 <Lex x21x2 vì (1, 3) − (2, 1) = (−1, 2) có thành phần đầu tiênkhác 0 là −1 âm

b) Với n = 3, x31x2x23 >Lex x1x42x3 vì (3, 1, 2) − (1, 4, 1) = (2, −3, 1) có thànhphần đầu tiên khác 0 là 2 dương

Định nghĩa 1.3.2 Cho t1, t2 ∈ Tn, ta có t1 ≥DegLex t2 nếu deg(t1) > deg(t2)hoặc deg(t1) = deg(t2) và t1 ≥Lex t2 Đây là một thứ tự từ trên Tn được gọi làthứ tự từ điển bậc, kí hiệu: DegLex

Ví dụ 4 Với ví dụ 3, dùng σ = DegLex

a) Với n = 2, x1x32 >DegLex x21x2 vì deg(x1x32) = 4 > 3 = deg(x21x2)

b) Với n = 3, x31x2x23 >DegLex x1x42x3 vì deg(x31x2x23) = 6 = deg(x1x42x3) và(3, 1, 2) − (1, 4, 1) = (2, −3, 1) có thành phần đầu tiên khác 0 là 2 dương.Định nghĩa 1.3.3 Cho t1, t2 ∈ Tn, ta có t1 ≥DegRevLex t2 nếu deg(t1) > deg(t2)hoặc deg(t1) = deg(t2) và thành phần cuối cùng khác 0 của log(t1) − log(t2) là

âm hoặc t1 = t2 Đây là một thứ tự từ trên Tn được gọi là thứ tự từ điển bậcđảo ngược, kí hiệu: DegRevLex

Ví dụ 5 Cũng với ví dụ 3, dùng σ = DegRevLex

a) Với n = 2, x1x32 >DegRevLex x21x2 vì deg(x1x32) = 4 > 3 = deg(x21x2)

b) Với n = 3, x31x2x23 <DegRevLex x1x42x3 vì deg(x31x2x23) = 6 = deg(x1x42x3) và(3, 1, 2) − (1, 4, 1) = (2, −3, 1) có thành phần cuối cùng khác 0 là 1 dương.Sau đây là một số thứ tự từ môđun trên Tnhe1, , eri

Định nghĩa 1.3.4 Cho To là một thứ tự từ trên Tn

Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh thuần nhất tối tiểu

a) Với t1ei, t2ej ∈ Tnhe1, , eri sao cho t1, t2 ∈ Tn và i, j ∈ {1, , r}, ta đặt

t1ei ≥ToPos t2ej khi và chỉ khi t1 ≥To t2 hoặc t1 = t2 và i ≤ j Khi đó, ToPos

là một thứ tự từ môđun trên Tnhe1, , eri

b) Với t1ei, t2ej ∈ Tnhe1, , eri sao cho t1, t2 ∈ Tn và i, j ∈ {1, , r}, ta đặt

t1ei ≥PosTo t2ej khi và chỉ khi i < j hoặc i = j và t1 ≥To t2 Khi đó, PosTo làmột thứ tự từ môđun trên Tnhe1, , eri

Cho r ≥ 1, σ là thứ tự môđun trên tập hợp các từ Tnhe1, , eri của Pr Cơ

sở chuẩn tắc của Pr được kí hiệu là {e1, , er}

Chú ý 1.4.1 Mỗi phần tử m ∈ Pr\{0} chỉ có một sự biểu diễn duy nhất là

b) Phần tử LCσ(m) = c1 ∈ R\{0} được gọi là hệ số dẫn đầu của m ứng với

σ Nếu LCσ(m) = 1, ta nói m là σ-đơn, hoặc đơn

c) Ta đặt LMσ(m) = LCσ(m) · LTσ(m) = c1t1eγ1

Định nghĩa 1.4.3 Cho M ⊆ Pr là một P-môđun con

a) Môđun LTσ(M ) = hLTσ(m) | m ∈ M \{0}i được gọi là môđun từ dẫn đầucủa M ứng với σ

b) Nếu r = 1 tức là M ⊆ P thì iđêan LTσ(M ) ⊆ P cũng được gọi là iđêan từdẫn đầu của M ứng với σ

c) Môđun đơn{LTσ(m) | m ∈ M \{0}} ⊆ Tnhe1, , eri được kí hiệu làLTσ{M }

Cho K là một trường, P = K[x1, , xn] với n ≥ 1 và σ là một thứ tự từmôđun trên Tnhe1, , eri với r ≥ 1

Định lí 1.5.1 [2, Theorem 1.6.4.] (Thuật toán chia)

Cho s ≥ 1 và m, g1, , gs ∈ Pr\{0} Thực hiện theo các bước sau:

(1) Cho q1 = · · · = qs = 0 và v = m

(2) Tìm i ∈ {1, , s} nhỏ nhất sao cho LTσ(v) là bội của LTσ(gi) Nếu i tồntại, thay qi bởi qi + LMσ (v)

LMσ(gi) và v bởi v − LMσ (v)

LMσ(gi) · gi.(3) Lặp lại bước (2) cho đến khi không còn i ∈ {1, , s} thỏa mãn LTσ(v) làbội của LTσ(gi) Khi đó, thay p bởi p + LMσ(v) và v bởi v − LMσ(v)

(4) Nếu v 6= 0 thì trở lại bước (2) Nếu v = 0 thì trả về bộ (q1, , qs) ∈ Ps vàvectơ p ∈ Pr

Thuật toán này trả về vectơ (q1, , qs) ∈ Ps và p ∈ Pr sao cho m = q1g1+ · · · +

qsgs + p Đồng thời, các điều kiện sau đều thỏa mãn:

a) Không có phần tử nào của Supp(p) chứa trong hLTσ(g1), , LTσ(gs)i.b) Nếu qi 6= 0 với i ∈ {1, , s} nào đó thì ta có LTσ(qigi) ≤σ LTσ(m)

c) Với mọi chỉ số i = 1, , s và mọi từ t thuộc giá của qi, ta có t · LTσ(gi) /∈hLTσ(g1), , LTσ(gi−1)i

Hơn nữa, vectơ (q1, , qs) ∈ Ps và p ∈ Pr thỏa mãn các điều kiện trên là duynhất, được xác định bởi bộ (m, g1, , gs) ∈ (Pr)s+1

Định nghĩa 1.5.2 Cho s ≥ 1, m, g1, , gs ∈ Pr\{0} và G là bộ (g1, , gs)

Áp dụng Thuật toán chia ta thu được một sự biểu diễn m = q1g1+· · ·+qsgs+p với

q1, , qs ∈ P và p ∈ Pr Khi đó, vectơ pđược gọi là phần dư chuẩn tắc của mứng với G, kí hiệu là NRσ,G(m) hoặc NRG(m) Với m = 0, ta đặt NRG(m) = 0

và Pd· Pd0 ⊆ Pd+d0 với mọi d, d0 ∈ Z Vậy P là một Z-phân bậc.

Định nghĩa 1.6.2 Cho (Γ , +) là một vị nhóm và R là vành Γ-phân bậc Cho(Σ , ∗) là một Γ-môđun đơn và M là một R-môđun Ta nói M là một R-môđun

Γ-phân bậc (hay đơn giản là R-môđun phân bậc khi Γ = Σ) nếu tồn tại một

họ các nhóm con {Ms}s∈Σ sao cho:

Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh thuần nhất tối tiểu

a) M = ⊕s∈ΣMs

b) Rγ · Ms ⊆ Mγ∗s với mọi γ ∈ Γ và với mọi s ∈ Σ

Định nghĩa 1.6.3 Cho S là vành phân bậc trên vị nhóm (Γ0, +) và N là Rmôđun Γ-phân bậc

-a) Với một đồng cấu vành ϕ : R → S và một đồng cấu vị nhóm ψ : Γ → Γ0,

ta gọi (ϕ, ψ) (hoặc ϕ) là đồng cấu vành phân bậc nếu ϕ(Rγ) ⊆ Sψ(γ) vớimọi γ ∈ Γ

b) Một ánh xạ R-tuyến tính λ : M → N được gọi là đồng cấu các R-môđun

Γ-phân bậc hay một ánh xạ R-tuyến tính thuần nhất nếu λ(Ms) ⊆ Nsvới mọi s ∈ Γ

Định nghĩa 1.6.4 Một R-môđun con N của R-môđun Γ-phân bậc M được gọi

là R-môđun con Γ-phân bậc của M nếu N = ⊕s∈Γ(N ∩ Ms)

Một môđun con Γ-phân bậc củaR cũng được gọi là mộtΓ-iđêan thuần nhấtcủa R hoặc đơn giản là một iđêan thuần nhất của R

Hệ quả 1.6.5 [2, Corollary 1.7.16.] Cho τ là một thứ tự từ trên Γ và σ là mộtthứ tự tốt trên Σ tương thích với τ Giả sử luật giản ước phải đúng trong Σ.a) Một tập hợp các phần tử thuần nhất m1, , ms ∈ M là hệ sinh của R-môđun

M khi và chỉ khi lớp thặng dư của chúng m1, , ms ∈ M/(R+M ) là hệ sinhcủa môđun lớp thặng dư này

b) Nếu R0 là một trường, mọi hệ sinh thuần nhất của M đều chứa một hệ sinhtối tiểu

1.7.1 Phân bậc bởi ma trận

Cho K là một trường, P = K[x1, , xn], n ≥ 1 là vành đa thức trên K Cho(Γ , +) là một vị nhóm giao hoán với phần tử đơn vị được kí hiệu là 0

Mệnh đề 1.7.1 [3, Proposition 4.1.1.] Cho Γ là một vị nhóm và γ1, , γn ∈ Γ.Khi đó:

a) Tồn tại duy nhất một Γ-phân bậc trên P sao cho các đa thức hằng khác không

Định nghĩa 1.7.2 Cho m ≥ 1 và vành đa thức P = K[x1, , xn] là một

Zm-phân bậc sao cho K ⊆ P0 và x1, , xn là các phần tử thuần nhất

a) Với j = 1, , n, cho (w1j, , wmj) ∈ Zm là bậc của phần tử xj Ma trận

W = (wij) ∈ Matm,n(Z) được gọi là ma trận bậc của phân bậc Nói cáchkhác, các cột của ma trận bậc chính là bậc của các biến Các hàng của matrận bậc được gọi là vectơ có trọng số của các biến

b) Ngược lại, với một ma trận W = (wij) ∈ Matm,n(Z), ta có thể xét Zm-phânbậc trên P mà K ⊆ P0 và các biến là các phần tử thuần nhất có bậc được chobởi các cột của ma trận W Trong trường hợp này, ta nói P phân bậc bởi

W

c) Cho d ∈ Zm Tập các đa thức thuần nhất bậc d được kí hiệu là PW,d hay Pdnếu phân bậc đang xét là rõ ràng Với đa thức f ∈ PW,d, ta viết degW(f ) = d.Nếu một phân bậc trên P được xác định bởi ma trận W ∈ Matm,n(Z) thì bậccủa một từ t = xα1

f = x − yz Khi đó ta có: deg(x) =11, deg(y) = 10, deg(z) = 01

Suy ra degW(yz) = W · log(yz)tr = 11 10 01

0 1 1



= 11 = deg(y) + deg(z) =deg(x)

xạ P-tuyến tính ϕ : F → M được xác định bởi ei → vi, i = 1, , r là đồng cấucác môđun phân bậc Ta nói ϕ là ánh xạ cảm sinh bởi (v1, , vr)

Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh thuần nhất tối tiểu

Phân bậc trên P cảm sinh một Zm-phân bậc trên P-môđun tự do F =

⊕r

i=1P (−δi) Với mọi d ∈ Zm, phân bậc này được xác định bởi Fd = ⊕ri=1PW,d−δi

Do đó một từ tei ∈ Tnhe1, , eri với i ∈ {1, , r} và t ∈ Tn, là các phần tửthuần nhất của F có bậc degW(tei) = degW(t) + δi Đặc biệt, F là P-môđun tự

do phân bậc thỏa mãn deg(ei) = δi, i = 1, , r

Cho M là P-môđun con phân bậc của F, hay có thể nói M phân bậc bởi

W Các phần tử thuần nhất củaM được kí hiệu là MW,d với d ∈ Zm Một môđuncon phân bậc của P cũng được gọi là iđêan thuần nhất của P

Từ bây giờ trở đi, nếu không giải thích gì thêm, ta sẽ xem ma trận W có cáchàng Z-độc lập tuyến tính

1.8.1 Phân bậc dạng dương

Định nghĩa 1.8.1 Cho m ≥ 1, P phân bậc bởi ma trận W ∈ M atm,n(Z) cóhạng m và w1, , wm là các hàng của W

a) Phân bậc trên P bởi W được gọi là phân bậc dạng không âm nếu tồn tại

a1, , am ∈ Z sao cho các thành phần của v = a1w1 + · · · + amwm ứng vớicác cột khác không của W là dương Trong trường hợp này, ta cũng có thể nóirằng W là ma trận dạng không âm

b) Ta nói phân bậc trên P được cho bởi W là phân bậc dạng dương nếu tồntại a1, , am ∈ Z sao cho mọi thành phần của v = a1w1 + · · · + amwm đềudương Trong trường hợp này, ta có thể nói rằng W là ma trận dạng dương.Định nghĩa 1.8.2 Cho R là vành và M là R-môđun hữu hạn sinh

a) Một hệ sinh hữu hạn của M được gọi là hệ sinh tối tiểu nếu số phần tửcủa nó là bé nhất trong số tất cả các hệ sinh của M

b) Một hệ sinh của M được gọi là hệ sinh không rút gọn được nếu nó không

có tập con thực sự nào sinh ra M

Mọi hệ sinh tối tiểu đều không rút gọn được Tuy nhiên, điều ngược lại nóichung không đúng

Ví dụ 9 Xét trên vành Z, Z-môđun Z có hệ sinh tối tiểu là {1}, hiển nhiên {1}không rút gọn được Mặt khác, {2, 3} cũng là hệ sinh không rút gọn được của Z

Do {1} 6= {2, 3} nên {2, 3} không là hệ sinh tối tiểu

Mệnh đề 1.8.3 [3, Proposition 4.1.22.] Cho P phân bậc bởi ma trận W ∈Matm,n(Z) có dạng dương và M 6= 0 là một P-môđun phân bậc M hữu hạn sinh.Khi đó:

a) Tập các phần tử thuần nhất m1, , ms sinh ra P-môđun M khi và chỉ khi lớpthặng dư của chúng m1, , ms sinh ra K-không gian vectơ M/(x1, , xn)M

b) Mọi hệ sinh thuần nhất của M đều chứa một hệ sinh tối tiểu Mọi hệ sinhthuần nhất không rút gọn được của M đều tối tiểu và có cùng số phần tử.Mệnh đề trên nói chung không đúng nếu W có dạng không âm.

Ví dụ 10 Cho vành đa thức P = K[x, y] trên trường K phân bậc bởi W =

1.8.2 Phân bậc dương

Định nghĩa 1.8.4 Cho W ∈ Matm,n(Z) là ma trận có hạng m

a) Phân bậc trên P được xác định bởi W được gọi là không âm nếu phần tửkhác không đầu tiên trong mỗi cột khác không của W là dương Trong trườnghợp này, ta cũng nói rằng W là một ma trận không âm

b) Phân bậc trên P được xác định bởi W được gọi là dương nếu W không cócột bằng không và phần tử khác không đầu tiên trong mỗi cột là dương Trongtrường hợp này, ta cũng nói rằng W là một ma trận dương

và LTσ(m) ≥σ LTσ(figi) với mọi i = 1, , s thỏa mãn figi 6= 0.

A2) Với mọi phần tử m ∈ M \{0}, tồn tại f1, , fs ∈ P sao cho m = Ps

i=1figi

và LTσ(m) = maxσ{LTσ(figi) | i ∈ {1, , s}, figi 6= 0}

Mệnh đề 2.1.2 [2, Proposition 2.1.3.] (Hệ sinh của môđun từ dẫn đầu)Cho M ⊆ Pr là P-môđun con và g1, , gs ∈ M \{0} Khi đó, các điều kiện sau

là tương đương với nhau và tương đương với các điều kiện của Mệnh đề 2.1.1

B1) Tập hợp {LTσ(g1), , LTσ(gs)} sinh ra Tn-môđun đơn LTσ{M }

B2) Tập hợp {LTσ(g1), , LTσ(gs)} sinh ra P-môđun con LTσ(M ) của Pr.2.1.2 Quy tắc viết lại

Định nghĩa 2.1.3 Cho g1, , gr ∈ Pr\{0} và G = {g1, , gr}

a) Cho m1, m2 ∈ Pr Giả sử tồn tại hằng số c ∈ K, từ t ∈ Tn và i ∈ {1, , s}sao cho m2 = m1− ctgi và t · LTσ(gi) /∈ Supp(m2) Khi đó, ta nói m1 quy về

11

m2 trong một bước sử dụng quy tắc viết lại được xác định bởi gi (hoặcđơn giản là m1 quy về m2 trong một bước sử dụng gi), ta viết m1 −→ mgi 2.Dãy đi từ m1 đến m2 cũng được gọi là bước rút gọn.

b) Bao đóng bắc cầu của các quan hệ −→, ,g1 gs

−→ được gọi là quan hệ viếtlại xác định bởi G, kí hiệu là −→G Nói cách khác, với m1, m2 ∈ Pr, ta đặt

m1 −→ mG 2 nếu và chỉ nếu tồn tại các chỉ số i1, , it ∈ {1, , s} và cácphần tử m00, , m0t ∈ Pr sao cho m1 = m00 −→ mgi1 01 −→ · · ·gi2 −→ mgit 0t = m2.c) Phần tử m1 ∈ Pr có tính chất là không tồn tại i ∈ {1, , s} và m2 ∈

Pr\{m1} sao cho m1

g i

−→ m2 được gọi là không rút gọn được tương ứngvới −→G

d) Quan hệ tương đương xác định bởi −→G được kí hiệu là ←→G

Trong phần a) của định nghĩa, ta có thể chọn c = 0 và t ∈ Tn sao cho

t · LTσ(gi) /∈ Supp(m1), lúc đó m1 −→ mgi 1 Đây là sự rút gọn tầm thường.Mệnh đề 2.1.4 [2, Proposition 2.2.5.] Chog1, , gs ∈ Pr\{0}, G = {g1, , gs}

và M = hg1, , gsi ⊆ Pr Khi đó, các điều kiện sau là tương đương với nhau:

C1) Với m ∈ Pr, ta có m −→ 0G khi và chỉ khi m ∈ M

C2) Nếu m ∈ M là phần tử không rút gọn được tương ứng với −→G thì m = 0

C3) Với mọi phần tử m1 ∈ Pr, tồn tại duy nhất phần tử m2 ∈ Pr sao cho

m1 −→ mG 2 và m2 là không rút gọn được tương ứng với −→G

C4) Nếu m1, m2, m3 ∈ Pr thỏa mãn m1 −→ mG 2 và m1 −→ mG 3 thì tồn tại phần

tử m4 ∈ Pr sao cho m2 −→ mG 4 và m3 −→ mG 4 (Một quan hệ −→G với tínhchất này được gọi là hợp lưu.)

Luận văn thạc sĩ Tìm hệ sinh thuần nhất tối tiểu

Định nghĩa 2.1.6 Cho R là vành, M là R-môđun và G = (g1, , gs) là một bộcác phần tử của M

a) Một xoắn của G là một bộ (f1, , fs) ∈ Rs sao cho f1g1 + · · · + fsgs = 0.b) Tập tất cả các xoắn của G có dạng một R-môđun được gọi là môđun xoắncủa G, kí hiệu là SyzR(G) hoặc SyzR(g1, , gs) hay đơn giản là Syz(G) hoặcSyz(g1, , gs)

Định lí 2.1.7 [2, Theorem 2.3.7.] (Xoắn của các phần tử của các môđunđơn thức)

Với j = 1, , s ta viết LMσ(gj) = cjtjeγj với cj ∈ K, tj ∈ Tn và γj ∈ {1, , r}.Với mọi i, j ∈ {1, , s} ta xác định được tij = lcm(ti ,tj)

t i a) Với mọi i, j ∈ {1, , s} thỏa i < j và γi = γj, phần tử σij = c1

là một môđun con hữu hạn sinh Tnhe1, , eri-phân bậc của Ps

Định nghĩa 2.1.8 Một phần tử m ∈ Ps được gọi là nâng của một phần tử

m ∈ Ps nếu ta có LF(m) = m

Mệnh đề 2.1.9 [2, Proposition 2.3.10.] Các điều kiện sau là tương đương:

D1) Mọi phần tử thuần nhất của Syz(LMσ(G)) đều có nâng trong Syz(G)

D2) Tồn tại một hệ sinh thuần nhất của Syz(LMσ(G)) gồm tất cả các phần tử cónâng trong Syz(G)

D3) Tồn tại một hệ sinh thuần nhất hữu hạn của Syz(LMσ(G)) gồm tất cả cácphần tử có nâng trong Syz(G)

Mệnh đề trên cho ta ý tưởng tìm các phần tử của Syz(G) bằng cách sử dụngquy trình nâng này và mệnh đề sau sẽ khẳng định rằng có một hệ sinh củaSyz(G)bao gồm các nâng

Mệnh đề 2.1.10 [2, Proposition 2.3.11.] Cho môđun Syz(LMσ(G)) có hệ sinhthuần nhất là tập hợp {m1, , mt} và m1, , mt ∈ Syz(G) là các phần tử saocho LF(mi) = mi với i = 1, , t Khi đó, {m1, , mt} là một hệ sinh củaSyz(G)

Mệnh đề 2.1.11 [2, Proposition 2.3.12.] Cho g1, , gs ∈ Pr\{0} và M =

hg1, , gsi Khi đó, các điều kiện A1), A2) của Mệnh đề 2.1.1 và các điều kiện

D1), D2), D3) của Mệnh đề 2.1.9 là tương đương